19正余弦定理.doc

江苏省2014届一轮复习数学试题选编9：正余弦定理填空题 已知为的外心,若,则等于_.【答案】; 在平面直角坐标系xOy中,设,B,C是函数图象上的两点,且ABC为正三角形,则ABC的高为_.【答案】2 若点G为的重心,且AGBG,则的最大值为_.【答案】 在锐角中,若,则的取值范围是_. 【答案】 若已知,则的最小值为_.【答案】 在ABC中,则=_.【答案】; 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=1,A=60,c=,则ABC的面积为_.【答案】 已知的三边长a,b,c成等差数列,且,则实数b的取值范围是_【答案】 如图,在ABC中,B=45,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为_.ABDC（第9题）【答案】 在中,内角、的对边分别为、,已知,则_.【答案】 在中,角所对边的长分别为,且,则_. 【答案】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则A=_._【答案】 在ABC中,若_.【答案】 在ABC中,A=45o,C=105o,BC=,则AC的长度为_.【答案】1 已知三角形的一边长为5,所对角为,则另两边长之和的取值范围是_.【答案】 ; 在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,则_【答案】4 解答题在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且ccosB+bcosC=3acosB.(1)求cosB的值;(2)若=2,求b的最小值.【答案】解:(1)因为ccosB+bcosC=3acosB, 由正弦定理,得sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB, 即sin(B+C)=3sinAcosB 又sin(B+C)=sinA0,所以cosB= (2)由=2,得accosB=2,所以ac=6 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB2ac-ac=8,当且仅当a=c时取等号, 故b的最小值为2 已知的面积为,角的对边分别为,.求的值;若成等差数列,求的值.【答案】由,得,即 代入,化简整理得, 由,知,所以 由及正弦定理,得, 即, 所以. 由及,得, 代入,整理得. 代入,整理得, 解得或. 因为,所以 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=5,b=4,cos(A-B)=. () 求sin B的值;() 求cos C的值.【答案】 如图,在中,角的平分线交于点,设,.(1)求和;(2)若,求的长.【答案】 已知ABC的内角A的大小为120,面积为.(1)若AB,求ABC的另外两条边长;(2)设O为ABC的外心,当时,求的值.【答案】【解】(1)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,于是,所以bc=4 因为,所以.由余弦定理得 (2)由得,即,解得或4 设BC的中点为D,则, 因为O为ABC的外心,所以,于是 所以当时,;当时, 在,已知(1)求角值;(2)求的最大值.【答案】因为, 由正弦定理,得, 所以,所以, 因为,所以 由,得,所以 , 因为,所以, 当,即时,的最大值为 在ABC中,角A、B、C所对应的边分别为(1)若 求A的值;(2)若,求的值.【答案】【命题立意】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形等基础知识,考查运算求解能力. 【解析】(1)由题设知,.从而,所以,.因为,所以.(2)由及,得. 故是直角三角形,且.所以. 设的内角所对的边分别为.已知,.求边的长;求的值.【答案】由,得 因为,所以, 所以, 所以 因为, 所以, 所以, 因为,所以,故为锐角,所以, 所以 在ABC中,角,所对的边分别为,c.已知.(1)求角的大小;(2)设,求T的取值范围.【答案】解:(1)在ABC中, , 因为,所以, 所以, 因为,所以, 因为,所以 (2) 因为,所以, 故,因此, 所以 在中,角所对的边分别是,若.(1)求角的大小;(2)若,求的面积.【答案】解:(1)由题意,得 所以 (2)因为,所以 所以 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,且C=120.(1)求角A;(2)若a=2,求c.【答案】解:由余弦定理,得:sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB-sinCcosA sinAcosC+sinCcosA=sinCcosB+sinBcosC sin(A+C)=sin(B+C) sinB=sinA B=A=30 a=2,则b=2 c=a+b-2abcosC=4+4-222(-)=12 c=2 某观测站C在城A的南偏西25的方向上,由A城出发有一条公路,走向是南偏东50,在C处测得距C为km的公路上B处,有一人正沿公路向A城走去,走了12 km后,到达D处,此时C、D间距离为12 km,问这人还需走多少千米到达A城?ABCD250500【答案】解:根据题意得,BC=km,BD=12km,CD=12km,CAB=75, 设ACD=,CDB= 在CDB中,由余弦定理得 ,所以 于是 在ACD中,由正弦定理得 答:此人还得走km到达A城 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若cos(A+)=sinA,求A的值;(2)若cosA=,4b=c,求sinB的值.