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复数问题的处理策略南京市溧水县第二高级中学（211200） 王俊胜数的扩充，带来了复数的引入，从而解决了我们所遇到的一些新问题下面举例来谈谈复数问题的处理策略一、数形结合例1、若且，求分析：由已知条件不难联想到本题所隐含的“形”是和是以和为两邻边的平行四边形的两条对角线的长解：如图1所示，由，知四边形为正方形故另一条对角线长yxOABCyxOZ1Z1+ Z2Z2图2图1点拨：这样巧妙地以形译数，数形结合不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用例2、若复数，求的最大值和最小值分析：利用复数的几何意义求最值解：如图2，满足的复数所对应的点是以为圆心，为半径的圆表示复数所对应的点和点的距离，由题设所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点距离的最大值与最小值是过的圆的直径被点所分成的两部分，点拨：利用复数的几何意义解题，形象直观，提高数形结合的解题能力二、待定系数法例3、已知为共轭复数，且，求.分析：解决此类问题的基本方法是设复数的代数形式，化虚为实.解：设、，则，代入原式，得，根据复数相等得解得 或 或或所求复数为或或 或点拨：利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想.例4、已知，且，求.解：设、，则.依题意，得.,.由、，得 或解得（舍）；或或.三、取模法例5、已知，求.解：由题设知,两边同时取模，得,平方，得.,.点拨：显然，上述两边取模的方法从整体的角度来处理，比利用复数相等的充要条件来处理要简捷得多.例6、已知、为复数，为纯虚数，且，求.分析：设、，利用复数为纯虚数的充要条件求得，再代入求.解法1：设、，则.由题意，得. ,.将代入，解得,.故.解法2：由题意，设，且，则.,.故.四、方程思想例7、在复数范围内解方程（为虚数单位）.解：原方程化简为.设、，代入上述方程得 ,解得原方程的解是.点拨：本题主要考查复数方程等知识，一般是设出代数形式，利用复数相等的充要条件转化为代数方程.例8、已知，集合同时满足，求整数.解：依题意得：，或，由得，经检验，不合题意，舍去. .由得，又. .综合、得或.点拨：此题中复数之间的等量关系并未直接给出，而是通过集合之间的关系间接给出，因此复习时应注意知识之间的相互联系，解题时应注意思维的广阔性和严谨性的训练.五、转化思想例9、当实数为何值时，.（1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）复数对应的点在复平面的第二象限内.分析：根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解.解：（1）若为实数，则 得. （2）若为虚数，则，且，得，且且. （3）若为纯虚数，则 得. （4）若复数对应的点在第二象限，则 .点拨：本题考查复数集中各数集的分类及复数的几何意义，本题中给出的复数采用的是标准的代数形式，若不然，则应先化为代数形式再依据概念求解.例10、计算：（1）；（2）.分析：（1）将化为，使分子、分母可以约分，简化了运算.（2）找到括号内两个复数之间的内在联系：是简化运算的关键.解：（1）原式=；（2）设，则，.原式=.点拨：（1）复数与及有如下关系：=，=本例的两个小题都运用了上述关系，达到了简化运算的目的.（2）分子分母同乘以，使分母实数化，也是常用的化简技巧.六、分类讨论例11、已知，求.分析：如果由题设求的平方根，再代入计算，则会很复杂，所以可以先对所求式子进行变换，需要什么，再由已知条件求什么.解：原式=，又由，得，或当时，原式=.当时，原式=.综上，原式=或.点拨：（1）求一个数的平方根有两个基本方法：设出代数形式，然后根据复数相等的充要条件求解；配方，如上例中的解法.（2）对于条件求值问题，何时使用条件，应根据问题而定，一般情况下，应先化简再求值.例12、已知复数满足且，求的值.分析：确定一个复数需且仅需两个实数、，而题目恰给出了两个独立条件，采用待定系数法可求出、确定.判断一个复数是否为实数除用定义外，还可用，可使运算简化.解：设、），即，解得或将代入，可得，当时，即，则有；当时，即有，则有或.综上所述，或或.点拨：注意熟练运用共轭复数的性质，