2019届江苏高考数学二轮复习第二篇第7练正弦定理、余弦定理及应用试题理.docx

第7练正弦定理、余弦定理及应用明晰考情1.命题角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，常与三角恒等变换相结合.2.题目难度：单独考查正弦、余弦定理时，难度中档偏下；和三角恒等变换交汇考查时，中档难度.考点一正弦定理、余弦定理方法技巧(1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化.(2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量.1.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2a，bsinBasinAasinC，则sinB为_.答案解析由bsinBasinAasinC，且c2a，得ba，因为cosB，且B为三角形的内角，所以sinB.2.(2018南通、徐州、扬州等六市模拟)在ABC中，已知AB1，AC，B45，则BC的长为_.答案解析由题意得c1，b.根据余弦定理得cosB，a2a10，a0，a，即BC.3.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinBsinA(sinCcosC)0，a2，c，则C_.答案解析因为a2，c，所以由正弦定理可知，故sinAsinC.又B(AC)，故sinBsinA(sinCcosC)sin(AC)sinAsinCsinAcosCsinAcosCcosAsinCsinAsinCsinAcosC(sinAcosA)sinC0.又C为ABC的内角，故sinC0，则sinAcosA0，即tanA1.又A(0，)，所以A.从而sinCsinA.由A知，C为锐角，故C.4.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a23b23c22bcsinA，则C_.答案解析由余弦定理，得a2b2c22bccosA，所以b2c22bccosA3b23c22bcsinA，sinAcosA，2sin2，当且仅当bc时，等号成立，因此bc，A，所以A，所以C.考点二与三角形的面积有关的问题要点重组三角形的面积公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高).(2)SabsinCbcsinAcasinB.(3)Sr(abc)(r为ABC内切圆的半径).5.(2018全国改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C_.答案解析SabsinCabcosC，sinCcosC，即tanC1.又C(0，)，C.6.钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC_.答案解析SABBCsinB1sinB，sinB，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1225，AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1221，AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意.故AC.7.已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2bcosA，B，c1，则ABC的面积为_.答案解析a2bcosA，由正弦定理可得sinA2sinBcosA.B，sinAcosA，tanA.又A为ABC的内角，A.又B，CAB，ABC为等边三角形，SABCacsinB11.8.在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC3acosBccosB，2，则ABC的面积为_.答案2解析因为bcosC3acosBccosB，由正弦定理得sinBcosC3sinAcosBsinCcosB，即sinBcosCsinCcosB3sinAcosB，所以sin(BC)3sinAcosB.又sin(BC)sin(A)sinA，所以sinA3sinAcosB，又sinA0，解得cosB，所以sinB.由2，可得cacosB2，解得ac6.所以SABCacsinB62.考点三解三角形中的最值(范围)问题方法技巧由余弦定理中含两边和的平方(如a2b22abcosCc2)且a2b22ab，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用SabsinC型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性.9.在ABC中，|3，则ABC面积的最大值为_.答案解析设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，|3，即bccosA3，a3，cosA11，cosA，0sinA，0tanA.ABC的面积SbcsinAtanA，故ABC面积的最大值为.10.已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C所对的边，其面积满足SABCa2，则的最大值为_.答案1解析根据题意，有SABCa2bcsinA，即a22bcsinA.由余弦定理，可得b2c22bccosAa22bcsinA，令t，于是t212tcosA2tsinA.于是2tsinA2tcosAt21，所以2sint，从而t2，解得t的最大值为1.11.已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，满足cosAsinBsinCcosBsinAsinC2cosCsinAsinB，则C的最大值为_.答案解析由正弦定理，得bccosAaccosB2abcosC，由余弦定理，得bcac2ab，a2b22c2，cosC，当且仅当ab时，取等号.0C，00，tanB0.所以tan(AB)，当且仅当3tanB，即tanB时，tan(AB)取得最大值，此时B.1.