2015考研数学基础班、高等数学辅导讲义【惊呼网】.pdf

注 仅对数一要求的部分标有 仅对数二 数三要求的部分相应标有 目 录 目 录 第一讲 函数 极限 连续性 1 第二讲 导数与微分 7 第三讲 微分中值定理及导数的应用 11 第四讲 一元函数积分学 15 第五讲 微分方程 20 第六讲 多元函数微分学 23 第七讲 重积分 28 第八讲 曲线积分与曲面积分 23 第九讲 无穷级数 38 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 1 第一讲 函数 极限 连续性 第一讲 函数 极限 连续性 一 函数 一 函数 1 函数 1 函数的定义 设数集DR 则称映射 fDR 为定义在D上的函数 简记为 yf xxD 其中x 称为自变量 y称为因变量 D称为定义域 记为 f D f D为值域 记为 f R 2 函数定义的两要素 定义域 对应法则 2 函数的特性 1 有界性 若 0 M 对于 Ix 都有Mxf 则称 xf在I上有界 2 单调性 设函数 xf的定义域为D 区间DI 若对于 Ixx 21 当 21 xx 时 有 21 xfxf 则称 xf在区间I上单调增加 单调减少 3 奇偶性 设函数的定义域为I 对于Ix 若 xfxf 则称 xf是奇函数 若 xfxf 则称 xf是偶函数 注注 任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和的形 式 即 2 2 xfxfxfxf xf 4 周期性 设 xf的定义域为I 若0 T 对于Ix 使得 xfTxf ITx 则称 xf为周期函数 T为 xf的周期 通常周期是指最小正周期 3 反函数 1 反函数的定义 设函数 fDf D 是单射 则它存在逆映射 1 ff DD 则称映射 1 f 为函 数f的反函数 2 结论 1 ff xx xxff 1 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 2 3 单调函数存在反函数 反之不成立 4 复合函数 1 复合函数的定义 设函数 yf x 的定义域为 f D 函数 ug x 的定义域为 g D 且其值域 gf RD 则函数 g yf g xxD 称为由函数 ug x 与函数 yf u 构成的复合函数 2 只有当函数 xu 的值域与 ufy 的定义域的交非空时 才能将它们复合成复合函 数 5 初等函数 1 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 2 初等函数 由常数和五类基本初等函数进行有限次的四则运算和复合构成的可用一个式子 表示的函数 3 初等函数必须能用一个式子表示 不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数 故分段 函数一般不是 初等函数 二 极限 二 极限 1 数列极限 1 数列极限的定义 设 n x为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数 总存在正整数N 使得 当nN 时 有 n xa M 使得n 有Mxn 保号性 如果axn n lim 且0 a 或0时 有0 n x 或 0 总存在0 使得 当x满足 0 0 xx 时 有 f xA 时 有 f xA M和0 使得当 A 或0 使得当 xf 或0 A 推论 1 如果 lim 0 xf xx 存在 c为常数 则 lim lim 00 xfcxcf xxxx 推论 2 如果 lim 0 xf xx 存在 而n是正整数 则 n xx n xx xfxf lim lim 00 5 函数极限存在的判定准则 夹逼法则 如果函数 f x g x h x满足 1 当 0 xUx 时 g xf xh x 2 Axg xx lim 0 Axh xx lim 0 那么 lim 0 xf xx 存在 且Axf xx lim 0 单调有界准则 设 xf在 0 x的某左邻域内单调有界 则 xf在 0 x的左极限 0 f x 必定 存在 6 复合函数的极限 设 yf g x 是由函数 xgu 和 ufy 复合而成的 yf g x 在 0 x的某去心邻域有定义 若 0 lim 0 uxg xx Auf uu lim 0 且在 0 x的邻域内 0 uxg 则 00 lim lim xxuu f g xf uA 7 两个重要极限 1 sin lim 0 x x x ex x x 1 0 1 lim或 1 lim 1 x x e x 1 lim 1 n n e n 3 无穷小与无穷大 1 无穷小量的定义 如果当 0 xx 时函数 f x极限为零 那么称函数 f x为当 0 xx 时的无穷小 2 无穷小的性质 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 5 有限个无穷小的和仍是无穷小 有限个无穷小的乘积仍是无穷小 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 3 无穷小的比较 设 是在自变量的同一变化过程中的无穷小 且0 则 如果0lim 称 是 的高阶无穷小 记作 o 如果 lim 称 是 的低阶无穷小 0lim c 称 是 的同阶无穷小 0lim c k 称 是 的k阶无穷小 1lim 称 与 是等价无穷小 记作 4 等价无穷小替换定理 设在自变量x的同一变化过程中 1 2 1 2 都是无穷小 而且 21 21 如果A 1 1 lim 则A 1 1 2 2 limlim 三 函数的连续性 三 函数的连续性 1 函数连续性的定义 1 函数 xf在 0 x点连续的定义 设函数 f x在 0 U