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南京理工大学硕士学位论文无网格法在数值传热学中的应用研究 摘要 本文对无网格法基本理论进行了研究，并将无网格方法应用到数值传热学中。 无网格法是近二十年才发展起来的一种新型的数值方法。它只需节点信息而不需要 将节点连成单元。本文采用了基于移动最小二乘近似( m l s ) 的无网格伽辽金法( e f g ) 计算了热传导问题，采用拉格朗日乘子处理本征边界条件：讨论了无网格伽辽金法 各个计算参数在数值模拟中对计算精度的影响；并对无网格的自适应方法进行了研 究。 关键词：无网格法伽辽金法，移动最小二乘，拉格朗日乘子，数值传热 旦至里三奎兰堡主堂堕堡苎 垂堕鳖堕垄塑堡堡垫堂! 塑生旦婴壅 a b s t r a c t t h ep r o c e s sa n db a s i ct h e o r yo fm e s h l e s sm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n sf o rn u m e r i c a l h e a tt r a n s f e ra r ei n v e s t i g a t e di nt h i sd i s s e r t a t i o n a san e wn u m e r i c a la n a l y s i sm e t h o d ， m e s h l e s sm e t h o dw a sd e v e l o p e dr a p i d l yi nt h ep a s tt w od e c a d e s t h em e t h o dr e q u i r e s o n l yn o d e sa n dn oe l e m e n t sa r en e e d e d i nt h ed i s s e r t a t i o n ，m e s h l e s se l e m e n tf r e e g a l e r k i nm e t h o d ( e f g ) w h i c hu t i l i z e sm o v i n gl e a s ts q u a r e ( m l s ) i su s e df o rs o l v i n g h e a tt r a n s f e rp r o b l e m s l a g r a n g em u l t i p l i e rm e t h o di su s e dt od e a lw i t ht h ee s s e n t i a l b o u n d a r yc o n d i t i o n s o m ep a r a m e t e r si ne l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ，w h i c hi n f l u e n c e t h ep r e c i s i o n ，a r ea l s od i s c u s s e di nt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h ea d a p t i v em e t h o do f m e s h l e s sm e t h o dj sa l s os t a t e d k e y w o r d s ： e l e m e n t - t i e eo a l e r k i nm e t h o d ，m o v i n gl e a s ts q u a r e ，l a g r a n g e m u l t i p l i e r ，n u m e r i c a lh e a tt r a n s f e r 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名： 毫毖幺w 旺年f 月：占曰 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：盘i 勉 够年f 月：日 南京理工大学硕士学位论文 无网格法在数值传热学中的应用研究 1 1 研究背景 1 绪论 近三十年来，数值分析方法研究取得了长足的进步，出现了多种数值方法，如有 限容积法、有限元法、有限分析法等。特别是有限元法，人们对它进行了深入的研究， 并将其应用到实际工程和科学研究的各个领域。随着计算数学和计算机技术等学科的 发展，数值模拟作为一种有效的分析工具，在科学技术发展中发挥着巨大的作用。研 究的内容包括了固体力学、流体力学、传热学、电磁学、微电子学等各个学科的各个 领域。数值分析是随着计算机技术发展而出现的一项重要的方法。 但随着研究问题的更加深入，传统的数值分析方法的局限性也逐渐显现出来。如 有限容积法、有限元法和边界元法，它们共同的特点是都有网格单元这一个基本概念。 