（应用数学专业论文）泛函数分方程振动性理论与切换系统镇定性研究.pdf

摘要 摘要 泛函微分方程理论是近几十年成长起来的新兴学科，在国内外有很多专家学 者从事这一领域的研究，其基础理论取得了长足的发展而泛函微分方程和偏泛 函微分方程振动性理论是泛函微分方程定性理论研究的一个重要组成部分作为 微分方程定性研究的一个分支，振动性理论一直是许多数学工作者的研究内容之 一由g s t u r m 建立的齐次二阶线性微分方程解的零点分布的比较定理和分离定 理，为微分方程振动性理论的研究奠定了基础一个半世纪以来，微分方程的振 动性理论得到了迅猛的发展，有大批学者从事于这方面的理论研究，取得了一系 列丰硕的研究成果 另一方面，作为泛函微分方程的一个重要的分支，时滞微分方程的理论研究 也是近些年来许多学者的重点研究内容之一时滞的存在使得系统的稳定性分析 变得更加困难作为一类重要的混合动态系统，切换系统的研究具有很重要的理 论意义和实际应用价值切换律在切换系统的行为表现中起着重要的作用，对于 切换系统镇定性的研究是近几十年来控制领域兴起的一个新热点，并且受到人们 的日益关注此类系统的特点是可以通过选择恰当的切换律，使得不稳定的子系 统可以组成一个渐近稳定的切换系统；同样，可以使得稳定的子系统，组成一个 不稳定的切换系统本文创新性主要成果如下： 1 利用一个推广的黎卡提变换，通过积分平均法，得到了二阶时滞偏微分方 程的一些新的振动判据这些结果可以看作是常微分方程情形中基于k a m e n e v 型 振动性以及p h i l o s 型振动性判别准则的推广和改进 2 对二阶时滞偏微分方程，应用积分平均方法以及r i c c a t i 变换技巧，给出 新的区间振动准则，这与以往限制整个区间 t o ，0 0 ) 上的条件不同，在此只需借助 于其子区间序列上的信息我们的结果是以往准则的推广、改进，可以应用于其 所不能解决的很多情况 3 对于二阶拟线性中立型微分方程，通过微分不等式，巧妙处理中立项，结 合使用r i c c a t i 变换和辅助函数，得到了拟线性中立型微分方程的振动性的判别准 则，这些振动性准则可以看作是中立型微分方程的一种较大的推广和改进 西安电子科技大学博士学位论文 4 考虑了一类单输入线性切换系统的可镇定性问题利用变结构控制将系统 进行了降维，通过对系统滑动模态的研究，得出了系统一致可镇定的充分条件， 以及系统存在容许镇定策略的充分条件给出了具体的容许镇定策略集合并针 对二阶切换系统给出了详细的容许镇定策略仿真实例验证了结沦的正确有效性 关键词：泛函微分方程，偏泛函微分方程，二阶，振动性，r i c c a t i 变换，积分 平均，中立型，区间型，切换系统，变结构控制，时滞，镇定策略，一致可镇定 性 a b s t r a c t l l l a b s t r a c t t h et h e o r yo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si so n eo ft h en e wr e s e a r c ha r e a si n r e c e n ty e a r s ，t h e r ea r em a n ym a t h e m a t i c i a n sm a jo ri nt h i st h e o r y , a n dt h ef u n d a m e n t a l t h e o r i e sa r eo b t a i n e dh i g hd e v e l o p m e n t a m o n gt h e s et h e o r i e s ，o s c i l l a t i o nt h e o r i e sf o r f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dp a r t i a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r et h e m o s ti m p o r t a n tq u a l i t a t i v et h e o r i e sf o rt h e s ee q u a t i o n s ，w h i c hh a v ep r o f o u n dp h y s i c a l b a c k g r o u n d s a sw ek n o w , t h ec o m p a r i s o na n ds e p a r a t i o nt h e o r i e so f z e r o sd i s t r i b u t i o n f o rs e c o n do r d e rh o m o g e n e o u sl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n se s t a b l i