（计算数学专业论文）图像去噪中带有时滞正则的非均值扩散模型.pdf

摘要 本文主要讨论偏微分方程在图像去噪中的应用我们的主要目标是在去除图像 噪声的同时尽可能地保持图像的边缘以及图像角点等特征信息在本文中，首先从 图像水平线运动的角度构造了一种带时滞正则的非均值扩散模型然后为了能有效 求解所得模型，本文利用有限差分方法构造了一种半隐式的数值离散格式，同时给 出了模型中的几个重要参数的估计从数值实验结果看，我们的模型能较有效地去 除噪声，而且能较好地保持图像的一些特征信息 关键词：图像去噪时滞正则非均值扩散 2 摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ew i l ld i s c u s st h ea p p l i c a t i o no fp d ei ni m a g ed e n o i s i n g i ti s o u ra i mt od e n o i s ea n dp r e s e r v et h ed e t a i l ss u c ha se d g e sa n dc o r n e r si nt h ei m - a g ea sm u c h8 8p o s s i b l e f i r s t l y , w ep r o p o s e dan e wt i m e - d e l a yr e g u l a r i z a t i o nb a s e d a n i s o t r o p i cd i f f u s i o nm o d e lb ya n a l y z i n gt h em o v i n go ft h el e v e ll i n e si nt h ei m - a g e f u r t h e r m o r e i no r d e rt os o l v et h ep r o p o s e dm o d e le f f i c i e n t l y , w ec o n s t r u c t a s e m i i m p l i c i tn u m e r i c a ls c h e m eb yu s i n gf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o da n de s t i m a t es o m e i m p o r t a n tp a r a m e t e r s t h en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt os h o wt h a to u r m o d e l c a nr e m o v et h en o i s ev e r ye f f i c i e n t l ya n dp r e s e r v et h ef i n es t r u c t u r e sv e r yw e l l k e yw o r d s ：i m a g ed e n o i s i n gt i m e - d e l a yr e g u l a r i z a t i o na n i s o t r o p i cd i f f u s i o n 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：谚；呜 日期：口8 年j 月加 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：毫谗 日期；力年朋厢 第一章引言 随着数字化时代的到来，图像处理技术已引起了许多数学家的兴趣，他们将几 何、泛函分析、偏微分方程、随机过程等理论应用于图像处理中并获得了很大的成 功，这些成功激起了人们从专业数学的角度去研究图像处理，从而形成了一门“数 学”图像处理技术目前，这一技术已应用到图像处理多个领域 为了下文表述方便，我们引入如下数学符号，设f ( x ，y ) 表示初始图像的灰度 函数，其定义在矩形区域qcr 2 上，u ( x ，y ；t ) 表示对f ( x ，y ) 处理后在时间尺度为 t 时的图像灰度函数，其定义在q ( 0 ，+ o 。) 