每次计算时都要对求解区域划分网格。对于计算规模大和要求网格划分很细的问题， 网格的生成工作需要占用大量的计算时间，求解所需的数据量也比较大。这不仅对计 算机硬件提出了很高的要求，而且计算时间也相当长。尤其是对于三维问题，这种局 限性更加突出。同时，网格生成算法的优劣对生成的网格的质量也有着重要的影响。 因此，能否开发一种不需要划分网格就能对所求问题进行数值分析的计算方法，成为 世界各国学者关注的焦点。无网格法( m e s h l e s so rm e s h f r e em e t h o d ) 就是在这样的背景 下提出的。无网格法具有鲜明的技术特点：它是采用基于点的近似原理，只需要节点 信息而不需要将节点连成单元，可以彻底或部分地消除网格，不需要网格重构。无网 格法的基本思想是在计算域上用一些离散的点来拟合场函数，从而摆脱了网格单元的 限制。这对于处理那些需要不断增加节点、不断增加网格数量的问题带来了很大的便 利。节省了大量的计算时间，而却保证了较高的计算精度。总之。无网格法具有前处 理简单、计算精度高等优势，是一种有着极强生命力的数值计算方法。当前，无网格 方法尚处于研究阶段，在工程上的实际应用还较少。 1 2 数值传热学常用的数值方法 数值传热学研究的基本内容包括热传导、对流换热、辐射换热及传热过程、复杂 换热过程与各类换热设备的传热特性f ”。近3 0 年来，为了对这些热传递过程进行数 值模拟，已经发展出了多种数值方法。数值传热学的主要目的是求解热传导问题的控 制方程。对于导热、对流换热等问题，控制方程是一组描述守恒原理的偏微分方程组。 南京理工大学硕士学位论文 无网格法在数值传热学中的应用研究 目前常用的数值方法有：有限差分法、有限容积法、有限元法、有限分析法、边界元 法、谱分析方法、数值积分变换法和格子- - b o l t z m a r m 方法f 1 】。其中，前四种方法都 是对整个求解区域作离散化处理，即利用网格将求解区域划分成若干个部分，用分布 在整个区域上的有限个网格节点的近似值来代替连续问题的解。这些使用网格的数值 方法是目前研究最为透彻、最为深入的方法。从上个世纪6 0 年代至今，已经形成了 一系列处理各种流动和传热问题的方法，并将数值计算过程进行了细分：前处理过程、 解算过程和后处理过程。前处理过程主要包括网格生成、边界条件和物性参数的设定 等计算初始化工作。其中，网格生成是前处理工作中最重要的部分。生成网格质量的 优劣直接影响到最终的计算结果。网格又可分为结构化网格、非结构化网格等等【i 】。 解算过程是利用各种算法对控制方程进行求解，如处理流动与换热耦合问题的s i m p l e 算法等等。最后得到的结果通过后处理过程进行可视化处理，输出等温线、等压线和 速度矢量等等各种人们能够直观的观察计算结果的示意图。目前，这些计算数值方法 已有成熟的商用软件，如f l u e n t 、s t a r - c d 、p h o e n i c s 、a n s y s 、f l o w 3 d 等 等，在工业界得到了广泛的应用。 而在数值传热学中，一种新的数值计算方法一一无网格法，正越来越引起广大学 者的关注。无网格法与有限容积法、有限元法不同的是，它不需要对求解区域划分网 格，仅需要一系列无网格节点，就能通过求解这些无网格节点上的场函数值来表示整 个物理场。因此，无网格法与以前的数值方法相比，具有很大的优点。它的前处理过 程得到了很大的简化，特别是原来在计算过程中需要进行网格细化和网格重构等自适 应处理的问题，现在只需要增加无网格节点就能达到目的。目前，对无网格法的研究 在结构力学领域有了初步成果。在断裂问题，裂纹产生的数值分析等方面取得了比较 好的结果1 2 , 3 , 4 1 。但在传热学中，无网格法还没有得到深入的研究。本文的目的就是要 将这种新型的数值方法应用的传热学中来，并探索无网格法在各种计算条件下对热传 导问题的适用性。 1 3 无网格方法的产生和发展 无网格方法的起源可以追溯到上世纪七十年代对非结构网格有限差分法的研究 5 , 6 1 。但由于当时有限元法的影响力和适用性，无网格法没有受到足够的重视。但随 着对有限元方法研究不断的深入，研究者发现在实际工程数值计算中，有些问题用有 限元法计算很难得到理想的计算结果。如大变形问题、奇异性问题、裂纹的动态扩展 等物理场不连续的问题。为保证计算精度，有限元法在计算中需要不断重新划分网格、 局部加密网格，使生成网格的工作量大大增加。而无网格法作为一种新的数值计算方 法，由于其不需要网格的特点，有效地解决j 上述问题。 2 南京理工大学硕士学位论文 无网格法在数值传热学中的应用研究 最早出现的无网格方法是光滑粒子流体动力学法( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o a y n a r n - i c s ，简称s p h ) ”j ，它首先被应用于解决无边界的天体物理问题；j o h n s o n 等提出了归 一化光滑函数算法【8 】，提高了s p h 的计算精度；随后m o n a g h a n 对s p h 方法进行了 深入的研究，并将其解释为核近似方法【9 】；s w e g l e 提出了s p h 方法不稳定的原因及 稳定性方案：j o n h s o n 和b e i s s e l 等人提出了一些改善应变计算的方法 1 0 , 1 1 】。