欠秩并联机器人能连续转动转轴存在的物理条件和数学判据.pdf

文章编号 2 2 2 欠秩并联机器人能连续转动转轴存在的 物理条件和数学判据 赵铁石 赵永生 黄 真 燕山大学机械工程学院 秦皇岛 摘 要 本文提出了以约束功率和约束功率变化率同时为零作为约束下刚体能够绕空间固定转 轴连续转动的物理条件 并给出了相应的数学判据 讨论了欠秩 2 并联平台机器人机构和欠秩 2 并联立方角台机器人机构的连续转动转轴和瞬时转轴 关键词 机器人 机构学 运动分析 中图分类号 文献标识码 1 引言 一般的工业机器人通常有六个自由度 自由度少于其阶的机器人机构为欠秩机构 欠秩 机器人相对具有结构简单 造价低等优点 在工业生产及其他领域有着广阔的应用前景 如 年提出的三自由度的 2 空间并联机构已引起广泛兴趣 分别被设计成 手腕 气动手腕 微米机器人 再如 等讨论的 机器人 但由于对这 类欠秩机器人能实现什么样的运动 运动有什么特点等方面的研究较少 影响了它的进一步实 际应用 在这方面 年应用螺旋理论分析了 2 平台机构和角台机构的瞬时运 动及转轴 方跃法 年讨论了三自由度 2 并联机器人操作器的瞬时独立运动 年又进一步分析了它的运动学 需要指出的是 在这些运动中大多数是不能绕同一轴线 连续转动的 瞬时转动0 确定空间刚体在约束状态下能实现的运动 特别是哪些是可实现的连 续的转动 是机构学中一个很有实际意义且尚未解决的问题 也是欠秩机器人实现轨迹规划及 速度控制中所需解决的问题 文 曾采用一种较直观的方法分析过连续转轴 本文从理论上 提出以约束功率和约束功率对时间的导数 约束功率的变化率作为刚体连续转动与瞬时转 动区别的判据 文中以该方法分析了空间 2 并联平台机器人机构和 2 并联立方角台 机器人机构 得到了这种欠秩三自由度机器人上平台能做连续转动 其转轴存在的物理条件和 数学判据 2 约束力及其允许的转动 2 1 被约束刚体的不完全自由度 空间刚体有 个自由度 即 个移动自由度和 个转动自由度 当刚体受到约束时 自由 度减少 它不仅失去了被约束的自由度 而且其余自由度也不再都是完全自由的 即刚体的 第 卷第 期 年 月 机器人 基金项目 国家八六三计划和博士点基金资助项目 收稿日期 个自由度间存在一定的耦联关系 以平面定轴转动刚体为例 它沿 和 向的移动被铰链约 束 只存在一个转动自由度 但转动的轴线不能自由选取 只能通过铰链中心点 即转动自由度 不再完全自由 这种由于其它自由度受到约束而不再完全的自由度被称为刚体的 不完全自由 度 0 这种现象使得分析被约束刚体的运动 特别是被约束刚体的空间运动变得十分复杂 2 2 约束力及其允许的转动 若刚体上作用一节距为零的反螺旋力线矢 刚体的转动又为节距 为零的空间螺旋运动 根据螺旋理论和约束的定义 若运 动 是约束 所允许的转动 则这两个螺旋的互易积为零 即其约束功率为零 式中 为单位力螺旋 为约束力的大小 单位矢量 表示约束力方向 表示刚体上约束 力通过点 的位置矢量 为单位转动螺旋 为角速度的大小 单位矢量 表示转轴方 向 表示刚体上 通过的点 的位置矢量 图 2 并联平台机构 若式 成立 表示允许的纯转动运动的转 动轴线必须平行或相交约束力方向矢量 需要指出的是 在这些允许的转动 轴线中 某些是上平台能以该轴线作连续转动 运动的转轴 但绝大多数轴线是不能作为连续 转动的转轴 在图 所示的 2 机构中 每个 分 支对上平台的约束 可以通过计算各分支 个 运动螺旋的反螺旋得到 它是与转动副轴线共 面方向垂直移动副轴线 并始终经过球铰中心 的力线矢 若移动副方向垂直于转动副轴线 则约束力线矢过球铰中心平行于 转动副轴线 上平台受到三个反螺旋力线矢的作用 它能实现的一个移动为三约束力线矢的公垂线方 向 在这样三个力线矢的约束下 上平台只能沿 轴方向移动 上平台所能实现的转动为同时 与三约束力线矢相交或平行直线 这样的三约束力线矢允许的转动轴线有无穷多条 例如 当 上下平台平行时 满足这样条件的直线为上平台平面内所有的直线 需要指出的是 在这些允 许的转动轴线中 有些为连续转轴 其余为瞬时转轴 但区别连续转轴和瞬时转轴的直观判 别 是很困难和不方便的 下面进一步深入地从理论上讨论这个问题 3 力线矢约束下刚体连续转动与瞬时转动的判别 3 1 力线矢约束下的功率变化率 由 式 在力线矢 约束下 刚体的转动为 它们的约束功率表达式为 将 对时间求导得 机 器 人 年 月 式中 为功率变化率 为各量对时间的导数 分别表示力的大小 角速度大小 力 螺旋方向 运动螺旋方向及两螺旋的相对位置矢量的大小和方向对时间的导数 这里 式中 的 为力线矢 对转动 的 功率变化率0 由于 为约束力 所以 表示该约束力 对该运动所做功率在该瞬时的变化率 3 2 力线矢约束下刚体连续转动转轴的物理条件 根据螺旋理论 若 为反螺旋力线矢 所允许的纯转动 