上下面简要介绍一下图像处理中偏 微分方程模型的总体情况 1 1 图像处理中偏微分方程模型概述 偏微分方程模型正是近二十年来在“数学”图像处理技术中得到很快发展的一 种模型它已被广泛地应用于图像去噪、分割、重建等技术领域，而且在一些特殊 图像的处理中也有它的应用，如医学图像处理【1 】焊缝图像处理1 2 】等 偏微分方程模型方法主要是从图像处理的两个分支领域一图像分割和图像恢 复发展起来，随后被应用于其他分支领域的，至今已发展成为一种不同于传统图像 变换的新方法事实上，这一方法就是对初始图像( x ，y ) 用适当的发展型偏微分方 程进行处理，从而得到依赖于时间尺度t 的一系列图像u ( x ，可；) ，这也就形成了图 像多尺度分析1 3 1 4 一，这样从多尺度分析角度建立了偏微分方程应用于图像处理领域 的理论基础近来，g a u b e r t p k o r n p r o b s t 6 】从微分方程理论角度研究了图像处理 中的偏微分方程模型，并对偏微分方程在图像处理中的应用进行了总结g s a p i r o 7 则从曲线发展方程的角度系统的研究了图像处理中的偏微分方程模型随着越来越 多的研究人员进入这一领域使得图像处理中的偏微分方程理论日趋完善 图像处理中的偏微分方程模型引起了越来越多的人的关注，其主要原因是： 1 、偏微分方程，这一经典的数学领域，已有一些比较成熟的理论基础； 2 第一章引言 2 、偏微分方程已有一些比较成熟的数值求解方法； 3 、能将图像处理中一些传统的变换方法统一于偏微分方程的框架之下； 4 、易于推广到高维 基于以上原因，偏微分方程模型在图像处理领域已变得越来越重要了 然而，这一新方法也存在一定的困难在图像处理中得到的偏微分方程一般是 非线性的，其离散后一般会产生无规律的大型线性方程组，求解这样的方程组是 比较困难的而且求解速度也较慢还有一个困难就是模型中的参数较多且难以估 计当然，针对这些困难，许多研究人员已经提出了不同的数值解法和参数估计方 法例如；r c i e g i s i s 等用有限体积法离散非均值扩散方程并用并行处理的方法求 解线性方程组，从而提高了求解速度；k a 6 u r - m i k t f l a l 9 】用有限元方法离散了偏微分 方程；j w c i c k c r t 1 0 用基于有限差分法的算子分裂技术离散了偏微分方程模型，从 而加速了求解过程；m j b l a c k - g s a p i r o l l l 】利用统计的方法给出了一种参数估计方 法；s k w c e r a t u n g a - c k a m a t h 1 2 l 通过不同的实验比较了几种不同的离散格式及参 数估计方法但是以上这些方法都是基于具体的模型，并未能从根本上解决困难， 因此，这些困难在一定程度上阻碍了这一方法在实际问题中的广泛应用所以，对 于图像处理中偏微分方程模型还需要进一步深入地研究 1 2 图像去噪中偏微分方程模型的发展概述 般情形下，我们在去除图像噪声的同时总希望能保持图像本身的一些细节特 征，当然这是一对难以处理的矛盾然而，非均值扩散方程却在图像去噪的同时能 比较好地保持图像的一些信息 目前，基于偏微分方程的图像去噪模型已有很多，他们大部分都是对p e r o n a - m a l i k 1 3 】提出的如下模型的改进， f ， u t 2 击口( 9 ( i v 秕i ) v u ) ，( z 矽) q 亡 o ( 1 1 )、“1 ， l u ( z ，可；0 ) = ，( z ，y ) q 第一章引言 其中函数9 ( s ) 为单调递减的，并且满足：l i mg ( s ) = 0 ，文中给出以下两个选择： 9 ( s ) = e x p 一( 素) 2 】和9 ( s ) = 砑1 ，这里k 0 为参数 我们知道在边缘处i v u i 很大，那么9 ( 1 w 1 ) 就会很小，这样就阻止了扩散，所 以模型( 1 1 ) 对图像的边缘有较好的保持作用但对以上a ( s ) 的两个选择来说，方 程( 1 1 ) 本身是病态的y l y o u i “l 等从能量曲面最速下降的角度详细分析了这一 方程 针对以上模型的缺点，c a t t y 1 5 l 等提出了一种改进的模型t r u 2 也 ( 夕“v 让口j ) v 乱) ( z ，) q ，。 o ( 1 2 ) i 仳( z ，秒；0 ) = 厂，( z ，y ) q 其中乱叮= g 矿丰色，g 盯表示标准差为盯的高斯核，木表示卷积，矗为u 在r 2 上的一 个适当的延拓c a t t d 1 5 】证明了在一定的条件下，方程( 1 2 ) 是适定的但方程( 1 2 ) 没有明确的几何意义，并且当盯趋于0 时，方程是不稳定的 为了克服以上缺点，a l v a r e z 【1 6 1 等对模型( 1 2 ) 进行了重大改进，提出了如下模 型， 卜9 ( t g 一木v u l ) l v u 陋“静小g 圳 ( 1 3 ) l u ( x ，可；0 ) = ，( z ，掣) q 其中9 ( 8 ) = 汗b ，k 0 为参数他们证明了该方程是适定的，并且指出此方程 的扩散只沿着图像水平线的切向进行，故对图像边缘有较好的保持作用函数g ( s ) 可以用来控制图像水平线的运动，实际上方程( 1 3 ) 也可以被认为是对平均曲率驱 动模型i l z , l s ) 的改进 由于方程( 1 2 ) ，( 1 3 ) 的扩散系数中均出现了u = g 口牢乱项，这表示在处理之 前预先对图像进行了空间高斯滤波，这对图像的边缘和其他结构的保持是十分不利 的因为对图像作高斯滤波相当于对图像进行了加权平均，而对图像边缘点，这种 加权平均会使边缘点的梯度模减小，即i v “口i g ( i v u l ) ，这说明预先的高斯滤波会使边缘处的扩散增强，这样边 3 4第一章引言 缘点就会变得更加模糊。 