广东省佛山市高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

广东省佛山市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）椭圆+=1的短轴长为（）ab2c2d42（5分）若直线axy+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）a2b1cd13（5分）圆x2+y22x+4y+3=0的圆心坐标为（）a（1，2）b（1，2）c（2，4）d（2，4）4（5分）若pq是假命题，则（）apq是假命题bpq是假命题cp是假命题dq是假命题5（5分）已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的（）a逆命题b否命题c逆否命题d否定6（5分）已知平面，直线m，n，下列命题中不正确的是（）a若m，m，则b若mn，m，则nc若m，m，则d若m，=n，则mn7（5分）已知a，br，则“”是“log2alog2b”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件8（5分）已知f1、f2是椭圆的两个焦点，以线段f1f2为边作正mf1f2，若边mf1的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）ab1cd19（5分）已知圆（x+2）2+y2=16的圆心为m，设a为圆上任一点，n（3，0），线段an的垂直平分线交直线ma于点p，则动点p的轨迹是（）a圆b椭圆c双曲线d抛物线10（5分）如果对于空间任意n（n2）条直线总存在一个平面，使得这n条直线与平面所成的角均相等，那么这样的n（）a最大值为3b最大值为4c最大值为5d不存在最大值二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11（5分）已知空间向量=（x1，1，x），=（x，3，1），若，则x的值为12（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为13（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为14（5分）如图，点a，b分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且ab=2，若点a从（，0）移动到（，0），则ab中点d经过的路程为三、解答题（共6小题，满分80分）15（12分）如图，等腰直角abc的直角顶点c（0，1），斜边ab所在的直线方程为x+2y8=0（1）求abc的面积；（2）求斜边ab中点d的坐标16（12分）如图，正方体abca1b1c1d1中，点f为a1d的中点（）求证：a1b平面afc；（）求证：平面a1b1d平面afc17（14分）在平面直角坐标系xoy中，圆c与x轴、y轴都相切，直线l：x+y4=0平分圆c的面积（1）求圆c的方程；（2）过原点o的直线l1将圆c的弧长分成1：3的两部分，求直线l1的斜率18（14分）如图1，在pbc中，c=90，pc=4，bc=3，pd：dc=5：3，adpb，将pad沿ad边折起到sad位置，如图2，且使sb=（）求证：sa平面abcd；（）求平面sab与平面scd所成锐二面角的余弦值19（14分）已知曲线c：x2=2py（p0），点m是曲线c上的一个动点，过点m且与曲线c相切的直线l的方程为x+y1=0（）求曲线c的方程；（）点a、b是曲线c上的两点，o为原点，直线ab与x轴交于点p（2，0），记oa、ob的斜率为k1、k2，试探求k1、k2的关系，并证明你的结论20（14分）已知圆：x2+y2=64，圆c与圆o相交，圆心为c（9，0），且圆c上的点与圆o上的点之间的最大距离为21（）求圆c的标准方程；（）在x轴上是否存在定点p，使得过点p的直线l被圆o与圆c截得的弦长d1、d2的比值总等于同一常数？若存在，求点p的坐标及的值，若不存在，说明理由广东省佛山市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）椭圆+=1的短轴长为（）ab2c2d4考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：直接利用椭圆的标准方程求解即可解答：解：椭圆+=1可得b=，椭圆+=1的短轴长为：2故选：c点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查2（5分）若直线axy+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）a2b1cd1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：直线与圆分析：利用直线平行的充要条件即可得出解答：解：直线axy+1=0与直线2x+y+2=0平行，解得a=2，故选：a点评：本题考查了直线平行的充要条件，属于基础题3（5分）圆x2+y22x+4y+3=0的圆心坐标为（）a（1，2）b（1，2）c（2，4）d（2，4）考点：圆的一般方程 