【状元之路】高考数学二轮复习 立体几何解答题专题训练（含解析）.doc

【状元之路】2015版高考数学二轮复习 立体几何解答题专题训练（含解析）1如图，直三棱柱abca1b1c1中，abc是等边三角形，d是bc的中点(1)求证：a1b平面adc1；(2)若abbb12，求a1d与平面ac1d所成角的正弦值解(1)证明：三棱柱abca1b1c1是直三棱柱，四边形a1acc1是矩形连接a1c交ac1于o，则o是a1c的中点，又d是bc的中点，如图在a1bc中，oda1b.a1b平面adc1，od平面adc1，a1b平面adc1.(2)因为abc是等边三角形，d是bc的中点，adbc.以d为原点，建立如图所示空间坐标系dxyz.由已知abbb12，得d(0,0,0)，a(，0,0)，a1(，0,2)，c1(0，1,2)则(，0,0)，(0，1,2)，设平面ac1d的法向量为n(x，y，z)，由得取z1，则x0，y2，n(0,2,1)又(，0,2)，cos，n.设a1d与平面adc1所成角为，则sin|cos，n|，故a1d与平面adc1所成角的正弦值为.2.如图，ac是圆o的直径，点b在圆o上，bac30，bmac交ac于点m，ea平面abc，fcea，ac4，ea3，fc1.(1)证明：abbf；(2)求平面bef与平面abc所成的锐二面角的余弦值解(1)证明：ac是o的直径，abbc.又fcea，ea平面abc，fc平面abc，fcab，ab平面fbc.abbf.(2)由题设可得，abaccos302，bcacsin302，amabcos3023，mc1.如图，以a为坐标原点，分别以垂直于平面ace的直线以及ac，ae所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系由已知条件得a(0,0,0)，m(0,3,0)，e(0,0,3)，b(，3,0)，f(0,4,1)，(，3,3)，(，1,1)设平面bef的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得令x，得y1，z2，n(，1,2)，由已知ea平面abc，取平面abc的法向量为(0,0,3)，设平面bef与平面abc所成的锐二面角为，则cos|cosn，|.平面bef与平面abc所成的锐二面角的余弦值为.3如图，四边形abcd为矩形，pd平面abcd，pdqa，qaadpd.(1)求证：平面pqc平面dcq；(2)若二面角qbpc的余弦值为，求的值解(1)证明：设ad1，则dq，dp2，又pdqa，pdqaqd45，在dpq中，由余弦定理可得pq.dq2pq2dp2，pqdq.又pd平面abcd，pddc，cdda，dapdd，cd平面adpq.pq平面adpq，cdpq.又cddqd，pq平面dcq.又pq平面pqc，平面pqc平面dcq.(2)如图，以d为坐标原点，da，dp，dc所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系dxyz.设ad1，abm(m0)依题意有d(0,0,0)，c(0,0，m)，p(0,2,0)，q(1,1,0)，b(1,0，m)，则(1,0,0)，(1,2，m)，pq(1，1,0)，设n1(x1，y1，z1)是平面pbc的法向量，则即因此可取n1(0，m,2)设n2(x2，y2，z2)是平面pbq的法向量，则即可取n2(m，m,1)又二面角qbpc的余弦值为，|cosn1，n2|.，整理得m47m280.又m0，解得m1，因此，所求的值为1.4如图，在四棱锥pabcd中，平面pac平面abcd，且paac，paad2.四边形abcd满足bcad，abad，abbc1.点e，f分别为侧棱pb，pc上的点，且.(1)求证：ef平面pad；(2)当时，求异面直线bf与cd所成角的余弦值；(3)是否存在实数，使得平面afd平面pcd？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由解(1)证明：由已知，efbc，又bcad，efad，而ef平面pad，ad平面pad，ef平面pad.(2)平面abcd平面pac，平面abcd平面pacac，且paac，pa平面abcd.paab，paad.又abad，pa，ab，ad两两垂直如图所示，建立空间直角坐标系abbc1，paad2，a(0,0,0)，b(1,0,0，)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)，当时，f为pc中点，f，(1,1,0)，设异面直线bf与cd所成的角为，cos|cos，|.故异面直线bf与cd所成角的余弦值为.(3)设f(x0，y0，z0)，则(x0，y0，z02)，(1,1，2)，又，(，22)，设平面afd的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即令z1，得m(22,0，)设平面pcd的一个法向量为n(x2，y2，z2)则即取y21，则x21，z21，n(1,1,1)，由mn，得mn(22,0，)(1,1,1)220，解得.当时，使得平面afd平面pcd.5如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是直角梯形，侧棱sa底面abcd，ab垂直于ad和bc，saabbc2，ad1.m是棱sb的中点(1)求证：am平面scd；(2)求平面scd与平面sab所成二面角的余弦值；(3)设点n是直线cd上的动点，mn与平面sab所成的角为，求sin的最大值解(1)证明：以点a为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(0,2,0)，c(2,2,0)，d(1,0,0)，s(0,0,2)，m(0,1,1)则(0,1,1)，(1,0，2)，(1，2,0)设平面scd的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得n(2，1,1)n0，n.am平面scd.(2)易知平面sab的一个法向量为n1(1,0,0)设平面