为了改进这一不足，a b e l a h m i d i a c h a m b o l l e 【1 9 l ，h a m a i u l l 2 0 】和y c h e n p b o s e 2 1 】 考虑了带时滞正则的非均值扩散模型其中，a b c l a h m i d i a 。c h a m b o l l e 1 9 】从修改 方程( 1 2 ) 出发，提出了以下带时滞正则的模型， u t = d i v ( g ( v ) v u ) ，( z ，y ) q ，t 0 仇2f ( i v 训2 ) 一钉， ( z ，秒) q ，。 o ( 1 a ) u ( x ，；0 ) = 厂，( z ，y ) q v ( x ，可；0 ) = v 0 ，( z ，y ) q 其中9 ( s ) = 研1 ，k 0 为参数，咖= 0 或i v 1 2 ，a b e l a h m i d i - a c h a m b 。l l e 【1 刎 具体的研究了此方程的数值逼近 h a m a n n i z o l 从分析方程( 1 1 ) 本身是不适定的，但其数值结果却比较好的原因 的角度提出了如下模型， 髓t = d i v ( g ( o 宰l v u l 2 ) v ) ，( z ，y ) q ，t 0 其中夕( s ) = 志，k 0 为参数，t = 2 5 ，6 为时间步长，毋= x ( o ，t ) t ，x ( o ，t ) 为区间( o ，t ) 上的特征函数h a m a n n 2 0 1 着重研究了( 1 5 ) 的数值逼近和方程本身 的适定性 y c h e n - p b o s e 2 1 】则从变分的角度提出了以下较新的模型s u t = g ( u ) i v 恻尚m 咖m 乱刈v 州一门 仇= 一睾( 口一l v g 叫2 ) ) ( 删) 呱t 刈 ( 1 6 ) u ( x ，；0 ) = ，( z ，y ) q 爰_ 0 ( 刚) 勰，t o 印q o 0 为参数，7 - 0 为参数，n 为图像边界a q 的单位外法向，双曲项v g ( v ) v u 是用来产生激波以保 持图像边缘他们证明了方程( 1 6 ) 的适定性，并给出了显式数值离散格式，但由于 这个双曲项的存在会给数值计算带来比较大的负担 在本文中，我们将时滞正则思想和模型( 1 3 ) 结合，导出一个带时滞正则的非 均值扩散模型，同时建立了所得模型的数值离散格式，并给出了一些数值实验结果， 这些结果反映了我们所得的模型具有保持图像边缘及角点等特征信息的能力 本文其他部分是按如下结构组织的t 第二章，我们通过分析图像水平线的运动推导出个新的带时滞正则的非均值 扩散模型，并对模型中各项进行了解释 第三章，我们数值离散了第二章所得到的模型，同时对模型中的参数给出了适 当的估计 第四章，我们呈现了数值实验的一些结果 第五章，我们总结了全文并提出了进一步研究的设想 5 第二章带时滞正则的非均值扩散模型 这一部分，我们利用带时滞正则的非均值扩散的思想，从模型( 1 3 ) 出发，通过 分析图像水平线的运动来导出一个新的带时滞正则的非均值扩散模型，并对所提出 的模型中的各项给出具体的解释 2 1 模型的推导 首先，我们在模型( 1 3 ) 加上一个约束项a i v u ( f 一姐) ，则方程( 1 3 ) 变为： 窑= 夕( i c o 吼i ) l v u l d i u ( 嵩m l 乳i ( f 刊 ( 2 1 ) 其中久0 为约束参数，加上这个约束项是为了不让恢复的图像偏离初始图像，太 多，这对保持图像细节有利，也可以减少所恢复图像对迭代次数的敏感性，有利于 迭代停止时间的选择方程( 2 1 ) 和m a r q u i n a ，- o s h e r l 2 2 l 提出的模型十分类似，他们 的模型有利于避免梯块( s t a i r c a s i n g ) 的产生，所以方程( 2 1 ) 也相应地能避免梯块 的产生，这在数值结果中将被清楚地看到 由于。 v 能i d i v ( 嵩冲“ ( 2 2 ) 其中f 表示与梯度垂直的方向，即图像水平线的切向所以模型( 2 1 ) 总是沿着图 像水平线的切向进行扩散的，这对保持图像边缘是十分有利的同时由于扩散控制 项a ( i c 口木v u l ) 中使用了梯度信息，这就更进一步地控制了图像边缘处的扩散但 由于模型( 2 1 ) 中的扩散控制项仅用了图像的梯度信息，这对图像边缘上的角点( 曲 率较大的点) 等特征的保持仍然是不够的 为分析简便，我们主要关注扩散顼，所以设方程( 2 1 ) 中的a 为0 ，于是( 2 1 ) 就退化为方程( 1 3 ) 了利用o s h e r - f e d k i w 2 3 1 给出的水甲集方法，从图像水乎线的 几何运动角度来看，方程( 1 3 ) 就是水平集( 1 e v e ls e t ) 方程，重写为； 型垮趔：9 ( i g 宰v 乱咿缸l 优r u ( 札) ( 