x内有定义 如果 0 0 lim xx f xf x 那么称函数 f x在点 0 x连续 2 函数 xf在 0 x处连续 000 xfxfxf 2 间断点及其分类 1 间断点的定义 若函数 f x在点 0 x不连续 则点 0 x称为函数 f x的间断点 2 间断点的分类 不存在左 右极限至少有一个第二类间断点 右极限左极限跳跃间断点 右极限左极限可去间断点 左 右极限都存在第一类间断点 间断点 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 6 3 闭区间上连续函数的性质 1 有界最值定理 若函数 xf在 ba上连续 则它在 ba上有界且一定能取到最大值和最小值 即 0 K 使得 bax 有 f xK 以及在 ba上有 1 2 使得mf 1 Mf 2 其中m M分别为 xf在 ba上的最大值和最小值 2 零点定理 设函数 xf在 ba上连续 且0 u 如果 xvvxuu 都可导 则 ln v vu yuvu u 二 微分 二 微分 1 函数的微分 1 微分的定义 设 yf x 在 0 U x内 有 定 义 若 增 量 00 yf xxf x 可 表 示 为 yA xox 其中A是不依赖于x 的常数 则称函数 yf x 在点 0 x是可微的 而 A x 叫做函数 yf x 在点 0 x相应于增量x 的微分 记作dy 即dyA x 2 函数连续 可导与可微之间的关系 函数 xfy 在点x处可微 xf在x处可导 此时 xfA 即dxxfdy 函数 xf在 0 xx 可导 xf在 0 xx 可微 xf在 0 xx 连续 3 微 分 的 几 何 意 义 00 xfxxfy 是 曲 线 xfy 在 0 xx 处对应于自变量的增量x 的纵坐标的增 量 而微分 0 xx dy 是曲线 xfy 在点 00 xfx处的切线的纵坐标相应的增量 2 复合函数的微分法则 设 ufy 及 xgu 都可导 则复合函数 xgfy 的微分 为 dxxgufdxydy x 由于dudxxg 所以复合函数 xgfy 的微分也可以写 为duufdy 或 u dyy du 因此 无论u是自变量还是中间变量 微分形式 duufdy 保持不变 该性质称为一阶微分形式不变性 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 10 第三讲 微分中值定理及导数的应用 第三讲 微分中值定理及导数的应用 一 微分中值定理 一 微分中值定理 1 罗尔定理 如果函数 f x满足 1 在闭区间 a b上连续 2 在开区间 a b内可导 3 在区间端点处的函数值相等 f af b 则在 a b内至少存在一点 ab 使得 0f 2 拉格朗日中值定理 如果函数 f x满足 1 在闭区间 a b上连续 2 在开区间 a b内可导 那么在 a b内至少存在一点 ab 使得 f bf afba 3 柯西中值定理 如果函数 f x及 g x满足 1 在闭区间 a b上连续 2 在开区间 a b内可导 3 对任一 xa b 0g x 那么在 a b内至少存在一点 ab 时 x f 和 x g 都存在 且0 x g 3 lim xg xf x 存在 或为无穷大 则 lim lim xg xf xg xf xx 注 注 仅当 0 0 型或 型才可以考虑用洛比达法则 对于 0 0 0 1 0 型的未 定型可以通过转化成为 0 0 型或 型后 再考虑使用洛比达法则 三 泰勒公式 三 泰勒公式 1 泰勒中值定理 设 xf在含有 0 x的某开区间I内有直到 1 n阶导数 则对于 Ix 2 0 0 2 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n 其中 1 0 1 1 n n xx n nf xR 介于 0 x与x之间 2 麦克劳林公式 设 xf在含有0 x的某开区间I内有直到 1 n阶导数 则对于 Ix 1 21 0 0 0 0 2 1 nn nn fffx f xffxxxx nn 01 x f 那么 xfy 在 ba内单调增加 2 如果在在 ba内0 x f xf单调 而不能由 xf单调 0 x f 只能得到0 x f 五 曲线的凸凹性和拐点 五 曲线的凸凹性和拐点 1 曲线的凸凹性 1 定义 设 函 数 f x在 区 间I上 连 续 如 果 对I上 任 意 两 点 12 x x恒 有 1212 22 xxf xf x f 那么称 f x在I上的图形是 向上 凸的 或凸弧 2 判别法 设函数 xfy 在 ba上连续 在 ba内具有一阶和二阶导数 则 若在 ba内0 xf 则 xf在 ba上图形是凹的 若在 ba内0 xf 则 xf在 ba上图形是凸的 2 拐点 1 定义 设 yf x 在区间I上连续 如果点 0 x为I的内点 如果曲线 yf x 在经过 00 xf x时 曲线的凹凸性改变了 那么就称点 00 xf x为曲线的拐点 2 拐点的判定 若0 0 x f 或 0 x f 不存在但 xf在 0 x点连续 当在 0 x点的左 右邻域内 x f 异号时 00 xfx是曲线的 xfy 的一个拐点 3 渐近线 1 水平渐近线 若cxf x lim 则直线cy 是曲线 xfy 的一条水平渐近线 2 垂直渐近线 如果 lim 0 xf xx 则直线 0 xx 是曲线 xfy 的一条垂直渐近线 3 斜渐近线 如果存在直线 Lbkxy 使得当 x 或 x x 时 曲线 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 13 xfy 上的动点 yxM到直线L的距离0 LMd 则称直线L为曲线 xfy 的 渐近线 若直线L的斜率0 k 则称L为斜渐近线 4 直线 Lbkxy 