高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修12.ppt

第二章 推理与证明 2 2直接证明与间接证明2 2 2反证法 学习目标 1 了解反证法是间接证明的一种基本方法 2 理解反证法的思考过程 会用反证法证明数学问题 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题 这种说法对吗 为什么 答这种说法是错误的 反证法是先否定命题 然后再证明命题的否定是错误的 从而肯定原命题正确 不是通过逆否命题证题 命题的否定与原命题是对立的 原命题正确 其命题的否定一定不对 2 反证法主要适用于什么情形 答 要证的结论与条件之间的联系不明显 直接由条件推出结论的线索不够清晰 如果从正面证明 需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明 只要研究一种或很少的几种情形 预习导引 1 反证法定义假设原命题 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 这种证明方法叫做反证法 2 反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与矛盾 或与矛盾 或与矛盾等 不成立 假设错误 原命题成立 已 知条件 假设 定义 公理 定理 事实 3 反证法中常用的 结论词 与 反设词 如下 至多有一个 n 一个也没有 n 1 任意 某个 一定是 且 不都是 且 x y 0 1 x 2y 1 y 2x 2 x y 2 x y 即x y 2与已知x y 2矛盾 规律方法对于含有 至多 至少 的命题适合用反证法 对于此类问题 需仔细体会 至少有一个 至多有一个 等字眼的含义 弄清结论的否定是什么 避免出现证明遗漏的错误 跟踪演练1已知a b c d r 且a b c d 1 ac bd 1 求证 a b c d中至少有一个是负数 证明假设a b c d都是非负数 a b c d 1 a b c d 1 又 a b c d ac bd ad bc ac bd ac bd 1 这与已知ac bd 1矛盾 a b c d中至少有一个是负数 要点二用反证法证明不存在 唯一性命题例2求证对于直线l y kx 1 不存在这样的实数k 使得l与双曲线c 3x2 y2 1的交点a b关于直线y ax a为常数 对称 证明假设存在实数k 使得a b关于直线y ax对称 设a x1 y1 b x2 y2 则有 1 直线l y kx 1与直线y ax垂直 2 点a b在直线l y kx 1上 3 线段ab的中点在直线y ax上 所以 当k2 3时 l与双曲线仅有一个交点 不合题意 由 得a x1 x2 k x1 x2 2 所以假设不成立 故不存在实数k 使得a b关于直线y ax对称 规律方法证明 唯一性 问题的方法 唯一性 包含 有一个 和 除了这个没有另外一个 两层意思 证明后一层意思时 采用直接证法往往会相当困难 因此一般情况下都采用间接证法 即用反证法 假设 有另外一个 推出矛盾 或同一法 假设 有另外一个 推出它就是 已知那一个 证明 而用反证法有时比用同一法更方便 跟踪演练2求证 过一点只有一条直线与已知平面垂直 已知 平面 和一点p 求证 过点p与 垂直的直线只有一条 证明如图所示 不论点p在 内还是在 外 设pa 垂足为a 或p 假设过点p不止有一条直线与 垂直 如还有另一条直线pb 设pa pb确定的平面为 且 a 于是在平面 内过点p有两条直线pa pb垂直于a 这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾 假设不成立 原命题成立 p q r n p r 这与p r矛盾 所以数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 规律方法 1 当结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题 此类问题的反面比较具体 适于应用反证法 例如证明异面直线 可以假设共面 再把假设作为已知条件推导出矛盾 2 反证法必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 故方程f x 0没有负数根 1 证明 在 abc中至多有一个直角或钝角 第一步应假设 a 三角形中至少有一个直角或钝角b 三角形中至少有两个直角或钝角c 三角形中没有直角或钝角d 三角形中三个角都是直角或钝角 b 1 2 3 4 5 2 用反证法证明 三角形中至少有一个内角不小于60 应先假设这个三角形中 a 有一个内角小于60 b 每一个内角都小于60 c 有一个内角大于60 d 每一个内角都大于60 b 1 2 3 4 5 3 abc a bd a b或a b d 1 2 3 4 5 4 用反证法证明 在同一平面内 若a c b c 则a b 时 应假设 a a不垂直于cb a b都不垂直于cc a bd a与b相交 d 1 2 3 4 5 5 已知a是整数 a2是偶数 求证a也是偶数 证明 反证法 假设a不是偶数 即a是奇数 设a 2n 1 n z 则a2 4n2 4n 1 4 n2 n 是偶数 4n2 4n 1是奇数 这与已知a2是偶数矛盾 由上述矛盾可知 a一定是偶数 1 2 3 4 5 课堂小结1 反证法证明的基本步骤 1 假设命题结论的反面是正确的 反设 2 从这个假设出发 经过逻辑推理 推出与已知条件 公理 定义 定理 反设及明显的事实矛盾 推谬 3 由矛盾判定假设不正确 从而肯定原命题的结论是正确的 结论 2 用反证法证题要把握三点 1 必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能 要逐一论证 缺少任何一种可能 证明都是不全面的 2 反证法必须从否