新初二尖子超前班2013年暑期讲义(1-5讲)-思跃教育.pdf

思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 1 第 1 讲 因式分解基本方法 知识总结归纳 一 因式分解的定义 因式分解就是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式 它和整式乘法互为逆运算 二 因式分解注意事项 1 因式分解的对象是多项式 2 因式分解的结果一定是整式乘积的形式 3 分解因式 必须进行到每一个因式都不能再分解为止 4 结果如有相同因式 应写成乘方的形式 5 题目中没有指定数的范围 一般指在有理数范围内分解 三 因式分解主要方法 提取公因式 公式法 分组分解 拆项或添项 十字相乘 试除法 待定系数法 轮 换对称法等 四 提取公因式法注意事项 1 一次提净 2 视 多 为一 3 不要漏 1 4 注意符号 5 仔细观察 6 化 分 为整 五 运用公式法注意事项 1 常用公式需要牢记 做到熟能生巧 2 可能会多次应用公式 直到不能分解为止 3 根据具体情况合理选用公式 六 分组分解注意事项 1 将原式的项适当分组 2 对每一提取公因式或者运用公式进行处理 3 将经过处理后的每一组当作一项 再提取公因式或者运用公式 七 常见公式 1 22 bababa 2 2233 babababa 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 2 3 2233 babababa 4 222 2bababa 5 222 2bababa 6 33223 33bababbaa 7 33223 33bababbaa 8 2222 222cbacabcabcba 9 2222 222cbacabcabcba 10 3 222333 cabcabcbacbaabccba 11 当 n 为正整数时 12321n nnnnnn babbabaababa 12 当 n 为正奇数时 12321n nnnnnn babbabaababa 提取公因式法 例题 1 分解因式 2232 15612acxyabxxa 例题 2 分解因式 23322 6 2cbyxbacbyxba 例题 3 分解因式 2 2 2 23 yxyxyx 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 3 例题 4 分解因式 32 32 32 3 34 yxayxacyxab 例题 5 分解因式 32 32 23 32 yxxyyxyx 例题 6 分解因式 abbaba 4 27 63 3223 小结 提取公因式是因式分解的基本方法之一 在因式分解时 首先应该想到是否有公 因式可提 在与其它方法配合时 即使开始已经提取公因式 但是经过分组或应用公 式后还有可能再出现公因式 凡有公因式应该立即提净 提公因式时 应注意各项的 符号 千万不要漏掉一项 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 4 公式法 例题 7 分解因式 22 4 9nmnm 例题 8 分解因式 526 1275yxyx 例题 9 分解因式 222222 35 53 baba 例题 10 分解因式 325 729yxx 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 5 例题 11 分解因式 22 16249yxyx 例题 12 分解因式 448 2 aa 例题 13 分解因式 abcabccba121218994 222 例题 14 分解因式 2233 5436278xyyxyx 例题 15 分解因式 127243729 246 aaa 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 6 小结 因式分解中 可能会多次应用公式或提取公因式 知道不能分解为止 在这些公 式中 平方差公式是用得最多的 而其他比较复杂的公式 一定要仔细判断原式是否 符合运用公式的条件 还要注意 在一个公式里 当其中某字母是常数的特殊情况时 此公式是如何变化的 分组分解 例题 16 分解因式 aybxbyax 例题 17 分解因式 aybxbyax 例题 18 分解因式 aaxxaxx 1 22 例题 19 分解因式 4523 222xxxxx 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 7 例题 20 分解因式 2222 bcadbdac 例题 21 分解因式 22 21yxx 例题 22 分解因式 1 3 axax 例题 23 分解因式 12 234 xxxx 例题 24 分解因式 2323 yyxx 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 8 分组分解法注意事项 一个整式往往有很多种分组的方法 有时需要经过尝试才能找到适当的分组方法 如果某一种方法失败 则要从零开始 重新分组 高手下棋时绝不会只看一步 同样 在进行分组时 不仅要看到第二步 还要看 到后面几步 思维飞跃 例题 25 分解因式 66 ba 例题 26 分解因式 66 ba 例题 27 证明 1228 不是质数 例题 28 分解因式 333 xzzyyx 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 9 第 2 讲 拆项添项法和十字相乘法 知识总结归纳 一 拆项与添项法注意事项 为了分组分解 常常采用拆项和添项的方法 使得分成的每一组都有公式可以提 取或者可以应用公式 对于按照某一个字母降次排列的三项式 拆开中项是最常见的 方法 配完全平方的时候 往往需要添上一个适当的项或者将某一项适当改变 再利 用公式分解 二 十字相乘法几大类型 1 形如cbxax 2 2 形如 22 cybxyax 3 形如feydxcybxyax 22 4 形如 222 fzeyzdxzcybxyax 三 十字相乘法注意事项 1 要掌握十字相乘 首先要熟悉整数的因数分解 熟悉有理数的加减法 反复练习 熟能生巧 2 形如cbxax 2 如果0 cba 则 1 2 caxxcbxax 拆项与添项 例题 1 分解因式 34 2 xx 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 10 例题 2 分解因式 34 3 xx 例题 3 分解因式 23333 2323 bbbaaa 例题 4 分解因式 862 22 yxyx 例题 5 分解因式 4224 bbaa 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 11 例题 6 分解因式 4224 817bbaa 例题 7 分解因式 44 4nm 例题 8 分解因式 13 24 xx 例题 9 分解因式 123 24 xx 例题 10 分解因式 1 48 xx 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 12 十字相乘 例题 11 分解因式 65 2 xx 例题 12 分解因式 65 2 xx 例题 13 分解因式 67 2 xx 例题 14 分解因式 87 2 xx 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 13 例题 15 分解因式 