【全程复习方略】高中数学 第一章 导数及其应用单元质量评估 新人教A版选修22(1).doc

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 第一章 导数及其应用单元质量评估 新人教a版选修2-2（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2014天津高二检测)若函数y=f(x)在区间(a，b)内可导，且x0(a，b)，则limh0f(x0+h)-f(x0-h)h的值为()a.f(x0)b.2f(x0)c.-2f(x0)d.0【解析】选b.limh0f(x0+h)-f(x0-h)h=limh02f(x0+h)-f(x0-h)2h=2limh0f(x0+h)-f(x0-h)2h=2f(x0)2.(2013江西高考改编)若曲线y=x+1(r)在(1，2)处的切线经过原点，则=()a.1b.2c.3d.4【解析】选b.因为y=x-1，所以令x=1得切线的斜率为，故切线方程为y-2=(x-1)，代入(0，0)得=2.3.甲、乙两人从同一起点出发按同一方向行走，已知甲、乙行走的速度与行走的时间分别v甲=t，v乙=t2(如图)，当甲乙行走的速度相同(不为零)时刻()a.甲乙两人再次相遇b.甲乙两人加速度相同c.甲在乙前方d.乙在甲前方【解析】选c.由v甲=v乙，得t=t2，解得t=0(舍)，或t=1.由01 tdt=23t3201=23.01 t2dt=13t301=13.所以当甲乙行走的速度相同(不为零)时刻甲在乙前方.故选c.4.下面为函数y=xsinx+cosx的递增区间的是()a.2,32b.(，2)c.32,52d.(2，3)【解析】选c.y=(xsinx+cosx)=sinx+xcosx-sinx=xcosx，当x32,52时，恒有xcosx0.故选c.5.(2014泰安高二检测)函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是()a.2b.1c.0d.由a确定【解析】选c.f(x)=3x2+6x+3=3(x+1)20恒成立，所以f(x)在r上单调递增，故f(x)无极值点，选c.6.已知实数a，b满足-1a1，-1b1，则函数y=13x3-ax2+bx+5有极值的概率为()a.14b.12c.23d.34【解题指南】根据函数有极值的充要条件，转化为定积分求面积之比，运用几何概型计算概率.【解析】选c.因为函数y=13x3-ax2+bx+5有极值，所以y=x2-2ax+b=0有两个不等实数根，得4a2-4b0，即ba2，又=(a,b)-1a1,-1b1，a=(a，b)|b0，即b3a或b3a，如图，在平面直角坐标系aob中，p(a)=323=36.7.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()a.b.c.d.【解析】选b.不正确，导函数过原点，但三次函数在x=0处不存在极值；不正确，三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负.故应选b.8.已知y=f(x)是定义在r上的函数，且f(1)=1，f(x)1，则f(x)x的解集是()a.(0，1)b.(-1，0)(0，1)c.(1，+)d.(-，-1)(1，+)【解析】选c.设g(x)=f(x)-x，则g(x)=f(x)-1，因为f(x)1，所以g(x)0，即g(x)在r上是增函数，又g(1)=f(1)-1=1-1=0，所以当x1时，g(x)g(1)=0，即当x1时，f(x)x.所以f(x)x的解集为(1，+).9.在函数y=x3-8x的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是()a.3b.2c.1d.0【解析】选d.由于y=(x3-8x)=3x2-8，由题意，得03x2-81，83x23，解得-3x-236，236x3，所以整数x不存在，故不等式的整数解有0个.【误区警示】本题若忽视直线的倾斜角的概念与范围，就会出现k13x2-81x23解得-3x3，所以不等式的整数解有3个，即-1，0，1，就会误选a.10.设f(x)=-xx cos 2tdt，则ff4=()a.1b.sin 1c.sin 2d.2sin 4【解析】选c.因为f(x)=-xx cos 2tdt=12sin 2t|-xx=sin 2x，所以f4=1，ff4=f(1)=sin 2.11.已知函数f(x)=x2+2x+alnx，若函数f(x)在(0，1)上单调，则实数a的取值范围是()a.a0b.a0或a-4【解析】选c.因为f(x)=2x+2+ax，f(x)在(0，1)上单调，所以f(x)0或f(x)0在(0，1)上恒成立，即2x2+2x+a0或2x2+2x+a0在(0，1)上恒成立，所以a-(2x2+2x)或a-(2x2+2x)在(0，1)上恒成立.记g(x)=-(2x2+2x)，0x1，可知-4g(x)0，所以a0或a-4，故选c.