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自主招生数学讲义分配编号内容负责人1数列递推公式，求数列通项邵宏宏2数列求和邵宏宏3数学归纳法孙雁4杂数列季风5三角恒等变换孙雁6三角不等式王敏杰7抽象函数倪国红8函数与方程张宇9函数图像张宇10向量综合倪国红11直线与圆黄润育12圆锥曲线周延军13参数方程、极坐标周延军14立体几何季风15复数综合黄润育16组合杂题王敏杰说明：1 建议大家参考发给大家的自主招生试题集，主要是复旦、交大等的试题，挑选相应内容的中等或中等偏上试题；2 讲义格式，试题数量参考发给大家的讲义范例；3 时间上要求在国庆后交初稿大学自主招生数学简明讲义第一讲 递推数列求通项3第二讲 数列求和8第三讲 数学归纳法11第四讲 数列杂题16第五讲 三角恒等变换19第六讲 三角不等式24第七讲 函数性质29第八讲 函数与方程32第九讲 函数性质35第十讲 向量综合38第十一讲直线与圆38第十二讲圆锥曲线50第十三讲参数方程、极坐标50第十四讲立体几何51第十五讲复数综合56第十六讲组合杂题57第一讲递推数列求通项1、 公式法例1、 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.2、 归纳猜想法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例2、 已知数列中，求数列的通项公式.【解析】：，猜测，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.三 、累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.例3 、已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，求数列的通项公式.反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为。四 、累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积)。反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.五、构造新数列（待定系数法）: 将递推公式（为常数，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列，也即是待定系数法。例5、已知数列中, ,求的通项公式.反思：构造新数列的实质是通过来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.六 、倒数变换：将递推数列,取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换。然后就转变为第五种情况，此时将数列看成一个新的数列，即再利用“构造新数列”的方法求解。例6、 已知数列中, ,求数列的通项公式.反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了。七、特征根法：形如递推公式为（其中p，q均为常数）。对于由递推公式，有给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例7: 数列满足， ,求反思：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出A,B的用已知量a,b表示的值，从而可得数列的通项公式。八、不动点法 若A,B且AD-BC，解,设为其两根I、若，数列是等比数列；II、若，数列是等差数列。例8、已知数列满足，求数列的通项公式。反思：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。九、换元法 即是将一复杂的整体用一个新的符号来表示，从而使递推数列看起来更简单，更易找到解决的方法。例9、 已知数列满足，求数列的通项公式。反思：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。十、取对数法： 形如这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用构造新数列（待定系数法）求解。例10：已知数列中，求数列。十一、周期型： 由已知递推式计算出前几项，寻找周期。此题型一般是在不能运用以上各种方法的情况下可考虑到这种方法，具有一定的探索性，虽然比较简单，但也是一种很重要的数学思想，需要好好掌握。例11：若数列满足，若，则的值为_。反思：此题的关键在于观察递推数列的形式，取一些特定的n的值，求出数列的前几项的值，从而找到其周期，这样问题就迎刃而解了。第二讲数列求和1. 公式法等差数列前n项和：特别的，当前n项的个数为奇数时，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n项和：q=1时，特别要注意对公比的讨论。其他公式：1、 2、3、例1 已知，求的前n项和. 例2 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和： 例4 求数列前n项的和.