1 9 9 2 年 n a y r o l e s 等人将移动最小二乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r e ，m l s ) 用于g a l e r k i n 方法，从而 提出了扩散单元法( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，简称d e m ) t 1 2 】，并应用它分析了p o i s s o n 方程和弹性问题。b a b u s k a 和m e l e n k 将s p h 和m l s 这两种近似方法归结为单位分 解法( p a r t i t i o no f u n i t ym e t h o d ，简称p u m ) 的特例【l ”，从而将这类近似方法加以扩展。 b e l y t s c h k o 等人提出了无网格伽辽金法( e l e m e n t - f l e eg a l e r k i nm e t h o d ，简称e f g 法1 【2 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 】；l i u 等将e f g 法和边界元法相耦合，用于固体的应力分析b s ：b e l y t s c h k o 和h e g e n 等将e f g 方法和有限元方法耦合1 1 9 ，2 0 】。o n a t e 等提出了有限点法( t h ef i n i t e p o i n tm e t h o d ，简称f p m ) t 2 “。美籍华人计算力学学者l i u 利用积分重构函数思想，提 出了一种重构核质点法( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ，简记为r k p m ) ，l i u 等人 还对此类方法作了大量的研究工作，并对其收敛性给以证明，进而又提出了r e p r o d u c i n gl e a s t - s q u a r ek e r n e lg a l e r k i n 方法【2 越。o d e n 等利用移动最小二乘法建立单位分解 函数，由此构造权函数和试函数，再通过g a l e r k i n 法建立离散格式，提出了h p 云团 ( c 1 0 u d s l 法2 3 1 。l i s z k a 等改用配点格式，避免了g a l e r k i n 格式中用于积分计算的背景 网格，提出了h p 无网格云团法( h pm e s h l e s sc l o u d sm e t h o d ) t 2 4 j 。b a b u s k a 等将单位分 解法与有限元法相结合，提出了单位分解有限元法和广义有限元法【2 5 2 6 】。a t l u r i 等提 出了局部边界积分方程法( l o c a lb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d ，简称l b i e ) 1 2 7 1 和 无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法( m e s h l e s sl o c a lp e t r o v - g a l e r k i nm e t h o d ，简称 m l p g ) 2 s , 2 9 。 目前，国外的无网格研究机构主要有：马里兰大学的ib a b u s k a ，j m m e l e n k 课 题组，主要研究p u 方法：得克萨斯大学的j o d e n 课题组，主要研究h p 云团方法； 西北大学的工b e l y t s e h k o 课题组，主要研究e f g 方法：西北大学的w k l i u 课题组 主要研究r k p m 和小波法：爱荷华大学的wh a n 组，主要研究优化的m l s 算法。 近些年来，许多研究者和研究机构开始了对无网格法的研究，以无网格为研究专题的 国际会议也频繁召开。1 9 9 9 年8 月4 - 6 目，在科罗拉多大学c b ) 召开了无网格研讨 会，世界各国的研究者通过电子邮件参加讨论。2 0 0 0 年，在芝加哥召开了无网格的 专题研讨会，另外i c e s 一2 0 0 0 也同样把无网格法作为一个主要的议题。2 0 0 3 年7 月 2 1 2 3 日，在葡萄牙里斯本召开了2 0 0 3 年年会；2 0 0 5 年年会同样在里斯本召开。 国内对无网格法的研究尚属起步阶段，但也取得了一定的研究成果。