全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题7 几何三大变换相关问题.doc

2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题7：几何三大变换相关问题.29. （2012黑龙江大庆9分）在直角坐标系中，c(2，3)，c(4，3)， c(2,1)，d(4，1)，a(0，)，b(，o)( 0). （1）结合坐标系用坐标填空 点c与c关于点 对称; 点c与c关于点 对称; 点c与d关于点 对称 （2）设点c关于点(4，2)的对称点是点p，若pab的面积等于5，求值【答案】解：（1）（1，3）；（2，2）；（1，2）。（2）点c关于点（4，2）的对称点p（6，1），pab的面积=（1+a）6a21（6a）=5，整理得，a27a+10=0，解得a1=2，a2=5。所以，a的值为2或5。【考点】网格问题，坐标与图形的对称变化，坐标与图形性质，三角形的面积。【分析】（1）根据对称的性质，分别找出两对称点连线的中点即可：由图可知，点c与c关于点（1，3）对称； 点c与c关于点（2，2）对称；点c与d关于点（1，2）对称。（2）先求出点p的坐标，再利用apb所在的梯形的面积减去两个直角三角形的面积，然后列式计算即可得解。30. （2012湖南怀化10分）如图1，四边形abcd是边长为的正方形，长方形aefg的宽,长将长方形aefg绕点a顺时针旋转15得到长方形amnh (如图2)，这时bd与mn相交于点o（1）求的度数；（2）在图2中，求d、n两点间的距离；（3）若把长方形amnh绕点a再顺时针旋转15得到长方形artz,请问此时点b在矩形artz的内部、外部、还是边上？并说明理由图1 图2【答案】解：（1）如图，设ab与mn相交于点k，根据题意得：bam=15， 四边形amnh是矩形，m=90。akm=90bam=75。bko=akm=75。，四边形abcd是正方形，abd=45。dom=bko+abd=75+45=120。（2）连接an，交bd于i，连接dn，nh=，ah=，h=90，。han=30。an=2nh=7。由旋转的性质：dah=15，dan=45。dac=45，a，c，n共线。四边形abcd是正方形，bdac。ad=cd=，。ni=anai=73=4。在rtdin中，。（3）点b在矩形artz的外部。理由如下：如图，根据题意得：bar=15+15=30。r=90，ar= ，。，ab= 。点b在矩形artz的外部。【考点】旋转的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，实数的大小比较。【分析】（1）由旋转的性质，可得bam=15，即可得okb=aom=75，又由正方形的性质，可得abd=45，然后利用外角的性质，即可求得dom的度数。（2）首先连接am，交bd于i，连接dn，由特殊角的三角函数值，求得han=30，又由旋转的性质，即可求得dan=45，即可证得a，c，n共线，然后由股定理求得答案。（3）在rtark中，利用三角函数即可求得ak的值，与ab比较大小，即可确定b的位置。31. （2012福建宁德13分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰abc中，abac，bac90，小敏将一块三角板中含45角的顶点放在点a处，从ab边开始绕点a顺时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线bc于点d，直角边所在的直线交直线bc于点e(1)小敏在线段bc上取一点m，连接am，旋转中发现：若ad平分mab，则ae也平分mac请你证明小敏发现的结论；(2)当045时，小敏在旋转的过程中发现线段bd、ce、de之间存在如下等量关系：bd2ce2de2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将abd沿ad所在的直线对折得到adf，连接ef(如图2)；小亮的方法：将abd绕点a逆时针旋转90得到acg，连接eg(如图3)请你从中任选一种方法进行证明；(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45135且90时，等量关系bd2ce2de2仍然成立现请你继续探究：当135180时(如图4)，等量关系bd2ce2de2是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由【答案】解：（1）证明：bac90，daedammae45，badeac45。 又ad平分mab，baddam。maeeac。 ae平分mac。 （2）证明小颖的方法： 将abd沿ad所在的直线对折得到adf， afab，afdb45，badfad。 又ac=ab，afac。 由（1）知，faecae。 在aef和aec中，af ac，faecae，aeae， aefaec（sas）。cefe，afec45。 dfeafd afe90。 在rtoce中，de2fe2de2，bd2ce2de2。（3）当135180时，等量关系bd2ce2de2仍然成立。