（江苏专用）2018高考数学一轮复习 第七章 数列、推理与证明 热点探究训练4 数列与函数、不等式.doc

第七章 数列、推理与证明 热点探究训练4 数列与函数、不等式a组基础过关1(2017苏州期中)设数列an的前n项和为sn，满足2snan12n11，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1，a2的值；(2)求证：数列an2n是等比数列，并求数列an的通项公式解(1)由已知，得2a1a23，2(a1a2)a37，又因为a1，a25，a3成等差数列，所以a1a32a210，解，得a11，a254分(2)由已知，nn时，2(sn1sn)an2an12n22n1，即an23an12n1，即an13an2n(n2)，8分由(1)得，a23a12，an13an2n(nn)从而有an12n13an2n2n13an32n3(an2n)又a120，an2n0，3.数列an2n是等比数列，且公比为3.an2n(a12)3n13n，即an3n2n.14分2(2017泰州中学高三模底考试)已知数列an的前n项和sn满足：snt(snan1)(t为常数，且t0，t1)(1)求an的通项公式；(2)设bnasnan，若数列bn为等比数列，求t的值；(3)在满足条件(2)的情形下，设cn4an1，数列cn的前n项和为tn，若不等式2n7对任意的nn恒成立，求实数k的取值范围. 【导学号：62172212】解(1)当n1时，s1t(s1a11)，得a1t.当n2时，由snt(snan1)，即(1t)sntant，得(1t)sn1tan1t，得(1t)antantan1，即antan1，t(n2)，an是等比数列，且公比是t，antn.4分(2)由(1)知，bn(tn)2tn，即bn，若数列bn为等比数列，则有bb1b3，而b12t2，b2t3(2t1)，b3t4(2t2t1)，故2(2t2)t4(2t2t1)，解得t，再将t代入bn，得bn，由，知bn为等比数列，t.8分(3)由t，知ann，cn4n1，tn4n4n，由不等式2n7恒成立，得3k恒成立，设dn，由dn1dn，当n4时，dn1dn，当n4时，dn1dn，而d4，d5，d4d5，3k，k.14分b组能力提升1(2017南通调研一)若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为“等比源数列”(1)已知数列an中，a12，an12an1.求数列an的通项公式；试判断数列an是否为“等比源数列”，并证明你的结论(2)已知数列an为等差数列，且a10，anz(nn)求证：an为“等比源数列”. 【导学号：62172213】解(1)由an12an1，得an112(an1)，且a111，所以数列an1是首项为1，公比为2的等比数列所以an12n1.所以，数列an的通项公式为an2n11.4分数列an不是“等比源数列”用反证法证明如下：假设数列an是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(mnk)按一定次序排列构成等比数列因为an2n11，所以amanak.所以aamak，得(2n11)2(2m11)(2k11)，即22nm12nm12k12km1.又mn0时，因为anz，则d1，且dz，所以数列an中必有一项an0.为了使得an为“等比源数列”，只需要an中存在第n项，第k项(mnk)，使得aamak成立，即am(nm)d2amam(km)d，即(nm)2am(nm)dam(km)成立当namm，k2amamdm时，上式成立所以an中存在am，an，ak成等比数列所以，数列an为“等比源数列”.16分2(2017南京模拟)已知等差数列an的前n项和为sn，且2a5a313，s416.(1)求数列an的前n项和sn；(2)设tn(1)iai，若对一切正整数n，不等式tnm2)，使得s2，sms2，snsm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由解(1)设数列an的公差为d.因为2a5a313，s416，所以解得a11，d2，所以an2n1，snn2.4分(2)当n为偶数时，设n2k，kn，则t2k(a2a1)(a4a3)(a2ka2k1)2k.代入不等式tnan1(1)n1an2n1，得2k4k，从而0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min2，所以2.7分当n为奇数时，设n2k1，kn，则t2k1t2k(1)2ka2k2k(4k1)12k.代入不等式tnan1(1)n1an2n1，得(12k)4k.因为kn，所以4k的最大值为4，所以4.综上，的取值范围为4m2)，使得s2，sms2，snsm成等比数列，则(sms2)2s2(snsm)，即(m24)24(n2m2)，所以4n2(m22)212，即4n2(m22)212，即(2nm22)(2nm22)