2 3 ) 第_ 二章带时滞正则的非均值扩散模型 其中，y p ) 为图像t t 的任意水平线，这里p 表示曲线的参数，c u r v ( u ) 为图像u 的 水平线7 ( 亡，彩的曲率 由方程( 2 3 ) 和o s h c r f c d k i w 2 3 】给出的水平集方法，我们知道图像水平线是 以- g ( 1 a 仃木v u l ) c u r v ( u ) 为速度沿着水平线的单位外法向进行运动的，当乱处于 图像边缘的角点时，由于i c u r v ( u ) i 较大，从而1 9 ( i 卡v u d 优r v ( u ) i 就相对其他点 比较大，因此这些点的运动就比较快，随着迭代的进行，使得角点处的曲率逐步减 小，这样角点处的信息就会丧失所以，在角点处，我们要寻求进一步的控制，以 使图像水平线在角点处的运动速度尽可能的趋向于0 。而要使水平线运动速度在角 点处趋于零，一个直接的想法是将c u r v ( u ) 加入到函数夕( ) 中，即将原来的一元 函数g ( 1 g 仃木v u l ) 修改为二元函数g ( 1 a 盯水v u l ，i c u r v ( g 矿率乱) i ) g 中第二项写成 g 仃木u 是为了避免噪声的干扰为了方便，我们记u 口= g d 唪u 这样上述函数就 变为g ( i v u 口i ，f c u r v ( u 盯) i ) 当i v u 。 或l c u r y ( u ，) l 比较大时，函数g 的值就比较小， 也就是说函数g 是一个递减函数 通过以上分析，我们将模型( 2 1 ) 修改为： 警= 箩( i r a q i ，| c 啪( 训v u l d i 移( 品i v 牡i ( f 叫 ( 2 4 ) 这里选取： 9 ( i v 札“i 优州u 圳) = 再司瓦丁五丽瓦陌瓦瓜丽再丽 ( 2 5 ) 其中函数a ( i v u 矿 2 l 例r 口( ) i ) 表示以i v u , , 1 2 i c u r v 0 , 。) l 为变量的递增函数，k 0 为参数我们将l v u 疗1 2 i 优r v ( u 。) i 看成一个整体，记0 。= i v u 仃1 2 i c u r ? 2 ( u 。) i 显然 当“处于图像边缘角点时，o 矿就比较大 利用以上记号，将( 2 4 ) 式改写为； 豢刮叫，e 。) l v u 胁( 品i v u l ( f - - ，“) ( 2 6 ) 7 8 第二章带时滞正则的非均值扩散模蛩 改写( 2 5 ) 式为； 9 ( i v u 。l ，e ，) = 再环霸每丽藏 ( 2 7 ) 此时0 1 ( e 矿) 就是以e 莎为变量的递增函数，其具体形式我们将在3 2 节给出 我们注意到，杨新1 2 4 从扩散角度考虑将l ( 珏。) “l 加入到扩散控制项9 ( i v u 口i ) 中，即得g c i v u 。 ，iu 盯) 锃1 ) ，他通过i ( 铭矿) “i 来控制角点处的扩散这和我们从图像水 平线随曲率运动的角度分析所得的控制顼e ，有相似之处事实上e 口= l v u ，i i ( u 矿) 艇i ， 这里仅仅是多乘了l v u d i 项，但我们的函数g 的构造和杨新【2 4 1 的构造是不同的， 我们这里的g 由于在口( e ，) 后乘了一个e 口，所以有更好的局部性，这对去除噪声 和保持细节都有好处。 正如在1 2 节所阐述的，由于在扩散之前方程( 2 6 ) 的扩散控制项g ( i w 盯i ，e 口) 中预先对图像进行了空间的高斯平滑，这对保持图像边缘和其他细节结构都是不利 的故我们考虑在模型( 2 6 ) 中引入类似于模型( 1 6 ) 中的时滞正则项，也就是将预先 空间上的高斯平滑转化为时间上的一种加权平均，为此，将( 2 6 ) 中的g ( i w 口l ，e 口) 用下式代替； 夕( ，叫) = 再面再1 可币 其中k 0 为参数，v ，w 分别满足如下方程： 7 宝+ t ，：i vi i v u l 2 丁瓦+ 移2 7 - 掣+ 伽：e 丁瓦十伽2 廿 以上两个方程中的7 - 0 为参数，( 2 1 0 ) 中的e = l v u l 2 i c 仳r v ( u ) 1 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 第二章带时滞正则的非均值扩散模壅 综合以上讨论，我们得到最终的带时滞正则的扩散模型： 酉o u - 9 ( 删) l v u 陋u ( 嵩 v u i ( 叫巾川 川 塞= 一1 ( 口一i v 帆( 删) 以 o 警= 一季( 叫一e ) ，( 钏) t 。 u ( x ，秒；0 ) = f ，( z ，y ) q v ( x ，可；0 ) = 0 ，( z ，y ) q 叫( z ，可；0 ) = 0 ，( z ，y ) q 象她( 啪) 勰， o ( 2 1 1 ) 其中入，7 _ 均为大于零的参数，n 表示图像边界a q 的单位外法向，函数g ( v ，w ) 由 ( 2 8 ) 式确定 2 2 模型的解释 我们的模型( 2 。