全国高考数学第二轮复习 专题升级训练13 用空间向量的方法解立体几何问题 理.doc

专题升级训练13用空间向量的方法解立体几何问题(时间：60分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1平面的一个法向量n(1，1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为()a bc d2在二面角l中，平面的法向量为n，平面的法向量为m，若n，m130，则二面角l的大小为()a50b130c50或130d可能与130毫无关系3直三棱柱abca1b1c1中，acb90，bac30，bc1，aa1，m是cc1的中点，则异面直线ab1与a1m所成的角为()a60 b45c30 d904如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e，f分别是棱ab，bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是()a45 b60 c90 d1205过正方形abcd的顶点a，引pa平面abcd.若paba，则平面abp和平面cdp所成的二面角的大小是()a30 b45 c60 d906如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，线段b1d1上有两个动点e，f且ef，则下列结论中错误的是()aacbebef平面abcdc三棱锥abef的体积为定值d异面直线ae，bf所成的角为定值二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7如图所示，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m和n分别是a1b1和bb1的中点，那么直线am与cn所成角的余弦值为_8正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角是_9在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体abcda1b1c1d1，点m是线段dc1上的动点，则点m到直线ad1距离的最小值是_三、解答题(本大题共3小题，共46分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10(本小题满分15分)如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdad2.(1)求pc与平面pbd所成的角；(2)在线段pb上是否存在一点e，使得pc平面ade？并说明理由11(本小题满分15分)(2011湖南高考，理19)如图，在圆锥po中，已知po，o的直径ab2，c是的中点，d为ac的中点(1)证明：平面pod平面pac；(2)求二面角bpac的余弦值12(本小题满分16分)(2011广东高考，理18)如图，在锥体pabcd中，abcd是边长为1的菱形，且dab60，papd，pb2，e，f分别是bc，pc的中点(1)证明：ad平面def；(2)求二面角padb的余弦值参考答案一、选择题1b2c解析：因为二面角的范围是0，180，由法向量的夹角与二面角的大小相等或互补，可知二面角的大小可能是130也可能是50.3d解析：建立坐标系如图所示，易得m，a1(0，0)，a(0，)，b1(1,0,0)，(1，)，.1030，即ab1a1m.4b5b6d二、填空题7解析：以d为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则a(1,0,0)，m，c(0,1,0)，n，.设直线am与cn所成的角为，则cos |cos|.830解析：如图所示，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p，则(2a,0,0)，设平面pac的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线bc与平面pac所成的角为906030.9a解析：以d为原点建立空间直角坐标系(如原图所示)，则a(a,0,0)，d1(0,0，a)设m(0，x，x)(0xa)，有(a，x，x)，(a,0，a)，则cos，则点m到直线ad1的距离d为，当x时，dmina.三、解答题10解：(1)连接ac，设acbdo，连接po.因为pd平面abcd，co平面abcd，所以pdco.由abcd为正方形，知cobd.又pdbdd，所以co平面pbd.所以cpo是pc与平面pbd所成的角在rtpoc中，sincpo，所以cpo，即pc与平面pbd所成的角为.(2)建立如图所示的空间直角坐标系dxyz.设线段pb上存在点e，使得pc平面ade.则存在实数，使得(01)因为p(0,0,2)，b(2,2,0)，所以(2,2，2)，(0,0,2)(2,2，2)(2，2，22)由题意，显然有ad平面pcd，所以pcad.要使pc平面ade，只需再有，即，即0(2)2(2)2(22)0.解得0,1故在线段pb上存在一点e(e为线段pb的中点)，使得pc平面ade.11解法一：(1)连接oc，因为oaoc，d是ac的中点，所以acod.又po底面o，ac底面o，所以acpo.因为od，po是平面pod内的两条相交直线，所以ac平面pod.而ac平面pac，所以平面pod平面pac.(2)在平面pod中，过o作ohpd于h，由(1)知，平面pod平面pac，所以oh平面pac.又pa平面pac，所以paoh.在平面pao中，过o作ogpa于g，连接hg，则有pa平面ogh，从而pahg，故ogh为二面角bpac的平面角在rtoda中，odoasin 45.在rtpod中，.在rtpoa中，.在rtohg中，.所以cos ogh.故二面角bpac的余弦值为.解法二：(1)如图所示，以o为坐标原点，ob，oc，op所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则o(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，p(0,0，)，d(，,0)设n1(x1，y1，z1)是平面pod的一个法向量，则由n1，n1，得所以z10，x1y1.取y11，得n1(1,1,0)设n2(x2，y2，z2)是平面pac的一个法向量，则由，得所以x2z2，y2z2，取z21，得n2(，1)因为n1n2(1,1,0)(，1)0，所以n1n2.从而平面pod平面pac.(2)因为y轴平面pab，所以平面pab的一个法向量为n3(0,1,0)由 (1)知，平面pac的一个法向量为n2(，1)设向量n2和n3的夹角为，则cos .由图可知，二面角bpac的平面角与相等，所以二面角bpac的余弦值为.12解法一：(1)证明：取ad中点g，连接pg，bg，bd.因papd，有pgad，在abd中，abad1，dab60，有abd为等边三角形，因此bgad，bgpgg，所以ad平面pbgadpb，adgb.又pbef，得adef，而degb得adde，又fedee，所以ad平面def.(2)pgad，bgad，pgb为二面角padb的平面角在rtpag中，pg2pa2ag2，在rtabg中，bgabsin 60，cospgb.解法二：(1)证明：取ad中点为g，因为papd，所以pgad.又abad，dab60，abd为等边三角形，因此，bgad，从而ad平面pbg.延长bg到o且使得poob，又po平面pbg，poad，adobg，所以po平面abcd.以o为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线ob，op分别为x轴，z轴，平行于ad的直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系设p(0,0，m