专题：计算题；直线与圆分析：由方程x2+y22x+4y+3=0可得（x1）2+（y+2）2=2，即可得到圆心的坐标解答：解：由方程x2+y22x+4y+3=0可得（x1）2+（y+2）2=2，圆心坐标为（1，2）故选：b点评：本题考查了圆的标准方程及其配方法，属于基础题4（5分）若pq是假命题，则（）apq是假命题bpq是假命题cp是假命题dq是假命题考点：复合命题的真假 专题：常规题型分析：由题意，可得p，q的真假性，进而得到正确选项解答：由于pq是假命题，则p是假命题，q是假命题，所以p是真命题，q是假命题，所以pq是假命题，pq是真命题，q是真命题，故选a点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断5（5分）已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的（）a逆命题b否命题c逆否命题d否定考点：四种命题 专题：简易逻辑分析：写出命题p与命题q的条件与结论，再根据四种命题的定义判断即可解答：解：命题p：正数a的平方不等于0；命题q：“a不是正数，则它的平方等于0”；满足否命题的定义，故命题p是命题q的否命题故选：b点评：本题考查四种命题的定义；基本知识的考查6（5分）已知平面，直线m，n，下列命题中不正确的是（）a若m，m，则b若mn，m，则nc若m，m，则d若m，=n，则mn考点：命题的真假判断与应用 专题：空间位置关系与距离分析：利用在与平面，直线与直线的平行与垂直的判定定理以及性质定理推出结果即可解答：解：若m，m，则，满足平面与平面平行的判定定理，所以a正确；若mn，m，则n，满足满足直线与平面平行的性质，所以b正确；若m，m，则，满足平面与平面垂直的性质，所以c正确；若m，=n，则mn，也可能得到m，n是异面直线，所以d不正确故选：d点评：本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面平行与垂直的判断与性质，考查基本知识的应用7（5分）已知a，br，则“”是“log2alog2b”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：分别解出关于以及log2alog2b”的a，b的范围，从而得到答案解答：解：由，解得：ab1，由log2alog2b解得：ab0，故“”是“log2alog2b”的充分不必要条件，故选：a点评：本题考察了充分必要条件，考察二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题8（5分）已知f1、f2是椭圆的两个焦点，以线段f1f2为边作正mf1f2，若边mf1的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）ab1cd1考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过题意画出图形，利用勾股定理及椭圆的定义计算即得结论解答：解：不妨设椭圆方程为：+=1（ab0），则m点必在y轴上，如图，连结pf2，mf1f2为正三角形，pf1=mf1=f1f2=c，pf2=c=2ac，2a=（+1）c，即e=，故选：a点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题9（5分）已知圆（x+2）2+y2=16的圆心为m，设a为圆上任一点，n（3，0），线段an的垂直平分线交直线ma于点p，则动点p的轨迹是（）a圆b椭圆c双曲线d抛物线考点：轨迹方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：已知圆（x+2）2+y2=16，易知圆心和半径a为圆上任一点和 n（2，0），线段an的垂直平分线上任一点到两短点的距离相等且交ma于点p有pn=pa，所以pmpn=am=4，即为动点p到两定点m、n的距离之差为常数4，根据双曲线的定义可得结论解答：解：已知圆（x+2）2+y2=16，则的圆心m（2，0），半径为4a为圆上任一点，且am=4n（3，0），线段an的垂直平分线上任一点到两端点的距离相等且交ma于点p有pn=pa所以pmpn=am=4即为动点p到两定点m、n的距离之差为常数4，所以动点p的轨迹是双曲线故选：c点评：求点的轨迹方程常用的有定义法、待定系数法、直译法和间接法其中定义法是最快捷的这里就直接利用了双曲线的定义直接得到结论10（5分）如果对于空间任意n（n2）条直线总存在一个平面，使得这n条直线与平面所成的角均相等，那么这样的n（）a最大值为3b最大值为4c最大值为5d不存在最大值考点：平面的基本性质及推论 