高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 第2课时 三角函数线课件 新人教A版必修4.ppt

第一章 三角函数 1 2任意角的三角函数 1 2 1任意角的三角函数 第2课时三角函数线 自主预习学案 江南水乡 水车在清清的河流里悠悠转动 缓缓地把河流里的水倒进水渠 流向绿油油的大地 流向美丽的大自然 在水车转动的瞬间 同学们能想到些什么呢 2 三角函数线的作法如图 设单位圆与x轴的正半轴交于点a 与角 的终边交于点p 角 的顶点与原点重合 角 的始边与x轴的非负半轴重合 过点p作x轴的垂线pm 垂足为m 过点a作单位圆的切线交op的延长线 或反向延长线 于t点 这样就有sin cos tan 单位圆中的有向线段mp om at分别叫做角 的 线 线 线 统称为三角函数线 mp om at 正弦 余弦 正切 知识点拨 三角函数线的位置 正弦线为 的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段 余弦线在x轴上 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上 三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内 正切线在单位圆外 三角函数线的方向 正弦线由垂足指向 的终边与单位圆的交点 余弦线由原点指向垂足 正切线由切点指向切线与 的终边 或反向延长线 的交点 三角函数线的正负 三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值 与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值 三角函数线的书写 有向线段的起点字母在前 终点字母在后 三角函数线的意义 三角函数线的方向表示三角函数值的符号 三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值 3 三角函数线的作用 1 用三角函数线可以比较两数的大小 在代数中 我们经常采用作差 作商 利用函数的单调性等方法比较大小 而三角函数线就表示了三角函数值的大小 所以在比较一些三角函数值的大小时 常采用比较三角函数线的方法 更加方便与直观 2 利用三角函数线可以求角或角的范围 即解简单的三角方程或三角不等式 即由三角函数线得三角函数值 再找角的终边 进而找到角的值或取值范围 1 如图所示 p是角 的终边与单位圆的交点 pm x轴于m at和a t 均是单位圆的切线 则角 的 a 正弦线是pm 正切线是a t b 正弦线是mp 正切线是a t c 正弦线是mp 正切线是atd 正弦线是pm 正切线是at c 2 不论角 的终边位置如何 在单位圆中作三角函数线时 下列说法正确的是 a 总能分别作出正弦线 余弦线 正切线b 总能分别作出正弦线 余弦线 正切线 但可能不只一条c 正弦线 余弦线 正切线都可能不存在d 正弦线 余弦线总存在 但正切线不一定存在 d 3 已知 角的正弦线和余弦线是符号相反 长度相等的有向线段 则 的终边在 a 第一象限角的平分线上b 第四象限角的平分线上c 第二 四象限角的平分线上d 第一 三象限角的平分线上 c d 互动探究学案 命题方向1 利用三角函数线比较大小 典例1 思路分析 利用三角函数线比较三角函数值的大小时 一看三角函数的长度 二看正负 规律总结 利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点 1 关键 在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线 2 注意点 比较大小 既要注意三角函数线的长短 又要注意方向 2 先化为0 360 间的角的三角函数 sin1155 sin 3 360 75 sin75 sin 1654 sin 5 360 146 sin146 在单位圆中 分别作出sin75 和sin146 的正弦线m2p2 m1p1 如右图 因为m1p1sin 1654 命题方向2 利用三角函数线求解不等式 典例2 利用三角函数线证明几何结论 设 是锐角 利用单位圆和三角函数线证明 sin tan 思路分析 sin tan 分别用正弦线 正切线表示出来 用它所对的弧表示出来 从而使关系式得证 典例3 规律总结 解答利用三角函数线求解不等式这类题目时 一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域 在找角的终边所在的区域时 注意对正弦要找单位圆上的纵坐标 对余弦应在单位圆上找横坐标 根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧 即可找到角的终边所在的区域 再根据角的终边所在的区域写出角的范围 解析 设角 的终边与单位圆交于p x y 过p作pq oa pr ob q r为垂足 连接pa pb 如图所示 pq y sin oq x cos 又 在 opq中 qp oq op sin cos 1 错解函数的定义域 典例4 错因分析 因两个不等式中的k各自独立 因此上述两集合是有公共部分的 如图所示 思路分析 解三角不等式组时 先解每个三角不等式 再取它们的交集 取交集时 要注意各自解集中k的独立性 b 1 下列四个命题 一定时 单位圆中的正弦线一定 单位圆中 有相同正弦线的角相等 和 有相同的正切线 具有相同正切线的两