s h e db yg s t u r ml a y af o u n d a t i o no fo s c i l l a t i o nt h e o r yf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d u r i n go n ea n dah a l f c e n t u r y , o s c i l l a t i o nt h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sd e v e l o p e dq u i c k l ya n dp l a y e d a n i m p o r t a n tr o l ei nq u a l i t a t i v et h e o r i e sa n dt h e o r yo fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h e r e a r em a n ym a t h e m a t i c i a n sa r em a j o ri nt h i ss u b j e c ta n dt h e yo b t a i n e dm a n yu s e f u l r e s u l t s o nt h eo t h e rh a n d ，a so n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e s ，t h e o r i e so fd e l a y e dd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa r et h ek e yr e s e a r c ha r e a sf o rm a n ys c i e n t i s t s t h ee x i s t e n c eo fd e l a y a r g u m e n t sm a k e st h ea n a l y s i so fs t a b i l i t yo ft h es y s t e mm o r ed i f f i c u l t as w i t c h e d s y s t e mi sas p e c i a lh y b r i ds y s t e mw h i c hc o n s i s t so fs e v e r a lc o n t i n u o u st i m e ( o r d i s c r e t e t i m e ) s u b s y s t e m sa n d ar u l e t h a to r c h e s t r a t e st h e s w i t c h i n ga m o n g t h e m s w i t c h e d s y s t e m sp o s s e s sg o o ds y s t e m s t r u c t u r e sw h i c hm a yl e a dt o f u n d a m e n t a lt h e o r e t i c a li n t e r e s ta n d i m p o r t a n tp r a c t i c a lv a l u e t h es w i t c h i n gl a wp l a y s a ni m p o r t a n tr o l ei nt h ep e r f o r m a n c eo ft h es w i t c h e ds y s t e m i nf a c t ，s w i t c h i n ga m o n g u n s t a b l es u b s y s t e m sc o u l dp r o b a b l ym a k ea na s y m p t o t i c a l l ys t a b l es w i t c h e ds y s t e m ； s i m i l a r l y , w h e na l ls u b s y s t e m sa l es t a b l e ，t h es w i t c h e ds y s t e mc o u l db eu n s t a b l e ， d e p e n d i n go nap a r t i c u l a rs w i t c h i n gs i g n a l m a i nc o n t r i b u t i o n so ft h i sp a p e ra r ea s f o l l o w s ： 1 u s i n gag e n e r a l i z e dr i c c a t it r a n s f o r m a t i o na n dt h em e t