【变式训练】函数f(x)=ax3-x在r上为减函数，则()a.a0b.a1c.a0d.a1【解析】选a.f(x)=3ax2-1，若a=0，则f(x)=-10，f(x)在r上为减函数，若a0，由已知条件a0,0,即a0,12a0,解得a0.综上可知a0.12.设f(x)，g(x)是定义域为r的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)-f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b)b.f(x)g(a)f(a)g(x)c.f(x)g(b)f(b)g(x)d.f(x)g(x)f(a)g(x)【解析】选c.令f(x)=f(x)g(x)，则f(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)g2(x)f(b)g(b)，所以f(x)g(b)f(b)g(x).故应选c.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2014江西高考)若曲线y=e-x上点p处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点p的坐标是.【解题指南】切线问题运用导数的几何意义求解.【解析】设点p(x0,y0),因为y=-e-x,所以曲线在点p处的切线的斜率为k=-e-x0,又因为切线平行于直线2x+y+1=0,所以-e-x0=-2,解得x0=-ln2,代入y=e-x得y0=2,所以点p(-ln2,2).答案:(-ln2,2)14.设a0，若曲线y=x与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=_.【解析】由已知得s=0a xdx=23a32=a2，所以a12=23，所以a=49.答案：4915.(2014南京高二检测)直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是_.【解析】令f(x)=3x2-3=0，得x=1，可求得f(x)的极大值为f(-1)=2，极小值为f(1)=-2，如图所示，-2a0，若xr，恒有f(x)0，则f(1)f(0)的最小值是_.【解析】二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的导数为f(x)=2ax+b，由f(0)0，得b0，又对xr，恒有f(x)0，则a0，且=b2-4ac0，故c0，所以f(1)f(0)=a+b+cb=ab+cb+12acb2+12ac4ac+1=2，所以f(1)f(0)的最小值为2.答案：2【变式训练】设f(x)=x3-12x2-2x+5，当x-1，2时，f(x)0x1；f(x)0-23x1.故f(x)在-1x-23，1x2上单调递增，在-23x7为所求.答案：(7，+)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2013广州高二检测)已知曲线y = x3+x-2在点p0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0，且点p0在第三象限，(1)求p0的坐标.(2)若直线ll1，且l也过切点p0，求直线l的方程.【解析】(1)由y=x3+x-2，得y=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解得x=1.当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4.又因为点p0在第三象限，所以切点p0的坐标为(-1，-4).(2)因为直线ll1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为-14，因为l过切点p0，点p0的坐标为(-1，-4)，所以直线l的方程为y+4=-14(x+1)，即x+4y+17=0.18.(12分)(2013大纲版全国卷)已知函数fx=x3+3ax2+3x+1.(1)求a=-2时，讨论fx的单调性.(2)若x2,+时，fx0，求a的取值范围.【解析】(1)当a=-2时，f(x)=x3-32x2+3x+1，f(x)=3x2-62x+3.令f(x)=0，得x1=2-1，x2=2+1.当x(-，2-1)时，f(x)0，f(x)在(-，2-1)是增函数；当x(2-1，2+1)时，f(x)0，f(x)在(2+1，+)是增函数.(2)由f(2)0得a-54.当a-54，x(2，+)时，f(x)=3(x2+2ax+1)3x2-52x+1= 3x-12(x-2)0，所以f(x)在(2，+)是增函数，于是当x2，+)时，f(x)f(2)0.综上，a的取值范围是-54,+.19.(12分)(2013福建高考)已知函数f(x)=x-1+aex(ar，e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值.(2)求函数f(x)的极值.