高三数学 知识点精析精练20 圆锥曲线.doc

2014高三数学知识点精析精练20：圆锥曲线【复习要点】圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.【例题】【例1】 若椭圆=1(ab0)与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点p(a,b)的存在区域.解：由方程组消去y,整理得(a2+b2)x22a2x+a2(1b2)=0则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程在区间(0，1）内有两相异实根，令f(x)=(a2+b2)x22a2x+a2(1b2),则有同时满足上述四个条件的点p(a,b)的存在区域为下图所示的阴影部分：【例2】 已知圆k过定点a(a,0)(a0),圆心k在抛物线c：y2=2ax上运动，mn为圆k在y轴上截得的弦.(1)试问mn的长是否随圆心k的运动而变化？(2)当|oa|是|om|与|on|的等差中项时，抛物线c的准线与圆k有怎样的位置关系？解：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,圆k的半径r=|ak|=|mn|=2=2a(定值)弦mn的长不随圆心k的运动而变化.(2)设m(0,y1)、n(0,y2)在圆k：(xx0)2+(yy0)2=x02+a2中，令x=0，得y22y0y+y02a2=0y1y2=y02a2|oa|是|om|与|on|的等差中项.|om|+|on|=|y1|+|y2|=2|oa|=2a.又|mn|=|y1y2|=2a|y1|+|y2|=|y1y2|y1y20，因此y02a20,即2ax0a20.0x0.圆心k到抛物线准线距离d=x0+a,而圆k半径r=a.且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.【例3】 如图，已知椭圆=1(2m5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为a、b、c、d，设f(m)=|ab|cd|(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值.解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m1,c2=a2b2=1椭圆的焦点为f1(1,0),f2(1,0).故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=,即x=m.a(m,m+1),d(m,m+1)考虑方程组,消去y得：(m1)x2+m(x+1)2=m(m1)整理得：(2m1)x2+2mx+2mm2=0=4m24(2m1)(2mm2)=8m(m1)22m5,0恒成立，xb+xc=.又a、b、c、d都在直线y=x+1上|ab|=|xbxa|=(xbxa),|cd|=(xdxc)|ab|cd|=|xbxa+xdxc|=|(xb+xc)(xa+xd)|又xa=m,xd=m,xa+xd=0|ab|cd|=|xb+xc|=|= (2m5)故f(m)=，m2,5.(2)由f(m)=，可知f(m)= 又222f(m)故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5.【例4】 舰a在舰b的正东6千米处，舰c在舰b的北偏西30且与b相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻a发现动物信号，4秒后b、c同时发现这种信号，a发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰a发射炮弹的方位角和仰角应是多少？解：取ab所在直线为x轴，以ab的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，a、b、c舰的坐标为(3，0)、(3，0)、(5，2).由于b、c同时发现动物信号，记动物所在位置为p，则|pb|=|pc|.于是p在线段bc的中垂线上，易求得其方程为x3y+7=0.又由a、b两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|pb|pa|=4，故知p在双曲线=1的右支上.直线与双曲线的交点为(8，5)，此即为动物p的位置，利用两点间距离公式，可得|pa|=10.据已知两点的斜率公式，得kpa=,所以直线pa的倾斜角为60,于是舰a发射炮弹的方位角应是北偏东30.设发射炮弹的仰角是，初速度v0=，则,sin2=,仰角=30.【例5】 抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p0).