是曲线 xfy 的渐近线 则 x xf k x x x lim kxxfb x x x lim 六 函数的极值与最值 六 函数的极值与最值 1 函数的极值 1 函数极值的定义 设 函 数 f x在 0 U x内 有 定 义 如 果 对 于 0 o xU x 有 00 f xf xf xf x或那么就称 0 f x是函数 f x的一个极大值 或极小值 2 函数的极大 小 值只是它的局部的最大 小 值 不一定是它的全局的最大 小 值 3 必要条件 设函数 f x在 0 x点可导 且在 0 x处取得极值 则必有0 0 x f 注 注 驻点不一定是极值点 极值点不一定是驻点 但在可导的条件下 极值点一定是驻点 2 判定极值充分条件 1 第一充分条件 设函数 xf在 0 x处连续 且在 0 x的某去心邻域 0 xU 内可导 则 若 00 xxx 时 0 x f 00 xxx时 0 x f 则 xf在 0 x处取 得极大值 若 00 xxx 时 0 x f 则 xf在 0 x处取 得极小值 2 第二充分条件 设函数 xf在 0 x处具有二阶导数且 0 0fx 0 0fx 则 当0 0 x f时 函数 xf在 0 x处取得极小值 3 函数的最大 小 值不一定是它的极大 小 值 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 14 第四讲 一元函数积分学 第四讲 一元函数积分学 一 不定积分 一 不定积分 1 原函数的定义 如果在区间I上 可导函数 F x的导函数为 f x 即对任一xI 都有 F xf x 那么函数 F x就称为 f x 或 f x dx 在区间I上的原函数 2 若函数 xf在区间I上连续 则它在区间I上存在原函数 3 不定积分的定义 在区间I上 函数 f x的带有任意常数项的原函数称为 f x在区间I上的不定积分 记作 f x dx 其中 称为积分号 f x为被积函数 f x dx为被积表达式 x称为积 分变量 4 基本积分公式 1 kdxkxC k是常数 2 1 1 1 x x dxC 3 ln dx xC x 4 2 arctan 1 dx xC x 5 2 arcsin 1 dx xC x 6 cossinxdxxC 7 sincosxdxxC 8 2 2 sectan cos dx xdxxC x 9 2 2 csccot sin dx xdxxC x 10 sec tansecxxdxxC 11 csc cotcscxxdxxC 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 15 12 xx e dxeC 13 ln x x a a dxC a 二 不定积分的积分法 二 不定积分的积分法 1 第一换元积分法 凑微分法 设 uf具有原函数 xu 可导 则 xdxfdxxxf xu 令 CxFCuFduufdxxxf 2 第二换元积分法 设 xt 单调的可导函数 且 0t 若 ftt dtG tC 则 1 xt f x dxftt dtG tCGxC 令 3 分部积分法 设 xuu xvv 具有连续导数 则 dxxuxvxvxudxxvxu 四 定积分 四 定积分 1 定积分的定义 设函数 f x在 a b上有界 在 a b中任意插入若干个分点把区间 a b分成n个小 区间 01 x x 12 x x 1 nn xx 各个小区间的长度依次为 110 xxx 221 xxx 1nnn xxx 在每个小区间 1 ii xx 上任取一点 i 1iii xx 作 函 数 值 i f 与 小 区 间 长 度 i x 的 乘 积 ii fx 1 2 in 并 作 出 和 1 n ii i Sfx 记 12 max n xxx 如果不论对 a b怎么样划分 也不论 在小区间 1 ii xx 上 i 怎样选取 只要当0 时 和S总趋于确定的极限I 那么称这 个极限I为函数 f x在 a b上的定积分 记作 b a f x dx 即 0 1 lim n b ii a i f x dxfx 其中 f x叫做被积函数 f x dx称为被积表达式 x称为积分变量 a叫做积分下限 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 16 b叫做积分下限 a b叫做积分区间 2 定积分的几何意义 函数 xf在 ba上的定积分是曲线 xfy 与直线ax bx x轴所围成的曲边梯形面积的代数和 3 定积分的性质 1 两条规定 0 a a dxxf a b b a dxxfdxxf 2 定积分的性质 b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf b a b a dxxfkdxxkf k是常数 设bca 则 b c c a b a dxxfdxxfdxxf 如果在区间 ba上1 xf 则 b a abdxxf 如果在区间 ba上 0 xf 则 b a dxxf0 ba 推论 1 如果在区间上 xgxf 则 b a b a dxxgdxxf ba qp特征方程有两个不同的实根 21 则通解为 xx eCeCy 21 21 当04 2 qp 特征方程有二重根 21 则通解为 x exCCy 1 21 当 04 2 使得当点 0 o P x yDU P 时 都有 f PAf x yA 成 立 那 么 就 称 常 数A为 函 数 f x y当 00 x yxy 时 的 极 限 记 作 00 lim x yxy f x yA 3 二元函数的连续性定义 设二元函数 f x y的定义域为D 000 P xy是D的聚点 且 0 PD 如果 00 00 lim x yxy f x yf xy 则称函数 f x y在点 