宋康祖、陆 南京理工大学硕士学位论文无网格法在数值传热学中的应用研究 明万等将无网格法应用到固体力学中【3 0 】；仇轶、由长福等将无网格法应用到流场计算 中f 3 1 】；周维垣等对无网格伽辽金法( e f g ) 进行了详细介绍【3 2 1 ，并应用于裂纹扩展分析 中，张伟星等将e f g 法应用于地基板的应力分析中【3 3 】；庞作会等也对e f g 法进行了 介绍，并将其应用于边坡开挖问题中【3 4 】：陈建等采用e f g 法计算含边沿裂纹功能梯 度材料板的应力强度因子3 冠；陈红全将h p 云团法用于计算二维翼型跨音速绕流【3 6 1 。 尹华杰等将e f g 法应于电磁场的数值计算 3 7 , 3 8 ：文建波、周进雄等应用r k p m 计算 应力场【3 9 l ：龙述尧对移动最小二乘近似函数中样条权函数作了研究【4 0 】，并求解二维 弹性力学的平面问题【4 ”。国内对无网格的研究主要集中在科研院所和院校。先后有清 华大学、西安交通大学、东南大学、南京航空航天大学、湖南大学、华南理工大学、 浙江工业大学等高校得到了国家自然科学基金的支持，开展无网格计算方法的研究工 作。 无网格法正向着高精确度方向发展，人们正致力于提高这一方法计算精度和效率 的研究。可以预见，无网格法会得到不断的完善和健全，并被应用到过去的数值方法 所无法涉及的领域。 1 。4e f g m 的应用现状 无网格伽辽金法( e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ) 是由b e l y t s c h k o 等学者在n a y r o l e s 等人提出的扩散单元法( d e m ) 的基础上提出的u 1 l 。无网格伽辽金法是一种被较早提 出的方法，也是目前研究最为深入的无网格方法。经过数十年的发展，无网格伽辽金 法已在固体力学、电磁学、传热学、微电子学等各个领域有了初步的应用 2 , 1 4 , 3 8 , 4 2 , 5 7 。 其中，在固体力学中的应用最为广泛。如裂纹扩展问题、地基板的应力问题、边坡开 挖问题、功能梯度材料板的断裂力学问题、弹塑性问题 3 2 , 3 3 , 3 4 , 3 5 ，都可以用无网格伽 辽金法进行数值分析。可见，无网格伽辽金法是一种极具潜力的无网格方法。 1 5 本文的研究内容和研究意义 目前，无网格法在一些领域里己得到比较成功的应用，但将其应用于温度场的研 究还比较少。本文的目的是将无网格法应用到温度场的数值计算研究中。选取有精确 解的温度场问题作为参考算例，以验证无网格算法的正确性。并将无网格法求解得到 计算结果与采用结构或非结构网格的有限容积法所得到计算结果相比较。 作者在大量阅读和认真研究了现有的参考文献的基础上，分析综合各种无网格法 的优缺点，选用无网格伽辽金法作为本文的研究重点。在前人所做的研究成果的基础 上，做了大量的工作。具体内容主要有两大部分： 南京理工大学硕士学位论文 无网格法在数值传热学中的应用研究 一、有限容积法在温度场数值求解问题中的研究，包括： 1 有限容积法建立二维温度场的离散方程； 2 用结构化和非结构化以及混合网格求解，与精确解比较，分析误差。 二、无网格法在温度场中的应用，包括： 1 无网格法算法的研究，包括无网格离散方式和具体的形函数； 2 无网格方法在温度场问题中的应用研究； 3 无网格法各个计算参数对热传导问题最终计算效果的影响。 4 无网格自适应技术的初步研究。 本文介绍无网格伽辽金法的基本原理，选择合适的离散方案，选取恰当的形函数， 推导出稳态、非稳态热传导问题的无网格法计算公式，采用l a g r a n g e 法来处理本征 边界条件；讨论权函数的选取原则，对几种常用的权函数进行了计算。基于f o r t r a n 和m a t l a b 编制传热问题的分析计算程序，通过对若干算例的计算分析，说明无网 格法在计算温度场问题时的特点。无网格法计算精度高、后处理方便，是一种具有潜 力的温度场数值计算的新方法。 无网格伽辽金法是无网格法中比较成熟、很有发展前景的一种方法。在权函数的 选取、计算速度的提高、积分的实现方式以及节点的分布方式等方面都需要做进一步 的研究和探讨。 南京理工大学硕士学位论文无网格法在数值传热学中的应用研究 2 有限容积法在数值传热学中的应用 有限容积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ) 是一种在数值传热学中被广泛使用的数值计 算方法。它的基本原理是将所要求解的区域划分成一系列控制容积，每个控制容积都 由一个节点做代表。通过将守恒型的控制方程对控制容积做积分来导出离散方程，用 有限容积法导出的离散方程可以保证具有守恒特点，而且离散方程的物理意义明确 4 3 1 。本章将具体介绍有限容积法在传热学中的应用。 2 1 网格生成 对流动和传热问题进行数值计算的第一步是生成网格，即要对空间上连续的计算 区域迸行剖分，将其划分成许多个子区域，并确定每个区域中的节点。