第八章：平面解析几何.doc

五年高考真题分类汇编：平面解析几何一、填空题1（2013湖南高考理）设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_【解析】本小题主要考查双曲线的定义及其几何性质和余弦定理，考查数形结合思想与运算求解能力，属中档题依题意及双曲线的对称性，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，求得|PF1|4a，|PF2|2a.而|F1F2|2c，所以在PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cosPF1F2，所以4a216a24c224a2ccos 30，即3a22acc20，所以ac0，故双曲线C的离心率为.【答案】2（2013福建高考理）椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_【解析】本题考查椭圆的定义、离心率等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力直线y(xc)过点F1，且倾斜角为60，所以MF1F260，从而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以该椭圆的离心率e1.【答案】13（2013辽宁高考理）已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_.【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及离心率的求解求解此题的关键是能够巧妙地应用过原点的直线与椭圆的两个交点关于原点对称来确定a值，试题也侧重考查了逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力设椭圆的右焦点为F1，在ABF中，由余弦定理可解得|BF|8，所以ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|c5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|AF1|8，所以2a14，a7，所以离心率e.【答案】4（2013安徽高考理）已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的性质，考查考生的转化与化归能力法一：设直线ya与y轴交于点M，抛物线yx2上要存在C点，只要以|AB|为直径的圆与抛物线yx2有交点即可，也就是使|AM|MO|，即a(a0)，所以a1.法二：易知a0，设C(m，m2)，由已知可令A(，a)，B(，a)，则AC(m，m2a)，BC(m，m2a)，因为ACBC，所以m2am42am2a20，可得(m2a)(m21a)0.因为由题易知m2a，所以m2a10，故a1，)【答案】1，)5（2013浙江高考理）设F为抛物线C：y24x的焦点，过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点若|FQ|2，则直线l的斜率等于_【解析】本题考查抛物线方程、性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想及运算求解能力法一：注意到|FQ|2，正好是抛物线通径的一半，所以点Q为通径的一个端点，其坐标为(1，2)，这时A，B，Q三点重合，直线l的斜率为1.法二：令直线l的方程为xty1，由得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，x1x24t22，所以xQ2t21，yQ2t，|FQ|2(xQ1)2y4，代入解得，t1或t0(舍去)，即直线l的斜率为1.【答案】16（2013陕西高考理）双曲线1的离心率为，则m等于_【解析】本题考查双曲线的几何性质和方程思想的具体应用m9.【答案】97（2013江西高考理）抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.【解析】本题考查抛物线、双曲线的标准方程及简单的几何性质，意在考查考生的数形结合思想以及转化与化归的能力由x22py(p0)得焦点F，准线l为y，所以可求得抛物线的准线与双曲线1的交点A，B，所以|AB| ，则|AF|AB| ，所以sin ，即，解得p6.【答案】68（2013北京高考文）若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_【解析】本题主要考查抛物线的方程及其简单的几何性质，意在考查考生的运算求解能力因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以1，p2，准线方程为x1.【答案】2x19（2013江苏高考文）双曲线1的两条渐近线的方程为_【解析】本题考查双曲线的几何性质，意在考查学生的运算能力令0，解得yx.【答案】yx10（2013江苏高考文）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为1(a0，b0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2=d1，则椭圆C的离心率为_【解析】本题考查椭圆的基本概念及性质，意在考查学生的推理能力及运算能力令F(c,0)，B(0，b)，则直线BF的方程为1，所以d1 .又d2c，由d2d1，可得，解得b22c2，所以a23c2，ac，所以e.【答案】117（2013山东高考文）过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d，所以最短弦长为222.【答案】2118（2013福建高考文）椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_【解析】本题主要考查椭圆的定义、图像和性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力直线y(xc)过点F1(c,0)，且倾斜角为60，所以MF1F260，从而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以该椭圆的离心率e1.【答案】1119（2013湖南高考文）设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点若在C上存在一点P，使PF1PF2，且PF1F230，则C的离心率为_【解析】本题主要考查双曲线的离心率和解直角三角形，并结合数形结合思想和转化思想，意在考查考生的转化处理能力和运算能力由已知可得，|PF1|2ccos 30c，|PF2|2csin 30c，由双曲线的定义，可得cc2a，则e1.【答案】1120（2013浙江高考文）直线y2x3被圆x2y26x8y0所截得的弦长等于_【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的弦长求法等基础知识，意在考查考生的解析几何思想，以及对基础知识的掌握程度已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，圆心到直线y2x3的距离为d，所以弦长l24.【答案】4121（2013天津高考文）已知抛物线y28x的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_【解析】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程与几何性质，意在考查考生的运算求解能力抛物线y28x的准线x2过双曲线的一个焦点，所以c2，又离心率为2，所以a1，b，所以该双曲线的方程为x21.【答案】x21122（2013湖北高考文）已知圆O：x2y25，直线l：xcos ysin .设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k_.【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系直线l：xcos ysin 1是单位圆x2y21在第一象限部分的切线，圆O：x2y25的圆心到直线l的距离为1，故过原点O与l平行的直线l1与圆O的2个交点到直线l的距离为1，l1关于l对称的直线l2与圆O也有2个交点，共4个【答案】4123（2013陕西高考文）双曲线1的离心率为_【解析】本题主要考查双曲线的几何量之间的关系由几何量之间的关系，得a216，b29，e2，e.