高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点课件 新人教版必修1.ppt

第三章 3 1函数与方程 3 1 1方程的根与函数的零点 1 理解函数零点的定义 会求函数的零点 2 掌握函数零点的判定方法 3 了解函数的零点与方程的根的联系 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一函数的零点对于函数y f x 我们把使的实数x叫做函数y f x 的零点 思考函数的零点是点吗 答函数y f x 的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点 因此函数的零点不是点 是方程f x 0的解 即函数的零点是一个实数 知识点二函数的零点 方程的根 函数图象之间的关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与有交点 函数y f x 答案 零点 f x 0 x轴 有 知识点三函数零点的判定定理如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 思考 1 若函数f x 在 a b 内有零点 则f a f b 0 如函数y x 1 2在 0 2 内有零点 但f 0 f 2 0 2 若函数f x 在 a b 上有f a f b 0 则f x 在 a b 上一定没有零点吗 答不一定 如y x 1 2 在 0 2 上f 0 f 2 0 但f x 在 0 2 上有零点1 答案 返回 f c 0 连续不断 f a f b 0 题型探究重点突破 题型一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点 如果存在 请求出 1 f x x2 7x 6 解解方程f x x2 7x 6 0 得x 1或x 6 所以函数的零点是 1 6 2 f x 1 log2 x 3 解解方程f x 1 log2 x 3 0 得x 1 所以函数的零点是 1 解析答案 3 f x 2x 1 3 解解方程f x 2x 1 3 0 得x log26 所以函数的零点是log26 解析答案 所以函数的零点为 6 反思与感悟 求函数零点的两种方法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 2 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数y f x 的图象联系起来 并利用函数的性质找出零点 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1函数y x 1的零点是 a 1 0 b 0c 1d 不存在解析令y x 1 0 得x 1 故函数y x 1的零点为1 c 解析答案 反思与感悟 题型二判断函数零点所在区间例2已知函数f x x3 x 1仅有一个正零点 则此零点所在的区间是 a 3 4 b 2 3 c 1 2 d 0 1 解析 f 0 10 f 3 23 0 f 4 59 0 f 1 f 2 0 此零点一定在 1 2 内 反思与感悟1 判断零点所在区间有两种方法 一是利用零点存在定理 二是利用函数图象 2 要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 若f x 图象在 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在 a b 上必有零点 若f a f b 0 则f x 在 a b 上不一定没有零点 c 解析答案 跟踪训练2函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 解析 f 0 e0 0 2 1 0 f 1 e1 1 2 e 1 0 f 0 f 1 0 f x 在 0 1 内有零点 c 解析答案 题型三判断函数零点的个数例3判断函数f x lnx x2 3的零点的个数 反思与感悟 反思与感悟 解方法一函数对应的方程为lnx x2 3 0 所以原函数零点的个数即为函数y lnx与y 3 x2的图象交点个数 在同一直角坐标系下 作出两函数的图象 如图 由图象知 函数y 3 x2与y lnx的图象只有一个交点 从而方程lnx x2 3 0有一个根 即函数y lnx x2 3有一个零点 方法二由于f 1 ln1 12 3 2 0 f 2 ln2 22 3 ln2 1 0 所以f 1 f 2 0 又f x lnx x2 3的图象在 1 2 上是不间断的 所以f x 在 1 2 上必有零点 又f x 在 0 上是递增的 所以零点只有一个 反思与感悟 判断函数零点个数的方法 1 对于一般函数的零点个数的判断问题 可以先确定零点存在 然后借助于函数的单调性判断零点的个数 2 由f x g x h x 0 得g x h x 在同一直角坐标系下作出y1 g x 和y2 h x 的图象 利用图象判定方程根的个数 3 解方程 解得方程根的个数即为函数零点的个数 解析答案 跟踪训练3函数f x lnx x 2的零点个数为 a 1b 2c 0d 不能确定解析如图所示 分别作出y lnx y x 2的图象 可知两函数有两个交点 即f x 有两个零点 b 解析答案 题型四一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的区间根问题例4关于x的方程x2 2ax 4 0的两根均大于1 求实数a的取值范围 反思与感悟 解析答案 解方法一 应用求根公式 反思与感悟 方法二 应用根与系数的关系 设x1 x2为方程x2 2ax 4 0的两根 则有x1 x2 2a x1x2 4 要使原方程x2 2ax 4 0的两根x1 x2均大于1 反思与感悟 方法三 应用二次函数的图象 设f x x2 2ax 4 图象如图所示 反思与感悟 1 在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面 1 与0的关系 2 对称轴与所给端点值的关系 3 端点的函数值与零的关系 4 开口方向 2 设x1 x2是实系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实数根 则x1 x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示 反思与感悟 反思与感悟 解析答案 跟踪训练4已知函数f x ax2 2ax 1有两个零点x1 x2 且x1 0 1 x2 4 2 求a的取值范围 解 f x ax2 2ax 1的图象是连续的且两点x1 x2满足x2 4 2 x1 0 1 解析答案 例5已知关于x的方程 x2 4x 3 a 0有三个不相等的实数根 则实数a的值是 解析如图所示 由图象知直线y 1与y x2 4x 3 的图象有三个交点 则方程 x2 4x 3 1有三个不相等的实数根 因此a 1 数形结合思想 解题思想方法 反思与感悟 1 反思与感悟 求解这类问题可先将原式变形为f x g x 则方程f x g x 的不同解的个数等于函数f x 与g x 图象交点的个数 分别画出两个函数的图象 利用数形结合的思想使问题得解 解析答案 返回 跟踪训练5当m为何值时 方程x2 4 x 5 m有4个互不相等的实数根 解令f x x2 4 x 5 作出其图象 如图所示 由图象可知 当1 m 5时 方程x2 4 x 5 m有4个互不相等的实数根 当堂检测 1 2 3 4 解析答案 1 函数y 4x 2的零点是 d 解析答案 1 2 3 4 2 对于函数f x 若f 1 f 3 0 则 a 方程f x 0一定有实数解b 方程f x 0一定无实数解c 方程f x 0一定有两实数解d 方程f x 0可能无实数解解析 函数f x 的图象在 1 3 上未必连续 故尽管f 1 f 3 0 但未必函数y f x 在 1 3 上有实数解 d 1 2 3 4 解析答案 3 方程2x x2 0的解的个数是 a 1b 2c 3d 4解析在同一直角坐标系中画出函数y 2x及y x2的图象 可看出两图象有三个交点 故2x x2 0的解的个数为3 c 解析答案 1 2 3 4 4 已知函数f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比0大 一个零点比0小 则实数a的取值范围为 解析由题意可知f 0 a 2 0 解得a 2 2 课堂小结 1 在函数零点存在