一光源在点m(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点p，折射后又射向抛物线上的点q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：2x4y17=0上的点n，再折射后又射回点m(如下图所示)(1)设p、q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明：y1y2=p2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点m关于pn所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线pq必过抛物线的焦点f(，0)，设直线pq的方程为y=k(x) 由式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2yp2=0,由韦达定理，y1y2=p2.当直线pq的斜率角为90时，将x=代入抛物线方程，得y=p,同样得到y1y2=p2.(2)解：因为光线qn经直线l反射后又射向m点，所以直线mn与直线qn关于直线l对称，设点m(，4)关于l的对称点为m(x,y)，则解得直线qn的方程为y=1,q点的纵坐标y2=1，由题设p点的纵坐标y1=4，且由(1)知：y1y2=p2,则4(1)=p2,得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x.(3)解：将y=4代入y2=4x,得x=4，故p点坐标为(4，4)将y=1代入直线l的方程为2x4y17=0,得x=,故n点坐标为(，1)由p、n两点坐标得直线pn的方程为2x+y12=0,设m点关于直线np的对称点m1(x1,y1)又m1(,1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点(，1)与点m关于直线pn对称.【例6】 从椭圆（），上一点m向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点f1，且它的长轴端点a及短轴端点b的连线ab平行于om，(1) 求椭圆的离心率。(2) q为椭圆上任意一点，f2为右焦点，求f1qf2的取值范围。(3) 当qf2ab时，延长qf2与椭圆交于另一点p，若f1pq面积为，求此时椭圆的方程。yqm解：（1）e=。b（2）设|qf1|=m，|qf2|=n，f1qf2=，xaf2of1则m+n=2a，|f1f2|=2c，在f1qf2中，p=0（当且仅当m=n时，等号成立）01，故0,。（3）b=c，a=，椭圆方程为，又pqab，可设直线pq的方程为：，代入椭圆方程得：|pq|，又f1到pq的距离d，sabc=。由题意可得：，解得=25，椭圆方程为：【例7】 已知过定点a（0，p）（p0），圆心在抛物线x2=2py上运动，mn为圆在x轴上所得的弦，令|am|=d1，|an|=d2.当点运动时，|mn|是否有变化?并证明你的结论;求的最大值,并求取得最大值的值.解：（1）设则的方程为(xx0)2+(yy0)2=x02+(y0p)2 令y=0，并把x02=2py0 代入得x22x0x+x02p2=0 解得xm=x0pxn=x0+p |mn|=|xnxm|=2p为定值（2）m(x0p0，0)，n(x0+p0，0) 则当且仅当x02=2p2，即x0=，y0=p时等号成立 的最大值为2 ，（b为mn中点）又 为等腰直角三角形。，则。【例8】 椭圆中心是坐标原点o，焦点在x轴上，过椭圆左焦点f的直线交椭圆于p，q两点，且.求椭圆离心率e的取值范围。解：，当pqx轴时，f（c , 0）， |of|=|fp|即； 当pq不垂直x轴时，设得 设，即 亦即 解得 ，又，得解得 综合上述情况得e的范围是. 【例9】 在直角坐标系中，两个顶点c、a的坐标分别为（0，0）、，三个内角a、b、c满足.（i）求顶点b的轨迹方程；（ii）过顶点c作倾斜角为的直线与顶点b的轨迹交于p、q两点，当时，求面积的最大值.解：（）设abc的三个内角a、b、c所对的边分别为a、b、c.由正弦定理 a+c=4，即|bc|+|ba|=4.由椭圆定义知，b点轨迹是以c、a点为焦点，长轴长为4，中心在（）的椭圆.b点轨迹方程为（）设直线pq的方程为由得，设方程两根为则点a到直线pq的距离（），当且仅当时，即时，等号成立，的最大值为2.【例10】 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率（）求椭圆方程；（）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点m、n，且组段mn中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围.解：（）设椭圆方程为.由已知，由解得a=3，为所求（）设直线l的方程为y=kx+b(k0)解方程组将代入并化简，得由于k0化简后，得将代入化简后，得 解得由已知，倾斜角不等于l倾斜角的取值范围是【例11】 椭圆中心是坐标原点o，集点在x轴上，过椭圆左焦点f的直线交椭圆于p，q两点，且.求椭圆离心率e的取值范围。（21）解：当pqx轴时，f（c , 0）， |of|=|fp|即 当pq不垂直x轴时，设得 设，即 亦即 解得 ，又，得解得 综合上述情况得e的范围是. 【例12】 已知曲线c: x2y2 = 1及直线l: y = kx1()若l与c有两个不同的交点, 求实数k的取值范围。()若l与c交于a、b两点, o是坐标原点, 且oab的面积为, 求实数k的值。