h o do fi n t e g r a la v e r a g e ， n e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rs e c o n do r d e rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 、 r i t l ld e l a y s a r eo b t a i n e d ，t h e s er e s u l t sc a l lb ec o n s i d e r e d 舔t h ei m p r o v e m e n t sa n d 西安电子科技大学博士学位论文 g e n e r a l i z a t i o n so fk a m e n e vt y p eo s c i l l a t i o nc r i t e r i o na n dp h i l o st y p eo s c i l l a t i o n c r i t e r i o nf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 f o rs e c o n do r d e rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a y s ，w eu s ei n t e g r a l a v e r a g i n gm e t h o da n dr i c c a t it r a n s f o r m a t i o nt og i v eo s c i l l a t i o nc r i t e r i ao fi n t e r v a l t y p e t h e s ec r i t e r i aa r e d i f f e r e n tf r o m m o s tk n o w no n e si nt h es e n s et h a tt h e ya r e b a s e do nt h ei n f o r m a t i o no n l yo n as e q u e n c eo fs u b - i n t e r v a lo f t 0 ，0 0 ) ，r a t h e rt h a n o nt h ew h o l eh a l g l i n e o u rr e s u l t sa r es h a r p e rt h a ns o m eo fp r e v i o u sr e s u l t sa n d c a nh a n d l et h ec a s e sw h i c ha r en o tc o v e r e db yk n o w nc r i t e r i a 3 f o rs e c o n do r d e rn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b yu s i n gd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y , w e s k i l l f u l l yd e a l t 谢t ht h en e u t r a lt e r m ，u s i n gt h er i c c a t it r a n s f o r m a t i o na n di n t e g r a l a v e r a g i n gm e t h o d ，w eo b t a i ns o m eo s c i l l a t i o nc r i t e r i a , w h i c hc a nb ec o n s i d e r e da s g e n e r a l i z a t i o n sa n di m p r o v e m e n t sf o rk n o w nr e s u l t so fn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 4 t h es t a b i l i s a b i l i t yp r o b l e mo fac l a s so fs i n g l e i n p u ts w i t c h e dl i n e a rs y s t e m si s c o n s i d e r e d t h ed i m e n s i o no ft h es y s t e mi sr e d u c e dw i t ht h ev a r i a b l e s t r u c t u r e c o n t r 0 1 t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h eu n i f o r ms