1 1 ) 中各项具有一定的意义，现给出解释如下： 1 、对于模型中的约束项a l v u l ( f u ) ，如果从图像去噪的全变分模型 2 2 , 2 5 , 2 6 来考虑，此项具有使图像u 不会偏离原图，太多的作用，同时对保持图像细节和迭 代停止时间的选择也都有好处 2 、由( 2 2 ) 式我们知道，扩散只沿着图像水平线的切向进行，对保持图像边缘 等特征是有利的 3 、让我们忽略约束项a l v u l ( f 一让) ，从图像水平线运动的角度来看，我们得到 类似于( 2 3 ) 式的水平集方程； i 掣= 夕( u ，叫) i v u i c u r 移( 札) ( 2 1 2 ) 其中7 ( t ，p ) 为图像缸的任意水平线，这里p 表示曲线的参数，c u r ? 2 ( u ) 为图像铭的 水甲线，y ( t ，p ) 的曲率( 2 1 2 ) 说明图像水下线沿着其法向以速度l g ( v ，叫) 叫r u ( u ) i 逐 9 1 0第二章带时滞正则的非均值扩散模型 步收缩，g ( v ，w ) 正是用来控制图像边缘及角点的收缩的。而我们知道在甲均曲率驱 动模型【1 7 ，1 8 】中由于g ( v ，w ) 三1 ，所以这种收缩是不可避免的，因此我们的模型具 有保持图像边缘以及角点等特征的作用 4 、由方程瓦o v = 一；( 一i v u 2 ) 解得： u ( 舢；t ) ：e 一事u ( 砌；o ) + ；1 。e 孚j v 乱1 2 d s ( 2 1 3 ) 由于v ( x ，秒；0 ) = 0 ，所以( 2 1 3 ) 式变为t 移( z ，箩；t ) = 睾z 。e 与兰i v u l 2 d s ( 2 1 4 ) 由( 2 1 4 ) 式我们知道，v ( x ，y ；t ) 实际上相当于i v u l 2 在时间 0 ，胡上的一种加权平 均，由于这种平均并不涉及空间，所以正如引言中所分析的，这对保持图像特征是 有利的，当然对方程髻= 一( 伽一e ) 也可作类似分析 5 、在图像平滑区域，由于u ，叫均接近于0 ，故夕( 秽，w ) 接近于1 ，所以在平滑区 域扩散速度是比较快的，从而有比较好的去噪能力 基于以上分析，模型( 2 1 1 ) 应该可以较好的保持图像边缘和角点等特征信息， 并且有较好的去噪能力 第三章数值实现 这部分我们将给出模型( 2 1 1 ) 的数值离散格式，并选取合适的参数，以使我们 的模型能有效的快速的实现，同时能得到比较好的结果 3 1 数值离散格式 对于数字图像，每一个像素就自然的是一个剖分点，即u 3 就表示在时间尺度 为礼，第i 行j 列的像素灰度值，吃，喵分别表示时间尺度为几时，i v u 弓1 2 和e 3 对时间的加权平均值，不妨设图像大小为jxj 首先，我们离散方程玺= 一( 钐一i v u l 2 ) 得到： 艺：i 巧n 4 - ，一i v u , 3 1 2 )(31)t t 、 7r 一7 即； 够1 = 嘴十( 1 一p ) l v u 嚣1 2 ( 3 2 ) 其中： p = 去 ( 3 3 ) 我们知道以上格式和y c h c n - p b o s e 2 1 j 所用的格式是相似的 类似地可得方程警= 一；( 钮一e ) 的离散格式； 叫矿1 = p 嗡+ ( 1 一p ) 弓 ( 3 4 ) 对方程的初始值进行离散得： v 的初值： 彬的初值： 咯= 0 伽3 = 0 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 1 2 第三章数值实现 下面考虑( 3 2 ) 式中的l v 吗1 2 和( 3 4 ) 式中的e 0 数值格式 ( a ) l v 乱3 1 2 的数值格式t 我们有如下梯度近似： 从而得： 乱抛歹) = ( 1 + 伺。【( 乱拜1 j一钍0 l j ) + 砚1l “件nl ，j 一1 一u n _ l j 一1 ) + 击( 乱孙1 j + l u 。n l ，j + 1 ) 】 让；( i ，j ) = ( 1 + 劲。1 ( ( u 乙+ l 一钍0 一1 ) + 丽1k u 件nl j + l u 苒l j 1 ) + 击( u ；n 一1 j + l 一牡0 1 ，j 1 ) 1 v “3 1 2 = ( u ；( i ，歹) ) 2 + ( 乱；( i ，歹) ) 2 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 用以上格式是为了避免在数值离散时产生多余的数值非均值扩散，所以应尽可能使 格式具有旋转不变性，a b e l a h m i d i a c h a m b o l l e 1 9 l 和a l v a r e z - l i o n s - m o r e l l l 6 】也用 了相同的离散格式 ( b ) e 3 的数值格式： 由于： e = i v u l 2 i 叫r 口( “) i = 1 1 w ( 丽v u ) 所以e 3 的离散格式可表示为： 0 3= 【(垒鱼) z 十( 塾导垫 n ，、 r 一( i l v u ” ，j + v 钍“忆如 + i lv u 土。