证明如下： 如图，按小颖的方法作图，设ab与ef相交于点g。 将abd沿ad所在的直线对折得到adf， afab，afdabc45，badfad。 又ac=ab，afac。 又cae900bae900（45bad）45bad45fadfae。在aef和aec中，af ac，faecae，aeae， aefaec（sas）。cefe，afec45。又在agf和bge中，abcafe45，agfbge，fagbeg。又fdedef=fdefag（adbdab）abc90。dfe90。在rtoce中，de2fe2de2，bd2ce2de2。【考点】角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，三角形内角和定理。【分析】（1）由角平分线的定义，根据等腰直角三角形和旋转的性质，即可得出结论。 （2）小颖的方法是应用折叠对称的性质和sas得到aefaec，在rtoce中应用勾股定理而证明。 小亮的方法是将abd绕点a逆时针旋转90得到acg，根据旋转的性质用sas得到aceacg，从而在rtceg中应用勾股定理而证明。（3）当135180时，等量关系bd2ce2de2仍然成立。仿（2）证明即可。32. （2012福建龙岩13分）矩形abcd中，ad=5，ab=3，将矩形abcd沿某直线折叠，使点a的对应点a落在线段bc上，再打开得到折痕ef （1）当a与b重合时（如图1），ef= ；当折痕ef过点d时（如图2），求线段ef的长； （2）观察图3和图4，设ba=x，当x的取值范围是 时，四边形aeaf是菱形；在的条件下，利用图4证明四边形aeaf是菱形【答案】解：(1)5。 由折叠（轴对称）性质知ad=ad=5，a=ead=900。 在rtadc中，dc=ab=2， 。ab=bcac=54=1。 eabbea=eabfac=900， bea=fac。 又 b=c=900，rtebartacf。，即 。在rtaef中，。 （2）。 证明：由折叠（轴对称）性质知aef=fea，ae=ae，af=af。 又 adbc，afe=fea 。aef=afe 。 ae=af。ae=ae=af=af。 四边形aeaf是菱形。【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定。【分析】(1)根据折叠和矩形的性质，当a与b重合时（如图1），ef= ad=5。 根据折叠和矩形的性质，以及勾股定理求出ab、af和fc的长，由rtebartacf求得，在rtaef中，由勾股定理求得ef的长。 （2）由图3和图4可得，当时，四边形aeaf是菱形。 由折叠和矩形的性质，可得ae=ae，af=af。由平行和等腰三角形的性质可得ae=af。从而ae=ae=af=af。根据菱形的判定得四边形aeaf是菱形。33. （2012福建福州14分）如图，已知抛物线yax2bx(a0)经过a(3，0)、b(4，4)两点(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线ob向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点d，求m的值及点d的坐标；(3) 如图，若点n在抛物线上，且nboabo，则在(2)的条件下，求出所有满足podnob的点p的坐标(点p、o、d分别与点n、o、b对应)【答案】解：(1) 抛物线yax2bx(a0)经过点a(3，0)、b(4，4)，解得：。抛物线的解析式是yx23x。 (2) 设直线ob的解析式为yk1x，由点b(4，4)，得：44k1，解得k11。直线ob的解析式为yx。直线ob向下平移m个单位长度后的解析式为：yxm。点d在抛物线yx23x上，可设d(x，x23x)。又点d在直线yxm上， x23x xm，即x24xm0。抛物线与直线只有一个公共点， 164m0，解得：m4。此时x1x22，yx23x2。 d点坐标为(2，2)。 (3) 直线ob的解析式为yx，且a(3，0)，点a关于直线ob的对称点a的坐标是(0，3)。设直线ab的解析式为yk2x3，过点b(4，4)，4k234，解得：k2。直线ab的解析式是yx3。nboabo，点n在直线ab上。设点n(n，n3)，又点n在抛物线yx23x上， n3n23n，解得：n1，n24(不合题意，会去)。 点n的坐标为(，)。如图，将nob沿x轴翻折，得到n1ob1，则n1(，)，b1(4，4)。o、d、b1都在直线yx上。p1odnob，p1odn1ob1。 。点p1的坐标为(，)。将op1d沿直线yx翻折，可得另一个满足条件的点p2(，)。综上所述，点p的坐标是(，)或(，)。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，一元二次方程根的判别式，翻折对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可。(2) 根据已知可求出ob的解析式为yx，则向下平移m个单位长度后的解析式为：yxm。由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和d点坐标。