专题：探究型分析：分别探究直线的条数为2、3、4的情况，由线面角的定义、线线位置关系以及空间几何体进行判断解答：解：当2条直线时，一定作出与它们都平行的平面，故这两条直线与平面所成的角是0度；当3条直线时，当它们共面时，一定存在平面与它们所成的角相等；不共面时，一定可以它们平移到一点，构成一个椎体，则存在一个平面作为椎体的底面，并且使得此底面与三条直线所成的角相等；当为4条直线时，且三条在一面内，另一条在面外，则面内3条要与一面成角等的话必须是0度，但另一条不可能也成0度，故不存在符合题意的平面故选a点评：本题是一个探究型的题目，需要耐心的一一进行分析，可以借助于空间几何体和反例进行说明，必须做到脑中有图，考查了分析、解决问题和空间信息能力二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11（5分）已知空间向量=（x1，1，x），=（x，3，1），若，则x的值为1或3考点：空间向量的数量积运算 专题：空间向量及应用分析：由，可得=0，解出即可解答：解：，=x（x1）+3+x=0，化为x22x3=0，解得x=3或1故答案为：1或3点评：本题考查了向量垂直与数量积之间的关系，考查了计算能力，属于基础题12（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为2考点：简单线性规划 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的ab0及其内部，再将目标函数z=x+y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z=x+y取得最大值2解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ab0及其内部，其中a（2，0），b（2，2），o为坐标原点设z=f（x，y）=x+y，将直线l：z=x+y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经过点a时，目标函数z达到最大值z最大值=f（2，0）=2故答案为：2点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题13（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为16考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：判断三视图复原的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据求出几何体的体积即可解答：解：几何体是底面为下底为4，上底为2，高为4的直角梯形，几何体的高为4的四棱锥，顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点，几何体的体积为：v=s底h=16故答案为：16点评：本题考查三视图与几何体直观图的关系，判断几何体的形状以及数据对应值是解题关键14（5分）如图，点a，b分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且ab=2，若点a从（，0）移动到（，0），则ab中点d经过的路程为考点：弧长公式 分析：首先设出求出中点的轨迹是以原点为圆心半径为1的圆，然后求出点d和点d的坐标，再由弧长公式得出结果解答：解：设ab的中点为o（x，y），则a（2x，0），b（0，2y）ab=2（2x）2+（2y）2=4 即x2+y2=1所以中点是以原点为圆心半径为1的圆点a从（，0）移动到（，0），d（，） d（，） tandoa=1 tandoa=dod=为中点走过的路径l=1=故答案为：点评：此题考查了轨迹方程的求法以及弧长公式的运用，求出中点的轨迹是解题的关键，属于中档题三、解答题（共6小题，满分80分）15（12分）如图，等腰直角abc的直角顶点c（0，1），斜边ab所在的直线方程为x+2y8=0（1）求abc的面积；（2）求斜边ab中点d的坐标考点：中点坐标公式；直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题：直线与圆分析：（1）由点到直线距离公式求得c到ab边所在直线距离，然后由等腰直角三角形的性质求得ab的长度，代入三角形面积公式得答案；（2）由等腰直角三角形斜边的高与斜边的中线重合，先求出斜边的高线所在直线方程，联立方程组求得斜边ab中点d的坐标解答：解：（1）由点到直线的距离公式求得c到直线x+2y8=0的距离为d=根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的2倍可得|ab|=4则=20；（2）ab所在的直线方程为x+2y8=0，斜率为，则ab边上的高所在直线的斜率为2，高所在直线方程为y=2x1，联立，解得斜边ab中点d的坐标为（2，3）点评：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系，考查了等腰直角三角形的性质，是基础题16（12分）如图，正方体abca1b1c1d1中，点f为a1d的中点（）求证：a1b平面afc；（）求证：平面a1b1d平面afc考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