高考数学二轮复习 专题10 算法、推理与证明、复数教学案 文.doc

2014年高考数学（文）二轮复习精品教学案：专题10 算法、推理与证明、复数一考场传真1.【2013年高考陕西卷】设是复数, 则下列命题中的假命题是 （ ）a.若，则是实数b.若，则是虚数c.若是虚数，则 d.若是纯虚数，则2.【2012年高考上海卷】若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）a.， b.， c.， d.，3.【2013年高考浙江卷】某程序框图如图1所示，则该程序运行后输出的值等于_.4.【2013年高考江西卷】阅读如图2所示的程序框图，如果输出，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）a. b. c. d.5.【2013年高考新课标1卷】执行如图3所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（ ） a. b. c. d.【解析】6.【2013年高考陕西卷】观察下列等式: 照此规律, 第个等式可为 .7.【2012年高考湖北卷】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数：；.则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （ ）a. b. c. d.8.【2012年高考浙江卷】定义：曲线上的点到直线a的距离的最小值称为曲线到直线的距离，已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数 .阿二高考研究考纲要求. 1.算法初步（1）算法的含义、程序框图了解算法的含义，了解算法的思想；理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.（2）基本算法语句理解几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.2.推理与证明了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用；了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单推理；了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；了解反证法的思考过程和特点.3.数系的扩充与复数的引入理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.4.框图通过具体实例进一步认识程序框图；通过实例了解工序流程图；能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用；通过实例了解结构图；会运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息.命题规律1.题量、题型稳定：复数、算法程序框图都是高考中的基础题型，一般地，复数与算法程序框图在高考试题中出现两个题目，以填空题或选择题的形式出现，两者各占一题，每题5分；推理证明、新定义的题，在高考题中也经常出现，以填空、选择题的形式出现，一般作为选择、填空的最后一题，一般这些题在高考中出现一题或两题，其所占平均分值比例为.2.知识点分布均衡、重难点突出：以2013年全国新课标卷数学高考考试说明为参考，可理解为有19个知识点，一般考查的知识点在60左右，其中对复数、算法、推理与证明等知识点的考查比较全面，更注重知识点有机结合以及重难点的分布，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，也是新课标高考中新增加的内容，也是新课标高考中新增加的元素.高考十分注重逻辑思维的考查，以循环结构为主，有的也考查条件结构，注重知识点的有机整合，强调知识点在学科内的综合，在考查中也渗透数列、函数以及统计等方面的内容.推理与证明是新课标中的重要内容.高考中也十分注重逻辑思维能力的考查，在推理部分，主要考查归纳推理、类比推理以及新定义，在考查时结合数列、函数以及几何部分的内容，命题时注重了数学学科重点内容的考查以及新定义的理解，并保持必要的深度；在证明部分，加强了直接证明与间接证明法以及数学归纳法在综合中的应用，考查学生的推理论证能力.复数是高中数学的一个基本组成部分.高考中注重复数概念、运算以及几何意义的考查，以复数的四则运算为基石，综合考查复数的概念以及几何意义的理解.3.设计新颖、形式多样、难易适度：复数、算法都是高考中的基础知识，在高考中的考查一般以容易题出现，考查的形式以选择题、填空题出现，考查学生对于复数相关概念以及几何形式的理解以及分析问题的能力、逻辑思维能力，这部分的难度基本控制在0.050.25之间；推理证明、新定义一般处于选择、填空题的最后一题，考查学生逻辑推理能力以及新定义的理解，属于较难题. 试题平均难度为0.29（其中选择、填空难度0.150.52，平均难度0.29，解答题难度在0.110.30，平均难度0.17）.算法与程序框图1.算法：（1）算法概念： 在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.（2）算法的特点:有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.2.程序框图（1）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明.（2）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图必不可少的.输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置.处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内.