000 P xy连续 二 偏导数 二 偏导数 1 偏导数的定义 设二元函数 zf x y 在 0 U P 内有定义 当y固定在 0 y而x在 0 x处有增量x 时 相应的函数有增量 0000 f xx yf xy 如果 0000 0 lim x f xx yf xy x 存在 则 称 此 极 限 为 函 数 zf x y 在 点 00 xy处 对x的 偏 导 数 记 作 00 x fxy 0 0 x x y y f x 0 00 0 x x x y yx x y y z z x 或 类 似 地 函 数 zf x y 在 点 00 xy处 对y的 偏 导 数 定 义 为 0000 0 lim y f xyyf xy y 记作 0 000 00 00 x xyy y yx xx x y yy y fz fxyz yy 或 2 偏导数的几何意义 00 x fxy 表示曲面 zf x y 与平面 0 yy 的截线在点 0000 xyf xy处的切线 关 于x轴 的 斜 率 00 y fxy 表 示 曲 面 zf x y 与 平 面 0 xx 的 截 线 在 点 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 24 0000 xyf xy处的切线关于y轴的斜率 3 二元函数的二阶偏导数 设 yxfz 则 2 2 x z x yxf x z xx 2 x z y yxf yx z xy 2 y z x yxf xy z yx 2 2 y z y yxf y z yy 4 如果函数 yxfz 的两个二阶混合偏导数 yx z 2 和 xy z 2 都在区域D内连续 那么在该 区域内这两个二阶混合偏导数必相等 三 全微分 三 全微分 1 全微分的定义 设函数 zf x y 在点 x y的某邻域内有定义 如果函数在点 x y的全增量 zf xx yyf x y 可表为 zA xB y 其中 A B不依赖于 xy 而仅与 x y相关 22 xy 则称函数 zf x y 在点 x y可微分 而 A xB y 称为函数 zf x y 在点 x y的全微分 记作dz 即dzA zB y 2 可微的必要条件 如果函数 yxfz 在点 yx可微分 则该函数在点 yx的偏导数 x z y z 必定存 在 且函数 yxfz 在点 yx的全微分为y y z x x z dz 3 可微的充分条件 如果函数 yxfz 的偏导数 x z y z 在点 yx连续 则函数在该点可微分 四 多元复合函数的求导法则 四 多元复合函数的求导法则 1 多元复合函数的求导法则 链式法则 1 一元函数与多元函数复合的情形 如果函数 tu 及 tv 都在点t可导 函数 vufz 在对应点 vu具有连续 偏导数 则复合函数 ttfz 在点t可导 且有 dt v v z dt u u z dt dz 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 25 2 多元函数与多元函数复合的情形 如果函数 yxu 和 yxv 在点 yx具有对x及对y的偏导数 函数 vufz 在对应点 vu具有连续偏导数 则复合函数 yxyxfz 在点 yx 的两个偏导数都存在 且有 x v v z x u u z x z y v v z y u u z y z 2 全微分形式的不变性 dv v z du u z dz 不管u v是中间变量还是自变量都成立 该性质叫全微分形式 的不变性 五 隐函数的求导 五 隐函数的求导 1 由方程确定的隐函数 1 一元隐函数 设函数 yxF在点 00 yxP的某邻域内具有连续偏导数 且0 00 yxF 0 00 yxFy 则方程0 yxF在点 00 yx的某邻域内恒能唯一确定一个连续且具有 连续导数的函数 xfy 它满足条件 00 xfy 且 y x F F dx dy 2 二元隐函数 设函数 zyxF在点 000 zyxP的某邻域内具有连续偏导数 且0 000 zyxF 0 000 zyxFy 则方程0 zyxF在点 000 zyx的某邻域内恒能唯一确定一个连 续且具有连续导数的函数 yxfz 它满足条件 000 yxfz 且 z x F F x z z y F F y z 2 由方程组确定的隐函数 设 vuyxF vuyxG在点 0000 vuyxP的某邻域内具有对各个变量的连续 偏导数 又0 0000 vuyxF 0 0000 vuyxG 且偏导数所组成的函数行列式 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 26 v G u G v F u F vu GF J 在点 0000 vuyxP不等于零 则方程组0 vuyxF 0 vuyxG在点 0000 vuyx的某邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数 的函数 yxuu yxvv 它们满足条件 000 yxuu 000 yxvv 并有 vu vu vx vx GG FF GG FF vx GF Jx u 1 vu vu xu xu GG FF GG FF xu GF Jx v 1 vu vu vy vy GG FF GG FF vy GF Jy u 1 vu vu yu yu GG FF GG FF yu GF Jy v 1 六 多元函数的极值及其求法 六 多元函数的极值及其求法 1 多元函数的极值的定义 设函数 f x y的定义域为D 000 P xy为D的内点 若 0 U PD 使得 0 o x yU P 都有 00 f x yf xy则称函数 f x y在点 00 xy有极小值 00 f xy 点 00 xy称为函数 f x y的极小值点 2 取极值的必要条件 