6 2 xx 例题 16 分解因式 2 12xx 例题 17 分解因式 276 2 xx 例题 18 分解因式 151112 2 xx 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 14 例题 19 分解因式 xx 126 2 例题 20 分解因式 22 276yxyx 例题 21 分解因式 xyyx25144 22 例题 22 分解因式 853 2 xx 例题 23 分解因式 2332 22 yxyxyx 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 15 例题 24 分解因式 20232656 22 yxyxyx 例题 25 分解因式 222 615596zyzxzyxyx 例题 26 已知a b c为三角形的三条边 且027334 222 bbcabcaca 求证 cab 2 例题 27 分解因式 435 22 yxyx 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 16 例题 28 分解因式 yxyxyx4223 22 思维飞跃 例题 29 分解因式 64 2 x 例题 30 分解因式 222222444 222accbbacba 例题 31 m为什么数时 245187 22 myxyxyx可以分解为两个一次因式的积 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 17 第 3 讲 因式分解综合运用 知识总结归纳 每道复杂问题的解法都可以分成若干步 每一步都是一个简单的问题 因此 要解决 复杂问题 首先要解决简单的问题 彻底 纯熟地掌握前面所说的基本方法 即提取公因 式 运用公式 分组分解 拆项添项 十字相乘法 难题 也就不难了 善于换元 例题 1 分解因式 2728 36 xx 例题 2 分解因式 2222 2 84 3 84 xxxxxx 例题 3 证明 四个连续整数的的乘积加 1 是整数的平方 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 18 例题 4 分解因式 22244 bababa 例题 5 分解因式 272 3 1 44 yy 例题 6 分解因式 444 4 4 aa 分清主次 例题 7 分解因式 222222 3bccbabcaccaabba 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 19 例题 8 分解因式 122 1 1 22 yyxxyy 例题 9 分解因式 1 222222 yxbaxybayxab 例题 10 分解因式 222 3103 2babaxbax 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 20 展开处理 例题 11 分解因式 22 bxaybyax 例题 12 分解因式 333333333 yxxzzyzyxxyz 因式分解的应用 例题 13 已知a是自然数 问93 24 aa是质数还是合数 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 21 例题 14 已知1248 可以被 60 与 70 之间的两个整数整除 求这两个整数 例题 15 求证 1397 92781 能被 45 整除 例题 16 若x满足1 45 xxx 计算 200419991998 xxx 思维飞跃 例题 17 求方程07946 yxxy的整数解 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 22 例题 18 分解因式 1 1 2 abba 例题 19 分解因式 199819991998 24 xxx 例题 20 分解因式 2 3 12 10 6 5 4xxxxx 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 23 第 4 讲 方程和不等式综合 知识总结归纳 解绝对值方程或不等式 关键是根据绝对值的定义去掉绝对值符号 为了去掉绝对值 符号 有时要对字母进行分段讨论 解含参数的方程 常常要根据参数的限制条件 对参数的取值进行分类讨论 含绝对值的方程 例题 1 解方程 1 5 1 2 xx 2 675 x 3 9234 xx 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 24 例题 2 解方程 1 341 xx 2 423 xx 例题 3 在100 x时 求满足方程ax 3的整数a的值 例题 4 解方程 312 x 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 25 例题 5 解方程 423 xx 例题 6 已知关于x的方程ax 12有三个整数解 求a的值 含绝对值的不等式 例题 7 求不等式99992006 xx的整数解个数 例题 8 解不等式32 xx 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 26 例题 9 解不等式1324 xx 例题 10 若不等式axx 31有解 求a的取值范围 例题 11 解关于x的不等式11 axax 例题 12 已知方程axx 1有一负根且无正根 求a的取值范围 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 27 含参数的方程 例题 13 解关于x的方程 124 2 axxa 例题 14 解关于x的方程 1 1 2 mxxm 例题 15 解关于x的方程 axxaa 2 3 1 例题 16 证明 若一元一次方程bax 有两个不同的解 1 x和 2 x 求证 这个方程必有有无数多个解 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 28 思维飞跃 例题 17 解方程 1221212 xx 例题 18 已知1 x 1 y 且421 xyyyxu 求u的最大值和最小值 例题 19 若1 abc 解方程 1 1 2 1 2 1 2 cca cx bbc bx aab ax 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 29 第 5 讲 分式运算和分式恒等式 知识总结归纳 一 进行异分母分式的加减运算的基本方法是转化为同分母分式加减运算 转化的关键是 通分 但有时并不必将所有分式全部通分 而是利用一些技巧简化运算 比如逐步通 分法 拆项分项法 分组通分法 换元法等 二 分式的概念 运算与分数的概念 运算有很多相似之处 因而在解决分式的问题时要 重视联系分数的相关问题进行类比思考 分式运算 例题 1 化简 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 dcbacbadbacaba 例题 2 化简 abbcacc bac acabbcb acb bcacaba cba 222 222 思维的发掘 能力的飞跃 新初二尖子超前班 8 年级 30 例题 3 化简 acabbcac ba abcb ac caba cb 22 例题 4 已知 xzzyx 532 化简 zy yx 2 5 例题 5 已知 15 1 ba ab 17 1 cb bc 16 1 ac ca 求