t a b i l i s a t i o no ft h es y s t e m sa n dt h e e x i s t e n c eo ft h ea d m i s s i b l es t a b i l i s i n gs t r a t e g i e so ft h es y s t e m sa r eo b t a i n e d t h r o u g ht h es t u d yo ft h es l i d i n gm o d eo ft h er e d u c e ds y s t e m s a n dt h ed e t a i l e d a d m i s s i b l es t a b i l i s i n gs t r a t e g ys e t sa r ep r o p o s e d t h ec o m p l e t e l ya d m i s s i b l e s t a b i l i s i n gs t r a t e g i e s f o rs e c o n d - o r d e rs w i t c h e ds y s t e m sa r eg i v e na sa n a p p l i c a t i o n t h ed y n a m i cb e h a v i o ro ft h es e c o n d o r d e rc l o s e d l o o p s w i t c h e d s y s t e m sn e a rt h es w i t c h i n gb o u n d a r yi sc o n s i d e r e db a s e do nt h ep l a n a rg e o m e t r y t h e o r ya n ds o m en e wc o n c e p t i o n s a n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f w h e t h e rs l i d i n g m o d eo c c u r s o rn o to nt h es w i t c h i n gb o u n d a r ya r eg i v e n s o m en u m e r i c a l s i m u l a t i o n sv a l i d a t et h em a i nr e s u l t s k e y w o r d s ：f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p a r t i a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ， s e c o n do r d e r , o s c i l l a t i o n ，r i c c a t it r a n s f o r m a t i o n ，i n t e g r a la v e r a g e ，n e u t r a l ，i n t e r v a l a b s t r a c t v t y p e ，s w i t c h e ds y s t e m s ，v a r i a b l e s t r u c t u r ec o n t r o l ( v s c ) ，s t a b i l i s i n gs t r a t e g i e s ， u n i f o r m l ys t a b i l i s a b l e 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任 本人签名： 日期立业￥。g 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学学 校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部 - 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文( 保密的论文在 解密后遵守此规定) 本人签名： 导师签名： 日期出堑：丝壁 日期2 1 丝：兰：艺 第一章绪论 第一章绪论 i i引言 在自然科学的发展进程中，除了理想的情形以外，任何具有反馈的动力系统 总是存在滞后现象；用传统的常微分方程去描述物理系统只是一种近似，而且是 有条件的，这就需要考虑带有各种滞后量的微分方程，诸如微分差分方程，各种 具有复杂偏差变元的微分方程，有滞后量的积分微分方程，等等泛函微分方程 是这一类方程的概括和抽象最早的泛函微分方程来自1 7 5 0 年l 欧拉提出的几 何问题：求一曲线使之与其渐缩线相似这种曲线便满足一个特殊的泛函微分方 程，此后不断从各个学科中提出这类问题到2 0 世纪4 0 