【答案】124（2013江西高考文）若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_【解析】本题主要考查圆的方程及待定系数法，考查方程思想及运算求解能力因为圆过原点，所以可设圆的方程为x2y2DxEy0.因为圆过点(4,0)，将点(4,0)代入圆的方程得D4，即圆的方程为x2y24xEy0.又圆与直线y1相切，将其代入圆的方程得x214xE0，又方程只有一个解，所以424(1E)0，解得E3.故所求圆的方程为x2y24x3y0，即(x2)22.【答案】(x2)22125（2013四川高考文）在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_【解析】本题主要考查几何最值问题，从几何方法入手，用代数手段解决，意在考查考生对解析几何和平面几何的结合与转化的能力取四边形ABCD对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P，在APC中，有APPCAC，在BPD中，有PBPDBD，而如果P在线段AC上，那么APPCAC；同理，如果P在线段BD上，那么BPPDBD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是AC与BD的交点易求得P(2,4)【答案】(2,4)126（2013辽宁高考文）已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_【解析】本题主要考查双曲线的定义，双曲线的几何性质，双曲线方程，意在考查考生综合运用圆锥曲线知识解决问题的能力由题意得，|FP|PA|6，|FQ|QA|6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP|FQ|28，所以PQF的周长为|FP|FQ|PQ|44.【答案】44127（2013重庆高考理）过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.【解析】设过抛物线焦点的直线为yk(x)，联立得整理得k2x2(k22)xk20，x1x2，x1x2.|AB|x1x211，得k224，代入k2x2(k22)xk20得12x213x30，解得x1，x2，又|AF|b0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_【解析】依题意得|F1F2|2|AF1|BF1|，即4c2(ac)(ac)a2c2，整理得5c2a2，得e.【答案】130（2012四川高考理）椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B.当FAB的周长最大时，FAB的面积是_【解析】法一：依题意得知，点F(1,0)，不妨设点A(2cos ，sin )(sin 0)，则有B(2cos ，sin )，|FA|FB|2cos ，|AB|2sin ，|FA|FB|AB|42cos 2sin 44sin()，当2k，kZ，即2k，kZ，2cos 1，sin 时，FAB的周长最大，此时FAB的面积等于(11)33.法二：椭圆右焦点为F(1,0)由椭圆定义|AF|AF|BF|BF|2a.则FAB的周长l|AF|BF|AB|4a(|FA|FB|)|AB|4a|FA|FB|AB|4aFAB周长最大时，直线xm经过F(1,0)这时|AB|3，此时SFAB233.【答案】3131（2012湖南高考理）在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_.【解析】曲线C1的普通方程为2xy3，曲线C2的普通方程为1，直线2xy3与x轴的交点坐标为(，0)，故曲线1也经过这个点，代入解得a(舍去)【答案】132（2012辽宁高考理）已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_【解析】易知抛物线yx2上的点P(4,8)，Q(2,2)，且yx，则过点P的切线方程为y4x8，过点Q的切线方程为y2x2，联立两个方程解得交点A(1，4)，所以点A的纵坐标是4.【答案】4133（2012北京高考理）直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为_【解析】直线的普通方程为xy10，圆的普通方程为x2y232，圆心到直线的距离d3，故直线与圆的交点个数是2.【答案】2134在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_【解析】直线l的方程为y(x1)，即xy1，代入抛物线方程得y2y40，解得yA2(yB0，舍去)，故OAF的面积为12.【答案】135（2012天津高考理）已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|MF|，点M的横坐标是3，则p_.【解析】由题意知，抛物线的普通方程为y22px(p0)，焦点F(，0)，准线x，设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|MF|，所以MEF是正三角形，在直角三角形EFA中，|EF|2|FA|，即32p，得p2.【答案】2136. （2012陕西高考理）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米【解析】以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26，所以水面宽为2.【答案】2137.（2012江苏高考理）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_【解析】由题意得m0，a，b，c，由e得5，解得m2.【答案】2138（2012江苏高考理）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_【解析】设圆心C(4,0)到直线ykx2的距离为d，则d，由题意知问题转化为d2，即d2，得0k，所以kmax.【答案】139（2012湖北高考理）如图，双曲线1(a，b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e_；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值_.【解析】由题意可得abc，a43a2c2c40，e43e210，e2，e.设sin ，cos ，e2.【答案】140（2012浙江高考文）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离已知曲线C1：yx2a到直线l：yx的距离等于曲线C2：x2(y4)22到直线l：yx的距离，则实数a_.【解析】因曲线C2：x2(y4)22到直线l：yx的距离为2，则曲线C1与直线l不能相交，即x2ax，x2ax0.设C1：yx2a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d，所以a.【答案】141（2012四川高考文）椭圆1(a为定值，且a)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_【解析】依题意得，点F(，0)，不妨设点A(acos ，sin )，|FA|FB|acos ，|AB|2sin ，|FA|FB|AB|2a2cos 2sin 的最大值是2a 4a12，即a3，因此该椭圆的离心率是.【答案】142（2012天津高考文）设m，nR，若直线l：mxny10与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2y24相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB面积的最小值为_【解析】由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为，即，所以m2n22|mn|，所以|mn|，又A(，0)，B(0，)，所以AOB的面积为3，最小值为3.【答案】3143（2012湖南高考文）在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为_解析：本题主要考查直线的参数方程与两直线平行的概念，意在考查考生的转化处理能力把直线的参数方程转化为普通方程，得l1：x2y10，l2：xy0，由两直线平行，可得11(2)0，且11(1)0，即a4.