高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题二 函数、导数、不等式 1.2.4 导数的简单应用及定积分课件 理 新人教版.ppt

第四讲导数的简单应用及定积分 知识回顾 1 基本初等函数的八个导数公式 0 x 1 cosx sinx axlna ex 2 导数的四则运算法则 f x g x f x g x g x 0 若y f ax b 则y x 即y x f x g x f x g x f x g x y x y a 3 函数的单调性与导数的关系 f x 0 f x 为 f x 0 f x 为 f x 0 f x 为常数函数 增函数 减函数 4 导数与极值的关系若函数的导数存在 某点的导数等于零是函数在该点取得极值的 条件 必要而不充分 5 积分的性质 kf x dx k为常数 f1 x f2 x dx f x dx f x dx 其中a c b kf x dx f1 x dx f2 x dx f x dx 易错提醒 1 忽略条件致误 求曲线的切线方程时 要注意是在点p处的切线还是过点p的切线 前者点p为切点 后者点p不一定为切点 2 忽略函数的定义域 在研究函数的单调性 极值 最值时 一定要注意函数的定义域优先原则 否则容易出现多考虑问题而出错或不能求解等情况 3 忽略导函数与该函数极值间的关系致误 在求解与函数极值有关的问题时 忽略导函数与该函数极值之间的关系 造成错解或无从入手 考题回访 1 2014 全国卷 若函数f x kx lnx在区间 1 上单调递增 则k的取值范围是 解析 选d 因为f x kx lnx在区间 1 单调递增 所以f x k 0在 1 恒成立且在它的任何子区间内不恒等于零 即k 1 0 2 2016 全国卷 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x ln x 3x 则曲线y f x 在点 1 3 处的切线方程是 解析 设x 0 则 x 0 因为x 0时 3x 所以 lnx 3x 又因为为偶函数 所以 lnx 3x 1 3 2 所以切线方程为y 3 即2x y 1 0 答案 2x y 1 0 3 2015 全国卷 已知函数f x ax3 x 1的图象在点 1 f 1 处的切线过点 2 7 则a 解析 因为f x 3ax2 1 所以图象在点 1 f 1 处的切线的斜率k 3a 1 所以切线方程为y 7 3a 1 x 2 即y 3a 1 x 6a 5 又切点为 1 f 1 所以f 1 3a 1 6a 5 3a 6 又f 1 a 2 所以 3a 6 a 2 解得a 1 答案 1 热点考向一导数与定积分的几何意义命题解读 主要考查利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程 或由切线方程求参数值 考查定积分的简单运算或利用定积分求图形的面积 以选择题 填空题为主 有时也会在解答题的第一问出现 典例1 1 2016 全国卷 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x e x 1 x 则曲线y f x 在点 1 2 处的切线方程是 2 2015 全国卷 已知曲线y x lnx在点 1 1 处的切线与曲线y ax2 a 2 x 1相切 则a 3 展开式的中间项系数为20 如图阴影部分是由曲线y x2和圆x2 y2 a及x轴围成的封闭图形 则封闭图形的面积s 解题导引 1 先求出当x 0时f x 的解析式 再利用导数求切线方程 2 先对函数y x lnx求导 然后将 1 1 代入到导函数中 求出切线的斜率 从而确定切线方程 再将切线方程与曲线y ax2 a 2 x 1联立 利用 0求出a的值 3 先利用二项式定理得到中间项系数 解得a 再利用定积分求阴影部分的面积 规范解答 1 设x 0 则 x 0 因为x 0时 e x 1 x 所以 ex 1 x 又因为为偶函数 所以 ex 1 x ex 1 1 e1 1 1 2 所以切线方程为y 2 2 x 1 即2x y 0 答案 2x y 0 2 y 1 则曲线y x lnx在点 1 1 处的切线斜率为k 1 1 2 故切线方程为y 2x 1 因为y 2x 1与曲线y ax2 a 2 x 1相切 联立得ax2 ax 2 0 显然a 0 所以由 a2 8a 0 a 8 答案 8 3 因为展开式的中间项系数为20 中间项为第四项 系数为 20 解得a 2 所以曲线y x2和圆x2 y2 2在第一象限的交点为 1 1 所以阴影部分的面积为答案 规律方法 1 求曲线y f x 的切线方程的三种类型及方法 