练习：求：Sn=1+5x+9x2+(4n-3)xn-1 3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. 例5 求的值4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例6 求数列的前n项和：， 例7 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.练习：求数列的前n项和。5. 裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例9 求数列的前n项和. 例10 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和. 例11 求证：练习：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。6. 合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例12 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例13 数列an：，求S2002. 例14 在各项均为正数的等比数列中，若求的值.以上一个6种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。第三讲数学归纳法【基础知识】1 数学归纳法可以证明与正整数n有关的命题，可以是数列通项，数列求和，也可以是不等式证明，整除问题等自主招生中不等式的证明较常见2 数学归纳法证明的格式特别要注意，第一步对初始值的验证必须做，第二步假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立第二步的证明需要用到归纳假设，还需要从题设中利用递推关系从n=k得到n=k+1时的表达式两个步骤都非常重要3 数学归纳法的关键在与如何得到一个普遍适用的递推关系，如何从n=k证明n=k+1时命题仍成立，有时候归纳的技巧比较高【典型例题】例题1：设斐波那契数列，求证：是5的倍数【分析】：这是整除问题，关键是如何利用归纳假设到，其实质是将表示成和另外5的倍数的形式，利用递推公式可得例题2：设正数数列的前n项的和为，且，试猜想出并证明数列的通项公式【分析】：数学归纳法在数列中求通项、求和时是基本的方法之一猜测、归纳、证明，完整的解答需要这三个方面【解答】：n=1时，所以；n=2时，所以 ，（负值已舍）；n=3时，所以 ，猜想，下面用数学归纳法证明（1） 当n=1，2，3时命题已证（2） 假设n=k时，有成立则当n=k+1时，即，所以，所以，猜想也成立综上得，对一切， 总成立例题3：证明：【分析】：这是数学归纳法证明不等式，利用归纳假设和不等式证明的基本方法是关键不等式证明的常用方法有比较法，放缩法，公式法，分析法，综合法，反证法等【证明】：当时，左边右边，即不等式成立；假设时不等式成立，即则左边=故，时不等式也成立由、知，原不等式成立例题4：证明不等式，当自然数n6时成立【分析】：由于是两个不等式，证明时要注意归纳假设也是两个不等式【证明】：当时，不等式变形为，显然成立；假设时不等式成立，即则时要证；根据归纳假设，；，而单调递增，且，故成立同理，也成立故时不等式也成立由、知，原不等式成立例题5：对于任意均为非负实数，且，试用数学归纳法证明：成立【分析】：如何利用已知条件中的关于n的表达式，是归纳假设的关键证明：显然，时，；当时，又为正数，故，不等式成立；假设当时，不等式成立，即正数，若，则于是，当时，正数有，根据归纳假设，有成立故只需证明成立即可显然，成立，故时不等式也成立综合、得，原命题成立例题6：已知对任意，有，且，求证：【分析】：本题归纳假设时稍有不同，需假设之前的都成立【证明】：当时，又，故；假设时均有，则时即，又及归纳假设得得，即时也有成立由、知，原命题成立【巩固练习】1若其中n为非负整数，求证：是133的倍数2已知数列的前n项和（n为正整数），猜测并证明的通项公式3证明不等式：，4已知数列an，(nN*)，求证：5设 ,证明不等式对所有的正整数n都成立6 求证：，7已知正数，求证：第四讲数列杂题【典型例题】例题1：在中，求证：求。例题2：口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第次两个黄球都被摸出，即第次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是，求。例题3：数列满足，则的前60项和为_。例题4：设，其中xn,yn为整数，求n时，的极限例题5：数列满足条件: ,试证明:(1) ；(2) 【巩固练习】1下列正确的不等式是_。 A1617； B1819；C2021； D220且a1)f(x+y)=f(x)f(y) 对数函数 f(x)=logax (a0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx余切函数 f(x)=cotx【典型例题】一.定义域问题 -多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1、若函数的定义域是，则函数的定义域为 。 