l h j + ；让i n , j + - 一 + 让”+ 1 一 十 i v 妒一 牡0 一- 1 i ) 吗+高 v u 而 l n l l t 一吾，j 一l j 鬲+ 丽丽五 ) 让3 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 其中t l w ”i l + j ，t l w n l l t 一 ，j ，i t w “i l i , j + 吾和i l v 妒l l j 一 分别由后面的( 3 1 8 ) ， ( 3 1 9 ) ，( 3 2 0 ) 和( 3 2 1 ) 式来计算 1 一刊 一珏 一v 第j 章数值实现 接下来，我们对( 2 1 1 ) 中的扩散方程 害砒埘) l v u 胁 ( 品l v 钍i ( f 叫 1 3 ( 3 1 2 ) 进行离散 为了数值实现上的方便，我们不用完全隐格式，而用局部线性化的半隐格式 我们将采用局部一维方法 2 7 ，2 8 1 离散方程( 3 1 2 ) ，同时利用c r a n k - n i c o l s o n 格式i 矧 基于这一想法，我们得到的离散格式为： 孥- - u i j = 知1 m l v 吲【志乱州i + l , j 仳矿一u 矿o a t ， 11 、l i v u ”0 i + j i i v u 竹| l t 一 ， + v u “忆 ，j 一( 1 1 礼跣+ + 、u 卅j v u ”忆 ，j v u “忆 j + 而最 + 而丽i u 】 = 三9 ( 舻1 ，w 嚣j - i - 1 ) i v 缸嚣 一( _ + ) 3 v u “一 珏拜1 ，j ) 让矿1 v u ”+ ； ， 11 、i l v u ”i i j + ；i l v u n i i , j 一； i 一_ | 一一 1 + 而丽五 岐煮 ) 仳寸5 乱盛】+ a i v 乱圹( 南一珏矿5 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 件唆 拓 阿 毛 一v 球 南 1 4 第三章数值实现 初值处理： 让3 = 南 对v o l ln e u m a n n 边值爱= 0 离散得： 吃= 哂，乱= 钍一1 嵋- = 让知，仳知= 仳? ，一1 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 最后，我们考虑( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 中的i v u o l ，l | v u ”i i , + j ，i l v 珏“眦一；，j ，i l v u “忆j + ， v u ”眦j 一和i r a q i + 的数值形式 对于i v 钍3 1 ，我们用中心差分格式有； v 屿l = ( 略l 一啦l j 2 ) 2 + ( u z j + l 一珏乙一1 2 ) 2 p 对i i v 矿眦+ ；j ，j l v u ”儿一知，i i v u n i i , ，升；，i l v u n i i , ，j 一 我们作如下近似： ( 3 1 7 ) v u “i l i + ；j = 、( u 锋1 j 一喝) 2 + ( u i n + l , j + l + 珏+ l 一婚1 j l 一珏如一1 ) 2 1 6 + 2 ( 3 1 8 ) v u “眦一j = ( 乱嚣一嚎l ，j ) 2 + ( u i n , j + l + 啦l ，j + 1 乱易一l 一啦! ，j 1 ) 2 ：6 + e 2 ( 3 1 9 ) v u “忆j + = 、( 钍乙+ l 一让3 ) 2 + ( u s l j + l 十仳件nl ，j 一扎2 1 j + l u i n - - 1 , j ) 2 1 6 + e 2 l l v 矿一；= 、( 锃马 ( 3 2 0 ) 一锃如一1 ) 2 + ( n 件1 j + 略1 j 一1 一珏墨1 j 一啦l j 1 ) 2 1 6 + 2 ( 3 2 1 ) 其中加个e 2 项是为了避免( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 式中的分母为零的情形上述( 3 1 s ) ，( 3 1 9 ) ， ( 3 2 0 ) 及( 3 2 1 ) 式与s k i m - h l i m 2 9 】所采用的格式相似 对i v u 3 l + 我们采用与y c h e n - p b o s e l 2 1 】类似的迎风格式来逼近，即： i v 喝i + =f ( m 凹( u 3 一仳：1 j ，o ) ) 2 + ( m n ( 缸耳1 ，j u 3 ，o ) ) 2 + ( m o z ( 钍弓一乱乙一l ，o ) ) 2 + ( m 锄( u 易+ 。