导数压轴精选教师版.docx

1. 已知函数若函数 (x) = f (x)，求函数 (x)的单调区间；设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x0，f (x0)处的切线，证明：在区间(1,+)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切解：（） ，且，函数的单调递增区间为 （） ， 切线的方程为, 即, 设直线与曲线相切于点，,. 直线也为， 即， 由得 ， 下证：在区间（1,+）上存在且唯一.由（）可知，在区间上递增又，结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一，故结论成立2. 设函数(1)讨论函数在定义域内的单调性；(2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围解：当时，增区间为，减区间为，当时，减区间为当时，增区间为，减区间为，由知，当时，在上单调递减，即恒成立，即，又，3. 设是函数的一个极值点.（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）设，若存在，使得 成立，求的取值范围.解：（1） 由题意得：，即，且令得，是函数的一个极值点 ，即 故与的关系式为. 当时，由得单增区间为：；由得单减区间为：和；当时，由得单增区间为：；由得单减区间为：和；（2）由（1）知：当时，在上单调递增，在上单调递减，,在上的值域为. 易知在上是增函数, 在上的值域为. 由于，又要存在，使得成立，必须且只须解得:. 所以，的取值范围为. 4. 设函数（）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点P，求点P的坐标；（）当时，求函数的单调区间；（）当时，设函数，若对于，0，1使成立，求实数b的取值范围.（是自然对数的底，）解：函数的定义域为， （）设点，当时，则，解得，故点P 的坐标为（） 当，或时，当时，故当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为，（）当时，由（）可知函数在上是减函数，在上为增函数，在上为减函数，且，又，故函数在上的最小值为若对于，使成立在上的最小值不大于在上的最小值（*） 又，当时，在上为增函数，与（*）矛盾当时，由及得，当时，在上为减函数，此时综上，的取值范围是5. 设函数，且，其中是自然对数的底数.求与的关系；若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.解：（1）由题意得 而，所以、的关系为.（2）由（1）知，.令，要使在其定义域内单调，只需恒成立.当时，因为，所以0，0，在内是单调递减函数，即适合题意；当0时，只需，即，在内为单调递增函数，故适合题意.当0时，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，故0适合题意. 综上所述，的取值范围为.（3）在上是减函数，时，；时，即，当时，由（2）知在上递减2，不合题意；当01时，由，又由（2）知当时，在上是增函数，不合题意；当时，由（2）知在上是增函数，2，又在上是减函数，故只需，而， 即 2，解得 ，综上，的取值范围是.6. 已知函数.求函数的单调增区间；记函数的图象为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，使得：；曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，请说明理由.解：（）函数的定义域是. 由已知得，. 当时, 令,解得;函数在上单调递增 当时， 当时，即时, 令,解得或;函数在和上单调递增 当时，即时, 显然，函数在上单调递增； 当时，即时, 令,解得或函数在和上单调递增.综上所述:当时,函数在上单调递增当时,函数在和上单调递增当时,函数在上单调递增；当时,函数在和上单调递增.()假设函数存在“中值相依切线”.设,是曲线上的不同两点，且，则，. .曲线在点处的切线斜率， 依题意得：.化简可得 ， 即=. 设 ()，上式化为：,令,.因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.所以在内不存在,使得成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”7. 已知，函数，(的图象连续)求的单调区间；若存在属于区间的，且，使，证明：解：，令，则当变化时，的变化情况如下表：单调递增极大值单调递减所以的单调增区间是，单调减区间是由及的单调性知从而在区间上的最小值为又由，则所以即所以8. 已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点（1）求的值； （2）若1是其中一个零点，求的取值范围；（3）若，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由.=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g (x)的切线的切点坐标为，即 ，令h(x)=，=0，h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，）上单调递增又，h(2)=ln2-10，h(x)与x轴有两个交点，过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线.9. 已知函数求f(x)在0,1上的极值；若对任意成立，求实数a的取值范围；若关于x的方程在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.解：，令（舍去）单调递增；当递减. 上的极大值.由得设，依题意知上恒成立， 上单增，要使不等式成立，当且仅当 由令，当上递增；上递减，而，恰有两个不同实根等价于 1. 10. 已知函数在点处的切线方程为求函数的解析式；若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围解：2分根据题意，得即解得3分所以4分令，即得12+增极大值减极小值增2因为，所以当时，6分则对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以所以的最小值为48分因为点不在曲线上，所以可设切点为则因为，所以切线的斜率为9分则=，11分即因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解所以函数有三个不同的零点则令，则或02+增极大值减极小值增则 ，即，11. 设函数有两个极值点，且求的取值范围，并讨论的单调性；证明：.解: 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；当时，在内为增函数；由知，由得，设，则当时，在单调递增；当时，在单调递减。所以，故 12. 已知函数.讨论函数的单调性；设，如果对任意，求的取值范围.解：的定义域为（0，+）. .当时，0，