(3)当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点，求k的最大值.【解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，知切线斜率为0.欲求极值，先求单调性，要注意对参数a进行讨论.【解析】(1)由fx=x-1+aex，得fx=1-aex.又因为曲线y=fx在点1,f1处的切线平行于x轴，得f1=0，即1-ae=0，解得a=e.(2)fx=1-aex，当a0时，fx0，fx为r上的增函数，所以函数fx无极值.当a0时，令fx=0，得ex=a，x=lna.x-,lna，fx0.所以fx在-,lna上单调递减，在lna,+上单调递增，故fx在x=lna处取得极小值，且极小值为flna=lna，无极大值.综上，当a0时，函数fx无极值；当a0时，fx在x=lna处取得极小值lna，无极大值.(3)当a=1时，fx=x-1+1ex，令gx=fx-kx-1=1-kx+1ex，则直线l：y=kx-1与曲线y=fx没有公共点，等价于方程gx=0在r上没有实数解.假设k1，此时g0=10，g1k-1=-1+1e1k-10，知方程gx=0在r上没有实数解.所以k的最大值为1.【一题多解】(1)(2)同方法一.(3)当a=1时，fx=x-1+1ex.直线l：y=kx-1与曲线y=fx没有公共点，等价于关于x的方程kx-1=x-1+1ex在r上没有实数解，即关于x的方程：k-1x=1ex(*)在r上没有实数解.当k=1时，方程(*)可化为1ex=0，在r上没有实数解.当k1时，方程(*)化为1k-1=xex.令hx=xex，则有hx=1+xex.令hx=0，得x=-1，当x变化时，hx的变化情况如表：x-,-1-1-1,+hx-0+hx-1e当x=-1时，hxmin=-1e，同时当x趋于+时，hx趋于+，从而hx的取值范围为-1e,+.所以当1k-1-,-1e时，方程(*)无实数解，解得k的取值范围是1-e,1.综上，得k的最大值为1.20.(12分)若电灯b可在桌面上一点o的垂线上移动，桌面上有与点o距离为a的另一点a，oab=，ab=r，点a处照度与sin成正比，与r2成反比，问电灯与点o的距离多大时，可使点a处有最大的照度?【解析】由条件与光学知识，照度y与sin成正比，与r2成反比，设y=csinr2(c是与灯光强度有关的常数)要想点a处有最大的照度，只需求y的极值即可.在直角三角形中，得r=acos，于是y=csinr2=csinacos2=ca2sincos2，=ca2(sin-sin3)，0,2，y=ca2cos(1-3sin2).当y=0时，即方程1-3sin2=0的解为sin=13与sin=-13(舍)，在0,2内，所以函数y=f()在sin=13取极大值，也是最大值.由sin=13，得cos=23，得tan=12=xa，所以x=a2，即当电灯与o点距离为a2时，点a的照度y为最大.【一题多解】设ob=x，则sin=xr，r=x2+a2，于是y=csinr2=cxr3=cx(x2+a2)32(x0)，y=ca2-2x2(x2+a2)52.当y=0时，即方程a2-2x2=0的根为x1=a2与x2=-a2(舍)，在0，+)内，所以函数y=f(x)在x=a2取极大值，也是最大值.即当电灯与o点距离为a2时，点a的照度y为最大.21.(12分)(2014长沙高二检测)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为s.求使s达到最大值的a，b值，并求s的最大值.【解析】由题设可知抛物线为凸形，它与x轴交点的横坐标分别为x1=0，x2=-ba，所以s=0-ba (ax2+bx)dx=16a2b3又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组x+y=4,y=ax2+bx,得ax2+(b+1)x-4=0，其判别式=0，即(b+1)2+16a=0.于是a=-116(b+1)2，代入式得：s(b)=128b33(b+1)4(b0)，s(b)=128b2(3-b)3(b+1)5；令s(b)=0，得b=3，且当0b0；当b3时，s(b)0.故在b=3时，s(b)取得极大值，也是最大值，即a=-1，b=3时，s取得最大值，且smax=92.22.(12分)(2013新课标全国卷)设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点p(0，2)，且在点p处有相同的切线y=4x+2.(1)求a，b，c，d的值.(2)若x-2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围.【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点p(0，2)，可将p(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点p处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数f(