一扎3 ，o ) ) 2 】； ( 3 2 2 ) 第三章数值实现 1 5 以上我们完成了对方程( 2 1 1 ) 的离散，从( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 式容易看出，当给定乱3 时，我们只需要求解两个严格对角占优的三对角线性方程组即可得到让矿1 ，所以只 要用追赶法( t h o m a s 算法) 1 3 0 】即可快速有效地求解我们的离散方程( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 3 2 参数的估计 由( 2 8 ) 式我们知道o ( v ，硼) 中有两个重要的参数k 和q 似) ，下面我们就来估 计这两个参数 我们知道对于不同的时间尺度下的k 应该是不同的，我们采用m j b l a c k - g s a p i r o 1 1 】从图像统计的角度给出的估计： c r c = 1 4 8 2 6 m e d i a n ( i v u 一m e d i a n ( 1 v u “i i ) 1 1 )( 3 2 3 ) 于是： k=巧1(u24) 其中( 3 2 3 ) 式中的m e d i a n ( ) 表示取中值 下面来估计q ( 叫) 我们的想法是：当w 比较小时，不妨设们 乃，说明此点是角点，就要尽可能的阻止扩散，所以应设置较大的a ( 叫) 值，不 妨设q ) = 1 0 0 当五w 正时，a ( 叫) 应是一个增函数，并且w 接近死时， 增速应该较慢，而加接近乃时，增速应该较快，同时要使q ) 是一个连续函数， 所以可取： c 伽，2 兰基5 0 一n ) 一。，互叫易c 3 2 印 1 6 第三章数值实现 模型( 2 。1 1 ) 中还有一个重要参数入，我们知道，当a 较大时，铭和，就会比较 接近，这样对保持图像细节结构有好处，但同时也可能保留了一些噪声；当入较小 时，u 和- 厂就会偏差比较大，这能有效的去除噪声，但会使图像变模糊，图像的细 节结构也就会丢失，所以选取合适的a 值是十分重要的，但a 是依赖于不同的实验 图像和噪声水平的，而且a 值与所构造的数值格式也应该有一定的联系，这是因为 入值与时问尺度为t 时的图像有关联，而不同的数值格式所得到的t 时刻的图像是 有差别的在数值实验过程中，我们还注意到参数7 - ，噩，t 2 ，a 之间可能存在一个 最优的配置问题，但目前还没有比较好的方法来解决这一问题因此，本文将依据 实验来设置不同的参数值，当然这不能保证我们所给出的参数值是最好的 第四章数值实验结果 我们将用第三章所提供的数值格式对一些图像进行丁实验其结果如下 首先选择一幅灰度图像如图1 ，图像大小为1 2 8 1 2 8 嘲l ( a ) 为清晰的原始 图像；圈1 ( b ) 为加了均值为0 标准差为1 5 的高斯白噪声的图像，；图1 ( c ) 是用 模型( 13 ) 迭代9 0 次得到的结果，其中时问步长为o0 8 ；而图l ( d ) 是用我们的模 型处理得到的结果，参数设置为肛1 5 0 0 ， = 00 0 1 ，正= 02 ，噩= 0 4 时间步 长为o0 8 选代9 0 次从结果可以程容易看出，我们的模翟有很好的保持图像细节 结构的能力，尤其是在角点的地方，保持的非常好这只需要从小车的后端三个细 柱看出模型( 1 3 ) 把三个细柱明显缩短了，而我们的模型却比较好的保持了细柱 的长度，并且我们的模型处理出的图像更清晰还可以看出我们的模型能避免梯块 ( s t 抵s i n g ) 的产生 ( c ) 图1 ( 砷为原始清晰的图像，( b ) 为加了均值为0 ，标准差为1 5 的高斯白噪声的图像，( c ) 为用模 型( 13 ) 处理图( b ) 得到的结果。( d ) 为我们的模型处理田( b ) 所得的结果 我们再用一幅二值图像做实验这次我们将加更多的噪声来考察我们的模型和 鍪剡 一 1 8 堕童_ ! 墅壁墅i 墨一一 我们所构造的数值算法如图2 ，图像大小为1 2 8x1 2 8 图2 ( a ) 为清晰的原始图 像；图2 ( b ) 为加了均值为o ，标准差为3 6 的高斯白噪声的图像，；圈2 ( c ) 是用模 型( 1 3 ) 迭代1 0 2 次得到的结果，其中时间步长为o0 8 ；图2 ( d ) 是用我们的模型处 理得到的结果，参数设置为肿4 0 0 0 ， = 00 0 1 ，丑= 0 , 3 ，马= 03 5 ，时间步长 为00 8 ，迭代8 7 次从实验结果看z 我们的模型对于保持尖角有很好的效果，并且 我们所构造的数值算法也能比较有效地去除噪声 图2 ( a ) 为原始清晰图像( b ) 为加丁均值为0 标准差为3 6 的高斯白噪声的图像，( c ) 为用模 型( 13 ) 处理图( b ) 得到的结果，( d ) 为我们的模型趾理圉( h ) 得到的结果 最后，用我们的模型和数值算法来处理两幅实际图像在这两幅图像中所包含 的噪声类型是未知的 第一幅图，如图3 。