数学部分重点内容选录(第二天).doc

1. 函数单调性(1)设函数在上连续，在内可导, (1)如果在内，那么在上单调增加; (2)如果在内，那么在上单调减少；(2)判别函数单调性步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求，找出和不存在的点，以这些点为分界点，把定义区间分成若干区间；（3）在各个区间上判别的符号，以此确定的单调性。例1. 确定函数的单调区间。 解：函数定义域为， 由得， 的符号+_+的单调性例2 当时，证明。(利用单调性证明不等式) 证：即证 设，当时连续、可导， 且， 当时，单调增加 因此，即 故.2. 极值及其求法:（1）定义：设函数 在区间内有定义，是内的一个点。如果存在着点的一个去心领域，对该邻域内的任何，均成立，就称是函数的一个极大值；如果存在着点的一个去心邻域，对该领域内的任何，均成立，就称是函数的一个极小值。（2）定理2（第一充分条件）、设函数在点的某个邻域内可导且。 （1）如果当取左侧邻近的值时，恒为正；当取右侧邻近的值时，恒为负，那么函数在处取得极大值；（2）如果当取左侧邻近的值时，恒为负；当取右侧邻近的值时， 恒为正，那么函数在处取得极小值； （3）如果当取左右两侧邻近的值时，恒为正或恒为负，那么函数在处没有极值。例3 求函数的极值。 解：1、 2、令，得 3、列表符号极大值10极小值3.最大值、最小值:一般求最值的方法：把函数的驻点及导数不存在的点连同端点的函数值求出来、进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值。例4 求在上的最值。 解：当时；时不存在，所以比较4. 凹凸性的概念及判别法:定理：设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么 （1）、若在内，则在上的图形是凹的； （2）、若在内，则在上的图形是凸的；例5证明：的图形在上是凹弧。（教科书 例3.69）5. 拐点:（1）第一充分条件：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点例5求的凹凸区间及拐点。 解：， 令得，时，不存在（）（）不存在凹凸性与拐点凸拐点凹不是拐点凹（2） 拐点的第二充分条件：设函数在的一个邻域内具有二阶导数，且，则点是的图形上的一个拐点。例6（选择题）设函数在点处满足条件，。则下述结论中正确的是（ D ）。（教科书 例3.72）A. 是的极大值； B. 是的极小值；C. 是的极大值； D. 是曲线的拐点；7. 经济分析中常用的函数(1)需求函数; (2)成本函数(3)收益函数; (4)利润函数8. 导数在经济分析中的应用(1)边际概念经济学中“边际”的概念指的是经济函数的导数（或说变化率）（1）边际成本就是成本函数的导数，即：，当产量时，边际成本的经济意义是：生产了100个产品后再生产1个产品所花费的成本。（2）边际收益就是成本函数的导数，即：，当产量时，边际收益的经济意义是：销售了50个产品后，多销售1个产品或少销售1个产品，使其增加或减少的收益。（3）边际利润就是利润的导数，即：。(2)弹性概念点处的弹性定义：设函数在点处可导，函数的相对改变量：与自变量的相对改变量之比: 称为函数从到的两点间的弹性。当时，的极限称为函数在点处的弹性，记作：。在点处的弹性的意义：自变量在点处增加，函数增加的百分数，若，则表示减少。弹性函数定义：。常见弹性函数（1）需求对价格的弹性：，表示价格增加，需求量增加的百分数，由于是单调递减函数，经济学家们不喜欢这个负数，因此将需求对价格的弹性修改为：，而意义正好相反。例7 工厂生产某产品产量为时的总成本，求：（1）产量为100时的总成本和平均成本（2）由100到200时的总成本的平均变化率（即平均成本）；（3）时的边际成本，并说明其经济意义。(教科书 例3.73)例8 设某商品的总收益关于销售量的函数为，求：（1）销售量为时的总收益（或说收入）的边际收益；（2）销售量个时的总收益的边际收益；（3）销售量个时，总收益对的弹性，并说明其经济意义。(教科书 例3.74)例9 某商品的需求量关于价格的函数为，求：（1）时的边际需求，并说明其经济意义；（2）时的需求弹性（即需求对价格的弹性），并说明其经济意义； (教科书 例3.75) 例4 某厂家打算生产某种商品投放市场。已知该商品的需求函数为，问产量为何值时，其收益最大，并求相应的价格 (教科书 例3.76)例10 某商店购进某商品的价格为元/个，当零售价为元/个时，估计销售为400个，而销售价每降低0.05元/个，可多销售40个。问售价定位多少时，商店所获利润最大，并求最大值。(教科书 例3.77)9. 不定积分的概念定义：设函数是在某区间I上的一个原函数，则的全体原函称为函数在I上的不定积分，记作 即 例11 求 解：， 是的一个原函数，因此。例12求 解：当时，是在内的一个原函数，在内有， 又当时， 是在内的一个原函数，在内有 把及内的结果合起来，得 导数公式 不定积分公式 、 、 、 、 、 、 、 。 、 、 、 、 、 10.第一换元积分法(凑微分法)定理：设具有原函数，且可导，则是的原函数，即有换元公式.如：例13 解： 例14 （教科书 例4.13）解：11.第二换元法由第一换元法例题可以看出：它们的主要精神是通过适当选择新变量，使原不定积分的被积式化为，而易求出，使。由此得出不定积分，即(1)三角代换:例15 （教科书 例4.15） 解：设，则 所以又，且，所以 由上两