解：的定义域是，意思是凡被作用的对象都在 中。评析：已知f(x)的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题。练习：已知函数的定义域是 ，求函数 的定义域。例2、已知函数的定义域为3，11，求函数的定义域 。评析： 已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数的值域。练习：定义在上的函数的值域为，若它的反函数为，则的定义域为 ，值域为 。二、求值问题-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例3、对任意实数，均满足且,则=_.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：，令,得：, R上的奇函数有反函数,由与互为反函数，则= .解析：由于求的是，可由求其反函数,所以，又,通过递推可得.练习： 1、的定义域为，对任意正实数 都有 且，则 （ ）2、 .2000 .(,原式=16)3、对任意整数函数满足：，若，则 （C）A.-1 B.1 C. 19 D. 434、函数为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（ ）（B） A . 2005 B. 2 C.1 D.05、定义在R上的函数有反函数，又过点（2，1），的反函数为，则为（ ）（A） A. B. C.8 D.16三、值域问题例4、设函数定义于实数集上，对于任意实数 ，总成立，且存在,使得，求函数的值域。解：令，有或。若 ，则 恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。由于对任意实数 均成立，因此， ,又因为若,则与矛盾,所以.五、单调性、奇偶性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决） 例5、设函数对任意实数，都有,若时,且,求在-3，3上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设，则，所以是R上的减函数, 故在-3,3上的最大值为,最小值为,令，有，令，有，即为奇函数.练习：设定义于实数集上，当时,且对于任意实数，有，求证：在R上为增函数。例6、已知偶函数的定义域是非零实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1） 在(0,+)上是增函数； （2）解不等式解： （1）设，则，即，在上是增函数（2），是偶函数不等式可化为，又函数在上是增函数，0，解得：例7、 （1）已知函数对任意不等于零的实数，都有,试判断函数的奇偶性。解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑与的关系：,为偶函数。 （2）已知是偶函数，则函数的图象的对称轴是直线（ D ） A. B. C. D.解析：关于直线对称,则关于直线对称,故关于直线 对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。为偶函数，则关于直线对称。例8、设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又。求实数的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：在上减函数，而，所以由得，解得。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整）练习：已知是定义在1，1上的奇函数，且,若1,1,时，有0.(1)判断函数在1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论； （2）解不等式：(3)若对所有1,1,1,1(是常数）恒成立，求实数的取值范围.（函数在1，1上是增函数；1；0或）六、周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称）例9、已知定义在R上的奇函数满足 ，则的值为（ B ）A. 1 B. 0 C. 1 D. 2解： 因为是定义在R上的奇函数，所以，又T=4，所以= = 。函数对于任意的实数都有，则的图像关于直线 对称。（=1/2）练习：已知函数满足：，则=_.解析：取得 ，周期T=6，故例10、 已知函数满足，求的值。解：由已知式知函数的图象关于点（0，1001）对称。据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（1001，0）对称,所以,即=0 函数的性质在自主招生考试中占有相当的比例，函数的性质主要包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，本讲主要学习抽象函数的对称性和周期性的知识。【知识点精要】一。函数的对称性（函数图像的自对称和函数图像的互对称）1.函数满足时，函数的图像关于直线对称，特别地，时，该函数为偶函数。2.