(3) 综合利用几何变换和相似关系求解：翻折变换，将nob沿x轴翻折。（或用旋转）求出p点坐标之后，该点关于直线yx的对称点也满足题意，即满足题意的p点有两个。34. （2012福建泉州14分）如图，点o为坐标原点，直线绕着点a（0,2）旋转，与经过点c（0,1）的二次函数交于不同的两点p、q.（1）求h的值；（2）通过操作、观察算出poq面积的最小值（不必说理）；（3）过点p、c作直线，与x轴交于点b，试问：在直线的旋转过程中四边形aobq是否为梯形，若是，请说明理由；若不是，请指明其形状.【答案】解：（1）二次函数的图象经过c（0,1）， 。 （2）操作、观察可知当直线x轴时，其面积最小； 将y=2带入二次函数中，得， s最小=（24）2=4。（3）连接bq，若l与x轴不平行（如图），即pq与x轴不平行，依题意，设抛物线上的点p（a，）、q（b，）（a0b）。直线bc：y=k1x+1过点p，=ak1+1，得k1=。直线bc：y=x+1令y=0得：xb=过点a的直线l：y=k2x+2经过点p、q，。b-a得：，化简得：b=。点b与q的横坐标相同。bqy轴，即bqoa。又aq与ob不平行，四边形aobq是梯形。根据抛物线的对称性可得（a0b）结论相同。若l与x轴平行，由oa=2，bq=2，ob=2，aq=2，且aob=900，得四边形aobq是正方形。故在直线l旋转的过程中：当l与x轴不平行时，四边形aobq是梯形；当l与x轴平行时，四边形aobq是正方形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，旋转的性质，二次函数的性质，一次函数的运用，梯形和正方形的判定。【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标特征，利用待定系数法求得h的值。（2）操作、观察可得结论。实际上，由p（a，）、q（b，）（a0b），可求得b=（参见（3）。当即|a|=|b|（p、q关于y轴对称）时，poq的面积最小。即pqx轴时，poq的面积最小，且poq的面积最小为4。（3）判断四边形aobq的形状，可从四个顶点的坐标特征上来判断首先设出p、q的坐标，然后根据点p、c求出直线bc的解析式，从而表示出点b的坐标，然后再通过直线pq以及p、a、q三点坐标，求出q、b两点坐标之间的关联，从而判断该四边形是否符合梯形的特征。35. （2012辽宁丹东12分）已知：点c、a、d在同一条直线上，abc=ade=，线段 bd、ce交于点m（1）如图1，若ab=ac，ad=ae问线段bd与ce有怎样的数量关系？并说明理由；求bmc的大小（用表示）；（2）如图2，若ab= bc=kac，ad =ed=kae 则线段bd与ce的数量关系为 ，bmc= （用表示）；（3）在（2）的条件下，把abc绕点a逆时针旋转180，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 ec并延长交bd于点m.则bmc= （用表示）【答案】解：（1）如图1。 bd=ce，理由如下：ad=ae，ade=，aed=ade=，。dae=1802ade=1802。同理可得：bac=1802。dae=bac。dae+bae=bac+bae，即：bad=cae。在abd与ace中，ab=ac，bad=cae，ad=ae，abdace（sas）。bd=ce。abdace，bda=cea。bmc=mcd+mdc，bmc=mcd+cea=dae=1802。（2）如图2，bd=kce，。（3）作图如下：。【考点】相似三角形的判定和性质，全等角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，作图（旋转变换），旋转的性质【分析】（1）先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出dae=bac，则bad=cae，再根据sas证明abdace，从而得出bd=ce。先由全等三角形的对应角相等得出bda=cea，再根据三角形的外角性质即可得出bmc=dae=1802。（2）ad=ed，ade=，dae=。同理可得：bac=。dae=bac。dae+bae=bac+bae，即：bad=cae。ab=kac，ad=kae，ab：ac=ad：ae=k。在abd与ace中，ab：ac=ad：ae=k，bda=cea，abdace。bd：ce=ab：ac=ad：ae=k，bda=cea。bd=kce。bmc=mcd+mdc，bmc=mcd+cea=dae=。（3）先在备用图中利用sss作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出dae=bac=，由ab=kac，ad=kae，得出ab：ac=ad：ae=k，从而证出abdace，得出bda=cea，然后根据三角形的外角性质即可得出bmc=：ad=ed，ade=，dae=aed=。同理可得：bac=。dae=bac，即bad=cae。ab=kac，ad=kae，ab：ac=ad：ae=k。在abd与ace中，ab：ac=ad：ae=k，bad=cae，abdace。bda=cea。