答案：4144（2012辽宁高考文）已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_【解析】不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1PF2，所以(2)2|PF1|2|PF2|2，又因为|PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24，可得2|PF1|PF2|4，则(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|12，所以|PF1|PF2|2.【答案】2145（2012天津高考文）已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a_b_.【解析】双曲线1的渐近线为y2x，则2，即b2a，又因为c，a2b2c2，所以a1，b2.【答案】12146.（2012江苏高考文）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_【解析】由题意得m0，a，b，c，由e得5，解得m2.【答案】2147（2012江苏高考文）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_【解析】设圆心C(4,0)到直线ykx2的距离为d，则d，由题意知问题转化为d2，即d2，得0k，所以kmax.【答案】148（2012安徽高考文）过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF|_.【解析】抛物线y24x准线为x1，焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由抛物线的定义可知|AF|x113，所以x12，所以y12，由抛物线关于x轴对称，假设A(2,2)，由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y02(x1)，代入抛物线方程消去y得2x25x20，求得x2或，所以x2，故|BF|.【答案】149（2012北京高考文）直线yx被圆x2(y2)24截得的弦长为_【解析】圆心(0,2)到直线yx的距离为d，圆的半径为2，所以所求弦长为22.【答案】2150（2012重庆高考文）设P为直线yx与双曲线1(a0，b0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e_.【解析】由PF1x轴且P点在双曲线的左支上，可得P(c，)又因为点P在直线yx上，所以(c)，整理得c3b，根据c2a2b2得a2 b，所以双曲线的离心率e.【答案】151（2011新课标高考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_【解析】根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为1(ab0)，e，.根据ABF2的周长为16得4a16，因此a4，b2，所以椭圆方程为1.【答案】1152（2011大纲卷高考）已知F1、F2分别为双曲线C：1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2,0)，AM为F1AF2的平分线，则|AF2|_.【解析】依题意得知，点F1(6,0)，F2(6,0)，|F1M|8，|F2M|4.由三角形的内角平分线定理得2，|F1A|2|F2A|；又点A在双曲线上，因此有|F1A|F2A|236,2|F2A|F2A|F2A|6.【答案】6153（2011北京高考）曲线C是平面内与两个定点F1(1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_【解析】因为原点O到两个定点F1(1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a1，所以曲线C不过原点，即错误；因为F1(1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1|PF2|a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|a2，即面积不大于a2，所以正确【答案】154（2011江西高考）若椭圆1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_【解析】由题可设斜率存在的切线的方程为yk(x1)(k为切线的斜率)，即2kx2y2k10，由1，解得k，所以圆x2y21的一条切线方程为3x4y50，求得切点A(，)，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y2x2.令y0得右焦点为(1,0)，令x0得上顶点为(0,2)a2b2c25，故得所求椭圆方程为1.【答案】1155（2011四川高考）双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是_【解析】由已知，双曲线中，a8，b6，所以c10，由于点P到右焦点的距离为4,40)相切，则r_.【解析】将抛物线C的参数方程化为普通方程得y28x，焦点坐标为(2,0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为xy20，又该直线与圆相切，所以圆心(4,0)到该直线的距离等于圆的半径，即r.【答案】158（2011浙江高考）设F1，F2分别为椭圆y21的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A5F2B，则点A的坐标是_【解析】根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(，0)，(，0)，可得F1A(m，n)，F2B(c，d)F1A5F2B，c，d.点A、B都在椭圆上，d21，()21.解得m0，n1，故点A坐标为(0，1)【答案】(0，1)159（2011辽宁高考）已知点(2,3)在双曲线C：1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_【解析】根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c的等式，2c4，即c2.再有双曲线自身的一个等式a2b2c2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a1，b，c2，所以，离心率e2.【答案】2160.（2010全国卷2高考理）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为若，则 【解析】过B作BE垂直于准线于E，M为中点，又斜率为，M为抛物线的焦点，2.【答案】2 161.（2009重庆高考文）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 .解：法一：因为在中，由正弦定理得，则由已知，得，即.设点由焦点半径公式，得则.记得，由椭圆的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率.法二： 由法一知由椭圆的定义知 ，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.【答案】162.（2009江苏高考）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 【解析】 直线的方程为：；直线的方程为：.二者联立解得：， 则在椭圆上， 解得.【答案】二、解答题163（2013湖南高考理）过抛物线E：x22py(p0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1k22，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10，k20，证明：FMFN0，k20，k1k2，所以0k1k221.故FMFN0，所以点M到直线l的距离d.故当k1时，d取最小值.由题设，解得p8.