解一阶常微分方程.doc

解一阶常微分方程1.知识准备 1. 1 变量分离方程 形如 ()的方程，称为变量分离方程，分别是，的连续函数.这是一类最简单的一阶函数如果，我们可将()改写成，这样变量就分离开来了.两边积分，得到，为任意常数由该式所确定的函数关系式就是常微分方程()的解 1. 2 积分因子 恰当微分方程可以通过积分求出它的通解因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义积分因子就是为了解决这个问题引进的概念如果存在连续可微函数，使得为一恰当微分方程，即存在函数，使，则称为方程的积分因子函数为积分因子的充要条件是，即假设原方程存在只与有关的积分因子，则，则为原方程的积分因子的充要条件是，即仅是关于的函数此时可求得原方程的一个积分因子为同样有只与有关的积分因子的充要条件是是仅为的函数，此时可求得方程()的一个积分因子为1. 3恰当微分方程考虑微分形式的一阶微分方程()，如果该式的左端恰好是某个二元函数的全微分，即则称()为恰当微分方程对于一阶微分方程，若有，则该方程必为恰当微分方程我们接着讨论如何求得该恰当微分方程的解我们可以把看作只关于自变量的函数，对它积分可得，由此式可得，又因为有，故，对该式积分可得，将该式代入，得恰当微分方程的通解为2.基本方法2. 1一般变量分离形如 ()的方程，称为变量分离方程，分别是，的连续函数.这是一类最简单的一阶函数如果，我们可将()改写成，这样变量就分离开来了.两边积分，得到，为任意常数由该式所确定的函数关系式就是常微分方程()的解2. 2齐次微分方程 2. 2. 1齐次微分方程类型一一阶线性微分方程其中在考虑的区间上是的连续函数,若,变为称为一阶齐次线性微分方程,若称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为这里是任意常数.2.2.2齐次微分方程类型二有些方程本不是可分离变量微分方程的类型，但经过变量变换可化为分离变量的微分方程可分为三种情况来讨论: 的情形这时，有因此,只要作变换,则方程就转化为变量分离方程. 的情形.这时方程可写为令,则方程化为这是变量分离方程. 及不全为零的情形因为方程右端分子,分母都是的一次多项式,因此代表平面上两条相交的直线,设交点为,若令则化为从而变为因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.2. 3常数变易法一阶线性微分方程其中在考虑的区间上是的连续函数,若,变为称为一阶齐次线性微分方程,若称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为这里是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数变易为的待定函数,使它满足方程,从而求出为此,令微分之,得到以代入得到即积分后得到这里是任意常数.将代入得到这就是方程的通解.3.基本方法的应用3. 1. 一般变量分离应用举例3.1.1应用举例 例1 求解方程 解 将变量分离，得到 两边积分，即得 因而，通解为 这里是任意正常数，或者解出，写出显函数形式的解 3.1.2应用举例 例2 求解方程 的通解，其中的连续函数 解 将变量分离，得到 两边积分，即得 这里是任意常数。由对数定义，既有，即 令，得到 此外，显然也是方程的解，如果允许中允许则也就包括在中，因而的通解为，其中为任意常数。3. 2齐次微分方程应用 3.2.1类型一应用举例 例1 求解方程 解 这是齐次微分方程，以代入，则原方程变为 即 将上式分离变量，既有两边积分，得到这里是任意常数，整理后，得到=得到此外，方程还有解如果在中允许，则也就包括在中，这就是说，方程的通解为带回原来的变量，得到方程的通解为 3.2.2类型一应用举例 例2 求解方程（） 解 将方程改写为 这是齐次微分方程.以代入，则原方程变为 分离变量，得到 两边积分，得到的通解 即当时， 这里c时任意常数.此外，方程还有解 注意，此解并不包括在通解中.代回原来的变量，即得原方程的通解为 当及. 3.2.3类型二应用举例例3 求解方程解 方程可化为，令，将代入上式，可得，易知是上式的一个解，从而为原方程的一个解当时，分离变量得，两边积分得，故可得原方程的通解为 3.2.4类型二应用举例例4 求解方程.解 令,则有,代入所求方程,整理可得,由变量分离得,故所求方程的解为. 3. 2. 5类型二应用举例例5 求解方程 解 解方程组得令代入上式方程，则有 再令则上式可化为 因此 记并带回原变量，得此外容易验证 即 也是方程的解 ，因此方程的通解为 其中为任意的常数.3. 3利用积分因子求解 例6 求解方程 解 这里方程不是恰当的。因为只与有关，故方程有只与的积分因