bmc=mcd+mdc，mcd=ced+ade=ced+，bmc=ced+cea=aed+=+=。36. （2012辽宁阜新12分）（1）如图，在abc和ade中，ab=ac，ad=ae，bac=dae=90当点d在ac上时，如图1，线段bd、ce有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图1中的ade绕点a顺时针旋转角（090），如图2，线段bd、ce有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由（2）当abc和ade满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段bd、ce在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由甲：ab：ac=ad：ae=1，bac=dae90；乙：ab：ac=ad：ae1，bac=dae=90；丙：ab：ac=ad：ae1，bac=dae90【答案】解：（1）结论：bd=ce，bdce。结论：bd=ce，bdce。理由如下：bac=dae=90，baddac=daedac，即bad=cae。在rtabd与rtace中，ab=ac，bad=cae ，ad=ae，abdace（sas）。bd=ce。延长bd交ac于f，交ce于h。在abf与hcf中，abf=hcf，afb=hfc，chf=baf=90。bdce。（2）结论：乙ab：ac=ad：ae，bac=dae=90。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。【分析】（1）bd=ce，bdce。根据全等三角形的判定定理sas推知abdace，然后由全等三角形的对应边相等证得bd=ce、对应角相等abf=eca；然后在abd和cdf中，由三角形内角和定理可以求得cfd=90，即bdcf。bd=ce，bdce。根据全等三角形的判定定理sas推知abdace，然后由全等三角形的对应边相等证得bd=ce、对应角相等abf=eca；作辅助线（延长bd交ac于f，交ce于h）bh构建对顶角abf=hcf，再根据三角形内角和定理证得bhc=90。（2）根据结论、的证明过程知，bac=dfc（或fhc=90）时，该结论成立了，所以本条件中的bac=dae90不合适。37. （2012辽宁铁岭12分）已知abc是等边三角形（1）将abc绕点a逆时针旋转角（0180），得到ade，bd和ec所在直线相交于点o 如图a，当=20时，abd与ace是否全等？ （填“是”或“否”），boe= 度；当abc旋转到如图b所在位置时，求boe的度数；（2）如图c，在ab和ac上分别截取点b和c，使ab=ab，ac=ac，连接bc，将abc绕点a逆时针旋转角（0180），得到ade，bd和ec所在直线相交于点o，请利用图c探索boe的度数，直接写出结果，不必说明理由【答案】解：（1）是； 120。由已知得：abc和ade是全等的等边三角形，ab=ad=ac=ae。ade是由abc绕点a旋转得到的，bad=cae=。badcae（sas）。adb=aec。adb+abd+bad=180，aec+abo+bad=180。abo+aec+bae+boe=360，bae=bad+dae，dae+boe=180。又dae=60，boe=120。（2）当030时，boe =30，当30180时，boe=120。【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形和多边形内角和定理，等边三角形的性质。【分析】（1）ade是由abc绕点a旋转得到，abc是等边三角形。ab=ad=ac=ae，bad=cae=20，在abd与ace中，ab=ac，bad=cae，ad=ae，abdace（sas）。=20，abd=aec=（18020）=80。又bae=+bac=20+60=80，在四边形aboe中，boe=360808080=120。利用“sas”证明bad和cae全等，根据全等三角形对应角相等可得adb=aec，再利用四边形aboe的内角和等于360推出boe+dae=180，再根据等边三角形的每一个角都是60得到dae=60，从而得解。（2）如图，ab=ab，ac=ac，。bcbc。abc是等边三角形，abc是等边三角形。根据旋转变换的性质可得ad=ae，bad=cae。在abd和ace中，ab=ac，bad=cae，ad=ae，abdace（sas）。abd=ace。boc=180（obc+ocb）=180（obc+acb+ace）=180（obc+acb+abd）=180（acb+abc）=180（60+60）=60。当030时，boe=boc=30，当30180时，boe=180boc=18060=120。38. 已知，在abc中，ab=ac。过a点的直线a从与边ac重合的位置开始绕点a按顺时针方向旋转角，直线a交bc边于点p（点p不与点b、点c重合），bmn的边mn始终在直线a上（点m在点n的上方），且bm=bn，连接cn。