人教A版必修4《平面几何中的向量方法》教学设计.doc

人教A版必修4平面几何中的向量方法教学设计一、教材分析：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。在向量的概念引入后，平面几何中的全等和平行、相似、垂直、勾股定理等问题就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，体现了数形结合思想。本节课的内容是一节平面向量知识的应用课，通过对平面几何中的向量方法的研究，体现向量作为工解决平面几何问题的优越性，渗透数形结合思想和转化化归思想；也让学生体验数学实用价值，明白教材在主编寄语中提到的“数学是有用的” 的真正含义。二、教学目标：1.能利用向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系；经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题体会向量是一种处理平面几何问题的工具；2.发展运算能力和解决实际问题的能力，同时渗透数形结合思想、转化化归思想，培养学生“利用数学”的意识。3.通过丰富的实例和过程性参与，引导学生体验“形到数数的运算数到形”的研究思想；激发学生学习数学的兴趣和积极性,培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神。4.通过向量运算研究几何问题让感受数学和生活的联系，体验数学的工具优越性，关注数学知识及其思想在人类认识世界，改造世界中所起的作用，感受数学的美。三、教学重难点：1.教学重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则；向量法解决平面几何问题的“三步曲”。2.教学难点：将平面几何问题转化为向量问题并加以解决。四、教学问题诊断分析：学生在学习本节课内容之前，已经掌握平面向量的基本知识技能。本节内容是针对学生对向量作为工具性的疑惑而设计的一节知识应用课。新课程所倡导的理念“知识是有用的”得到充分的体现，但是在实际教学过程中，如何将平面几何问题转化为向量问题来解决是有所难度的，特别是课本中例2的设计难度较大。因此，在教学过程中以学生熟悉的平行四边形作为载体展开讨论研究来降低学习难度，并在例题的设计上有层次感，由浅入深，层层导入，逐步引导学生进行探究活动，激发学生学习的自主性和积极性，从而达到教学目的。五、教学过程设计：1.复习回顾：向量平行的判定：；当时，向量垂直的判定：；当时，设计意图回顾已学知识，为本节课接下来的探究活动作必要的知识储备。2.新课导入：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。本节课我们就来探究一下如何利用向量解决平面几何的问题。在初中我们学过“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这一知识。现在大家能用向量知识给出一个证明吗？设计意图以学生熟悉的特殊平行四边形菱形作为载体导入新课，让学生初步了解利用向量解决平面几何问题的一般流程，体验向量作为工具的优越性，激发学生对本节内容的探究热情，也为接下来的探究打下伏笔。3.新课探究：问题1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？猜想：菱形对角线的长度与两条邻边长度之间有什么关系？类比猜想，平行四边形也有相似的关系吗？设计意图通过类比、猜想并讨论得到结论，让学生体验数学知识发现的过程，自然引出平面几何中的向量方法，又让学生产生新的困惑，激发他们探究的积极性。结论：平行四边形四边的平方和等于两对角线的平方和。教师活动：指导学生写出已知求证，完善题设。已知：平行四边形ABCD。求证：.（学生分组讨论证明，教师适当给予简单提醒：勾股定理、直角三角形、辅助线等知识。）师生活动：请学生代表发表解题见解，师生共同完善解题过程。设计意图让学生体验向量作为工具解决平面几何问题的优越性，以及一般的解题步骤，训练学生利用向量知识解决平面几何问题的能力。问题2：通过上面的例题，你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本解题思路吗？设计意图引导鼓励学生扮演数学家的角色，培养学生总结归纳的习惯及能力，让学生整理、完善刚才探究时所形成的知识体系。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。教师简述：形到向量向量的运算向量和数到形课堂练习：如图所示，已知O，AB为直径，C为O上任意一点。求证：ACB=90.设计意图引发学生利用刚刚建立的认知进行解题，完善他们的认知结构。同时让他们在练习中体验成功与进步的喜悦。师生活动：学生完成练习，教师巡视教室，并对解题有困难的学生给予适当的指导。思考：能否用向量坐标形式对上述问题进行证明？设计意图让学生刚刚建立的认知结构产生新的矛盾，促进他们继续探究。并体现一题多解，展示向量坐标在解题中的简洁性及优越性。问题3：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD 、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R 、T两点，你能发现AR 、RT 、TC之间的关系吗？教师活动：仔细观察图形，你能猜出它们之间存在什么关系吗？学生活动：看图猜想并得到AR=RT=TC.设计意图先对本题的解题方向有个大体的了解，培养学生的观察分析问题的能力。思考：要证明AR=RT=TC，我们该从哪里下手？为了解题的方便我们可以适当假设一些量，该如何假设才是最简单的？设计意图使学生明白解题过程中为了降低书写及解题难度可以恰当地设置一些量。让学生完成假设：.思考：为了证明AR=RT=TC我们该从哪里入手？难道真的要证明它们三个相等吗？还是转换方向？师生活动：教师引导学生观察分析，发现要直接证明AR=RT=TC有点困难，引导学生转换解题方向，转而证明：。设计意图：培养学生从多角度看问题，有时候解题时可以适当进行转换，体验“柳暗花明又一村”的境界。师生活动：共同完成解题过程，并强调利用向量解决平面几何问题要注意的地方及解题步骤。4.新课小结：请总结用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。设计意图让学生自己总结，这是一个让学生的认知结构进行再次优化的过程，这样可以帮助学生再次认识本节课所学习的思想方法并理清他们的知识脉络，完善他们的认识结构。5.作业布置：课本第125页 习题2.5 A组 第1、2题六、设计反思：数学新课程在编排上十分注重数学的应用价值，在书中涉及应用问题的章节非常多。但是，学生对于这方面的知识储备略显不足，缺乏解决应用问题的手段及方法。因此，本节课的设计是以学生熟悉的平行四边形为载体，采用逐步推进，螺旋上升的方式，目的在于让学生充