应力与应变.doc

我所认识的应力与应变 机械与动力工程学院 高志伟 22622085201030应力与应变都是都是用来描述物体受到载荷作用后的反应。应力描述的是物体内部各个点的受力状态，应变描述的事物体内部微元体的变形。一 应力1应力的定义作用在物体上的力可以分为外力和内力。外力是指所取的研究对象以外的物体作用于隔离体上的力，而内力则是隔离体内部各部分之间相互作用的力。此外，按力的作用方式，力又可以分为体力和面力，连续作用在物体上的每一个体积微元上的力成为体力，如重力，惯性力。作用在物体表面上的力成为面力，如水压力，接触力等。在截面上一点P的周围取一微元s，设 s的外法线为n, P恒在 s内， s上的力为T,极限存在，则T称为P点在该截面上的应力矢量，量纲为N/m2这是数学角度的定义。实际上应力表示的是内力在某一点的分布集度。2一点的应力状态应力只是描述特定的某一截面上点的受力情况，要搞清楚一点的受力状况，就要知道该处各个截面上的受力情况，即一点的应力状态。点M取三个与坐标面平行的的截面，每一个应力矢量分解为沿三个坐标轴方向的应力分量，则 于是可以得到九个应力分量： 称为应力张量。应力张量是一个二阶张量，应力张量的各个分量在坐标变变换时，服从二阶张量的坐标变换定律。3 一些性质3.1 主应力与张量不变量若再某一方向上T与 n方向一致，则在此截面上剪应力为0，这一方向n称为主方向，相应的截面称为主平面，主平面的正应力称为主应力。带入柯西公式可以得到如有非零解，其系数行列式必定为零，即=0展开后得应力张量的特征值称为特征方程，其系数分别为应力方程有三个实根，可简化为三个系数不随坐标系的变化而变化，所以，分别称为应力张量的第一，第二第三不变量。3.1应力球张量与偏张量对应力张量做分解：=上式中右侧的第一项称为应力球张量。其中称为平均应力，其第二项称为应力偏张量。从力学上来看，应力球张量是物体内部，三个主应力均相等的特殊点，该点处任意方向均为主方向。通过该点得微分单元体 只会均匀膨胀或缩小，即只会产生体积上的变化，而不会发生形状上的变化。 偏斜应力张量反映了一个实际的应力状态偏离均匀应力状态的程度。3.2 八面体上的应力如果取三个主方向为坐标轴，法线 n 与三个坐标轴夹角相等的截面称为等倾面，等倾面的三个方向余弦相等，在空间共有八个这样的等倾面，组成一个八面体。八面体的正应力均相等，正好等于平均应力。3.3 平衡方程和边界条件设物体从P点处取个微小的平行六面体，根据微分体平衡时的达朗贝尔原理，将平衡方程归纳如下：二 应变假想把物体分割成无数个微分平行六面体， 使它们的六个面分别与三个坐标 平面平行，不考虑每个微分平行六面体变形后的刚体转动部分，它们的变形可归 结为两种：棱边的伸长或缩短；棱边间夹角的变化。定义每一条棱边的相对 伸长量或缩短量为正应变，两条棱边之间的夹角的变化为剪应变2.1 转动张量与应变张量根据物体的连续性假设，在物体发生变形时，每一点都产生一个位移 u。各 点的位移一般不相同，它是坐标的函数，即物体存在位移场。 在位移场中考察物体内无限邻近的两点 A 和 B 的位移，用数学方法可得出 A,B 两点的转动张量和应变张量。转动张量描绘物体内微元体的刚性转动.2.2 柯西方程和工程剪应变 在位移场中分析六面体微分元的应变，可得出表示应变的几何方程即柯西方程。 将柯西方程与应变张量比较，应变张量分量 、 和 即为正应变，应变张量分量 、 和 与剪应力分量 、 、 之间的关系：=,=,=，后者称为工程剪应变2.3 应变张量的一些性质和应力张量的性质类似，任一点的应变状态完全可以用该点得应变张量描 绘。存在应变张量的第一、第二和第三不变量。存在主应变，主应变空间。应变 张量也可以分解为应变球张量和应变偏张量。令主应变为，则=0得到第一，第二，第三不变量;应力张量的第一不变量等于该点体积 膨胀系数应变张量可分解成球张量与偏张量的和上式中右侧第一个张量是应变球张量右侧第二个张量称为应变偏量2.4 变形协调方程六个应变分量是通过三个位移分量表示的，它们之间也满足一定的联系，即 应变协调方程。要使以位移分量为未知函数的六个几何方程不相矛盾，则六个应 变分量必须满足应变协调方程。应变分量满足应变协调方程，是保证物体连续的 一个必要条件，如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通物体，一定能通 过几何方程的积分求得