【步步高】高考数学总复习 第一讲 不等式的基本性质、含有绝对值的不等式配套文档 理 新人教A版选修45(1).doc

第一讲不等式的基本性质、含有绝对值的不等式1两个实数大小关系的基本事实ab_ab_ab，那么_；如果_，那么ab.即ab_.(2)传递性：如果ab，bc，那么_即ab，bc_.(3)可加性：如果_，那么acbc.(4)可乘性：如果ab，c0，那么_；如果ab，cb0，那么an_bn(nn，n1)(6)开方：如果ab0，那么_(nn，n1)3绝对值三角不等式(1)性质1：|ab|_.(2)性质2：|a|b|_.(3)性质3：_|ab|_.4绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a(2)|axb|c (c0)和|axb|c (c0)型不等式的解法|axb|c_；|axb|c_.(3)|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想1判断下面结论是否正确(请在括号内打“”或“”)(1)|xa|xb|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和()(2)不等式|a|b|ab|等号成立的条件是ab0.()(3)不等式|ab|a|b|等号成立的条件是ab0.()2不等式|2x1|x2|0的解集为_3不等式1|x1|0的解集为_5(2013福建改编)设不等式|x2|a(an*)的解集为a，且a，a.则a的值为_.题型一绝对值三角不等式定理的应用例1“|xa|且|ya|”是“|xy|”(x，y，a，r)的_条件思维升华对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点：(1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时(2)该定理可以推广为|abc|a|b|c|，也可强化为|a|b|ab|a|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推证(3)当ab0时，|ab|a|b|；当ab0时，|ab|a|b|.(1)设a，b是满足ab|ab| |ab|ab|ab|a|b| |ab|a|b|(2)已知命题p：|a|1，且|b|2，命题q：|ab|a.若不等式有解，则实数a的取值范围为_若不等式的解集为r，则实数a的取值范围为_若不等式的解集为，则实数a的取值范围为_思维升华不等式有解是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为r是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为的对立面(如f(x)m的解集是空集，则f(x)m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)a恒成立af(x)min.已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围绝对值不等式的解法典例：(5分)不等式|x1|x1|3的解集为_思维启迪本题不等式为|xa|xb|c型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法解析方法一如图所示，设数轴上与1,1对应的点分别为a，b，那么a，b两点的距离和为2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解设在a点左侧有一点a1，到a，b两点的距离和为3，a1对应数轴上的x.1x1x3，得x.同理设b点右侧有一点b1到a，b两点距离之和为3，b1对应数轴上的x，x1x(1)3.x.从数轴上可看到，点a1，b1之间的点到a，b的距离之和都大于3；点a1的左边或点b1的右边的任何点到a，b的距离之和都大于3.所以原不等式的解集是.方法二当x1时，原不等式可化为(x1)(x1)3，解得：x.当1x1时，原不等式可以化为x1(x1)3，即23.不成立，无解当x1时，原不等式可以化为x1x13.所以x.综上，可知原不等式的解集为.方法三将原不等式转化为|x1|x1|30.构造函数y|x1|x1|3，即y作出函数的图象，如图所示：函数的零点是，.从图象可知，当x或x时，y0，即|x1|x1|30.所以原不等式的解集为.答案温馨提醒这三种方法是解|xa|xb|c型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点方法与技巧1解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|xa|xb|m或|xa|xb|m (m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便2含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利用重要不等式|ab|a|b|及推广形式|a1a2an|a1|a2|an|进行放缩3应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件失误与防范1理解绝对值不等式的几何意义2掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.a组专项基础训练1不等式|2x1|6的解集为_6不等式|x1|x2|k的解集为r，则实数k的取值范围为_7如果关于x的不等式|xa|x4|1的解集是r，则实数a的取值范围是_8(2013重庆)若关于实数x的不等式|x5|x3|0的解集为_10若不等式|3xb|a对于一切xr恒成立，则实数a的取值范围是_6对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_7设函数f(x)|x3|xa|，如果对任意xr，f(x)4，则a的取值范围是_答案基础知识自主学习要点梳理1ab0ab0ab02(1)bababcac(3)ab(4)acbcac(6)3(1)|a|b|(2)|ab|(3)|a|b|a|b|4(1)x|axa或xax|xr且x0r(2)caxbcaxbc或axbc夯基释疑1(1)(2)(3)2x|1x1解析方法一原不等式即为|2x1|x2|，4x24x1x24x4，3x23，1x1.方法二原不等式等价于不等式组或或不等式组无解，由得x1，由得1x.综上得1x1，所以原不等式的解集为x|1x13(4，2)(0,2)4.(，)(0，)51解析因为a，且a，所以|2|a，且|2|a，解得a.又因为an*，所以a1.题型分类深度剖析例1充分不必要解析若|xa|，|ya|，则有|xy|xaay|(xa)(ay)|xa|ya|.|xa|，|ya|是|xy|成立的充分条件反之，若|xy|，则可以取|xa|，|ya|使得条件|xa|，|ya|得不到满足因此，|xa|，|ya|是|xy|成立的充分而不必要条件跟踪训练1(1)(2)充分不必要例2(1)x|x1或x4(2)3,0解析(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0跟踪训练2(1)1，)(2)x|x1解析(1)方法一不等式等价转化为|x1|x3|，两边平方得(x1)2(x3)2，解得x1，故不等式的解集为1，)方法二不等式等价转化为|x1|x3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x1，故不等式的解集为1，)(2)原不等式可化为或或x或1x2或x2.不等式的解集为x|x1例3a4a4a4解析由|x1|x3|x1(x3)|4.|x3|x1|(x3)(x1)|4.可得4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，则a4；(2)若不等式的解集为r，则a4；(3)若不等式解集为，则a4.跟踪训练3解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)当a2时，f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以当x5；当3x2时，g(x)5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5方法二(1)同方法一(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5练出高分a组1(1,2)2.x|x330,4解析由|x2|1|1得1|x2|11，解得0x4.不等式的解集为0,44.解析由绝对值的几何意义知：使|x1|x2|1成立的x值为x1,3，由几何概型知所求概率为p.5(，1)(3，)解析由题意知，原不等式可化为或或，解得x3或xk恒成立ab3，即|x1|x2|3.故当k3时，原不等式恒成立7(，53，)解析在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a5或a3.8(，8解析|x5|x3|5x|x3|5xx3|8，(|x5|x3|)min8，要使|x5|x3|0，整理得30，无解当0，整理得4x10，即x，1时，原不等式可化为2x12(x1)0，整理得30.此时不等式的解集为x1.原不等式的解集为x|x1.10(5,7)解析|3xb|4x，由已知得：5b7.b组12a4解析|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.23,5解析|x1|x3|(x1)(x3)|4，不等式|x1|x3|m1|恒成立，只需|m1|4，即3m5.3x|2x5解析|x3|x4|9，当x3时，x3(x4)9，即4x4时，x3x49，即4x5.综上所述，ax|4x5又x4t6，t(0，)，x262，当t时取等号bx|x2，abx|2x54(1,3)解析要使不等式|x1|x3|a22a1在r上的解集为，则a22a1(|x1|x3|)min.又(|x1|x3|)min