【答案】如图,在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在上设立了A、B两个报名点,满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米.公司拟按以下思路运作:先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A、B两点),然后乘同一艘游轮前往C岛.据统计,每批游客A处需发车2辆,B处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2元,游轮每千米耗费12元.设,每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元.写出S关于的函数表达式,并指出的取值范围;问中转点D距离A处多远时,S最小?【答案】解: (1)由题在中,. 由正弦定理知,得 (2),令,得 当时,;当时,当时取得最小值 此时, 中转站距处千米时,运输成本最小 已知函数.(1)求的最小正周期;(2)在中,分别是A、B、C的对边,若,的面积为,求的值.【答案】解:(1) (2)由, 又的内角, , , , 在中,角,的对边分别是,且,成等差数列.(1)若,求的值;(2)求的取值范围.【答案】 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=5,b=4,cos(A-B)=. () 求sin B的值;() 求cos C的值.【答案】 已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,且acosC+ccosA=2bcosB. (1)求角B的大小;(2)求sinA+sinC的取值范围.【答案】解:(1)方法一:由acosC+ccosA=2bcosB及余弦定理,得 a+c=2b 化简,得a2+c2-b2=ac. 所以cosB= 因为B(0,), 所以B= 方法二:由acosC+ccosA=2bcosB及正弦定理,得 sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB 即sin(A+C)=2sinBcosB, 因为A+B+C=,所以sin(A+C)=sinB0, 所以cosB= 因为B(0,), 所以B= (2)sinA+sinC=sinA+sin(-A)=sinA+cosA =sin(A+) 因为0A,所以A+, 所以sin(A+)1, 所以sinA+sinC的范围是(, 中,三个内角成等差数列. (1)若,求;(2)求的最大值.【答案】解:(1) 成等差数列, , 又, , 又, , 由正弦定理得:, 所以; (2)设角的对边为,由余弦定理得: , 即, 又,当且仅当时取到等号, 所以 所以, 所以的最大值是 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.(1)求角C的大小;(2)若ABC的外接圆直径为1,求的取值范围.【答案】解:(1)因为,即, 所以, 即 , 得 所以,或(不成立). 即 , 得 (2)由. 因, 故 = ,故 本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识,涉及两角和与差的三角公式、正余弦定理等.讲评时,应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略,同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用,例如两边之和大于第三边,sin(A+B)=sinC,面积公式及等积变换等. (2)法一:由. 因, 故 =. ,故. 法二:由正弦定理得:. 由余弦定理得:,故. 因为,所以. 又,故,得. 因此,. 如图,现有一个以AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在弧AB上取不同于A、B的点C,用渔网沿着弧AC(弧AC在扇形AOB的弧AB上)、半径OC和线段CD(其中CDOA),在该扇形湖面内隔出两个养殖区域养殖区域和养殖区域.若OA=1km,AOB=.求所需渔网长度(即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围.OABOABCD养殖区域养殖区域【答案】解:设AOC=,设渔网的长度为f(). 由CDOA,AOB=,AOC=,得OCD=,ODC=,COD=-. 在OCD中,由正弦定理,得CD=sin(-),(0,) 所以,f()=+1+sin(-) f ()=1-cos(-),因为(0,),所以-(0,), 令f ()=0,得cos(-)=,所以-=,所以=.(0,)(,)f ()+0-f()极大值所以f()(2,. 答:所需渔网长度的取值范围是(2, 设,满足,()求函数的单调递增区间;()设三内角所对边分别为且,求在上的值域.【答案】解:() 由 因此 令得 故函数的单调递增区间 ()由余弦定理知: 即, 又由正弦定理知: 即,所以 当时, 故在上的值域为 已知中,角,的对边分别为,且,.(1)若,求;(2)若,求的面积.【答案】 在中,已知角A,B,C所对的边分别为,且,(1)求B; (2)若,求的值.【答案】 已知,内角所对