设 函 数 yxfz 在 点 00 yx具 有 偏 导 数 且 在 点 00 yx处 有 极 值 则 00 0 x fxy 00 0 y fxy 注 注 函数的驻点不一定 是极值点 3 取极值的充分条件 设函数 yxfz 在点 00 yx的某邻域内连续 且有一阶及二阶连续偏导数 又 00 0 x fxy 00 0 y fxy 令Ayxfxx 00 Byxfxy 00 Cyxfyy 00 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 27 则 yxf在点 00 yx处是否取得极值的条件如下 1 0 2 BAC时具有极值 且当0A时有极小值 2 0 2 BAC时没有极值 3 0 2 BAC时可能有极值 也可能没有极值 需另作讨论 注 二元函数的极值点不一定 是驻点 4 求函数的最大值与最小值 求函数在有界闭区域D上的最大值与最小值用比较法 即比较驻点 偏导数不存在但连 续点处的函数值及在区域D的边界上函数的最大 最小值而得 5 条件极值 求 yxFz 在0 yx 条件下的极值点 先构造辅助函数 yxyxfyxF 解方程组 yxF yxyxfF yxyxfF yyx xxx 求驻点 由问题的实 际意义确定极值 此法叫拉格朗日数乘法 第七讲 重积分 第七讲 重积分 一 二重积分 一 二重积分 1 二重积分的定义 设函数 f x y是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域 1 2 n 其中 i 表示第i个小闭区域 也表示它的面积 在每个 i 上 任取一点 ii 作乘积 iii f 1 2 in 并作和 1 n iii i f 如果各个 小闭区域的直径中的最大值 趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f x y在 闭区域D上的二重积分 记作 D f x y d 即 0 1 lim n iii i D f x y df 其 中 f x y叫做被积函数 f x y d 叫做被积表达式 d 叫面积元素 x与y叫做积 分变量 D叫做积分区域 1 n iii i f 叫做积分和 2 二重积分的几何意义 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 28 当 yxf为闭区域D上的连续函数 且0 yxf 则二重积分 D dyxf 表示 以曲面 yxfz 为顶 侧面以D的边界曲线为准线 母线平行于z轴的曲顶柱体的体积 3 二重积分的性质 1 DD dyxfkdyxkf k为常数 2 dyxgdyxfdyxgyxf DDD 3 如果区域D分为两个闭区域 21 D D 则 12 DDD dyxfdyxfdyxf 4 如果在区域D上 f x yg x y 则 DD dyxgdyxf 特殊地 dyxfdyxf DD 5 设Mm 分别为 yxf在闭区域D上的最小值和最大值 是D的面积 则 D Mdyxfm 6 积分中值定理 设 f x y在有界闭区域D上连续 为D的面积 则存在 D 使得 fdyxf D 二 二重积分的计算 二 二重积分的计算 1 在直角坐标系中 模型模型 I 设有界闭区域 12 Dx y axbxyx 其中 12 xx 在 a b上连续 f x y在D上连续 则 2 1 bx ax DD f x y df x y dxdydxf x y dy 模型模型 II 设有界闭区域 dycyxyyxD 21 其中 12 yy 在 c d上连续 f x y在D上连续则 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 29 DD f x y df x y dxdy 2 1 dy cy dyf x y dx 2 在极坐标系中 模型模型 I 设有界闭区域 12 Drr 其中 12 在 上连续 cos sin f x yf rr 在D上连续 则 cos sin DD f x y df rrrdrd 2 1 cos sin df rrrdr 模型模型 II 设有界闭区域 0 Drr 其中 在 上连续 cos sin f x yf rr 在D上连续 则 cos sin DD f x y df rrrdrd 0 cos sin df rrrdr 3 对称区域上二重积分的性质 1 设 yxf 在有界闭区域D上连续 若D关于x轴对称 则 1 0 2 D D f xyf x y f x y d f x y df xyf x y 其中 1 D为D在x轴的上半平面部分 2 设 yxf 在有界闭区域D上连续 若D关于y轴对称 则 2 0 2 D D fx yf x y f x y d f x y dfx yf x y 其中 2 D为D在y轴的右半平面部分 3 设 yxf 在有界闭区域D上连续 若D关于原点对称 则 3 0 2 D D fxyf x y f x y d f x y dfxyf x y 其中 3 D为D的上半平面或右半平面 4 设 yxf 在有界闭区域D上连续 若D关于直线xy 对称 则 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 30 DDD dxyfyxfdxyfdyxf 2 1 三 三重积分 三 三重积分 1 三重积分的定义 设函数 f x y z是有界闭区域 上的有界函数 将闭区域 任意分成n个小闭区域 1 v 2 v n v 其中 i v 表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个 i v 上任 取一点 iii 作乘积 iiii f 1 2 in 并作和 1 n iiii i fv 如 