判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“”；不成立时标明“否”或“”.（3）算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构.顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤.在示意图中，框和框是依次执行的，只有在执行完框指定的操作后，才能接着执行框所指定的操作. 条件结构： 条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构条件是否成立而选择执行框或框.无论条件是否成立，只能执行框或框之一，不可能同时执行框和框，也不可能框、框都不执行.一个判断结构可以有多个判断框.条件结构主要应用于一些需要依据条件进行判断的算法中，如分段函数的的求值、数据大小关系等问题中，常常用条件结构来设计算法. 循环结构的两种基本类型：（a）当型循环：当给定的条件成立时，反复执行循环体，直至条件不成立为止；（b）直到型循环：先第一次执行循环体，再判断给定的条件是否成立，若成立，跳出循环体；否则，执行循环体，直至条件第一次不成立为止.循环结构一般用于一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题常常用循环结构来解决.3.算法语句：（1）输入语句输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开.（2）输出语句输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符.（3）赋值语句赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；赋值语句中的“”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的.赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；对于一个变量可以多次赋值.注意：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式.如：是错误的；赋值号左右不能对换.如“”“”的含义运行结果是不同的；不能利用赋值语句进行代数式的演算.（如化简、因式分解、解方程等）；赋值号“=”与数学中的等号意义不同.（3）条件语句条件语句的一般格式有两种：（a）ifthenelse语句；（b）ifthen语句.2、ifthenelse语句ifthenelse语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2. 分析：在ifthenelse语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；end if表示条件语句的结束.计算机在执行时，首先对if后的条件进行判断，如果条件符合，则执行then后面的语句1；若条件不符合，则执行else后面的语句2.ifthen语句ifthen语句的一般格式为图c，对应的程序框图为图d. 注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；end if表示条件语句的结束.计算机在执行时首先对if后的条件进行判断，如果条件符合就执行then后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句.（4）循环语句循环结构是由循环语句来实现的.对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（while型）和直到型（until型）两种语句结构.即while语句和until语句.（b）当计算机遇到while语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行while与wend之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止.这时，计算机将不执行循环体，直接跳到wend语句后，接着执行wend之后的语句.因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环.until语句 （a）until语句的一般格式是 对应的程序框图是（b）直到型循环又称为“后测试型”循环，从until型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到loop until语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句.分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）（1） 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在while语句中，是当条件满足时执行循环体，在until语句中，是当条件不满足时执行循环推理与证明1.合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情推理.（1）归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理叫做归纳推理，它是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：根据两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理.2.演绎推理：根据一般性的原理，推出某个特殊情况下的结论叫做演绎推理，它是由一般到特殊的推理.基本形式是三段论：（1）大前提，已知的一般性原理；（2）小前提，所研究的特殊情况；（3）结论.1.复数的相关概念：（1）形如的数叫复数，其中叫做复数的虚数单位，且，叫做复数的实部，叫做复数的虚部.