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第3讲 平面向量的数量积基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1已知a,b为单位向量,其夹角为60,则(2ab)b()a1 b0 c1 d2解析(2ab)b2ab|b|2211cos 60120,故选b.答案b2(2014大纲全国卷)若向量a,b满足:|a|1,(ab)a,(2ab)b,则|b|()a2 b. c1 d.解析由题意得2a2b20,即2|a|2|b|20,又|a|1,|b|.故选b.答案b3已知a(1,sin2x),b(2,sin 2x),其中x(0,)若|ab|a|b|,则tan x的值等于()a1 b1 c. d.解析设a与b的夹角为.由|ab|a|b|,得|cos |1,所以向量a与b共线,则sin 2x2sin2x,即2sin xcos x2sin2x.又x(0,),所以2cos x2sin x,即tan x1.答案a4(2015银川质量检测)如图,在矩形abcd中,ab,bc2,点e为bc的中点,点f在cd上,若,则的值是 ()a. b2c0 d1解析依题意得()()22120,故选a.答案a5(2014四川卷)平面向量a(1,2),b(4,2),cmab(mr),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m ()a2 b1 c1 d2解析a(1,2),b(4,2),则cmab(m4,2m2),|a|,|b|2,ac5m8,bc8m20.c与a的夹角等于c与b的夹角,解得m2.答案d二、填空题6(2014上海八校联合调研)向量a(3,4)在向量b(1,1)方向上的投影为_解析依题意得ab1,|b|,因此向量a在向量b方向上的投影为.答案7(2014云南统一检测)已知平面向量a与b的夹角等于,若|a|2,|b|3,则|2a3b|_解析由题意可得ab|a|b|cos 3,所以|2a3b|.答案8(2014江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为,且cos ,向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为,则cos _解析因为a2(3e12e2)29232cos 49,所以|a|3,b2(3e1e2)29231cos 18,所以|b|2,ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128,所以cos .答案三、解答题9已知平面向量a(,1),b.(1)证明:ab;(2)若存在不同时为零的实数k和t,使ca(t23)b,dkatb,且cd,试求函数关系式kf(t)(1)证明ab10,ab.(2)解ca(t23)b,dkatb,且cd,cda(t23)b(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)ab0.又a2|a|24,b2|b|21,ab0,cd4kt33t0,kf(t)(t0)10已知|a|4,|b|3,(2a3b)(2ab)61,(1)求a与b的夹角;(2)求|ab|;(3)若a,b,求abc的面积解(1)(2a3b)(2ab)61,4|a|24ab3|b|261.又|a|4,|b|3,644ab2761,ab6.cos .又0,.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213,|ab|.(3)与的夹角,abc.又|a|4,|b|3,sabc|sinabc433.能力提升题组(建议用时:25分钟)11(2014浙江卷)记maxx,yminx,y设a,b为平面向量,则()amin|ab|,|ab|min|a|,|b|bmin|ab|,|ab|min|a|,|b|cmax|ab|2,|ab|2|a|2|b|2dmax|ab|2,|ab|2|a|2|b|2解析对于min|ab|,|ab|与min|a|,|b|,相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较,它们的大小关系不定,因此a,b均错;而|ab|,|ab|中的较大者与|a|,|b|可构成非锐角三角形的三边,因此有max|ab|2,|ab|2|a|2|b|2,因此选d.答案d12(2015合肥质量检测)在abc中,设222,那么动点m的轨迹必通过abc的()a垂心 b内心 c外心 d重心解析假设bc的中点是o.则22()()22,即()0,所以,所以动点m在线段bc的中垂线上,所以动点m的轨迹必通过abc的外心,选c.答案c13(2014东北三省四市联考)在平面直角坐标系xoy中,已知点a的坐标为(3,a),ar,点p满足,r,|72,则线段op在x轴上的投影长度的最大值为_解析点a的坐标为(3,a),则|3,又,则o,p,a三点共线,|72,故|.设op与x轴夹角为,则op在x轴上的投影长度为|cos |24,即线段op在x轴上的投影长度的最大值为24.答案2414已知平面上三点a,b,c,(2k,3),(2,4)(1)若三点a,b,c不能构成三角形,求实数k应满足的条件;(2)若abc为直角三角形,求k的值解(1)由三点a,b,c不能构成三角形,得a,b,c在同一直线上,即向量与平行,4(2k)230,解得k.(2)(2k,3
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