一元二次方程的概念.doc

教学设计基本信息名称一元二次方程的概念执教者严杰栋课时1课时所属教材目录义务教育人教版九年级上册二十一章第一节教材分析一元二次方程是本套初中教材中所学的最后一种方程，从学习意义上说，学习本章具有对方程的学习进行总结的作用。本节课以实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程根的概念，这些概念是全章后续内容及二次函数学习的基础。学情分析 我所教的班级学生不足三十人，学生学习能力普遍较差，我教学的目标是从基础知识做起，培养学生学习兴趣，逐步深化知识，使多数学生学有所得。教学目标一、1、 通过设置问题，建立数学模型，仿照一元一次方程的概念给出一元二次方程的概念。2、 一元二次方程的一般形式及有关概念。二、1、 通过观察，归纳一元二次方程的概念。2、 使学生理解并能够掌握一元二次方程一般表达式以及各种特殊形式。三、1、 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。2、 让学生感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。教学重难点重点一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程概念解决问题是本节重点。难点 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念是本节难点。教学策略与 设计说明 本节课在学生已有的方程的概念的基础上，扩充到一元二次方程的概念，通过呈现给大量的现实背景，并且以学生已有的方程经验为出发点，促进学生新知识的形成，培养学生的学习兴趣和进一步运用数学知识的能力。教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）教师活动学生活动设计意图活动一情境创设导入新课（5分钟）多媒体投影（教材第一页图像）：要设计一座2米高的人体雕塑，是雕塑的上部（腰上部）与下部（要下部）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，那么它的下部应设计为多高？（设：雕塑下部高x米）。教师回答：这就是我们要学习的一元二次方程。学生用列方程解应用题的方法得到方程：x2=2(2x)，整理得：2+2x4=0，这是什么方程？学生有疑问。用学习过的知识得出新的知识。活动二问题启发合作探究（20分钟）问题（1）(多媒体课件）有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 假设切去的正方形边长为x，那么盒底的长是_，宽是_，根据方盒的底面积为3600 cm2，得：_。整理，得：_。问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少个队参赛？问题（3）请口答下面问题。 1、上面三个方程整理后含有几个未知数？2、按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？3、有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？教师对照一元一次方程的概念引领总结：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式a2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中a2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项问题（4）追问条件，由一般式得出特殊式： （1）为什么a0？b和c能等于0吗？（2）特殊式：a2+bx=0, a2+c=0学生根据要求完成问题一：假设切去的正方形边长为x，那么盒底的长是(100-2x)，宽是(50-2x)，根据方盒的底面积为3600 cm2，得：(100-2x)(50-2x)=3600。整理，得：275x350=0。教师引导学生分析：设有x个队参加比赛，每个队都要与（x-1）个队各赛一场，例如甲队对乙队和乙队对甲队是同一场比赛，所以x个队全部比赛共有（x-1）场。故（x-1）=28为所得方程。整理得：x2x56。学生探讨后回答：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程。根据教师讲解，教师让学生列举一些一元二次方程的实例。加深学生对概念的理解。通过解决实际问题，引入一元二次方程的概念，同时可以提供学生解决实际问题的能力。学生通过数形结合的方法化简方程，从而得到标准形式的一元二次方程，为引入一元二次方程的概念做好充分准备。得出一元二次方程的概念后，使学生充分感受一元二次方程的特点，从而达到真正理解的目的。