1 已知切点p x0 y0 求y f x 过点p的切线方程 求出切线的斜率f x0 由点斜式写出方程 2 已知切线的斜率为k 求y f x 的切线方程 设切点p x0 y0 通过方程k f x0 解得x0 再由点斜式写出方程 3 已知切线上一点 非切点 求y f x 的切线方程 设切点p x0 y0 利用导数求得切线斜率f x0 然后由斜率公式求得切线斜率 列方程 组 解得x0 再由点斜式或两点式写出方程 2 利用切线 或方程 与其他曲线的关系求参数已知过某点的切线方程 斜率 或其与某线平行 垂直 利用导数的几何意义 切点坐标 切线斜率之间的关系构建方程 组 或函数求解 3 利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 1 正确画出几何图形 结合图形位置 准确确定积分区间以及被积函数 从而得到面积的积分表达式 再利用微积分基本定理求出积分值 2 根据图形的特征 选择合适的积分变量 在以y为积分变量时 应注意将曲线方程变为x y 的形式 同时 积分上 下限必须对应y的取值 题组过关 1 2016 衡阳一模 计算 cos2xdx 2 已知函数f x x2 a 1 x 1 a lnx a r 1 当a 3时 求曲线c y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 当x 1 2 时 若曲线c y f x 上的点 x y 都在不等式组所表示的平面区域内 试求a的取值范围 解析 1 当a 3时 f x x2 4x 2lnx x 0 f x x 4 则f 1 1 4 2 1 而f 1 4 所以曲线c在点 1 f 1 处的切线方程为y x 1 即2x 2y 5 0 2 依题意当x 1 2 时 曲线c上的点 x y 都在不等式组所表示的平面区域内 等价于当1 x 2时 x f x x 恒成立 设g x f x x x2 ax 1 a lnx x 1 2 所以g x x a 当a 1 1时 即a 2 当x 1 2 时 g x 0 g x 为单调减函数 所以g 2 g x g 1 依题意应有 若1 所以不合题意 当a 1 2 即a 3时 注意到g 1 a 显然不合题意 综上所述 1 a 2 加固训练 1 2016 揭阳二模 已知函数f x x2 ax的图象在点a 1 f 1 处的切线l与直线x 3y 1 0垂直 记数列的前n项和为sn 则s2016的值为 解析 选b 由题意知f x x2 ax的图象在点a 1 f 1 处的切线斜率k f 1 2 a 3 a 1 故 2 2016 亳州一模 已知函数f x axlnx a r 若f e 3 则a的值为 解析 f x a 1 lnx a r f e 3 所以a 1 lne 3 所以a 答案 3 2016 长沙二模 曲线y e x 1在点 0 2 处的切线与直线y 0和x 0围成的三角形的面积为 解析 函数的导数f x e x 则f 0 1 则切线方程为y 2 x 即y x 2 切线与x轴的交点为 2 0 与y轴的交点为 0 2 所以切线与直线y 0和x 0围成的三角形的面积s 2 2 2 答案 2 热点考向二利用导数研究函数的单调性命题解读 主要考查导函数值与函数单调性之间的关系 利用导函数来研究函数的单调性 或由函数的单调性求某参数值 或取值范围 三种题型都有可能出现 命题角度一确定函数的单调性 区间 典例2 2016 洛阳一模 已知函数f x 其中常数k 0 1 讨论f x 在 0 2 上的单调性 2 若k 4 曲线y f x 上总存在相异两点m x1 y1 n x2 y2 使得曲线y f x 在m n两点处切线互相平行 求x1 x2的取值范围 解题导引 1 求导函数 对k分类讨论 利用导数的正负 即可得到f x 在区间 0 2 上的单调性 2 利用过m n点的切线互相平行 建立方程 结合基本不等式 再求最值 即可求x1 x2的取值范围 规范解答 1 因为f x 当0k 0 且 2 所以x 0 k 时 f x 0 所以函数f x 在 0 k 上是减函数 在 k 2 上是增函数 当k 2时 k 2 f x 2时 0 所以x 0 时 f x 0 所以函数f x 在 0 上是减函数 在 2 上是增函数 2 由题意 可得f x1 f x2 x1 x2 0 且x1 x2 令g k k 则g k 0对k 4 恒成立 所以g k g 4 5 所以所以x1 x2 故x1 x2的取值范围为 易错警示 解答本例容易出现以下错误 1 忽略函数的定义域 在函数解析式中含有对数必须满足x 0 2 对k分类讨论不全 题目中已知k 0 对k分类讨论时容易对标准划分不准确 