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浙江师范大学数学思维方法考试卷(20112012 学年第 1 学期)考试形式闭卷使用学生小学教育2010级考试时间120分钟 出卷时间2011年12月23日说明:考生应将全部答案都写在答题纸上,否则作无效处理。一、 选择题1.把任何问题转化为数学问题,再把数学问题转化为代数问题,最后把代数问题转化为方程求解,这种思维模式在历史上称为“万能代换”。尽管这种方法没有最终实现,但在数学发展史上影响深远。提出“万能代换”思想的数学家是_。A.笛卡尔; B.费马; C.牛顿; D.欧拉.答案:A2.数学中的非逻辑思维主要有_、直觉思维、灵感思维、数学想象等。A.形象思维 B.抽象思维 C.数学判断 D.数学推理答案:A3.在中国古代数学中,刘徽的割圆术运用了_的思想方法获得了圆的面积。A化归 B变形 C逐次渐进 D数学建模 答案:C4.设是方程的两个实根,则的最小值是A. B.8 C.18 D.不存在思路分析本例只有一个答案正确,设了3个陷阱,很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得: 有的学生一看到,常受选择答案(A)的诱惑,盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正确答案。而原方程有两个实根, 或当时,的最小值是8;当时,的最小值是18。这时就可以作出正确选择,只有(B)正确。此题是形式化系统内的运算操作常犯的错误。只注重形式化规则而忽略它特定的讨论范畴、真实状况时就可能导致错误。5.在数学建模时,我们常会用到测试分析法,即当我们对研究对象机理不清楚时,就把研究对象视为黑箱系统,以此来分析并建立模型。在一个黑箱系统中,第一次输入的为1,输出为2,第二次输入为2,输出为5,第三次输入为3,输出为10,则我们可得出的假设模型是_。A; B ;C.; D. .答案:C数学创造性思维的培养应注重那几个方面的问题? 见课本P.103104答案:第一,在培养创造性因素方面,教师要设法引导学生的数学兴趣,并且积极提出问题来参与数学的教学活动。第二,在数学知识和方法的储备方面,使学生根据自己的理解主动地掌握数学的知识和方法。第三,在数学思维方式方面,由于逻辑思维是数学知识和理论的主要表现形式,因此应当格外注重非逻辑思维的培养。第四,在具体创新思维的方面,由于创造性思维方法已经有很多成熟的广泛运用的方法,所以在数学教学中应当有意识地学习或运用它们,使之与数学的某些具体的问题相结合。一、国际比赛规定标准羽毛球由16根羽毛组成,质量一般是5克。当羽毛球的质量超过或比标准轻一些,我们称为次品。现有81个羽毛球,其中有1个次品,质量轻一些。借助天天,至少称几次就一定能找到这个次品。分析这一问题解决的思维过程,并针对小学六年数学拓展课,设计教学的主要过程。答:4次。81(27,27,27);27(9,9,9);9(3,3,3,);3(1,1,1)二、结合具体实例谈谈数学思维方法对中小学数学教与学的意义。二、证明:圆周角是同弧所对的圆心角之半。三、在ABC中,若cn=an+bn(n2),问ABC为何种三角形?分析 最明显的是,若c2=a2+b2,则ABC为直角三角形。但现在题目中的n大于2,所以我们一下难以说出结论来。可以先取一些特殊情况考察。比如,取n=3,a=1,b=2,则作出这个三角形的草图,得到一个锐角三角形。观察另外一些特例,发现还是锐角三角形。进而猜想: 若cn=an+bn(n2),则ABC为锐角三角形。证明 在ABC中,因为cn=an+bn(n2),所以c为ABC的最大边,为此只需验证C为锐角即可。因为,问题转化为证明: a2+b2c2,而该式等价于(a2+b2)cn-2cn,因此问题又归为证明(a2+b2)cn-2-cn0把已知式cn=an+bn代入上式左边,得(a2+b2)cn-2- an- bn= a2(cn-2-an-2)+ b2(cn-2-bn-2) 0,从而cosC0,C为锐角,即ABC为锐角三角形。(此题的解决过程是:取特殊情况实验、观察,作出合情推理,然后再证明。在证明过程中,又多次将问题转化,以达目的。)计算论证题:用火柴棒按图5-29的方法搭三角形(1)填写下表:三角形个数12345火柴棒根数(2)照这样的规律搭下去,搭n个这样的三角形需要多少要火柴棒?(答案:)三、简答题:用RMI方法试证三角形ABC的三条高线共点(要求写出解题思路)(12分)解:解题思路:(1) 利用坐标法将几何问题映射为代数问题。(2分) 以BC为x轴,以BC边上的高AD为y轴建立坐标系。(1分)不失一般性,A、B、C三点的坐标分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),依解析几何知识得到三角形ABC三条边所在直线的斜率分别为:kBC=0,kCA=a/c,kBA=a/b。(1分)(2) 三条高所在直线的方程分别是: AD:x
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