函数满足时，函数的图像关于点 对称，特别地，当时，该函数为奇函数。3.函数的图像与的图像关于直线对称。二函数的周期性1.一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。2.对于非零常数A,若函数满足，则函数必有一个周期为2A.3.对于非零常数A，函数满足，则函数的一个周期为2A.三函数对称性和周期性之间的联系1.设是定义在R上的函数，其图像关于直线和对称，则是周期函数，且是它的一个周期。2.设是定义在R上的函数，其图像关于点中心对称，且其图像关于直对称，则是周期函数，且是它的一个周期。设且是它的一个周期。3. 设是定义在R上的函数，其图像关于点和对称，则是周期函数，且是它的一个周期。【典型例题】例题1：各结论的证明例题2：已知函数是定义在R上的函数，且，（1）试证 是周期函数；（2）若，试求例题3：设函数在上满足，且在闭区间上，只有。（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间上根的个数，并证明你的结论。例题4：函数（1）求的单调区间；（2）；（3）如果有极小值，试证明 【巩固练习】1. 设函数对一切实数均满足，且方程恰有7个不同的实根，则这7个不同实根的和为_2. 已知函数的定义域为，则函数在时的定义域为_A: B: C: D:3. 设是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当时，则当时，的表达式为_A: B: C: D:4. 设是定义在R上的偶函数，并满足，当时，则5. 已知满足，则的最小正周期是_6. 已知是偶函数，是奇函数，且，求第十讲向量综合【基础知识】【典型例题】【巩固练习】【提示解答】第十一讲直线与圆【典型例题】例1、设直线，则a、b满足（ ）。Aa+b = 1 B. a b =1 C. a +b= 0 D. a-b=0分析：由例2、圆处的切线方程为（ ） A B、 C D例3点（1，-1）到直线的距离是（ ）A、 B、 C、 D、（二）正确理解解析几何的核心问题解析几何着重于用代数方法研究几何问题，这样往往造成一种错觉，即只用代数方法研究几何问题，而忽视几何手段的运用，对解析几何基本思想也片面地理解为几何问题转化为代数问题，其实平面解析几何是建立在平面几何与代数的知识体系上，解析几何的基本思想在于代数与几何的有机结合、代数与几何间的相互转化。Cy 例4在RtABC中，AD中斜边BC边上的高，DEAB，DFAC，E和F是垂足，求证：FD分析：如图建立平面直角坐标系，设B得： x(O)AEB LAD： 由求出点D坐标，进而求出E、F的坐标，再运用距离公式得证：例5已知：R，求不等式恒成立时实数的取值范围。y分析：本题可转化为已知O：，直线xL：，因为满足的任一实数对使恒成立，故圆上任一点在直线L上或在直线L的上方，求此时的取值范围，由图形即知。（三）抓住问题的根本对数学本质的深刻认识直接关系到解决问题所用方法、途径的简捷性和灵活性，在数学学习中要注意对概念、原理从不同层面、不同方位进行认真仔细地揣摩,构建较深层次的网络。例6、直线L被直线截得的线段PQ的中点恰好是坐标原点O，求直线L的方程。分析一：依题意设上的两点坐标分别为，Q，各代入方程相加得，又原点O(0，0)也满足上式，而两点确定一条直线，故所求直线方程为分析二：注意到方程表示直线，依题意设直线PQ：,与上面方程联立，消去,由韦达定理得,解出，所求直线即出。点：根据曲线及曲线方程的定义可知，求曲线的方程就是分析曲线上的点所应满足的条件，即要找的是点的横坐标、纵坐标之间的关系式，这才是问题的根本所在。例7、求圆心在直线上，且与直线切于点的圆方程。分析一：依已知可设圆为标准式，此时含三个元，求圆方程即是求，因此需建立三个关系式。分析二：结合平面几何知识，求出过圆心与垂足的直线，使其与直线联立，由此求出圆心，后利用点到直线距离公式进一步求出半径。点：不管是分析一，还是分析二，其关键都是确定，一个采用的是代数法，一个利用的是几何特征，相比较而言，后者更接近问题的本质。（四）掌握必要的方法和技巧对于直线和圆，熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确地解题，还必须掌握一些方法和技巧。常用的有：（1）利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；（2）善于根据图形的已知条件和论证的目标，恰当地使用曲线的方程；（3）掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质，有效运用它们来解题；（4）注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用；（5）借助数形结合进行等价转化，减少思维量、运算量；（6）灵活使用曲线系方程，方便快捷地解题；（7）根据背景的特点，巧用字母的替换法则；（8）充分运用韦达定理进行转化与化归；（9）留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用。例8已知直线与圆O:相交于A、B两点，且|AB|=，则。分析：涉及弦长问题时常运用平几中的垂径定理求解较为简捷；若联立直线与圆的方程求出交点，则比较麻烦。