高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第45讲 立体几何中的向量方法(二)—求空间角和距离课件 理.ppt

立体几何 第七章 第45讲立体几何中的向量方法 二 求空间角和距离 栏目导航 1 两条异面直线所成角的求法 设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 a 60 5 p是二面角 ab 棱上一点 分别在平面 上引射线pm pn 如果 bpm bpn 45 mpn 60 那么二面角 ab 的大小为 90 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 1 选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系 2 确定异面直线上两个点的坐标 从而确定异面直线的方向向量 3 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值 4 两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值 一求异面直线所成的角 二求直线与平面所成的角 利用向量法求线面角的方法 1 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所成的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 解析 1 交线围成的正方形ehgf如图 三求二面角 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 例3 如图所示 在多面体a1b1d1 abcd中 四边形aa1b1b add1a1 abcd均为正方形 e为b1d1的中点 过a1 d e的平面交cd1于点f 1 证明 ef b1c 2 求二面角e a1d b1的余弦值 解析 1 证明 由正方形的性质可知a1b1 ab dc 且a1b1 ab dc 所以四边形a1b1cd为平行四边形 从而b1c a1d 又a1d 面a1de b1c 面a1de 于是b1c 面a1de 又b1c 面b1cd1 面a1de 面b1cd1 ef 所以ef b1c 四求空间距离 求点面距一般有以下三种方法 作点到面的垂线 点到垂足的距离即为点到平面的距离 等体积法 向量法 其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便 1 如右图所示正方体abcd a b c d 已知点h在a b c d 的对角线b d 上 hda 60 求dh与cc 所成角的大小 2 2017 山东模拟 如图 在直棱柱abcd a1b1c1d1中 ad bc bad 90 ac bd bc 1 ad aa1 3 1 证明 ac b1d 2 求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值 4 如图所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 bac 90 ab ac aa1 1 p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点 且pb1 平面bda1 1 求证 cd c1d 2 求二面角a a1d b的平面角的余弦值 3 求点c到平面b1dp的距离 错因分析 两个方向向量的夹角与空间中直线 平面的夹角是不完全相同的 如两个相交平面的法向量的夹角与这两个平面构成的二面角相等或互补 线面角与平面的法向量和直线的方向向量的夹角是互余的 易错点混淆向量的夹角与直线平面两元素的夹角的概念 例1 2014 天津卷 如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ad ab ab dc ad dc ap 2 ab 1 点e为棱pc的