年代为止，主要是研究 微分差分方程的解析解5 0 年代开始探讨稳定性理论，1 9 5 9 年h h 克拉索夫 斯基在函数空间之间建立解映射，从而确立了滞后型泛函微分方程7 0 年代初， j 黑尔与a 克鲁兹分离出一类广泛的中立型方程1 9 7 8 年赫尔与加藤敏夫共同 奠立了具有无穷滞后的泛函微分方程以后又有对其他类型的中立型泛函微分方 程的研究随着科学技术的不断向前发展，泛函微分方程理论的重要性日益显现， 不仅在工程技术、航天技术以及自动控制等领域中有重要的应用，而且在计算机 科学、人口动态学和金融等领域中也成为不可缺少的数学工具因此，泛函微分 方程理论也引起了国内外很多专家学者的研究兴趣，其基础理论取得了长足的发 展但是，正如著名学者郑祖庥教授 1 在泛函微分方程理论中所指出的： “最具挑战性、也是最具有希望的研究方向是：非滞后、中立、超前的泛函微分 方程和偏泛函微分方程 因为它们在应用上正蓬勃发展，而理论上的系统研究才 刚刚起步特别是偏泛函微分方程理论于1 9 8 3 年首次提出，理论发展更加不完善， 其定性、定量的研究还需要大量的研究工作去充实、完善，因此它属于崭新的研 究领域，在国际上也有大批的学者从事该领域的研究工作，一些基本的结果已 收录于j i a n h o n gw u 2 所著的“t h e o r ya n da p p l i c a t i o n so fp a r t i a l f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 一书中 泛函微分方程和偏泛函微分方程振动性理论是泛函微分方程定性理论研究的 一个重要组成部分作为微分方程定性研究的个分支，振动性理论一直是许多 2 西安电子科技大学博士学 _ 奇= 论文 数学工作者的研究内容之一由g s t u r m 建立的齐次二阶线性微分方程解的零点 分布的比较定理和分离定理，为微分方程振动性理论的研究奠定了基础一个半 世纪以来，微分方程的振动性理论得到了迅猛的发展，也取得丰硕的研究成果而 泛函微分方程的振动性，特别是偏泛函微分方程的振动性研究，则是近二十年来 最热门的研究课题之一，部分结果已被收录于专著 3 中 在研究微分方程的振动性问题中，对于中立型时滞微分方程 【口( f ) ( x ( f ) + p ( t ) x ( t - 0 ) 7 + q ( t ) f ( x ( t - c r ) ) = 0 ， ( 1 1 1 ) 拟线性时滞方程 a ( o i x ( f ) i a 1 一( ，) 】+ q ( t ) f ( x ( t - o r ) ) - - 0 ， ( 1 1 2 ) 和拟线性常微分方程 【口o ) l x o ) i “一x 7 0 ) 】+ g ( ，) ( x ( f ) ) = o ( 1 1 3 ) 若在( 1 1 1 ) 中取a ( t ) = l ，f ( x ) = x ，在( 1 1 2 ) 、( 1 1 3 ) 中取a ( t ) = l ，f ( x ) = x ，口= l ，则 方程( 1 1 1 ) 、( 1 1 2 ) 与( 1 1 3 ) 分别成为二阶线性中立型时滞微分方程 ( x ( ，) + p ( f ) x o f ) ) ”+ q ( t ) x ( t - c r ) = 0 ， ( 1 1 4 ) 时滞微分方程 ，( r ) + q ( t ) x ( t - c r ) = 0 ( 1 1 5 ) 和常微分方程 x ”( ，) + 9 0 ) x ( ，) = 0 ， ( 1 1 6 ) 目前已有很多上述方程的振动性准则，其中很多( 包括系数积分) 是通过平均函数法 建立起来的对于线性常微分方程( 1 1 6 ) ，我们列出其振动性准则如下： l e i g h t o n 【2 8 方程( 1 1 6 ) 是振动的，如果有 j nq ( s ) d s = o o w i m n e r 【3 6 1 方程( 1 1 6 ) 是振动的，如果有 炮寻“咖刈, u a s h a r t m a n 【2 6 方程( 1 1 6 ) 是振动的，如果有 - o o 1 和【，o ，o 。) 上的一个连 续函数西，满足： l i 粤专j ：( ) ”加) 凼 咿) ，7 岛， c 孵( f 胁= o 。