例9：求经过直线的两个交点，并且具有最小面积的圆。分析：引入参数，设所求圆为：，整理为：，圆心C的坐标为（，），设已知直线和圆相交于A、B两点，由平几知识知：当所求圆的圆心在AB上时，圆具有最小面积，由2（）+（）+ 4 =0 得，所求圆即出。 点：本例引入参数，使用曲线系方程，借助平面几何知识，方便快捷地解题。例10：已知圆C：和圆外一点P（u,v），由P向圆引切线PT1 ,PT2P（）(T1,T2是切点)，如图，求直线T1T2的方程。T1（）T1（）分析：设切点T1（），T2（），则过T1 T2的切线方程分别为：，因为两切线均过点P，故，现考虑方程，由知T1，T2的坐标适合此方程，即T1，T2在此方程所代表直线上，又过T1，T2的直线只有一条，故直线T1 T2的方程为。点：本例是巧用字母的替换法则，灵活解题。（五）关注实际，注重应用 直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用，主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用，它涉及到质量重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题，这部分涉及的知识内容比较简单，要熟练掌握直线和圆的方程形式；二是线性规划，它是直线的间接应用，涉及到生产运输、组织分配、合理下斜、规划布局、统筹计划等问题，线性规划是运筹学中最基础的内容，高中阶段渗透补充简单的线性规划问题，可以使我们更好地了解近代数学的发展，从而有利于学生应用数学意识的培养。yB例11、一束光线穿过厚1cm的玻璃（折射率为1.5），设横轴位于这玻璃片的表面上，而纵轴垂直于此片（坐标系的长xAO度单位为cm），试求在此玻璃片内和出玻璃之C后的光线方程，以及光线在玻璃片内的行程D（折射率=，）分析：入射角为450 ，由，得，在玻璃内的光线方程为， 又，光线出玻璃后的方程为，即 y点：本题属光学折射问题，体现了直线方程等基础知识在物理上的应用。例12：某检验员用一个直径为2cm和P1个直径1cm的标准圆柱，检测一个直经为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个xOBA合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱直径应该是多少？分析：考虑垂直于圆柱的截面，则新 插入的两圆柱的截面应内切于直径为3cm的圆并且与直径为2cm的圆及直径为1cm的圆相外切。建立数学模型：因AP是两圆半径之和，OP是两圆的半径之差，PB也是两圆的半径之和，由此可将圆心P的位置确定下来。设所求圆P的半径为r，则，点P在以A、O为焦点、长轴长2.5的椭圆上，其方程是 同理点P在以O、B为焦点，长轴长2的椭圆上，其方程是，联立，解得交点，所求直径为点：这是几何型的应用问题，其解法是解析法和交轨法。例13：设，式中变量x和y满足条件则z的最小值为（ ）A、1 B、-1 C、3 D、-3分析：由待定系数法，设则 于是，当且仅当，且时z取最小值，故选A。点：线性规划问题解法有三种：一是“平移法”，即作出可行域，平移目标函数线，运用直线方程的几何意义得解；二是“待定系数法”，即是用约束条件表示目标函数，运用待定方法直达目标，其特点是避开可能较繁杂的图形，用代数的方式推理；三是“界点法”，由线性规划的理论可知最优解必在边界处，因此可直接考查边界（特别是“拐点处” ），比较即得。 整点最优解问题可能是大家最头痛的问题，可采用“反向平移反代法”寻找，即先让z达最大或最小（根据题意来选择），若此处非整点，则反向平移，并让 z增1或减1，反解出x、y代入约束条件寻找适合题意的解，若还没有就再让z增2或减2，依次进行下去，直到找出为止。 （六）掌握数学思想方法，充分发挥其大数学观的导向作用。 数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有着普遍的指导意义，是历年高考的重点。 在直线与圆部分，主要的数学思想方法有数形结合思想、方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、对称思想；解析法、待定系数法、优选法、数学建模等。例14：若曲线则k,b分别应满足的条件是_。分析：作出在同一坐标系中的图像，由此可得k = 0,-1 b 0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为 。15、已知a=(6,2),b=(-4,)直线过点A（3，-1），且与向量a+2b垂直，则直线的一般方程为 。16、过点（1，）的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率K为 。17、已知A（-2，0），B（2，0），点C、D满足=2, ,求点D的轨迹方程。CBAQMNP18、如图，某化工厂反应塔MQ上有温度计AB，已知，在矩形QMNP的边MN上建立观察点C较安全，观察温度计AB时视角越大越清晰，问C在线段MN上何处时，对温度计AB观察得最清晰？ 19、制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大