果各个小闭区域的直径中的最大值 趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f x y z在 闭 区 域D上 的 三 重 积 分 记 作 f x y z dv 即 0 1 lim n iiii i f x y z dvfv 其中 dv叫体积元素 2 三重积分的性质 1 dvzyxfkdvzyxkf k为常数 2 dvzyxgdvzyxfdvzyxgzyxf 3 21 dvzyxfdvzyxfdvzyxf 其中 21 除公共 边界外 1 与 2 不重叠 4 若 zyxgzyxf zyx 则 dvzyxgdvzyxf 5 若Mzyxfm zyx 则MVdvzyxfmV 其中V为 的体积 6 dvzyxfdvzyxf 7 积分中值定理 设 zyxf在空间有界闭区域 上连续 V为 的体积 则存在 使得 f x y z dvfV 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 31 3 三重积分的计算 1 直角坐标系 设 是有界闭区域 若 1212 x y z z x yzz x yxyx axb 则 22 11 bxzx y axzx y f x y z dvdxdyf x y z dz 若 z x y zx yD czd 其中 z D是平行于xy的平面截 所得到的平面 区域 则 z d c D f x y z dvdzf x y z dxdy 2 柱坐标系 设 是有界闭区域 若 1212 x y z z rzz rrrr 则 22 11 cos sin rzr rzr f x y z dxdydzddrf rrz dz 注 注 直角坐标系与柱面坐标系的关系为 zz ry rx sin cos 3 球坐标系 设 是 有 界 闭 区 域 若 1212 x y z rrr 则 dxdydzzyxf 22 11 2 sincos sinsin cos sin r r ddf rrrrdr 注 注 直角坐标系与球面坐标系的关系为 cos sinsin cossin rz ry rx 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 32 第八讲 曲线积分与曲面积分 第八讲 曲线积分与曲面积分 一 对弧长的曲线积分一 对弧长的曲线积分 第一类曲线积分第一类曲线积分 1 对弧长的曲线积分的定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数 f x y在L上有界 在L上任意插入一列点 1 21 n MMM 把L分成n个小段 设第i个小段的长度为 i s 又 ii 为第i个小段上任 意取定的一点 作乘积 1 2 iii fs in 并作和 1 n iii i fs 如果当各小弧段的 长度的最大值0 时 这和的极限总存在 称此极限为函数 f x y在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分 记作 L f x y ds 即 0 1 lim n iii i L f x y dsfs 2 对弧长的曲线积分的性质 1 设 为常数 则 LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf 2 若积分弧段L可分成光滑的曲线 1 L和 2 L 则 dsyxfdsyxfdsyxf LLL 21 3 设在L上 yxgyxf 则 LL dsyxgdsyxf 特别地 有 LL f x y dsf x y ds 3 对弧长的曲线积分的计算 1 设 yxf在曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为 ty tx t 其中 t t 在 上具有一阶连续导数 且0 22 tt 则曲线积分 L dsyxf 存在 且 dtttttfdsyxf L 22 2 设空间曲线L的参数方程 tx ty tz t 则 dtttttttfdszyxf L 222 二 对坐标的曲线积分二 对坐标的曲线积分 第二类曲线积分第二类曲线积分 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 33 1 对坐标的曲线积分的定义 设L为xOy面内从A点到B点的一条有向光滑曲线弧 函数 P x y Q x y在L上有 界 在L上沿L的方向任意插入一点列 1 11222111 nnn Mx yMxyMxy 把L分成 n个有向小弧段 10 1 2 iin MM in MA MB 设 iij xxx iij yyy 点 ii 为 1ii MM 上任意取定的点 如果当各小弧段的长度的最大值0 时 1 n iii i Px 的极限 总存在 称此极限为函数 P x y在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 记作 L P x y dx 类似地 如果 0 1 lim n iii i Qy 总存在 则此极限为函数 Q x y在有向曲线L上对 坐标y 记作 L Q x y dy 2 对坐标的曲线积分的性质 1 dryxFdryxFdryxFyxF LLL 2121 2 若有向曲线弧L可分为两段光滑的有向曲线弧 1 L和 2 L 则 dryxFdryxFdryxF LLL 21 3 设L是有向光滑曲线弧 L是L的反向曲线弧 则dryxFdryxF LL 其中 F x ydrP x y dxQ x y dy 3 对坐标的曲线积分的计算 1 设 yxP yxQ在有向曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为 ty