，丸( f ) = m a x 驴( ，) ，o p h i l o s 3 2 】设h ：d 暑 o ，s ) ：，s f o ) r 为一个连续函数，满足：当 t t o 时，h ( t ，f ) = o ；当t s t o 时，n ( t ，s ) 0 在d 上日对第二个变量具有连续 非负的偏导数设h ：d 专r 为一个连续函数，满足： 一_ o h ( ，s ) ：讹s ) 厕，( f ，s ) d 若有 k 掣志j ：p ) 加，一百1 魄s ，卜鸹 则方程( 1 1 6 ) 是振动的 之后，应用线性常微分方程的广义的r i c c a t i 变换，在文【2 9 中l i 对方程 ( 1 1 3 ) 在a = 1 ，f ( x ) = x ，的情况下对p h i l o s 的结果进行了推广 对于拟线性微分方程( 1 1 3 ) 的振动性，读者可以参考m a n o j l o v i c 的文献【3 1 】 及其所列参考文献 对于方程( 1 1 5 ) ，在文献【1 2 】中，w a l t m a n 推广了l e i g h t o n 的振动性准则， 并指出如果g ( f ) o ，且r q o ) a s = ，则( 1 1 5 ) 是振动的然而，t r a v i s 在文献! 1 1 】 中指出l e i g h t o n 的振动性准则并不足以保证方程( 1 1 5 ) 是振动的所以，时滞微 分方程的振动性分析要比常微分方程的复杂得多 对二阶中立型时滞微分方程的振动性，有越来越多的学者进行关注l a d a s 、 g r a m m a t i k o p o u l o s 与m e i m a r i d o u 在文【2 4 】中将w a l t m a n 和t r a v i s 的研究结果 推广至中立型微分方程，他们证明了如果o p ( r ) 1 7 9 ( f ) 0 ，且 4 西安电子科技大学陴士学位论文 i 。g ( s ) 【1 一p ( s c r ) d s = 0 0 成立，则( 1 1 4 ) 是振动的 在文【3 3 中，应用r i c c a t i 变换和平均函数法，对于二阶中立型时滞微分方 程( 1 1 1 ) ，r u a n 建立了几个广义的振动性准则其中之一是： 定理a ( r u a n s ) 假设条件( h 1 ) 、( h 2 ) 和( h 3 ) 成立再设函数 h ( t ，s ) ，h ( t ，s ) ：d 兰 ( f ，s ) ：f j - - t o ) - r 连续，且当f - t o 时，h ( t ，) = 0 ；当， s t o 时，h ( t , s ) 0 ；xo h j ( t 。, s ) _ 0 ，堂警盟非正连续，且满足： 一掣：h ( t , s ) 肛两，( ，s ) d 假设下式成立 l i 紫高j ：扣y 删1 叫s 叫】一百1 砸叫脚卜一 则方程( 1 1 1 ) 是振动的 对于方程( 1 1 1 ) ，在文【3 0 】中，应用y u 在文【3 8 】中的广义r i c c a t i 变换， l i 证明了r u a n 的振动性结果成立 作为泛函微分方程的一个重要的分支，时滞微分方程的理论研究也是近些年 来许多学者的研究重点内容之一因为在航天、电力、电子技术、经济管理和交 通系统中，时滞现象是普遍存在的，并且在经济和其他学科领域，如货币流通、 金融管理控制和最佳广告策略等模型中也存在着滞后现象时滞的存在使得系统 的稳定性分析变得更加困难动态系统理论中的一个重要的问题就是系统的稳定 分析，因为稳定性是一个动态系统的基本要求一切控制系统能正常运行的必要 前提是稳定切换系统是一类重要的混合动态系统，它是由连续( 或离散) 时间子 系统及作用在它们之间的切换信号组成的切换系统具有良好的系统结构，这使 得对它的研究具有很重要的理论意义和实际应用价值切换律在切换系统的行为 表现中起着重要的作用，对于切换系统镇定性的研究是近几十年来控制领域兴起 的一个新热点，并且受到人们的日益关注此类系统的特点是可以通过选择恰当 的切换律，使得不稳定的子系统可以组成一个渐近稳定的切换系统；同样，可以 使得稳定的子系统，组成一个不稳定的切换系统( 见文献 4 ) 第一章绪论 5 1 2本文的主要工作及创新点 由于泛函微分方程的振动性理论以及切换系统的镇定性问题是近几十年来 研究的重点内容之，多年来，作者也一直致力于这一热点问题的研究，也取得 了一些好的成果 对于泛函微分方程振动性的研究，常用的方法是黎卡提( r i c c a t i ) 变换方 法许多结果都要求系数函数在整个定义区间( 区域) 上的性质，而振动性仅仅 是一个局部的性质，能否利用子区间( 子区域) 列的性质而得到所考虑问题的振 动性昵? 作者近年来基于以上想法，对泛函微分方程振动性以及切换系统的镇定性进 行了深入研究，并取得了以下研究成果： 1 、利用一个推广的黎卡提交换，通过积分平均法，得到了二阶时滞偏微分方程的 一些新的振动判据这些结果可以看作是常微分方程情形中基于k a m e n e v 型振 动性判据的推广和改进，其本质的创新点在于所使用的黎卡提变换是一类广泛 的变换形式( 含有一个辅助函数) 2 、得到了二阶时滞偏微分方程的区间振动性判别法则这些判别准则只需要系数 函数在一个子区间列上的性质，而在这些区间之外，对于系数函数不做限制， 从而改进了以往的许多振动性判据 3 、对于中立型微分方程的振动性，问题的难点在于对于中立项的处理借助于微 分不等式，本文巧妙的给出了中立型微分方程的振动性判别准则( 包括 k a m e n e v 型、p h i l o s 型、区间型) ，推广、改进了现有的许多文献中的结果 