解：()曲线c与直线l有两个不同交点,则方程组有两个不同的解代入整理得：(1k2)x2 + 2kx2 = 0此方程必有两个不等的实根x1, x2解得时, 曲线c与直线l有两个不同的交点。()设交点a(x1, y1), b(x2, y2), 直线l与y轴交于点d(0, 1)即解得k = 0或k = 0或时, aob面积为【例13】 如图，已知线段ab=4，动圆与线段ab切于点c，且acbc=，过点a，b分别作的切线，两切线相交于p，且p，均在ab的同侧. （1）建立适当坐标系，当位置变化时，求动点p的轨迹e的方程；obpac （2）过点b作直线l交曲线e于点m，n，求amn面积的最小值.解：（1）以ab所在直线为x轴，线段ab的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设点p为（x，y），pa，pb分别切o于e，f，则|pe|=|pf|，|ae|=|ac|，|bc|=|bf|，又|ac|bc|=|pa|bp|=，故点p的轨迹e为以a，b为焦点，实轴长为2的双曲线右支（除去与x轴交点），由题意知，a=，c=2，则b2=2.故p点轨迹e的方程为：（2）设直线l的方程为：联立方程组（ctg21）y2+4ctgy+2=0.设m（x1，y1），n（x2，y2），则，而函数上单调递增，故当取得最小值，最小值为.【例14】 已知抛物线方程为2p（x1）(p)，直线xyt与x轴的交点在抛物线的准线的右边。()求证：直线和抛物线总有两个交点；()设直线与抛物线的交点为a、b，且oaob，求p关于t的函数f（t）的表达式；()在()的条件下，若t变化使得原点o到直线ab的距离不大于，求p的取值范围解：()证明：抛物线的准线的方程为直线xyt与x轴的交点(t，)在准线的右边t1，即4tp4(2分) 由 得x2(2t+p)x+t2p=0 p，4tp40(2t+p)24(t2p)p（4tp4）直线与抛物线总有两个交点(4分)()解：设a的坐标为（x，y），b的坐标为（x2，y2），则x1，x2是方程的两个根，由韦达定理得x1x22tp，x1x2tpoaob，koakob1,即x1x2+y1y2=0又a、b在直线xyt上，y1tx1，y2tx2y（tx1）（tx2）t（x1x2）tx1x2x1x2y1y2=2（tp）t（2tp）t（2）p=又p，4tp4 p= t（2，）（，）p关于的函数表达式为pf（t）,（2，）（，）(9分)()解：原点到直线xyt的距离不大于，1t又（）中t2且t t1，（，1）又（）=(t+2)+令t2或1，2（2，3）f（u）4在1，2上为减函数，在（2，3）上是增函数f（u）取值范围为（，1），即p（，1） 【例15】 中心在原点，顶点a1、a2（a2为右顶点）在x轴上，离心率e的双曲线过p(6，6)，动直线l过a1pa2的重心g，且与双曲线交于不同的两点m、n，设mn的中点为q，求：()双曲线方程；()是否存在直线l，使qa2pa2，若存在求出直线l的斜率k，若不存在说明理由解：（）依题意设双曲线c为（a，）由 又c过(6,6)点，得 得曲线c的方程为（）由(6,6)，a 1(3,0),a2(3,0)得假设符合要求的直线l存在，设即 代入c消y, 整理得由题知以上方程有两个不等的实根，即 整理得解之得 x1+ 整理得21 由得，即所求直线l存在,k l = 【例16】 已知直线l:y=kx+b与椭圆c：x2+=1交于a、b两点，m是线段ab的中点，o为坐标原点.（1）当直线l与x+y=0平行（不重合）时，求直线om的斜率；（2）如果|om|=1，证明：b2=；（3）在（2）的条件下，当线段ab的长度取最大值时，求直线的方程解：（1）kom=3(2)证明：将y=kx+b代入曲线方程得(k2+3)x2+2kbx+b2-3=0解出 m()由|om|=1化简得b2= (3)直线的方程为y=或y=- 【例17】 中，已知，且内角满足（1）建立适当的坐标系，求顶点a的轨迹方程；（2）若直线通过点b，且与顶点a的轨迹交于m、n两点，求的最小值解：（1）如图：取cb所在直线为x轴，cb的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系y a b x m nc o 由正弦定理可得：（定值）根据椭圆的定义可知：顶点a的轨迹是以c、b为焦点的椭圆，方程为：.（2）解法一由于m,n的变化是由直线l的运动引起的，所以，可以设法将表达成关于直线的斜率k的函数设过点b的直线的方程为：，点m、n的坐标分别为：则由消去，得显然，求出点m,n的坐标是不可取的但很容易得到下面的式子：能否用来表示？