tx 当 参数t单调地由 变到 时 点 yxM从L的起点沿L运动到终点 tt 在以 及 为 端 点 的 闭 区 间 上 具 有 一 阶 连 续 导 数 且0 22 tt 则 曲 线 积 分 L dyyxQdxyxP 存在 且 L dyyxQdxyxP dttttQtttP 2 空间曲线L的参数方程 tx ty tz t 则 dzzyxRdyzyxQdxzyxP L 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 34 dtttttRttttQttttP 三 两类曲线积分之间的关系 三 两类曲线积分之间的关系 1 平面曲线弧L上的两类曲线积分之间的关系为 dsQPQdyPdx LL coscos 其中 yx yx 为有向曲线弧L在点 yx处的切向量的方向角 2 空间曲线弧L上的两类曲线积分之间的关系为 dsRQPRdzQdyPdx LL coscoscos 其中 为有向曲线弧L 在点 zyx处的切向量的方向角 四 格林公式 四 格林公式 1 格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数 yxP及 yxQ在D上具有一阶连续偏 导数 则 L D QP dxdyPdxQdy xy 其中L是D的取正向的边界曲线 2 平面上曲线积分与路径无关 设区域G是一个单连通域 函数 yxP yxQ在G内具有一阶连续偏导数 则曲 线积分 L QdyPdx在G内与路径无关的充分必要条件是 x Q y P 在G内恒成立 3 设区域G是一个单连通域 函数 yxP yxQ在G内具有一阶连续偏导数 则曲线 积分dyyxQdxyxP 在G内为某一函数 yxu的全微分的充要条件是 x Q y P 在 G内恒成立 4 设区域G是一个单连通域 函数 yxP yxQ在G内具有一阶连续偏导数 则曲线 积 分 L QdyPdx在G内 与 路 径 无 关 的 充 要 条 件 是 在G内 存 在 函 数 yxu使 QdyPdxdu 五 对面积的曲面积分五 对面积的曲面积分 第一类曲面积分第一类曲面积分 1 对面积的曲面积分的定义 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 35 设曲面 是光滑的 函数 f x y z在 上有界 把 任意分成n小块 i S i S 同时也 代 表 第i小 块 曲 面 的 面 积 设 iii 是 i S 上 任 意 取 定 的 一 点 作 乘 积 1 2 3 iiii fS in 并作和 1 n iiii i fS 如果当小块曲面的直径的最大 值0 时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f x y z在曲面 上对面积的曲面积分 或第一类曲面积分 记作 f x y z dS 即 0 1 lim n iiii i f x y z dSfS 2 对面积积分的计算 1 若曲面 的方程为 yxzz 则 dxdyzzyxzyxfdSzyxf xy D yx 22 1 其中 xy D是曲面 在xy平面上的投影 2 若曲面 的方程为 zxyy zyxx 也可类似地把对面积的曲面积分化成二重 积分 六 对坐标的曲面积分六 对坐标的曲面积分 第二类曲面积分第二类曲面积分 1 对坐标的曲面积分的定义 设 是光滑的有向曲面 函数 R x y z在 上有界 把 任意分成n块小曲面 i S i S 同时也代表第i块小曲面的面积 i S 在xOy面上的投影为 ixy S iii 是 i S 上 任 意 取 定 的 一 点 如 果 当 各 小 块 曲 面 的 直 径 的 最 大 值0 时 0 1 lim n iiiixy i RS 的极限总存在 则称此极限为函数 R x y z在有向曲面 上 对坐标 x y的曲面积分 记作 R x y z dxdy 即 0 1 lim n iiiixy i R x y z dxdyRS 其中 R x y z叫做被积函数 叫做积分曲面 类似地 0 1 lim n iiiiyz i P x y z dydzPS 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 36 0 1 lim n iiiizx i Q x y z dzdxQS 2 对坐标的面积积分的性质 1 如果 21 则 RdxdyQdzdxPdydz 21 RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz 2 设 是有向曲面 表示与 取相反侧的有向曲面 则 dydzzyxPdydzzyxP dzdxzyxQdzdxzyxQ dxdyzyxRdxdyzyxR 3 对坐标的曲面积分的计算 1 若曲面 的方程为 yxzz xy Dyx yxz在 xy D上连续 zyxR在 上 连续 则 xy D R x y z dxdyR x y z x ydxdy 其中 xy D是 在xy平面的投影 若曲面 指定一侧的法向量与z轴的正向成锐角取正号 成钝角取负号 2 若曲面 的方程为 zyxx yz Dzy zyx在 yz D上连续 zyxP在 上 连续 则 yz D dydzzyzyxPdydzzyxP 其中 yz D是 在yz平面的投影 若 曲面 指定一侧的法向量与x轴的正向成锐角取正号 成钝角取负号 3 若曲面 的方程为 xzyy zx Dxz xzy在 zx D上连续 zyxQ在 上 连续 则 zx D dzdxzxzyxQdzdxzyxQ 其中 zx D是 在zx平面的投影 若 曲面 指定一侧的法向量与y轴的正向成锐角取正号 成钝角取负号 七 两类曲面积分之间的关系 七 两类曲面积分之间的关系 