4 、考虑了一类单输入线性切换系统的可镇定性问题利用变结构控制理论将系统 进行了降维，通过对系统滑动模态的研究，得出了系统一致可镇定的充分条件， 以及系统存在容许镇定策略的充分条件给出了具体的容许镇定策略集合并 针对二阶切换系统给出了详细的容许镇定策略仿真实例验证了结论的正确有 效性 1 3 本文的结构安排 第一章绪论主要介绍了问题产生的历史背景以及本文的主要工作 第二章偏泛函微分方程振动性研究通过一个推广的黎卡提变换，本章第 6 西安电子科技大学博士学位论文 一节给出了时滞偏微分方程 孙，) 知) + p ( r ) 掣叫恻叫+ 喜嘶) 材x , t - p k ( ，) ) 一g ( f ) 甜( 蹦) 一巳( 工，咖( x ，t - - o j ) ， ( x ，f ) q 【o ，。o ) - - - - g 的k a m e n e v 型以及p h i l o s 型振动性判据在第二节中，作者给出了如下的时滞偏 微分方程 昙( 比) 昙小力) - - a ( ，) a ux , t ) - i - 窆k = la k ( ，) a u x , t - p k ) - q ( t ) u ( x ，t ) - z q , ( x ，) 掰( x ，t - a j ) ，( x , t ) eq 2 墨- - g 的区间型振动性判据，它们仅依赖于系数函数在一个子区间列上的性质 第三章中立型泛函微分方程振动性研究研究了中立型泛函微分方程 【口( ，) j ( x ( f ) + p ( f ) x ( f f ) ) j “- 1 ( x ( r ) + p ( ，) x ( ，一r ) ) 】+ g ( f ) ( x ( f 一仃) ) = o 以及 ( 口( r ) ( x o ) + p ( f ) z ( ，一r ) ) ) + g ( f ) 厂( x ( f f ) ) = o 的振动性判据通过利用微分不等式技巧，巧妙处理中立项， 得到了上述方程 的k a m e n e v 型、p h i l o s 型以及区间型振动性判据 第四章线性切换系统镇定性策略设计和分析利用变结构控制将系统进行 了降维，通过对系统滑动模态的研究，得出了系统一致可镇定的充分条件，以及 系统存在容许镇定策略的充分条件给出了具体的容许镇定策略集合并针对二 阶切换系统给出了详细的容许镇定策略仿真实例验证了文中结论的正确有效 性 附录关于四个相同伪硬币问题的一些新结果提出给定一台比较型测试装 置和确切的四个相同伪硬币出现的信息，研究最小测试数的探求问题，这个最小 测试数能从a 个有同样外观的硬币组成的集合中鉴别出四个相同的伪硬币构造 了一个鉴别四个相同伪硬币的测试算法，这个测试算法改进了t o s i c 的一个测试 算法，还修正了另外一个测试算法 第二章偏泛函微分方程振动性研究 第二章偏泛函微分方程振动性研究 在本章中，我们将利用一个推广的黎卡提变换以及积分平均方法，得到了二 阶时滞偏微分方程的一些新的振动判据这些结果可以看作是常微分方程情形中 基于k a m e n e v 型振动性判据以及区间型振动性判据的推广和改进 2 1 时滞偏微分方程的k a m e n e v 型振动性判据 2 1 1 引言 考虑二阶时滞偏微分方程 鼬候小，) ) + 肌) 掣- 口( 必小力+ 喜砒) 跗( x , t - p k ( ，) ) 一q ( t ) u ( x ，f ) 一g ，x ，t ) u ( x ，t - o r ) ，( x ，f ) q o ，o o ) - g ( 2 1 1 ) j 盲l 其中q 是一个r 内具有分片光滑边界鼬的有界区域，且 酬彬) _ 二。掣 在本节中，我们假定 ( h 1 c 1 ( r ；( 删，r 斋鸹舢c ( 姘) ； ( h 2 ) 吼( 召；r ) ，q j ( t ) = m i n ，。矗乃( 五f ) ，厶= 【1 ，2 ，朋】； ( h 3 ) 口，a k ( r ；墨) ，仇c ( r ；丘) ，l i m ，。t - p 。( ，) ) = ， o r ，是非负常数，l ，k 考虑下面的边界条件： 掣+ g ( 蹦m 彬) - 0 ，似r ) 讹嘶 ( 2 1 2 ) 其中y 是讹的单位外法向量，g ( x ，) 是一个施足上的非负连续函数 西安电子科技大学博士学位论文 定义：如果对于任何正数p ，都存在一点( ，t o ) q ，0 0 ) ，使得“( ，, o ) - - o 成 立，那么问题( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 的解u ( x ，) 称为在区域g 中是振动的 下面，我们引入线性积分算子z ，这是积分平均法的主要内容 对任意函数办( ，s ) c ( 【，o ，o 。) 【，0 ，r ) ) ，r - t o o ，定义 鬈( 西( ) ) = f p ( s ) ( 卜s ) 8h ( t ，s ) 豳， ( 2 1 3 ) 其中a l 是常数，p c 1t o , o o ) 且p 。