则必有该约束力线矢对该 转动螺旋的互易积为零 即其所做功率为零 其中 还表示转动轴线的线矢量 如果 此线矢量在下一瞬时仍能作为转动运动的转轴 在下一瞬间它仍需满足约束功率为零的条件 这表示功率为零的状态不发生变化 也就是功率变化率保持为零 由此可以认为 刚体在约束反螺旋力线矢 的作用下 转动轴线是连续转轴的物理条件应是反螺旋力对运 动螺旋的功率和功率变化率同时为零 这就是 若仅满足 而 这表明该刚体起始瞬时 但只要刚体绕该转轴转过一个微小角 度之后就有 所以此转轴 只能是 瞬时转轴0 4 32 机构的瞬时转轴和连续转轴 4 1 对 运动链的分析 若刚体在力线矢 约束下的纯转动运动为 设 该力线矢在刚体运动时方向不变且始终通过刚体上的一点 称 点为力线矢在刚体上的 约束点0 在 2 机构中约束点为球铰的中心 在 式中 一般不为零 由 式约 束功率为零得出 约束允许的纯转动为绕方向平行或相交于约束力轴线的转动 在这些允许的 转动轴线中 很多是不能作为连续转动的转轴 在分析 式时 若已经满足约束功率为零 球铰上作用的约束力方向不变 又希望的转动轴线位置和方向都不 变 即有 这样式 可以简化得到 由文 可知 当一矢量 绕另一矢量 转动时 两矢量的叉积可以表示成矢量的导数 当上平台绕轴线 转动时 线上只有过约束点 的矢量 发生绕轴线 转动 据此有 代入式 得 由此得到判别刚体在力线矢 约束下连续转轴的充分必要的数学条件为 分析式 若 则 满足式 若 与 相交则 和 三矢量 共面 满足式 但由于 若要满足式 必需有 第 卷第 期赵铁石等 欠秩并联机器人能连续转动转轴存在的物理条件和数学判据 这只有 也过 点 此时 与 共线 即要求转动轴线 过约束点 若 和 三矢量异面 式 得不到满足 此时 不能成为转轴 由此 在单个力线矢约束下刚体转轴存在的几何条件为 与约束力线矢平行和或相交 于约束点的空间直线可取为刚体绕之作连续纯转动的轴线 与约束力线矢相交但不过约束 点的空间直线仅可作刚体的纯转动的瞬时轴线 与约束力线矢异面的空间直线不能成为刚 体纯转动的轴线 4 2 32 机构上运动平台的连续转轴存在的数学判据 对 2 机构 运动平台受到了三个反螺旋力线矢 的约束 并且各反螺旋力 线矢始终过对应球铰中心并与转动副轴线平行 当转动副轴线与移动副中心线垂直 运动平 台的转轴 为连续转轴的数学判据 则是需要同时满足下面三组方程 式中 为约束力线矢 的方向矢量 是从转轴上一点 到 对应球铰中心的矢量 4 3 32 并联平台机构的连续转轴 图 所示 2 平台机构中 其下平台是等边三角形且转动副轴线沿三角形切线布置 当上下平台平行时 因为 三者共面 所以上平台平面上的任意直线都满足式 3 4若选其中 线为转轴 它能同时满足 所以 可以为上平台的连续转轴 同理 也可为上平台的连续转轴 3 4对于任选的一条平行于 的直线 由于它平行 能满 足式 但 它既不交 于约束点 又不交 于约束点 不能同时满足式 的 三组方程 所以 只是上平台的瞬时转轴并不是它的连续转轴 同理可判别除了 外 上平台平面内的任何直线皆为瞬时转轴 当一杆 如 伸长后上下平台不再平行 此时用上面的方法可验证出只有 是连续转 轴 在平行于下平台的平面 上所有平行于 的直线都满足式 都可以作为上平台 的瞬时转轴 其余空间直线不能成为上平台的转轴 4 4 32 立方角台机构的瞬时转轴和连续转轴 图 2 并联立方角台机构 图 所示 2 并联机构 其特征是 固定角台 2 和动角台 2 皆有相 互垂直相交且相等的三棱边 动 定角台的 棱边相等 这种由动 定角台及三个 分支构成的三自由度并联机构被称为立方 角台机构 由上面的分析可知 动角台分别 受到始终过各自球铰中心且平行各自转动 副轴线的三个反螺旋力线矢的约束 当动角台在初始位置即动 定角台形 如立方体时 动角台上的三个约束力线矢 如图 所示 此时找不到能满足式 的直线 所以 2 立方角台机构在初始位置无连续转 动转轴 设角台边长为 当动角台 两球铰中心的坐标分别达到 机 器 人 年 月 时 此时轴线 既同时过两约束点交两约束力线矢 又平行约束力线矢 也就全面满足式 所以动角台在此位姿时 为其连续转动转轴 同理可得当 平行 或 平行 时也是连续转动转轴 5 结论 在力线矢约束下轴线是连续转动转轴的物理条件为约束功率及约束功率变化率同时 为零 式 给出了 2 机构轴线是连续转动转轴的数学判据 在 2 平台机构 中仅三球铰中心连线为上平台连续转动的转轴 结论与文献 相同 对 2 角台机构 在初始位姿动角台无连续转动转轴 只有当其中两球铰的中心连线平行于通过另一球铰中心 的约束力线矢时 此连线为连续转动转轴 参 考 文 献 黄真 赵铁石 王晶 欠秩三自由度并联机器人平台机构工作空间中的单纯性路径 机器人 21 2 2 2 105 2 2 2 2 33 2 2 31 方跃法 黄真