dSRQPRdxdyQdzdxPdydz coscoscos 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 37 其中 cos cos cos为曲面 在点 zyx处的法向量的三个方向余弦 八 高斯公式 斯托克斯公式 八 高斯公式 斯托克斯公式 1 高斯公式 设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成 函数 P x y z Q x y z R x y z 在 上有连续的一阶偏导数 则 PQR dvPdydzQdzdxRdxdy xyz 或 coscoscos PQR dvPQRds xyz 其中 是 是整个边界的外侧 cos cos cos为 在 zyx处的法向量的方向余弦 2 斯托克斯公式 1 设 是分段光滑的空间有向闭曲线 是以 为边界的分片光滑的有向曲面 的 正向与 的侧 即法向量的指向 符合右手法则 函数 P x y z Q x y z R x y z在曲面 连同边界 上具有连续的一阶偏导数 则有 PdxQdyRdz dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R 2 为了便于记忆 利用行列式将上式记为 PdxQdyRdz RQP zyx dxdydzdxdydz 或ds RQP zyx coscoscos 其中 y 与R的 积 为 y R 第九讲 无穷级数 第九讲 无穷级数 一 级数的概念 一 级数的概念 1 级数的定义 如果给定一个数列 1 u 2 u n u 由这个数列构成的表达式 12n uuu 叫做 常数项 无穷级数 简称 常数项 级数 记为 1 n n u 即 12 1 nn n uuuu 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 38 其中第n项 n u叫做级数的一般项 2 级数收敛与发散的定义 如果级数 1 n n u 的部分和数列 n s有极限s 即lim n n ss 则称无穷级数 1 n n u 收敛 s称为级数的和 并写成 12n suuu 如果 n s极限不存在 则称无穷级数 1 n n u 发散 二 收敛级数的性质 二 收敛级数的性质 1 如果级数 1n n u收敛于和s 则级数 1n n ku也收敛 且其和为ks 2 如果级数 1n n u 1n n v分别收敛于s 则 1 n nn vu也收敛 且其和为 s 1 当级数 1n n u和 1n n v都发散时 1 n nn vu不一定发散 2 若级数 1n n u收敛 1n n v发散 则 1 n nn vu必发散 3 改变级数的有限项不改变级数的敛散性 当改变收敛级数的有限项时 一般其和会 改变 4 如果级数 1n n u收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不变 1 收敛级数去括号后所得的级数不一定收敛 2 发散级数加括号后所得的级数不一定发散 3 发散级数去括号后所得的级数一定发散 5 级数收敛的必要条件 若级数 1n n u收敛 则必有0lim n n u 三 正项级数 三 正项级数 1 正项级数的定义 级数 1n n u的通项0 n u 则称 1n n u为正项级数 2 正项级数收敛的充要条件 级数 1n n u收敛 部分和数列 n s有界 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 39 3 比较判别法 1 设级数 1n n u 1n n v都是正项级数 且 nn vu 2 1 n 若级数 1n n v收敛 则级数 1n n u收敛 若 1n n u发散 则级数 1n n v发散 2 设级数 1n n u 1n n v都是正项级数且l v u n n n lim 则 若 l0 则级数 1n n u与 1n n v有相同的敛散性 若0 l 则当 1n n v收敛时 必有 1n n u收敛 若 l 则当 1n n v发散时 必有 1n n u发散 4 比值判别法 设 1n n u是正项级数 如果 n n n u u 1 lim 则当1 或 n n n u u 1 lim 时级数发散 1 级数可能发散也可能收敛 5 根值判别法 设 1n n u是正项级数 如果 n n n ulim 则当1 或 n n n ulim 时级数发散 1 级数可能发散也可能收敛 四 交错级数 四 交错级数 1 交错级数的定义 2 莱布尼茨定理 如果交错级数数 1 1 1 n n n u满足 1 3 2 1 1 nuu nn 2 0lim n n u 则 1 1 1 n n n u收敛 且和 1 us 其余项 1 nn ur 3 绝对收敛的定义 如果级数 1 n n u 各项的绝对值所构成的正项级数 1 n n u 收敛 则称级数 1 n n u 绝对收 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 40 敛 4 条件收敛的定义 如果级数 1 n n u 收敛 而级数级数 1 n n u 发散 则称级数 1 n n u 条件收敛 注 注 如果级数 1n n u绝对收敛 则级数 1n n u必定收敛 五 函数项级数 五 函数项级数 1 函数项级数的定义 对于区间I上的函数列 1 u x 2 ux n ux 则由这函数列构成的表达式 12 n u xuxux 1 称为定义在区间I上的 函数项 无穷级数 简称 函数项 无穷级数 2 收敛 发散 点 收敛 发散 域 对于 0 xI 函数项级数 1 成为常数项级数 10200 n u xuxux 2 如果级数 2 收敛 就称点 0 x是函数项级数的收敛点 如果级数 2 发散 则称