如果翌掣c ( k ，o 。) k ，州，那么 群( 掣) = _ p ( 州n - r 叫b + 锱卜小2 4 ， 多年来，有很多作者研究了泛函微分方程的振动问题关于抛物型方程的情 形读者可以参阅文献【5 - 7 】，关于双曲型方程的情形读者可以参阅文献 8 1 5 】 本文中，利用黎卡提技术和线性积分算子霉，我们得到了几个新的振动判 据这些结论提高和扩展了c u i 【8 】和l i 【1 0 】中的结果我们的方法与以前的作 者有所不同我们的方法更简单，而且为k a m e n e v 型的振动定理的研究提供了一 种更统一的方法 2 1 2k a m e n e v 型振动性判据 定理2 1 假设存在厂c 1 t o0 0 ) ，使得 - i 警砉钱一掣陷一曙+ 锱卧o o 亿， 其中 ( s ) = e x p ( 一2 r 他) 必) ， ( 2 1 6 ) z ( s ) = ( s ) f g o ) + 厂( s ) 厂2 0 ) 一p o ) 厂( s ) 一p 卜) 厂( s ) ) ， ( 2 1 7 ) 那么问题( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 的每一个解甜( x ，) 在g 内都是振动的 第二章偏泛函微分方程振动性研究 9 证明：反证法假设对于某个 0 ，存在一个问题( 2 1 i ) 、( 2 i 2 ) 的非振动 的解z ，( ) f ，) 在q ，) 上没有零点不失一般性，假设在q 【，o ，。) 内u ( x ，f ) o ， u ( x ，r 一成( ，) ) o ，且甜( x ，t - c r j ) o ，f o p 。，尼t ，厶 将式( 2 1 1 ) 在区域g 上对x 进行积分，则有 昙 ，o ) 瓦d 甜g ，r 协 + p o ) 丢甜g ，r 皿= 口o ) 血g ，k + 喜吼( r ) 血( 彬一成( ，) ) 凼一g ( ，) 掰( 蹦) 出一薯乃( 彬) “( 彬一q ) 出，r ( 2 1 8 ) 由格林公式和边界条件( 2 1 2 ) ，得到 且 m 列) 出= l 掣凼= 一l 咖m 纠出 t o ，k l ， ( 2 1 1 0 ) 其中凼是拉上的曲面元素进一步，由( h a ) 得到 设 g 小，r ) 甜( x , t - t r ，) 出乃( ，) 掰( 蹦一o - j ) d x v ( ，) = ”( x , t ) d x ，t - - t o 考虑到( 2 1 9 ) 一( 2 1 1 2 ) ，由( 2 1 8 ) 可得 ( 2 1 1 2 ) ( ，( ，) v ( ，) ) + p ( f ) v ( f ) + g ( ，) v ( f ) + 芝g 儿) vt q ) o ，t t o ( 2 1 1 3 ) 由( 2 1 1 3 ) ，得到 ( ，( f ) v ( f ) ) 7 + p ( ，) v ( f ) + g ( f ) v ( f ) o ，t t o ( 2 1 1 4 ) 定义 i o 西安电子科技大学博士学位论文 则 巾m ) 帮+ r ( 帅) ) 一如， 叭必训嘶m ) 北) 一掣+ ( 厂( ，) 巾) ) ，一帮 q 巾m 小喇吲旷南( 掣卜巾) ) ，一端铲， - - 2 饨) w 州吼_ g ( 旷南( 端叫伽) 2 + ( ，巾) ) ， 一篇 器叫叭， 一丽1 州一鬻朴础) ，吼 ( 2 1 1 6 ) 讹2 滞+ 器比( 2 1 1 6 ) 姗鼾口m 替舭俑。 一譬懵+ 锱m h 南以小一帮 j d ( r ) ( ，一f ) 口w ( f ) ， f f2t o ( 2 1 1 7 ) 将( 2 1 1 7 ) 中的“完全平方，得到 鬈p 、硒1 旷掣厕( 兰t - - s + 错) ) 2 m 旷- 叫- i 卫- ( 鬻 一( - a + 锱) ) 2 脚卜矿w ( 2 1 1 8 ) 注意到第一项是非负的，所以 z 一掣心) ( 鬻一b + 错胖俐h m p “2 柳 第二章偏泛函微分方程振动性研究 - i 竺p 专线二掣巾，一( 卺+ 锱胖砒m 小o o ， 这与( 2 1 5 ) 矛盾证毕 由定理2 1 1 ，有如下特例 推论2 2 如果定理2 1 中的( 2 1 5 ) 瞀换为 l - u p i l 气p ( z ( 4 ) - - o o ， 且 燃砉戈小，喘一睁锱蚪o o 那么( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 的每个解甜( x ，) 在g 内都是振动的 1 ) 存在厂c 1 【t 0o 。) ，使得 ，粤砉钱小) 睁篇) 2 0 ，存在一个问题( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 的非振动 的解u ( x ，t ) 在q f ，0 0 ) 上没有零点