由于工程上所 遇到的流动与传热问题大多发生在复杂区域内，因而不规则区域内网格的生成是计算 流体力学与计算传热学中一个十分重要的研究内容。实际上，流动与传热问题数值计 算结果最终的精度及计算效率，主要取决于所生成的网格与所采用的解算器算法。现 有的各种生成网格的方法在一定的条件下都有其优缺点，各种求解器算法也各有其适 用范围。一种准确而高效的数值计算方法，只有在网格的生成及解算器算法这两者之 问有良好的匹配时才能实现。自从1 9 7 4 年t h o m p s o n 等三人提出生成适体坐标的方 法以来，网格生成技术在计算流体力学及传热学中的作用日益被研究者所认刚”。 网格生成又大体可分为结构化网格、非结构化网格、结构和非结构化混合网格。 在本章节中，将使用这三种类型的网格对同一算例进行计算，比较分析结果。在后面 章节中，在对无网格法算法的研究中也将同样使用到这些算例，以此来对无网格法和 传统的有限容积法进行比较。 结构化网格是一种网格节点之间存在特定关系的网格。结构化网格的特点是只需 将每一个节点及控制容积的几何信息加以存储，该节点的邻点关系则是可以依据网格 编号规则而自动得到的，不必专门存储这一类信息。结构化网格的生成方法也是多种 多样的，有正交直角、曲线坐标法，适体坐标法，对角直角坐标法等等 1 。本文为了 浣明有限容积法的应用，使用的是正交直角坐标法生成的结构网格，如图2 1 所示。 网格节点规则分布，图中的阴影部分表示点p 的控制容积。点w 、e 、n 、s 分别是点 p 的邻点。结构网格的特点是根据点p 的节点编号，就能获得该点的相邻点的节点w 、 e 、n 、s 的编号。 南京理工大学硕士学位论文 无网格法在数值传热学中的应用研究 n w 髟刁 e 坯么 图2 1 结构网格 图2 2 非结构网格 非结构化网格由于对不规则区域的适用性，自2 0 世纪8 0 年代以来得到迅速的发 展。非结构网格中单元与节点的编号无固定规则可遵循，因而除了每一单元及其节点 的几何信息必须存储外，与该单元相邻的那些单元的编号等信息也必须存储起来，所 以非结构化网格的存储信息量较大。 常用的二维非结构网格为有三角形单元，如图2 2 所示。非结构网格单元与节点 编号是无序的，在存储数据时可使用链表结构、动态数组和派生类型的变量，以节省 计算机的内存资源，提高数据元素的访问和处理速度。 还有一种将结构化和非结构化网格混合使用的混合网格。这种网格应用较灵活， 它同时具有结构化网格计算速度快、结果精确和非结构化网格能处理复杂几何形状的 特点，适用于在局部有复杂物理场及复杂几何边界的问题。 本章中的算例都将利用到上述三种类型网格。具体的在求解区域中生成的网格将 在下文中予以介绍。 2 , 2 有限容积法 有限容积法是一种发展较成熟的数值方法，本文不再详述，仅给出热传导方程的 离散推导公式。在直角坐标系中，二维非稳态导热方程为 4 3 j 百8 t = 昙( t 豢) + 导( b 詈) + q c z ， 方程两边对一个控制容积取积分，有 九秘= 州昙( t 罢) + 孙计q 卜出， 南京理工大学硕士学位论文 无网格法在数值传热学中的应用研究 将式( 2 2 ) 的写成离散形式 其中 咋乙= 盯，正+ 6 z q 2 赢 h 6 = 口，+ d ：- 0 ，q j = 1 口：=扛l q f b = 魏q + 日p o p o ( 2 3 ) 式中，n b 为点p 周围点个数，馥、垂，是将源项垂线性化后得到的线性项和非线性项 2 3 算例分析 在本节中，将选取五个二维热传导问题，采用有限容积法进行计算。每个算例都 有精确解，和数值解进行比较。如图2 3 所示，求解区域长为a ，宽为b 的矩形。在 本文中，为了便于问题的分析，对于所有的算例，一般都设定a = b = 1 。 2 3 。1 稳态导热问题 7 丑 算例1 是第一类边界条件问题。求解区域如图2 3 所示，四周边界都为第一类边 界条件，无内热源。边界条件为 南京理工大学硕士学位论文无网格法在数值传热学中的应用研究 丁g ，y ) = x + y + 叫 7 1 f ( 2 。4 ) 通过数学物理方程的求解，得到该问题的精确解为 丁g ，_ y ) = x + y + x y t q ( 2 5 ) 生成的网格如图2 4 所示。为了便于比较，三种网格选用相同数量的控制容积数。 如图所示，控制容积的个数为4 0 0 。 躺阑缀 ( a ) 结构网格 ( b ) 非结构网格 ( c ) 混合网格 图2 4 计算区域划分网格 一精确解 一一数值解 c a ) 结构网格 ( b ) 非结构网格 ( c ) 混合网格 图2 5 算例1 不同网格温度分布图 南京理工大学硕士学位论文 无网格法在数值传热学中的应用研究 算例1 的计算结果如图2 5 所示。其中，图2 5 a 为结构网格的计算结果，图2 5 b 、 2 5 c 分别为非结构网格和混合网格的计算结果。在图中的温度分布以等温线表示，实 线表示的是精确解等温线，而虚线表示的是数值解等温线。可以看出，数值解和精确 解基本重合，计算结果是正确的。 