）根据线面平行的判定定理只需证明直线a1b平行平面afc内的直线fo即可；（2）根据面面垂直判定定理只需证明af平面a1b1cd即可解答：证明：（1）连接bd交ac于点o，连接fo，则点o是bd的中点点f为a1d的中点，a1bfo又a1b平面afc，fo平面afc，a1b平面afc（2）在正方体abcda1b1c1d1中，连接b1dacbd，acbb1，ac平面b1bd，acb1d又cd平面a1add1，af平面a1add1，cdaf又afa1d，af平面a1b1cdaf平面afc平面a1b1cd平面afc，即平面a1b1d平面afc点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理17（14分）在平面直角坐标系xoy中，圆c与x轴、y轴都相切，直线l：x+y4=0平分圆c的面积（1）求圆c的方程；（2）过原点o的直线l1将圆c的弧长分成1：3的两部分，求直线l1的斜率考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：（1）根据直线和圆的相切关系求出圆心和半径即可求圆c的方程；（2）根据直线l1将圆c的弧长分成1：3的两部分，转化为圆心到直线的距离进行求解即可解答：解：（1）由题意知，圆心c在直线l：x+y4=0上；圆c与x轴、y轴都相切，圆心c也在直线y=x上，即圆心c（2，2），半径r=2，故圆c的方程为（x2）2+（x2）2=4（2）设直线l1的方程为y=kx，过原点o的直线l1将圆c的弧长分成1：3的两部分，劣弧所对的圆心角为90，则圆心c到直线的距离d=rcos45=，又d=，解得k=2，故直线l1的斜率是2点评：本题主要考查直线和圆的方程的应用，以及圆的标准方程的求解，比较基础18（14分）如图1，在pbc中，c=90，pc=4，bc=3，pd：dc=5：3，adpb，将pad沿ad边折起到sad位置，如图2，且使sb=（）求证：sa平面abcd；（）求平面sab与平面scd所成锐二面角的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（）证明saab，saad，即可证明sa平面abcd；（）延长ba，cd相交于p，连接sp，取sp的中点m，连接ma，md，证明amd为平面sab与平面scd所成锐二面角的平面角，求出ma，md，即可求平面sab与平面scd所成锐二面角的余弦值解答：（）证明：在直角三角形pbc中，pc=4，bc=3，pd：dc=5：3，所以pb=5，pd=2.5，dc=1.5，因为pad=c=90，p=p，所以padpcb，所以，所以pa=2，ab=pbpa=3，ad=1.5，sab中，sa=pa=2，sb=，所以sa2+ab2=sb2，所以saab因为adpb，所以saad，因为abad=a，所以sa平面abcd；（）解：在图2中，延长ba，cd相交于p，连接sp，取sp的中点m，连接ma，md，则因为pa=sa，pd=sd，所以masp，mdsp，所以amd为平面sab与平面scd所成锐二面角的平面角，因为saad，adpb，sapb=a，所以ad平面spb，因为ma平面spb，所以adma在直角三角形spa中，pa=sa=2，m为sp的中点，所以sp=2，ma=，在spd中，pd=sd=2.5，m为sp中点，所以md=，所以cosamp=，所以平面sab与平面scd所成锐二面角的余弦值为点评：考查线面垂直的性质于判定定理，考查平面sab与平面scd所成锐二面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（14分）已知曲线c：x2=2py（p0），点m是曲线c上的一个动点，过点m且与曲线c相切的直线l的方程为x+y1=0（）求曲线c的方程；（）点a、b是曲线c上的两点，o为原点，直线ab与x轴交于点p（2，0），记oa、ob的斜率为k1、k2，试探求k1、k2的关系，并证明你的结论考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（i）联立，化为x22px2p=0，由于直线l与抛物线相切，可得=0，解得p即可（ii）设a（x1，y1），b（x2，y2），直线ab的方程为：y=k（x2），与抛物线方程联立化为x2+4kx8k=0，利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出解答：解：（i）联立，化为x22px2p=0，直线l与抛物线相切，=4p24（2p）=0，p0，解得p=2曲线c的方程为y2=4y（ii）设a（x1，y1），b（x2，y2），直线ab的方程为：y=k（x2），联立，化为x2+4kx8k=0，x1+x2=4k，x1x2=8kk1=，同理可得：k2=k1+k2=k，k1k2=消去k可得：k1k2=，即=2点评：本题考查了直线与抛物线相切的相切、相交问题转化为方程联立与判别式的关系、根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（14分