讨论不全面 母题变式 1 若把典例2条件变为 k 0 其他条件不变 f x 在 0 2 上的单调性如何 解析 由典例2 1 解析知f x 在 0 2 上f x 0 故f x 在 0 2 上为减函数 2 在典例2 1 中 将 0 2 改为 0 试求f x 的单调区间 解析 由典例2 1 解析知f x 因为 当0 k 2时 k f x 的单调减区间为增区间为 当k 2时 k 2 f x 2时 k f x 的减区间为增区间为 命题角度二根据函数的单调性求参数的取值范围 典例3 2016 玉溪三模 若函数f x x3 tx2 3x在区间 1 4 上单调递减 则实数t的取值范围是 解题导引 由题意可得f x 0即3x2 2tx 3 0在 1 4 上恒成立 由函数的性质可得t的取值范围 规范解答 选c 因为函数f x x3 tx2 3x 所以f x 3x2 2tx 3 若函数f x x3 tx2 3x在区间 1 4 上单调递减 则f x 0 即3x2 2tx 3 0在 1 4 上恒成立 即2tx 3x2 3在 1 4 上恒成立 所以t 在 1 4 上恒成立 令y 由对勾函数的图象和性质可得 函数在 1 4 上为增函数 当x 4时 函数取最大值 所以t 即实数t的取值范围是 规律方法 1 求函数的单调区间的 三个 方法方法一第1步 确定函数y f x 的定义域 第2步 求导函数y f x 第3步 解不等式f x 0或f x 0 解集在定义域内的部分为单调区间 方法二第1步 确定函数y f x 的定义域 第2步 求导函数y f x 令f x 0 解此方程 求出在定义区间内的一切实根 第3步 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义域分成若干个小区间 第4步 确定f x 在各个区间内的符号 根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 方法三第1步 确定函数y f x 的定义域 第2步 求导函数y f x 并将其化简表示为某些基本初等函数的和 差 积 商 第3步 利用相应基本初等函数的图象与性质 确定f x 在某些区间的正 负 进而得到单调区间 2 根据函数y f x 在 a b 上的单调性 求参数范围的方法 1 若函数y f x 在 a b 上单调递增 转化为f x 0在 a b 上恒成立求解 2 若函数y f x 在 a b 上单调递减 转化为f x 0在 a b 上恒成立求解 3 若函数y f x 在 a b 上单调 转化为f x 在 a b 上不变号 即f x 在 a b 上恒正或恒负 4 若函数y f x 在 a b 上不单调 转化为f x 0在 a b 上有解 变式训练 2016 亳州一模 已知函数f x ax2 ln x 1 1 当a 时 求函数f x 的单调区间 2 当x 0 时 函数y f x 图象上的点都在所表示的平面区域内 求实数a的取值范围 解析 1 当a 时 f x x2 ln x 1 x 1 f x x 1 由f x 0解得 11 故函数f x 的单调递增区间为 1 1 单调递减区间为 1 2 因为函数f x 图象上的点都在所表示的平面区域内 则当x 0 时 不等式f x x恒成立 即ax2 ln x 1 x 0恒成立 设g x ax2 ln x 1 x x 0 只需g x max 0即可 由g x 当a 0时 g x 当x 0时 g x 0 函数g x 在 0 上单调递减 故g x g 0 0成立 当a 0时 由g x 因为x 0 若 1时 在区间 0 上 g x 0 则函数g x 在 0 上单调递增 g x 在 0 上无最大值 或 当x 时 g x 此时不满足条件 若 1 0 即0 a 时 函数g x 在 0 1 上单调递减 在区间上单调递增 同样g x 在 0 上无最大值 不满足条件 当a 0时 由g x 因为x 0 所以2ax 2a 1 0 所以g x 0 故函数g x 在 0 上单调递减 故g x g 0 0成立 综上所述 实数a的取值范围是 0 加固训练 2016 襄阳一模 已知f x x3 6x2 9x 2 f x 是f x 的导数 f x 和f x 单调性相同的区间是 a 1 3 b 1 2 和 3 c 2 d 2 解析 选b 因为f x x3 6x2 9x 2 所以f x 3x2 12x 9 3 x 3 x 1 令f x 0 解得 x 3或x 1 令f x 0 解得 1 x 3 所以函数f x 在 1 3 上递增 在 1 3 上递减 而f x 6x 12 令f x 0 解得 x 2 所以函数f x 在 2 上递减 在 2 上递增 所以函数f x 和函数f