这就涉及到椭圆的第二定义由（1）可知：椭圆的左准线为：所以，根据定义有：所以，所以，当时，取得最小值，为6解法二从另一个角度来思考这个问题，由于直线的标准参数方程中，的几何意义就是从定点出发的有向线段的数量，所以，我们可以考虑将转化为，同时利用直线的参数方程来解决问题设过点b的直线的方程为：（其中为参数，为直线的倾斜角），代入椭圆方程，得：所以，所以，根据椭圆定义：，所以， 所以，当且仅当，即直线方程为时，取得最小值，为6【例18】 已知双曲线的左右两焦点分别为，点m是双曲线右支上不重合于顶点的一点，设，若（1）求双曲线的离心率；（2）如果动点的坐标为，且有最小值15，求双曲线的方程解：（1）如果对三角公式较为熟悉，不难发现，实际上所以，要求双曲线的离心率，只需考虑如何用来表达即可设双曲线的实轴长为，焦距为，点p为的内心，过p作pn垂直于点n，则，又所以，所以，（2）的坐标适合方程，又 （等号当且仅当时取得） ，双曲线的方程为：【例19】 讨论圆与抛物线的位置关系解：圆是以为圆心，1为半径的圆，从草图不难发现，当时，圆与抛物线无公共点；当时，圆与抛物线相切；当时，圆与抛物线相交；而当时，圆与抛物线的关系则很难从图形上加以判断为此，我们需借助方程组的解的个数来加以说明把代入，整理得：（）此方程的判别式可以看到：当时，；当时，；当时，事实上，当时，的确有圆与抛物线相切；当时，圆与抛物线无公共点而当时，虽然有方程（）的，但圆与抛物线却并不总有公共点，也即判别式与方程组解的个数不等价造成这种情况的原因实际上是由于：在方程组转化为方程（）的过程中，忽略了条件事实上，方程组解的个数等于方程（）的非负解的个数综上，圆与抛物线的位置关系如下：当或时，圆与抛物线无公共点；当时，圆与抛物线相切（只有一个公共点）；当时，圆与抛物线相交（两个公共点）；当时，圆与抛物线相交（三个公共点）；当时，圆与抛物线相交（四个公共点）；当时，圆与抛物线相切（两个公共点）【例20】 已知椭圆，它的离心率为直线，它与以原点为圆心，以的短半轴为半径的圆相切（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左焦点为，左准线为动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点试点到圆上的点的最短距离解：（） 直线与以原点为圆心，以b为半径的圆相切又 椭圆的离心率为 椭圆的方程为（）由（）可得：椭圆的左焦点的坐标为，左准线的方程为：连接，则由抛物线的定义不难知道：点m的轨迹为以为焦点，以：为准线的抛物线，其方程为：所以，点到圆上的点的最短距离，实际上就是抛物线与圆上的点的最短距离下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这个问题解法一：首先，如果抛物线上点a与圆上点b之间距离最小，则ab必过圆心o（否则，连接ob、oa，设oa交圆于点n，则naoaobabab，即na0）.（1）在amb中，求使mba=2mab的顶点m的轨迹方程，并画出方程的曲线；（2）自古代开始，数学家就想只用圆规和直尺三等分任意角，但一直没有成功.直到十九世纪，其不可能性才被galois的方程论证明.但是若利用所求方程的曲线、圆规和直尺，则我们可以三等分任意角。请三等分图中的adb，并证明.解（1）如图，在amb中，点m只能在线段ab的垂直平分线的右边.设点m的坐标为那么点m在x轴上方时， 点m在x轴下方时， 则仍有 当时，满足方程.所求轨迹方程是双曲线，即双曲线的右支，并且不包括x轴上的点，图形如上. （2）如图，作adb的外接圆与双曲线交于点c（且c是不在圆弧adb上的点）. 连结ac、cb、cd，则有【圆锥曲线综合题练习】一、选择题1已知a、b、c三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m,4(1m4)，当abc的面积最大时，m等于( )a.3b.c.d.2设u,vr，且|u|,v0,则(uv)2+()2的最小值为( )a.4b.2c.8d.2二、填空题3a是椭圆长轴的一个端点，o是椭圆的中心，若椭圆上存在一点p，使opa=,则椭圆离心率的范围是_.4一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a米，则能使卡车通过的a的最小整数值是_.5已知抛物线y=x21上一定点b(1，0)和两个动点p、q，当p在抛物线上运动时，bppq，则q点的横坐标的取值范围是_.三、解答题6已知直线y=kx1与双曲线x2y2=1的左支交于a、b两点，若另一条直线l经过点p(2，0)及线段ab的中点q，求直线l在y轴上的截距b的取值范围.7已知抛物线c：y2=4x.(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线c的焦点f及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点b与焦点f连线中点p的轨迹方程；(2)若m(m,0)是x轴上的一定点，q是(1)所求轨迹上任一点，试问|mq|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.8如图，为半圆，ab为半圆直径，o为半圆圆心，且odab，q为线段od的中点，已知|ab|=4，曲线c过q点，动点p在曲线c上运动且保持|pa|+|pb|的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线c的方程；(2)过d点的直线l与曲线c相交于不同的两点m、n，且m在d、n之间，设=，求的取值范围.参考答案一、1.解析：由题意知a(1，1)，b(m,),c(4,2).直线ac所在方程为x3y+2=0,点b到该直线的距离为d=.m(1,4),当时，sabc有最大值，此时m=.答案：b2