高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质（2）课件 新人教A版选修21.ppt

第二章 2 2椭圆 2 2 2椭圆的简单几何性质 二 学习目标1 进一步巩固椭圆的简单几何性质 2 掌握直线与椭圆位置关系等相关知识 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一点与椭圆的位置关系 答案 思考2 答案 梳理 知识点二直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系 有三种位置关系 分别有相交 相切 相离 答案 思考2 答案 梳理 1 判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立 消去一个未知数 得到一个一元二次方程 若 0 则直线和椭圆 若 0 则直线和椭圆 若 0 则直线和椭圆 相离 相交 相切 2 根与系数的关系及弦长公式 弦长 3 直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的 判断直线和椭圆相交可利用 0 题型探究 类型一点 直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1点与椭圆位置关系的判断 答案 解析 引申探究若将本例中p点坐标改为 p 1 k 呢 答案 解析 处理点与椭圆位置关系问题时 紧扣判定条件 然后转化为解不等式等问题 注意求解过程与结果的准确性 反思与感悟 a 点 3 2 不在椭圆上b 点 3 2 不在椭圆上c 点 3 2 在椭圆上d 以上都不正确 答案 解析 a 相交b 相切c 相离d 不确定 直线y kx k 1 k x 1 1过定点 1 1 且该点在椭圆内部 因此必与椭圆相交 答案 解析 命题角度2直线与椭圆位置关系的判断 解答 直线与椭圆的位置关系判别方法 代数法 联立直线与椭圆的方程 消元得到一元二次方程 1 0 直线与椭圆相交 有两个公共点 2 0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点 3 0 直线与椭圆相离 无公共点 反思与感悟 a 1b 1或2c 2d 0 所以点 3 1 在椭圆的内部 故直线l与椭圆有2个公共点 答案 解析 答案 解析 类型二弦长及中点问题 解答 方法一根与系数的关系 中点坐标公式法由椭圆的对称性 知直线ab的斜率存在 设直线ab的方程为y 1 k x 2 将其代入椭圆方程并整理 得 4k2 1 x2 8 2k2 k x 4 2k 1 2 16 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2是上述方程的两根 又m为线段ab的中点 故所求直线的方程为x 2y 4 0 方法二点差法设a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 m 2 1 为线段ab的中点 x1 x2 4 y1 y2 2 又a b两点在椭圆上 于是 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 故所求直线的方程为x 2y 4 0 方法三对称点法 或共线法 设所求直线与椭圆的一个交点为a x y 由于点m 2 1 为线段ab的中点 则另一个交点为b 4 x 2 y a b两点都在椭圆上 得x 2y 4 0 即点a的坐标满足这个方程 根据对称性 点b的坐标也满足这个方程 而过a b两点的直线只有一条 故所求直线的方程为x 2y 4 0 引申探究在本例中求弦ab的长 由上例得直线ab方程为x 2y 4 0 x x 4 0 得x 0或x 4 得两交点坐标a 0 2 b 4 0 解答 直线与椭圆的交点问题 一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题 即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式 解决弦长问题 一般应用弦长公式 而用弦长公式时 若能结合根与系数的关系 设而不求 可大大简化运算过程 反思与感悟 解答 若设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 0 x1x2 18 2 当点p恰好为线段ab的中点时 求l的方程 解答 方法一设l的斜率为k 则其方程为y 2 k x 4 1 4k2 x2 32k2 16k x 64k2 64k 20 0 由于ab的中点恰好为p 4 2 由于p 4 2 是ab的中点 x1 x2 8 y1 y2 4 类型三椭圆中的最值 或范围 问题 例4已知椭圆4x2 y2 1及直线y x m 1 当直线和椭圆有公共点时 求实数m的取值范围 解答 2 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 设直线与椭圆交于a x1 y1 b x2 y2 两点 由 1 知 5x2 2mx m2 1 0 所以当m 0时 ab 最大 此时直线方程为y x 解答 求最值问题的基本策略 1 求解形如 pa pb 的最值问题 一般通过椭圆的定义把折线转化为直线 当且仅当三点共线时 pa pb 取得最值 2 求解形如 pa 的最值问题 一般通过二次函数的最值求解 此时一定要注意自变量的取值范围 3 求解形如ax by的最值问题 一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决 4 利用不等式 尤其是基本不等式求最值或取值范围 反思与感悟 解答 知点m在以a 3 0 为圆心 1为半径的圆上运动 pm am 即pm为 a的切线 连接pa 如图 当堂训练 2 3 4 5 1 答案 解析 c 2 a 2d 1 a 1 a 相交b 相切c 相离d 相切或相交 24 2 4 5 32 64 0 直线与椭圆相离 答案 解析 2 3 4 5 1 3 已知以f1 2 0 f2 2 0 为焦点的椭圆与直线x y 4 0有且仅有一个公共点 则椭圆的长轴长为 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 2 2 直线y kx b恒过定点 0 b 2 b 2 答案 解析 2 3 4 5 1 解答 设直线l与椭圆的交点为m x1 y1 n x2 y2 2 3 4 5 1 化简得k4 k2 2 0 所以k2 1 所以k 1 所以所求直线l的方程是y x 1或y x 1 2 3 4 5 1 规律与方法 1 直线与椭圆相交弦长的有关问题 1 当弦的两端点的坐标易求时 可直接求出交点坐标 再用两点间距离公式求弦长 3 如果直线方程涉及斜率 要注意斜率不存在的情况 2 解决椭圆中点弦问题的三种方法 1 根与系数的关系法 联立直线方程和椭圆方程构成方程组 消去一个未知数 利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决 2 点差法 利用端点在曲线上 坐标满足方程 将端点坐标分别代