【命题探究】高考数学知识点讲座 考点43 随机抽样、用样本估计总体（含解析）新人教A版.doc

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点43随机抽样、用样本估计总体（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标各种随机抽样方法的定义、特点及适用范围；用样本的频率分布估计总体分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征.二知识梳理1简单随机抽样(1)简单随机抽样的概念设一个总体含有n个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nn)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样(2)最常用的简单随机抽样方法有两种抽签法和随机数法2系统抽样的步骤假设要从容量为n的总体中抽取容量为n的样本(1)先将总体的n个个体编号(2)确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取k.(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l k)(4)按照一定的规则抽取样本通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号1+k，再加k得到第3个个体编号1+2k，依次进行下去，直到获取整个样本3分层抽样(1)分层抽样的概念在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样(2)当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的4.作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差(2)决定组距与组数(3)将数据分组 (4)列频率分布表 (5)画频率分布直方图 5.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：把频率分布直方图中各小长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图(2)设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于 总体的分布，它可以用一条光滑曲线yf(x)来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线6.茎叶图的优点用茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是从统计上没有原始信息的损失，所有的 数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示 7.样本的数字特征(1)众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数(2)中位数：将一组数据按大小依次排列、把处在 最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 8.平均数的计算方法（1）如果有n个数据x1，x2，xn，那么=（x1+x2+xn）叫做这n个数据的平均数，读作“x拔” （2）当一组数据x1，x2，xn的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna，那么，= +a（3）加权平均数：如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次（f1+f2+fk=n），那么=9.方差的计算方法（1）对于一组数据x1，x2，xn，s2=（x1）2+（x2）2+（xn）2叫做这组数据的方差，而s叫做标准差（2）方差公式: s2=（x12+x22+xn2）n2（3）当一组数据x1，x2，xn中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna则s2=（x12+x22+xn2）n三考点逐个突破1.简单随机抽样例1.（1） 一个单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人，为了解职工的某种情况，决定采取分层抽样的方法，抽取一个容量为10的样本，每个管理人员被抽到的概率为()a. b. c. d.答案c解析本题主要考查分层抽样的特点据题意管理人员这一层中每个个体被抽到的概率等于从总体中抽取10个样本每个个体被抽取的概率，即其概率为.（2）某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，已知3个区人口数之比为235，如果最多的一个区抽出的个体数是60，则这个样本的容量()a96 b120 c180 d240答案b解析设样本容量为n，则，n120.(3)某公司有普通职员150人、中级管理人员40人、高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，若在已抽取的40人的问卷中随机抽取一张，则所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为()a. b. c. d.答案c解析由分层抽样知，在普通职员中抽30人，中级管理人员抽8人，高级管理人员中抽2人由古典概型知，所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为，选c.2.系统抽样例2. （1）将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区从001到300在第营区，从301到495在第营区，从496到600在第营区三个营区被抽中的人数依次为()a26,16,8 b25,17,8 c25,16,9 d24,17,9答案b解析根据系统抽样的特点可知抽取的号码间隔为12，故抽取的号码构成以3为首项，公差为12的等差数列在第营区001300号恰好有25组，故抽取25人，在第营区301495号有195人，共有16组多3人，因为抽取的第一个数是3，所以营区共抽取17人，剩余5025178人需从营区抽取（2）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷a，编号落入区间451,750的人做问卷b，其余的人做问卷c，则抽到的人中，做问卷b的人数为()a7 b9 c10 d15答案c解析采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即l30，第k组的号码为(k1)309，令451(k1)309750，而kz，解得16k25，则满足16k25的整数k有10个（3）某班有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号150号，并分组，第一组15号，第二组610号，第十组4650号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为_的学生答案37解析组距为5，(83)51237.3.分层抽样例3. 某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为()一年级二年级三年级女生373xy男生377370za.24 b18 c16 d12答案c解析由条件知，二年级女生有20000.19380名，三年级有学生2000(373377380370)500名，由分层抽样定义知，在三年级应抽取50016名4.三种抽样方法的比较例4. (1)问题：三种不同的容器中分别装有同一型号的零件400个、200个、150个，现在要从这750个零件中抽取一个容量为50的样本；从20名学生中选出3名参加座谈会方法：.随机抽样法.系统抽样法.分层抽样法其中问题与方法能配对的是()a， b， c， d，答案c解析容器与抽取的样本无关，且总体数比较大，故可用系统抽样来抽取样本，总体与样本都较少，可用随机抽样法故选c.(2) 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本采用简单随机抽样法：抽签取出20个样本；采用系统抽样法：将零件编号为00,01，99，然后平均分20组抽取20个样本；采用分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中共抽取20个样本下列说法正确的是()a无论采用哪种方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等b两种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等；并非如此c两种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等；并非如此d采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的答案a5.频率分布直方图例5. 某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如图所示)已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16、0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为()a480 b440 c420 d400答案d解析设第一、第二、第三小组的频率构成的等比数列公比为q，第三、第四、第五、第六小组的频率构成的等差数列公差为d，则由题意知即消去d得，16q28q350.q0，q.第三组的频率p0.16q20.25.设男生总数为x，则x25%100，x400.6.样本的平均数与方差例6. 某校高中一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如图)s1、s2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则s1_s2.(填“”、“”或“”)答案解析甲(811141522)14，乙(67102428)15，s(814)2(1114)2(1414)2(1514)2(2214)222，s(615)2(715)2(1015)2(2415)2(2815)284，s1，s22，s1s2.7.用样本估计总体例7. 为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长小于110cm的株数大约是()a3000 b6000 c7000 d8000答案c解析底部周长小于110cm的频率为(0.010.020.04)100.7，1万株中底部小于110cm的株数为0.7100007000.点评用样本的频率作为总体频率的估计值8.样本的数字特征例8.(1) 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则()a.甲m乙 b.甲乙，m甲乙，m甲m乙 d.甲乙，m甲m乙答案b解析从茎叶图中知，甲：5,6,8,10,10,14,18,18,22,25,27,30,30,38,41,43；乙：10,12,18,20,22,23,23,27,31