高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分-25个必考问题--《必考问题12-圆锥曲线》(含解析).doc

必考问题12圆锥曲线【真题体验】1(2012江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_解析建立关于m的方程求解c2mm24，e25，m24m40，m2.答案22(2010江苏，16)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_解析法一x3代入1，y，不妨设M(3，)，右焦点F(4,0)MF4.法二由双曲线第二定义知，M到右焦点F的距离与M到右准线x1的距离比为离心率e2，2，MF4.答案43(2012江苏，19)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)已知(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.()若AF1BF2，求直线AF1的斜率；()求证：PF1PF2是定值解(1)由题设知a2b2c2，e，由点(1，e)在椭圆上，得1，解得b21，于是c2a21，又点在椭圆上，所以1，即1，解得a22.因此，所求椭圆的方程是y21.(2)由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x1my，直线BF2的方程为x1my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，y20.由，得(m22)y2my110，解得y1，故AF1.同理，BF2.()由得AF1BF2，解得m22，注意到m0，故m.所以直线AF1的斜率为.()因为直线AF1与BF2平行，所以，于是，故PF1BF1.由B点在椭圆上知BF1BF22，从而PF1(2BF2)同理PF2(2AF1)因此，PF1PF2(2BF2)(2AF1)2.又由知AF1BF2，AF1BF2，所以PF1PF22.因此，PF1PF2是定值【高考定位】(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B级要求；(2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A级要求；曲线与方程，A级要求【应对策略】圆锥曲线主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质主要是求它们的标准方程及其基本量，几何性质的应用，与直线和圆的综合等问题，其中椭圆是要重点关注的内容.必备知识1椭圆的定义与标准方程设F1，F2(F1F22c)是平面内两定点，P是平面内动点，PF1PF22a，则acP点轨迹是椭圆，并且当焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)，其标准方程为1(ab0)，当焦点坐标为F1(0，c)，F2(0，c)，其标准方程为1(ab0)2椭圆的第二定义设F为平面内一定点，P是平面内动点，l是定直线(Fl)，动点P到定点F的距离与P到定直线l的距离之比为e，则当0e1时，动点P的轨迹是椭圆e是椭圆的离心率，直线l是椭圆的准线3椭圆的几何性质设P(x0，y0)是椭圆1(ab0)上任意一点，F1(c,0)，F2(c,0)，则有PF1PF22a，且1(ab0)，|x0|a，|y0|b，acPF1ac，acPF2ac，|PF1PF2|2c等必备方法1与椭圆有关的参数问题的讨论常用的两种方法： (1)不等式(组)求解法：依据题意，结合图形，列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的变化范围；(2)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围2椭圆中最值的求解方法有两种：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征的意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现某一明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值求函数最值常用的方法：配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法3定点定值问题，所考查的数学思想主要是函数与方程思想、数形结合思想、等价化归思想以及基本不等式的运用等，并且基本上都是建立目标函数，通过目标函数的各种性质来解决问题关于定点定值问题，一般来说，从两个方面来解决问题：(1)从特殊入手，求出定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点(值) .命题角度一圆锥曲线的定义与标准方程命题要点 (1)求圆锥曲线方程；(2)圆锥曲线的性质的应用【例1】 (2012南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线xt(4t4)与椭圆1交于两点P1(t，y1)、P2(t，y2)，且y10、y20，A1、A2分别为椭圆的左、右顶点，则直线A1P2与A2P1的交点所在的曲线方程为_审题视点 听课记录审题视点 将A1P2与A2P1的交点(x，y)用P1(t，y1)、P2(t，y2)坐标的关系来代换 解析直线A1P2的方程为y(x4)，A2P1的方程为y(x4)，两式左右分别相乘得y2(x216)，因为点P1(t，y1)、P2(t，y2)在椭圆1上，所以1，1，即y9，y9，又y10、y20，所以y1y29，代入y2(x216)得1； 答案1 求圆锥曲线方程的常用方法：轨迹法、定义法、待定系数法【突破训练1】 (2012南师大附中信息卷)椭圆C：1(ab0)两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1F1F2，且PF1，F1F22.