故所求的抛物线E的方程为x216y.164（2013福建高考理）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，A9和B1，B2，B9连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*,1i9)(1)求证：点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若OCM与OCN的面积比为41，求直线l的方程解：本小题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想法一：(1)依题意，过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线的方程为xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为yx.设Pi的坐标为(x，y)，由得yx2，即x210y.所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x210y.(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx10.由得x210kx1000，此时100k24000，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则因为SOCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.又x1x20)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x01时，切线MA的斜率为.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)解：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题以及求解轨迹方程等问题，考查了考生的逻辑思维能力和归纳推理能力(1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为y，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，故切线MA的方程为y(x1).因为点M(1，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0(2)，y0.由得p2.(2)设N(x，y)，A，B，x1x2，由N为线段AB中点知x，y.切线MA，MB的方程为y(xx1).y(xx2).由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0，y0.因为点M(x0，y0)在C2上，即x4y0，所以x1x2.由得x2y，x0.当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2y.因此线段AB中点N的轨迹方程为x2y.166（2013安徽高考理）设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上解：本题考查椭圆方程和椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识和运算求解能力，意在考查推理论证能力以及数形结合思想，对数式变形能力要求较高(1)因为焦距为1，且焦点在x轴上，所以2a21，解得a2.故椭圆E的方程为1.(2)证明：设P(x0，y0)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c.由题设知x0c，则直线F1P的斜率kF1P，直线F2P的斜率kF2P.故直线F2P的方程为y(xc)当x0时，y，即点Q坐标为.因此，直线F1Q的斜率为kF1Q.由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Q1.化简得yx(2a21)将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点P在定直线xy1上167（2013浙江高考理）如图，点P(0，1)是椭圆C1：1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程解：本题考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆C2：x2y24，故点O到直线l1的距离d，所以|AB|22 .又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以|PD|.设ABD的面积为S，则S|AB|PD|，所以S，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1. 168（2013重庆高考理）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外若PQPQ，求圆Q的标准方程解：本题主要考查解析几何问题，意在考查考生的计算能力和转化化归能力(1)由题意知点A(c,2)在椭圆上，则1，从而e21.由e得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4,4)设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取最小值，又因x1(4,4)，所以上式当x2x0时取最小值，从而x12x0，且|QP|28x.因为PQPQ，且P(x1，y1)，所以QPQP(x1x0，y1)(x1x0，y1)0，即(x1x0)2y0.由椭圆方程及x12x0得x80，解得x1，x0.从而|QP|28x.故这样的圆有两个，其标准方程分别为2y2，2y2.169（2013新课标高考理）已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 解：本题主要考查圆的标准方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆的定义、标准方程，直线与椭圆的位置关系等知识，意在考查考生综合运用所学知识解答问题的能力和运算求解能力由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2.若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)，由l与圆M相切得1，解得k.当k时，yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2或|AB|.170（2013新课标高考理）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1 (ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解：本题考查用待定系数法求椭圆方程以及直线与椭圆位置关系的问题，考查利用函数思想求最值，体现对考生综合素质特别是对考生分析问题、解决问题以及化归与转化能力的考查(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3| .由已知，四边形ACBD的面积S|CD|AB| .当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为. 171（2013北京高考理）已知A，B，C是椭圆W：y21上的三个点，O是坐标原点(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由解：本题考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，意在考查方程思想、化归与转化思想等数学思想方法和考生的运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力(1)椭圆W：y21的右顶点B的坐标为(2,0)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得m21，即m.所以菱形OABC的面积是|OB|AC|22|m|.(2)假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为ykxm(k0，m0)由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点