算例2 是具有第一、二类复合边界条件的热传导问题。边界条件如式( 2 6 ) 所示 l - - o ：呱。：a y ，f 娶1 ：o ( 2 6 ) l 砂脚，6 这个问题的精确解【4 5 】是 啪，= 百a b x + 砉坐券幽趔黜燃产 豫， 在此算例中，取a = 5 。图2 6 给出了算例2 的温度分布图。 一精确解 一一数值解 ( a ) 结构网格( b ) 非结构网格 ( c ) 混合网格 图2 6 算例2 不同网格温度分布图 1 0 南京理工大学硕士学位论文 无网格法在数值传热学中的应用研究 p ? 毓? 0 。一 b s ， | 0 。o2 i ，l 杀i = 此问题的精确解【4 印是 m 川一砉焘避羚盎掣， 其中，z = 1 ，咒= 0 ，k = 1 ，h = 3 。以是超越方程式( 2 1 0 ) f 懈。 z nt a l l ( 矗妒皂 n = 1 ，2 ，3 ，( 2 1 0 ) 精确解一_ 数值解 ( 曲结构网格 ( b ) 非结构网格 ( c ) 混合网辂 图2 7 算例3 不同网格温度分布图 南京理工大学硕士学位论文 无网格法在数值传热学中的应用研究 此问题的精确解是一个无穷级数，随超越方程的勰九值的增大，级数项对求和 式的影响逐渐减小。因此选取超越方程的从小到大排列的前1 5 个非负根来构造精确 解。计算结果如图2 7 所示，图中实线表示精确解，虚线表示数值解。 从以上三个算例的计算结果图中，可以看出使用有限容积法计算热传导问题，能 得到和真实问题较接近的计算结果。这三个算例得到的数值解都和精确解相吻合，计 算结果理想。 2 3 2 非稳态导热问题 在这- 4 , 节中，给出了两个有精确解的非稳态问题算例。本文仅给出了结构化网 格的非稳态计算结果。 算例4 为非稳态问题。控制方程如式( 2 1 l a ) 所示 肛詈= 孙针面3l ( kc3印tkyj 肛百2 瓦【庀x 面j + 面i却j ( 2 1 1a ) 边界条件为 ( 乳。- o ，( 罢譬hh 儿= 。 b m ， ( 现一o ，( 等+ 妒咒虬= 。 b m ， 其中 t o = 5 0 ，l = 0 ，k = 1 ，h = 3 ，p = 1 ，c = 1 问题的精确解为h 6 1 m 出归4 瓦薹砉丽丽篙篇赢面c o s ( f l 而m x ) c o 丽s ( y , y ) ( 2 1 2 ) 其中，= 庇倩，p m 、y 。分别是超越方程式( 2 1 3 ) 、式( 2 1 4 ) 的解- 。 成，t a n ( p a ) = h ( 2 1 3 ) n t a n ( y b ) = h ( 2 1 4 ) 和算例2 一样，此问题的精确解是一个无穷级数，随超越方程的解风、y 。值的 增大，级数项对总的求和的影响逐渐减小。同样选取超越方程的从d , n x 排序的前 1 5 个非负根来构造精确解。 南京理工大学硕士学位论文无网格法在数值传热学中的应用研究 计算结果如图2 8 所示，迭代时间步长为o 0 0 1 。由于是非稳态问题，取第5 0 、 1 5 0 、2 5 0 、3 5 0 个迭代步长的结果输出，观察求解过程。 一精确解 一一数值解 ( b ) s t e p 2 1 5 0 ( c ) s t e p 2 2 5 0( d ) s t e p 2 3 5 0 图2 8 算例4 不同迭代步长温度分布图 算例5 是一个边界条件为不同对流换热系数的非稳态问题。 边界条件为 ( 乳。一o ，( 罢+ 扣堋) = 。临l 刮l 西+ 言q 叫j l 刮 。 ( 茜哮仃卜。 其中， 问题的精确解是【4 6 】 控制方程同算例4 ， 瓦= 5 0 ，k = 1 ，h 2 = 3 ，h 4 = 6 ，p = 1 ，c = 1 佗，1 5 a ) ( 2 1 5 b ) 南京理工大学硕士学位论文 无网格法在数值传热学中的应用研究 r ( x 川y ) = 4 瓦 口( 雕+ 硪) + 皿b ( y ：+ 日；) + 皿 ( rfc 。s 以瑚i n 以地咖) c o s ( 成咖i n ( m h 叫办咖f 其中，风、以分别是超越方程式( 2 1 7 ) 、式( 2 1 8 ) t 构解 风t a n ( ，a ) = h 2 7 c t g ( y 。b ) = 一h 4 其中，h 2 = h e k ，h 4 = h 4 k 。同样，选取超越方程的较小的1 5 个解构造精确解。 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 计算结果如图2 9 所示。时间步长为0 0 0 1 ，取第5 0 、1 0 0 、1 5 0 、2 0 0 个迭代步 长的结果输出。 精确解一一数值解 ( b ) s t e p = 1 0 0 ( c ) s t e p = 15 0( d ) s t e p 5 2 0 0 图2 9 算例5 不同迭代步长温度分布图 南京理工大学硕士学位论文无嗣格法在数值传热学中的应用研究 2 3 3 结果分析 从上节的图中，可以看到有限容积法计算稳态、非稳态热传导问题能达到较高的 精度。