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课 时 授 课 计 划 副 页 年 月 日教学过程及授课内容附 注4-1 不定积分的概念教学过程一、不定积分的概念1原函数的概念定义1 设是定义在某区间的已知函数,若存在函数,使得 或,则称为的一个原函数例 因为,故是的一个原函数;因为,所以是的一个原函数,但,所以的原函数不是惟一的原函数说明:第一,原函数的存在问题:如果在某区间连续,那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)第二,原函数的一般表达式:前面已指出,若存在原函数,就不是惟一的,那么,这些原函数之间有什么差异?能否写成统一的表达式呢?对此,有如下结论:定理:若是的一个原函数,则是的全部原函数,其中为任意常数。证 由于,又,所以函数族中的每一个都是的原函数。另一方面,设是的任一个原函数,即,则可证与之间只相差一个常数,事实上,因为所以,或者,这就是说的任一个原函数均可表示成的形式。这样就证明了的全体原函数刚好组成函数族。2.不定积分的概念定义2:函数的全体原函数叫做的不定积分,定积分,记为,其中,上式中的叫做积分变量,叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分常数,“”叫做积分号。例1 求下列不定积分:(1);(2);(3)解 (1)因为,所以. (2)因为,所以.(3)因为时,又时,所以例2设曲线过点(1,2)且斜率为,求曲线方程解 设所求曲线方程为按,故又因为曲线过点(1,2),故代入上式,得,于是所求方程为.例3 设某物体运动速度为,且当时,求运动规律解 按题意有,即,再将条件时代入得,故所求运动规律为 积分运算与微分运算之间的互逆关系:(1)或(2)或二、基本积分公式由于求不定积分是求导数的逆运算,所以由导数公式可以相应地得出下列积分公式: (1)(为常数), (2)(),(3),(4),(5) ,(6),(7),(8)(9),(10),(11),(12),(13).三、不定积分的性质性质1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分().性质2 两个函数代数和的积分,等于各函数积分 的代数和,即.例4 求下列不定积分:(1)(2);(3) 解 ().().() 例5 求下列不定积分:();()解(1)()例 6 求下列不定积分:(1); (2)解 (1) =(2)例7 设求解 由于,
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