x 同在 1 2 上递减 在 3 上递增 热点考向三利用导数研究函数的极值和最值命题解读 主要考查利用函数的极值与导数的关系 求某些含有参数的函数的极值 最值以及极值的个数 以解答题为主 典例4 2016 汕头一模 已知函数f x ax2 a2 1 x alnx 1 若函数f x 在上单调递减 求实数a的取值范围 2 当a 时 求f x 在 1 2 上的最大值和最小值 注意 ln2 0 7 题目拆解 解答本题第二问 可拆成三个小题 求f x 的导函数 当a 时 求f x 在 1 2 上的单调区间 求f x 在 1 2 上的最值 规范解答 1 因为f x 在上单调递减 所以f x ax a2 1 0在上恒成立 即ax a2 1 当a 0时 结论成立 当a 0时 不等式等价为x a 在上恒成立 当x 0时 h x x 在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 所以要使函数h x h a 在上恒成立 则0 a 或a e 综上a 或a e 当0 a 时 在 1 2 上f x 0 所以f x 在 1 2 上递减 所以f x min f 2 2a 2 a2 1 aln2 f x max f 1 a a2 1 当0 所以f x min f a alna f 2 f 1 a a2 1 aln2 设h x x x2 1 xln2 0 则h x 在 x 上单调递增 所以h x max 所以f 2 f 1 所以f x max f 1 a a2 1 综上当0 a 时 f x min 2a 2 a2 1 aln2 f x max a a2 1 当 a 时 f x min a alna f x max a a2 1 规律方法 利用导数研究函数极值 最值的方法 1 若求极值 则先求方程f x 0的根 再检查f x 在方程根的左右函数值的符号 2 若已知极值大小或存在情况 则转化为已知方程f x 0根的大小或存在情况来求解 3 求函数f x 在闭区间 a b 的最值时 在得到极值的基础上 结合区间端点的函数值f a f b 与f x 的各极值进行比较得到函数的最值 题组过关 1 2016 太原一模 已知三次函数f x ax3 bx2 cx d的图象如图所示 则 a 1b 2c 5d 3 解题导引 根据函数导数和极值之间的关系 求出对应a b c的关系 即可得到结论 解析 选c 由三次函数的图象可知 x 2时函数有极大值 x 1时 函数有极小值 即2 1是f x 0的两个根 因为f x ax3 bx2 cx d 所以f x 3ax2 2bx c 由f x 3ax2 2bx c 0 得2 1 1 1 2 2 即c 6a 2b 3a 即f x 3ax2 2bx c 3ax2 3ax 6a 3a x 2 x 1 则 2 设函数f x x a r 1 若a 1 求f x 在区间上的最大值 2 设b 0 求证 当a 1时 过点p b b 有且只有一条直线与曲线y f x 相切 3 若对任意的x 均有f x x 1 1成立 求a的取值范围 解析 1 当a 1时 令f x 0 得x 1或x 1 当x 时 有f x 0 所以f x 在区间上是增函数 当x 1 3 时 有f x 0 所以f x 在区间 1 3 上是减函数 所以f x 在区间上的最大值为f 1 2 2 设过点p b b 的直线与曲线y f x 相切于点q x0 y0 则y0 且切线斜率为k f x0 所以即存在唯一的切点所以过点p b b 有且只有一条直线与曲线y f x 相切 3 当x 1时 对任意a r 不等式显然成立 当x 1时 不等式等价于a x2 当x 时 不等式等价于a x2 恒成立 令g x x2 x 时 则g x 2x 当x 时 显然g x 0 所以g x 在区间上单调递增 所以g x 在区间上有最小值所以a 当x 1 2 时 不等式等价于a x2 恒成立 令h x x2 x 1 2 当x 1 2 时 h x x2 x2 1 x2 1 2 所以 当a 2时 不等式a x2 对x 1 2 恒成立 综上 实数a的取值范围是 加固训练 2016 潍坊一模 已知函数f x ex x lnx 1 e为自然对数的底数 1 求函数f x 的单调区间 2 是否存在实数a b 1 a b 使得函数f x 在 a b 上的值域也是 a b 并说明理由 解析 1 函数f x ex x lnx 1 定义域为 0 f x 令g x x lnx 由g x 所以函数g x 在 0 上单调递增 因为g 1 0 所以当x 1时 g x 0 因此f x 0 此时函数f x 单调递增 当0 x 1时 g x 0 因此f x 0 此时函数f x 单调