用式( 2 1 9 ) 来计算平均误差，能得到以上各个算例的平均误差。 e r r o r ：一1 n l l 。一气。 i 乙。 1 0 0 ( 2 1 9 ) e r r o r m 。= m a x i 坚；! 堕i 1 0 0 ( 2 2 0 ) l 1 m 对于稳态问题，各个算例数值解和精确解相比的误差如表2 1 所示；非稳态问题 的数值解和精确解的误差如表2 2 所示。从表2 1 中可以看到，采用三种不同类型的 网格，得到的算例的平均误差不同。对于三个稳态算例，使用结构网格计算得到的平 均误差最小，而使用的非结构网格的平均误差较高。混合网格由于结合了结构网格和 非结构网格的特点，所得到的平均误差居于两者之间。对于非稳态算例，可以看到随 着迭代步长的增加，非稳态算例的平均误差逐渐减小。 表2 1 稳态问题算例的平均误差( ) 南京理工大学硕士学位论文 无刚格法在数值传热学中的应用研究 3 无网格伽辽金法的基本理论 在目前已有的几种无网格方法中，无网格伽辽金法( e l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o m 是应用最广泛的方法之一。它的基本方法是先建立和原问题基本方程及相应边界条件 等效的积分形式；再采用移动最d x - - 乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r e ) 构造形函数，并采用 适当的方法处理边界条件，得到离散方程，通过求解离散方程得到拟合值；再对这些 拟合值运用移动最小二乘法进行拟合，从而得到问题的解。无网格伽辽金法的求解过 程和有限元法类似，但和有限元法又有着本质的区别：相似之处在于两种方法都是通 过加权余量法或变分法得到方程的等效积分形式来近似表示原方程；区别在于两种方 法形成形函数( s h a p ef u n c t i o n ) 的方法不同：有限元法的形函数是通过在某一个有限元 单元内分片插值得到的，在单元内是连续可导的，各个有限元单元有各自的形函数， 而无网格辽金方法是通过移动最 j x - - 乘法( m l s ) 构造一个近似函数作为形函数，它并 不受网格单元限制，而是在某个无网格节点的影响域内是连续可导的。无网格伽辽金 法( e f g m ) 既保留了有限元的一些特点，又摆脱了有限元方法对单元的限制，克服了 有限元的不足。 在这章中，将全面介绍无网格伽辽金法的基本理论。其中第一部分介绍场函数 的近似方案，即移动最小二乘近似法( m l s ) ，包括移动最小二乘插值、形函数及其导 数、基函数与权函数等i 第二部分介绍伽辽金法的离散方案得至日离散方程；第三部 分介绍几种的本征边界条件( 或称为基本边界条件) 的处理方法，包括l a g r a n g e 乘子 法、修正的变分原理、罚函数法、与有限元耦合法等。 3 1 移动最小二乘近似 1 2 , 3 4 , 4 7 】 移动最小二乘j 2 1 4 以( m l s ) 是由n a y r o l e s l l 2 1 等人发展起来的，是无网格法的数学基 础。这种近似方法是通过几个互不相关的节点上的值，拟合出近似函数。通过这种方 法得到的近似函数具有光滑性好且导数连续的特点。移动最小二乘近似是标准最小二 乘近似的一种推广。 移动最小二乘法的基本原理如图3 。1 所示。已知各个点x ，的函数值，如果要得到 在整个求解域内的函数表达式，传统的最小二乘法是拟合得到一个在整个域内普遍适 用的近似函数来表示，具有整体数值分析的特点；而移动最小二乘法则是在各个点上 分别拟合，所得到的近似函数仅在某一个点置的一个邻域q ，内适用，近似函数具有 局部特性。所谓的“移动”，就是在不同的点上得到不同的近似函数。 南京理工大学硕士学位论文 无网格法在数值传热学中的应用研究 矿( 曲 ， ? 以墨) ：= 。 、沪 ， 、，一下 i “) 图3 1 移动最d x _ _ - 乘近似 对于求解域内每一个节点x ，在其邻域q 。内得到的近似函数还包含了该节点的 邻近节点，同时该节点也被它的邻近节点的近似函数所包含。如图3 2 所示，各个节 点邻域相互覆盖，这在数学上是一种流形覆盖( o v c r l a p ) 的概念 4 8 1 。 卜旦， 卜。x x i i 夏x i x 。 “ 3 1 1m l s 插值 图3 2 近似函数相互覆盖示意图 在域q 中，近似函数矿可表示f 2 ，3 4 j 2 , 4 9 , 5 0 】： “6 g ) = p ，g b ，g ) = p r o b g )( 3 ，1 ) f 4 l 式中，p r g ) 为完备多项式基，埘为其项数，口g ) 为对应的拟合系数，以b ) 一般可以 表示成为 舔) = h ，a 2 ，( 瑚7( 3 2 ) 为确定系数口( x ) ，在局部范围内构造带权重的2 - 范数，使得对函数的局部近似误 差最小。 ，2 喜坤g 一一牲6 g 。) 