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且abc，a2b2c2，则角A的取值范围是_.答案解析因为a2b2c2，所以cosA0，所以A为锐角.又因为abc，所以A为最大角，所以角A的取值范围是.2.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2ba)cosCccosA，c3，sinAsinB2sinAsinB，则ABC的面积为_.答案解析因为(2ba)cosCccosA，由正弦定理得，(2sinBsinA)cosCsinCcosA，化简得2sinBcosCsinB，又sinB0，所以cosC，因为C(0，)，所以C.又由sinAsinB2sinAsinB，可得(sinAsinB)sinC3sinAsinB，由正弦定理可得(ab)c3ab，所以abab.因为c2a2b22abcosC，所以2(ab)23ab90，所以ab3(负值舍去)，所以SABCabsinC.3.已知在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a1，2cosCc2b，则ABC的周长的取值范围是_.答案(2,3解析在ABC中，由余弦定理，可得2cosC，a1,2cosCc2b，c2b，化简可得(bc)213bc.bc2，(bc)2132，解得bc2 (当且仅当bc时，取等号).故abc3.再由任意两边之和大于第三边，可得bca1，故有abc2，故ABC的周长的取值范围是(2,3.解题秘籍(1)解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题.(2)对已知关系式进行转化时，一定要等价变形，尤其注意式子两边不可随意同除以一个式子.1.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，B45，则角A_.答案60或120解析由正弦定理可知，即2，所以sinA，因为ab，所以A45，所以A60或A120.2.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2b2bc，sinC2sinB，则角A为_.答案30解析由sinC2sinB，得c2b，c22bc，cosA，又0A180，A30.3.已知在ABC中，(abc)(sinAsinBsinC)asinB，其中A，B，C为ABC的内角，a，b，c分别为A，B，C的对边，则C_.答案解析因为(abc)(sinAsinBsinC)asinB，所以由正弦定理，可得(abc)(abc)ab，整理得c2a2b2ab，所以cosC，因为C(0，)，所以C.4.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a1,2bc2acosC，sinC，则ABC的面积为_.答案或解析因为2bc2acosC，所以由正弦定理可得2sinBsinC2sinAcosC，所以2sin(AC)sinC2sinAcosC.所以2cosAsinCsinC，又sinC0，所以cosA，因为0A180，所以A30，因为sinC，所以C60或120.当C60时，A30，所以B90，又a1，所以ABC的面积为12；当C120时，A30，所以B30，又a1，所以ABC的面积为11.5.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan B，则tanB_.答案2解析由余弦定理，得a2c2b22accosB，再由，得accosB，所以tanB2.6.如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A处时，经观察，在河对岸有一参照物C与学生前进方向成30角，学生前进200m后，测得该参照物与前进方向成75角，则河的宽度为_m.答案50(1)解析在ABC中，BAC30，ACB753045，AB200，由正弦定理得，即BC100(m)，所以河的宽度为BCsin7510050(1)(m).7.如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙OA，OB，再修建一长度为AB的围栏，围栏的造价与AB的长度成正比.现已知墙角AOB120，当AOB的面积为时，就可起到保护作用.则当围栏的造价最低时，ABO_.答案30解析只要AB的长度最小，围栏的造价就最低.设OAa，OBb，则由余弦定理得AB2a2b22abcos120a2b2ab2abab3ab(当且仅当ab时取等号)，又SAOBabsin120，所以ab4.故AB212，即AB的最小值为2.由ab及3ab12，得ab2.所以ABOBAO，故ABO30.8.在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA_.答案解析设BC边上的高为AD，则BC3AD，又B，所以BDAD，DC2AD.所以ACAD，ABAD.由余弦定理，知cosA.9.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c1，B45，cosA，则b_.答案解析因为cosA，所以sinA，所以sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinBcos45sin45.由正弦定理，得bsin45.10.已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为_.答案解析由正弦定理得(2b)(ab)(cb)c，即(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，所以cosA，因为A(0，)，所以A.又b2c2a2bc2bc4，即bc4，故SABCbcsinA4，当且仅当bc2时，等号成立，则ABC面积的最大值为.11.如图，在ABC中，AB，点D在边BC上，BD2DC，cosDAC，cosC，则AC_.答案解析因为BD2DC，设CDx，ADy，则BD2x，因为cosDAC，cosC，所以sinDAC，sinC，在ACD中，由正弦定理可得，即，即yx.又cosADBcos(DACC)，则ADB.在ABD中，AB2B