复数集用集合c表示.（2）复数的分类：对于复数 当时，是实数； 当时，是虚数； 当且时，是纯虚数.（3）复数相等：若，则的充要条件是且.特别地：若的充要条件是.3.复数的四则运算：（1）共轭复数：实部相等，虚部互为相反数.若，则它的共轭复数.（2）复数的加法、减法、乘法、除法运算：除法法则：；4.重要性质：， ，. ，.二高频考点突破考点1 复数的与实系数方程之间的关系【例1】【广东省广州市2013届高三普通毕业班综合测试二】若（是虚数单位）是关于的方的一个解，则 （ ） a. b. c. d. 【规律方法】根与实系数方程之间的关系体现在，一是根代入方程，相应的等式成立；二是体现在韦达定理上，即实系数一元二次方程的两根分别为、，则，不仅对的情况成立，对的情形（即方程的根为虚根）也成立.【举一反三】【湖北省黄冈中学、黄石二中、鄂州高中2014届高三三校11月联考】已知复数（为虚数单位)是关于的方程（、为实数)的一个根，则的值为（） a. b. c. d.【例2】【广东省广州市海珠区2013届高三综合测试一】下面是关于复数的四个命题：:， ，的共轭复数为 的虚部为，其中真命题为 （ ） a.、 b.、 c.、 d.、【规律方法】对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形式，即，实部为，虚部为.（1）复数的概念：为实数；为纯虚数且；为虚数.（2）复数的几何意义：在复平面内对应的点在复平面对应向量；复数的模.（3）共轭复数：复数与互为共轭复数.【举一反三】【河南省十所名校2013届高三第三次联考】对于任意复数，为虚数单位，则下列结论中正确的是 （ ） a. b. c. d.考点3 算法与数列综合【例3】【2013年高考辽宁卷】执行如图4示的程序框图，若输入，则输出的 （ ） a. b. c. d. 【解析】【规律方法】若数列为公差为的等差数列，型数列求和一般是利用裂项法，裂项公式为，为了方便求出数列的前项和，可以采用将没数列中裂项后被减项写在一起，减数项写在一起，方便观察哪些项消去了，即，但是在处理算法与数列求和问题时，一定要确定循环次数，即在数列中有求和的项数.【举一反三】【河南省豫东豫北十所名校2014届高三阶段检测三】某程序框图如图5所示，则输出的结果为 （ ） a. b. c. d.考点4 判断条件的选择【例4】【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高三第一次联考】若下边的程序框图输出的是，则条件可为 （ ）a.b.c.d.【规律方法】等差数列的求和公式：（为等差数列的公差）；等比数列的求和公式：（为等比数列的公比）.在判断条件的选择上，需要注意两方面的问题：一是控制变量是增大还是减小，从而决定判断条件中对控制变量所使用的不等号；二是循环进行的次数，决定判断条件中临界值的选择.【举一反三】【湖北省恩施高中2014届高三第三次教学质量检测】如图7给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）a. b. c d.考点5 算法与函数综合【例5】【湖北省孝感市2014届高三第一次统一考试】运行如图8所示的算法流程图，当输入的值为（ ）时，输出的值为. a. b. c. d.【规律方法】分段函数问题的求解主要在于根据自变量的不同取值确定相应的函数解析式，利用解析式来求解分段函数问题.对于分段函数的问题，一般有以下几种考查形式：求分段函数值，根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，对于复合函数的求值，计算时遵循由内到外的原则；由函数值求相应的自变量的取值，即令每个解析式等于相应的值求出自变量的值，并对自变量的取值是否在区间进行取舍；求解分段函数不等式，对自变量在相应区间的取值下解不等式，并将解集与定义域取交集得到最终答案.【举一反三】【四川省资阳市2014届高三第一次诊断性考试】已知，根据如图9所示的程序框图，则不等式的解集是_.考点6 归纳推理【例6】【浙江省温州市2014届高三期初联考】用火柴棒摆“金鱼”，如图10所示： 图10按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 .【规律方法】归纳推理主要用于与自然数有关的等式或不等式的问题中，一般在数列的推理中常涉及.即通过前几个等式或不等式出发，找出其规律，即找出一般的项与项数之间的对应关系，一般的有平方关系、立方关系、指数变化关系或两个相邻的自然数或奇数相乘等基本关系，需要对相应的数字的规律进行观察、归纳，一般对于的等式或不等式中的项的结构保持一致.【举一反三】【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题】已知整数按如下规律排成一列：、，则第个数对是 .考点7 类比推理【例7】【陕西省西安市长安区长安一中2014届高三第二次质量检测】对于命题：如果是线段上一点，则；将它类比到平面的情形是：若是内一点，有；将它类比到空间的情形应该是：若是四面体内一点，则有_.【规律方法】类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：线段的长度平面几何中平面图形的面积立体几何中立体图形的体积的类比；等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.【举一反三】【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检】在等差数列中，若，则.类比上述结论，对于等比数列，若，则可以得到 （） a. b. c. d.考点8 新定义【例8】【广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三10月期中联考】设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”若与在上是“关联函数”，则