(1)求椭圆C的方程(2)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由【突破训练1】 解(1)F1F22，c，又PF1F1F2，PFPFF1F，PF2，2aPF1PF24，则a2，b2a2c21，所求椭圆C的方程为y21.(2)假设能构成等腰直角三角形ABC，其中B(0,1)，由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为ykx1(不妨设k0)，则BC边所在直线的方程为yx1.由，得x10(舍)，x2，故A，AB ，用代替上式中的k，得BC，由ABBC，得|k|(4k2)14k2，k0，即k34k24k10，即(k1)(k23k1)0，解得k1或k，故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形命题角度二圆锥曲线的几何性质及其应用命题要点 (1)根据条件确定圆锥曲线的离心率；(2)由圆锥曲线的离心率确定基本量【例2】 椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为45的直线与椭圆的一个交点为M，若MF2垂直于x轴，则椭圆的离心率为_审题视点 听课记录审题视点 由题设可得出M点的坐标，M点的坐标满足椭圆方程，进而得出a，c的关系解析过F1作倾斜角为45的直线yxc，由MF2垂直于x轴得M的横坐标c，所以纵坐标2c，代入椭圆方程得1，e21，(1e2)24e2，e1.答案1 求圆锥的离心率，关键是建立椭圆的基本量a，c所满足的方程组，求出a，c之间的关系【突破训练2】 (2012南通期末调研)设F是双曲线1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A、B两点若OA，AB，OB成等差数列，且向量与同向，则双曲线离心率e的大小为_解析设OAmd，ABm，OBmd，由勾股定理，得(md)2m2(md)2.解得m4d.设AOF，则cos 2.cos ，所以，离心率e.答案命题角度三直线与圆锥曲线的综合问题命题要点 定点问题；定值问题；最值问题；应用问题和探索性问题；【例3】 (2012南通模拟)已知椭圆C1y21和圆C2：x2y21，左顶点和下顶点分别为A，B，F是椭圆C1的右焦点(1)点P是曲线C1上位于第二象限的一点，若APF的面积为，求证：APOP；(2)点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，证明直线MN恒过定点审题视点 听课记录 审题视点 由APF的面积求得P点的坐标，通过计算0从而证明APOP；根据条件求M、N的坐标，进而求出直线MN的方程，再求MN恒过的定点 证明(1)设曲线C1上的点P(x0，y0)，且x00，y00，由题意A(，0)，F(1,0)，APF的面积为，SAPFAFy0(1)y0，解得y0，x0，即P0，APOP.(2)设直线BM的斜率为k，则直线BN的斜率为2k，又两直线都过点B(0，1)，直线BM的方程为ykx1，直线BN的方程为y2kx1.由，得(12k2)x24kx0，解得xM，yMk1，即M.由，得(14k2)x24kx0，解得xN，yM2k1，即N.直线MN的斜率kMN，直线MN的方程为y，整理得，yx1，直线MN恒过定点(0,1) 关于定点、定值问题，一般来说，从两个方面来解决问题；(1)从特殊入手，求出定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点(值)【突破训练3】 已知椭圆1(ab0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且圆Cx2y2x3y60过A，F2两点(1)求椭圆标准的方程；(2)设直线PF2的倾斜角为，直线PF1的倾斜角为，当时，证明：点P在一定圆上；(3)设椭圆的上顶点为Q，证明：PQPF1PF2.(1)解圆x2y2x3y60与x轴交点坐标为A(2，0)，F2(，0)，故a2，c，所以b3，椭圆方程是1.(2)证明因为F1(，0)，F2(，0)，设点P(x，y)，则kPF1tan ，kPF2tan ，因为，所以tan()因为tan()，所以.化简得x2y22y3.所以点P在定圆x2y22y3上(3)证明PQ2x2(y3)2x2y26y9，因为x2y232y，所以PQ2124y.又PF(x)2y22y62x，PF(x)2y22y62x，2PF1PF224，因为3x293y26y，所以2PF1PF24，又点P在定圆x2y22y3上，y0，所以2PF1PF28y，从而(PF1PF2)2PF2PF1PF2PF4y128y124yPQ2.所以PQPF1PF2.12圆锥曲线中易错的两个问题一、对标准方程的形式认识不清致错【例1】 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴且经过两点P1(，1)，P2(，)，求该椭圆的方程解设所求的椭圆方程为mx2ny21(m0，n0)因为椭圆经过两点P1(，1)，P2(，)，解得，故所求的椭圆标准方程为1.老师叮咛：求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)如若不能确定焦点的位置，则两种情况都要考虑，这一点一定要注意，不要遗漏，此时设所求的椭圆方程为一般形式：Ax2By21(A0，B0且AB)；若AB，则焦点在x轴上；若AB，则焦点在y轴上二、忽视题设条件致错【例2】 设双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过A(a,0)、B(0，b)两点，且坐标原点O到直线l的距离为c，求双曲线的离心率