活动三例题示范巩固提高（7分钟）例1将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项分析：一元二次方程的一般形式是a2+bx+c=0（a0）因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项、合并同类项等 解：去括号，得： 40-16x-10x+42=18 移项，得：42-26x+22=0 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22例2（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项巩固练习 教材P27 练习1、2（每组出三名同学在前后黑板完成，分四组）教师细致讲解，学生认真倾听。而后学生快速完成练习，在黑板上完成的同学采用同伴互助，异组互批的方式完成。加强实例练习，使学生形成初步的运算解题能力。活动四自我检查信息反馈（10分钟）自我测试设计 一、选择题（54=20分） 1在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2 =0 A1个 B2个 C3个 D4个 2方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，6 3px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp为任意实数4关于x的方程（m2-4）x2+mx-m=0是一元二次方程的条件是（）Am0 Bm2 Cm= -2 Dm2 二、填空题（45=20分）1方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_2关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是_ 3关于x的方程（m+1）xm-1+mx-1=0是一元一次方程，则m=_三应用题（20分）九章算术“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？” 大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？ 如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_尺，根据题意，得_ 整理、化简，得：_学生在小组内合作完成，可进行同伴互助，教师分小组抽查，共性问题统一解答。通过一组叫有难度的练习，使学生的数学思维得到拓展，提高学生利用当堂学习的知识解决问题的能力。课堂小结2分钟利用多媒体直接把小结呈现在屏幕上。1、 一元二次方程的概念。2、 一元二次方程的一般形式。3、 定义要条件化：二次项系数不等于0。布置作业1分钟 课本第四页，习题21.1,1、2、3、4、5、6、7。板书设计 21.1一元二次方程一元二次方程的定义：一元二次方程的一般形式一元二次方程的根例题与练习习题 教学反思1、本节课的设计采用小组合作学习的方式，让学生主动参与到教学活动中来，小组讨论，同伴互助，提高教学效率和学生的学习积极性，以体现学生在课堂上的主体地位。2、本课有实际例子引入，已达到激发学生学习兴趣，有明确知识来源于生活又服务于生活，让学生观察，讨论得出一元二次方程的概念，学生更容易记忆和掌握，从而体现了以学生为主体的原则。3、提高课堂强度，增加练习量，期望达到良好的学习效果。4、对学生学习能力估计过高，练习题选择过多，没能按规定时间完成教学预定任务。看来，在今后的教学实践中，要精练教学内容，立足学生实际，已达到小组合作学习理想的教学效果。有理数加法使学生在学习了有理数的概念的基础上来学习的新的知识，而学生在小学以学习了整数和分数的加减和乘除运算，有理数的运算和小学的运算最大的区别是引入了负数，难度加大了很多，因此本节课注意从生活实际入手，以便于学生理解的方式讲授新课，从而很好的完成好本节课的教学任务。本课的主要内容是有理数加法法则的推导和简单应用，在这课内容里，加法法则的推导是难点，尤其是异号两数相加结果的判定，学生很难接受，在教材的安排中，主要是给出算式，联系生活中的事例是学习的难点，在教学中，还应该重视有理数的加法和小学加法的区别，找到共同的地方，便于学生掌握本课的内容。通过对有理数加法法则的探索，向学生渗透分类讨论、归纳、转化等数学思想方法。四.教学过程 (一)问题与情境 我们已经熟悉正数的运算,然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围。例如,足球循环赛中,通常把进球数记为正数,失球数记为负数,它们的和叫作净胜球数。章前言中,红队进4个球,失2个球;蓝队进1个球,失1个球。于是红队的净胜球为 4+(-2), 黄队的净胜球为 1+(-1)。 这里用到正数与负数的加法。 (二)、师生共同探究有理数加法法则 前面我们学习了有关有理数的一些基础知识,从今天起开始学习有理数的运算.这节课我们来研究两个有理数的加法. 两个有理数相加,有多少种不同的情形? 