（1）当bac=mbn=90时，如图a，当=45时，anc的度数为_；如图b，当45时，中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图c，当bac=mbn90时，请直接写出anc与bac之间的数量关系，不必证明。【答案】解：（1）450。 不变。理由如下 过b、c分别作bdap于点d，ceap于点e。 bac =90，badeac=90。 bdap，adb =90。abdbad=90。 abd=eac。 又ab=ac，adb =cea=90，adbcea（aas）。 ad=ec，bd=ae。 bd是等腰直角三角形nbm斜边上的高，bd=dn，bnd=45。bn=bd=ae。dnde=aede，即ne=ad=ec。nec =90，anc =45。（3）anc =90bac。【考点】等腰（直角）三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，圆周角定理。【分析】（1）bm=bn，mbn=90，bmn=bnm=45。 又can=45，bmn=can。 又ab=ac，an=an，bmncan（sas）。anc=bnm=45。 过b、c分别作bdap于点d，ceap于点e。通过证明adbcea从而证明cen是等腰直角三角形即可。 （2）如图，由已知得： =18002abc1（ab=ac） =1800261（bac=mbn，bm=bn） =（180021）6 =3456（三角形内角和定理） =656=5（34=abc=6）。 点a、b、n、c四点共圆。 anc =abc =90bac。39. （2012四川南充8分）在rtpoq中，op=oq=4,m是pq中点，把一三角尺的直角顶点放在点m处，以m为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与poq的两直角边分别交于点a、b，(1)求证：ma=mb(2)连接ab，探究：在旋转三角尺的过程中，aob的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。【答案】解：（1）证明：连接om 。 rtpoq中，op=oq=4，m是pq的中点， pq=4，om=pm=pq=2，pom=bom=p=450 。 pma+amo=omb+amo，pma=omb。pmaomb（asa）。 ma=mb。(2) aob的周长存在最小值。理由如下:pmaomb ， pa=ob。 oa+ob=oa+pa=op=4。令oa=x， ab=y，则y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+88。当x=2时y2有最小值8，从而 y的最小值为2。aob的周长存在最小值，其最小值是4+2。【考点】直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）连接om，证pma和omb全等即可。(2) 先计算出op=oa+ob=oa+pa=4，再令oa=x，ab=y，则在rtaob中，利用勾股定理得y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8求出最值即可。40. （2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线yax2bx3的顶点为m（2，1），交x轴于a、b两点，交y轴于点c，其中点b的坐标为（3，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）设经过点c的直线与该抛物线的另一个交点为d，且直线cd和直线ca关于直线bc对称，求直线cd的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点p，满足pm2pb2pc235，求点p的坐标；并直接写出此时直线op与该抛物线交点的个数。【答案】解：（1）抛物线yax2bx3的顶点为m（2，1）， 设抛物线的解析式为线。 点b（3，0）在抛物线上，解得。 该抛物线的解析式为，即。（2）在中令x=0，得。c（0，3）。 ob=oc=3。abc=450。 过点b作bnx轴交cd于点n（如图）， 则abc=nbc=450。 直线cd和直线ca关于直线bc对称， acb=ncb。 又cb=cb，acbncb（asa）。 bn=ba。 a，b关于抛物线的对称轴x=2对称，b（3，0），a（1，0）。bn=ba=2。n（3，2）。设直线cd的解析式为，c（0，3），n（3，2）在直线cd上，解得，。直线cd的解析式为。（3）设p（2，p）。 m（2，1），b（3，0），c（0，3）， 根据勾股定理，得，。 pm2pb2pc235，。 整理，得，解得。 p（2，2）或（2，）。 当p（2，2）时，直线op与该抛物线无交点；当p（2，）时，直线op与该抛物线有两交点。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，所以可设抛物线的顶点式，用待定系数法求解。 （2）由直线cd和直线ca关于直线bc对称，构造全等三角形：过点b作bnx轴交cd于点n，求出点n的坐标，由点b，n