图像大小是3 1 2 3 0 0 图3 ( 曲为一幅通过x 射线扫描 得到的实际图像i ( b ) 为用模型( 1 3 ) 处理围( 曲迭代1 4 0 次所得到的结果，其中 时间步长为o0 8 ；( 0 为用我们的模型处理图( a ) 所得到的结果，参数设置为m 3 5 0 0 。 = 00 0 1 ，置= 04 5 ，已= 1 1 ，时间步长为00 8 。迭代次数为1 4 0 次从实 耩姆簿藤 第四章数值实验结果 1 9 验结果我们能很容易的看出，正如所预想的，我们的模型( 2 1 1 ) 将图像中的一些细 节( 如一些比较小的孔洞) 有效地保持了下来，而且对于角点的保持也是比较好的 而模型( 1 3 ) 明显的使图像中所包含的一些小的孔洞信息丢失了从图3 中还能看 出我们的模型和数值离散方法对去除噪声也是比较有效的 图4 表示用我们的模型( 2 1 1 ) 处理图3 ( a ) 所得的结果，参数设置均为t 下= 3 5 0 0 ，入= 0 0 0 1 ，t 1 = 0 4 5 ，t 2 = 1 1 ，时间步长为；0 0 8 ，但迭代次数是不同的，( a ) 迭代次数为1 4 0 次，( b ) 迭代次数为1 6 0 次，( c ) 迭代次数为1 8 0 次，( d ) 迭代次数 为2 1 0 次通过比较图4 中的四幅图，我们发现它们的差别十分细微，这反映了我 们的模型对于迭代次数并不敏感，这对迭代停止时间的选择是十分有好处的 第二幅图，如图5 ，图像大小为4 7 2 5 4 6 图5 ( a ) 为鹦鹉螺的c t 重建图像；( b ) 为对图( a ) 作反色变换得到的图像，这样处理的目的是为了使噪声和细节看起来明 显 图6 ( a ) 表示用模型( 1 3 ) 处理图5 ( a ) 所得的结果，迭代次数为2 0 0 次，时间步 长为o 0 8 ；图6 ( b ) 为对图6 ( a ) 作反色变换所得的图像 图7 ( a ) 表示用我们的模型( 2 1 1 ) 处理图5 ( a ) 所得的结果，参数设置为：7 - = 1 4 0 0 ，入= 0 0 0 2 ，7 1 = 0 2 ，t 2 = 0 3 ，迭代次数为1 7 5 次，时间步长为o 0 8 ；图7 ( b ) 为对图7 ( a ) 作反色变换所得的图像 从图5 ，图6 ，图7 可以看出，我们的模型能比较好的去除噪声，并且对中心螺 旋线要比模型( 1 3 ) 保持的好，这一点从图6 ( b ) 和图7 ( b ) 可以看出但从图7 看 出，我们的模型使图像变的稍微模糊了，这在去噪中是很难避免的，如果能知道参 数的最佳配置可能会得到更好的结果 从以上数值实验结果我们可以看出，我们构造的模型正如我们当初所设想的能 很好的保持图像的边缘以及角点等细节结构特征，并且我们所构造的数值格式也能 快速有效地去除噪声 2 0 j 塑兰塾垡! 型墨一 ( b )( 曲 图3( 的为一幅宴际图像，( b ) 为用模型( 13 ) 处理图( 8 ) 得到的结果，扛) 用我们的模型处理 图( a ) 得到的结果 ! 堕生_ 萋堕型堂墨一2 l ( 曲 图4 用我们的模型( 21 1 ) 对翻3 ( 曲处理得到的结果，( a ) 为遗代1 4 嗽得到的结果。( b ) 选代1 6 0 次 得到的结果，( c ) 为选代1 8 0 次得到的结果。( d ) 为造代2 l o 次得到的结果 2 2 堑竖墼堂堕堕墨 由 图5 ( 曲为鹦鹉螺拱 j c t e 建田像，( b ) 为对( a ) 作反色变换得到的结果 皇堕兰堕塞壁型l 2 3 图6 ( 曲为自强( 1 _ 3 ) 处理图5 ( 曲所得的结果，( b ) 为对( a ) 作反色变按得到的绪果 2 4 苎堕兰塑堂塑堕里一 图7 ( a ) 为我们的模m ( 21 1 ) 处理困5 ( a ) 所得的结果，( b ) 为对( a ) 作反色变换得到的结果 第五章结论 本文利用时滞正则的思想，构造了一种扩散模型，并且从分析图像水平线运动 的角度构造了一个新的非均值扩散控制项，这使得我们构造的扩散模型能较好的保 持图像的边缘以及角点等细节特征，这个模型可认为是对模型( 1 3 ) 的一种修正我 们构造了这个模型数值离散格式并给出了参数估计，从数值实验结果来看，我们的 模型具有很好的保持图像细节特征的能力，同时能比较快的有效的去除噪声 参数的合理选择是我们的模型取得成功的关键正如3 2 节所指出的，参数 k ，乃，t 2 ，a 的最优配置尚属未知，所以还需要一些策略来估计这些参数，尤其是 参数入的估计，如何利用图像本身的信息来自动地选取a ，是需要进一步研究的 参考文献 f 1 】s a n g e n e n t ，e p i c h o na n da t a n n e n b a u m , m a t h e m a t i c a lm e t h o d si nm e d i c a li m a g e p r o c e s s i n g , b u l l e t i no ft h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y