为此,我们来看一个大家熟悉的实际问题: 足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量.若我们规定赢球为“正”,输球为“负”,打平为“0”.比如,赢3球记为+3,输1球记为-1.学校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形: (1)上半场赢了3球,下半场赢了1球,那么全场共赢了4球.也就是 (+3)+(+1)=+4. (2)上半场输了2球,下半场输了1球,那么全场共输了3球.也就是 (-2)+(-1)=-3. 现在,请同学们说出其他可能的情形. 答:上半场赢了3球,下半场输了2球,全场赢了1球,也就是 (+3)+(-2)=+1; 上半场输了3球,下半场赢了2球,全场输了1球,也就是 (-3)+(+2)=-1; 上半场赢了3球下半场不输不赢,全场仍赢3球,也就是 (+3)+0=+3; 上半场输了2球,下半场两队都没有进球,全场仍输2球,也就是 (-2)+0=-2; 上半场打平,下半场也打平,全场仍是平局,也就是 0+0=0. 上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形,并根据它们的具体意义得出了它们相加的和.但是,要计算两个有理数相加所得的和,我们总不能一直用这种方法.现在请同学们仔细观察比较这7个算式,你能从中发现有理数加法的运算法则吗?也就是结果的符号怎么定?绝对值怎么算? 这里,先让学生思考,师生交流,再由学生自己归纳出有理数加法法则: 1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; 2.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0; 3.一个数同0相加,仍得这个数. (三)、应用举例 变式练习 例1 口答下列算式的结果 (1)(+4)+(+3); (2)(-4)+(-3); (3)(+4)+(-3); (4)(+3)+(-4); (5)(+4)+(-4); (6)(-3)+0; (7)0+(+2); (8)0+0. 学生逐题口答后,师生共同得出 进行有理数加法,先要判断两个加数是同号还是异号,有一个加数是否为零;再根据两个加数符号的具体情况,选用某一条加法法则.进行计算时,通常应该先确定“和”的符号,再计算“和”的绝对值. 例2(教科书的例1) 解:(1)(-3)+(-9) (两个加数同号,用加法法则的第2条计算) =-(3+9) (和取负号,把绝对值相加) =-12. (2)(-4.7)+3.9 (两个加数异号,用加法法则的第2条计算) =-(4.7-3.9) (和取负号,把大的绝对值减去小的绝对值) =-0.8 例3(教科书的例2)教师在算出红队的净胜球数后,学生自己算黄队和蓝队的净胜球数 下面请同学们计算下列各题以及教科书第23页练习第1与第2题 (1)(-0.9)+(+1.5); (2)(+2.7)+(-3); (3)(-1.1)+(-2.9); 学生书面练习,四位学生板演,教师巡视指导,学生交流,师生评价。 (四)、小结 1.本节课你学到了什么? 2.本节课你有什么感受?(由学生自己小结) (五)练习设计 1.计算: (1)(-10)+(+6); (2)(+12)+(-4); (3)(-5)+(-7); (4)(+6)+(+9); (5)67+(-73); (6)(-84)+(-59); (7)33+48; (8)(-56)+37. 2.计算: (1)(-0.9)+(-2.7); (2)3.8+(-8.4); (3)(-0.5)+3; (4)3.29+1.78; (5)7+(-3.04); (6)(-2.9)+(-0.31); (7)(-9.18)+6.18; (8)4.23+(-6.77); (9)(-0.78)+0. 4.用“”或“0,b0,那么a+b _0; (2)如果a0,b0,b|b|,那么a+b _0; (4)如果a0,|a|b|,那么a+b _0. 五.教学反思 “有理数的加法”的教学,可以有多种不同的设计方案.大体上可以分为两类:一类是较快地由教师给出法则,用较多的时间(30分钟以上)组织学生练习,以求熟练地掌握法则;另一类是适当加强法则的形成过程,从而在此过程中着力培养学生的观察、比较、归纳能力,相应地适当压缩应用法则的练习,如本教学设计. 现在,试比较这两类教学设计的得失利弊. 第一种方案,教学的重点偏重于让学生通过练习,熟悉法则的应用,这种教法近期效果较好. 第二种方案,注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法则的过程,主动获取知识.这样,学生在这节课上不仅学懂了法则,而且能感知到研究数学问题的一些基本方法. 这种方案减少了应用法则进行计算的练习,所以学生掌握法则的熟练程度可能稍差,这是教学中应当注意的问题.但是,在后续的教学中学生将千万次应用“有理数加法法则”进行计算,故这种缺陷是可以得到弥补的.第一种方案削弱了得出结论