一“，】2 = 喜w g t 晒7 g b g 。) 一“。】2 ( 3 3 ) 南京理工大学硕士学位论文 无网格法在数值传热学中的应用研究 式中，x 为x 的紧支域或影响域( s u p p o r to ri n f l u e n c ed o m a i n ) l 为的点，n 为其个数； w ( x t ) 为权函数。权函数具有紧支域特性，即在影响域内，w ( x 一一) 0 ；在影响 域夕h ，w ( x x ，) = 0 ； 式( 3 _ 3 ) 可写成 j ) = ( p 口一“r 矽( j 胁一“) ( 3 4 ) 式中， j p = w ( x ) = l p lx 。) w ( x x ，) o p 2 0 。) o w ( x 一茁2 ) “g 。) “g ：) -_ 材k ) p 。0 ，) p 。g ：) p m g 。) j o o 由州取得最，j 、值的条件渊地可得到 4 0 b 0 ) 一口g k g ) = 0 ( 3 5 ) 其中：4 g ) = p r g ) p ，b g ) = p 7 g ) 由此解得 n g ) = 爿。( x ) 占g + 0 ) ( 3 6 ) 把上式代入式( 3 1 ) ，即可得最小二乘近似数 “6 g ) = p 7 g 皿。g ) b 0 k ( 3 7 ) 将式( 3 7 ) 写成 “6 g ) = 巾g - ( 3 8 ) 这里需要指出的是，由于移动最小二乘近似得到的场函数不通过节点变量。即在 x ，处，“x ，) 。这是无网格伽辽金法区别于有限元方法的一个重要特点。这 、，、， 1 2 b 0 2 2 p p 、，、， 1 20 g p p 南京理工大学硕士学位论文无网格法在数值传热学中的应用研究 是因为i 扫m l s 得到的形函数不满足k m n e c k e r - d e l t a 条件【5 i 5 2 】，即也b ) 西= 岳i i = ，j 。 3 1 2 形函数及其导数 在式( 3 8 ) 中，g ) 为无网格伽辽金法的形函数，其表达式可写为 毋0 ) = p 7 0 扣。1 0 归0 ) = 渤仍纯j( 3 9 ) 无网格伽辽金法的某节点的形函数，是对于该无网格节点x ，先由其影响域内 的所有影响点的拟合值和特定的基函数根据式( 3 5 ) - 式( 3 8 ) 计算得到的。币g ) 的导数 为 重! 里盟：! k ：垒丝：! 垒坐垒! | 咖：掣j + p r 掣荆+ p r 娜) 掣 l o ) ：掣g ) 掣荆。矿g ) 掣。 卿谢盘 式中，垦生_ a - z g ) 望娶立一，g ) 。 四积 由式( 3 9 ) 和式( 3 1o ) ，用m l s 计算形函数及其导数时，涉及到对系数矩阵a 的求 逆运算，必须保证在所有计算点处矩阵a 都为非奇异的。矩阵a 非奇异的必要条件 是：邻域内的节点数n 必须大于基函数p ( x ) 的项数m ，并且这些节点不能按特殊的方 式排列。如果矩阵a 是奇异的，可以用对计算点x 有影响的其它节点来代替其定义 域中的第k 个节点，直到a 成为非奇异的 5 0 l 。 3 i 3 基函数 式( 3 1 ) 中的p 7 = b 。g lp 2 g ) g ) 】是完备多项式基，它须满足以下特 性：( 1 ) p l g ) = 1 ：( 2 ) p i g ) c 5 ( q x i = i ，2 ，1 2 1 ，式中c 5 ) 是在q 上由1 到 s 阶连续可导的函数序列：( 3 ) p i 0 ) ，i = 1 ，2 ，m ，组成相互独立的函数列。 在无网格法计算中，大都使用线性基和平方基作为基函数。以二维问题为例，各个类 型的基函数可写为式( 3 1 1 ) 的形式。 线性基为 p r g ，y ) = ( 1 x y ，m = 3 ( 3 1 l a ) 1 9 南京理工大学硕士学位论文无网格法在数值传热学中的应用研究 平方基为 立方基为 3 1 4 权函数 p r g ，y ) = i x y x 2 x yy 2 j ，m = 6( 3 1 l b ) p r ( x ，y ) = i x y x 2 x y y 2x 3 工2 yx y 2y 3 j ，m = l o ( 3 1 1 c ) 移动最小二乘法拟台得到的形函数的优劣取决于所选取的权函数是否合适。一般 来说，选取具有高阶连续性的权函数能得到光滑可导的形函数。但只要选择的权函数 合适，低阶多项式基也能形成具有高阶连续性的形函数。因此，权函数的选取是无网 格伽辽金法的一个重要问题。权函数的另一个特点是具有紧支域特性。所谓紧支域特 性，即某一无网格节点的权函数在一定的区域内是非零的，且这个非零区域和整个求 解区域相比要小得多，这也是移动最小二乘近似具有局部特性的重要原因。这个以某 一无网格节点为中心的非零区域，被称之为紧支域，又叫影响域。影响域的大小必须 合适，影响域太小，将使得到的系数矩阵不唯一，或者出现病态，从而造成移动最小 二乘法的解不唯一；影响域太大又使该点影响域内计算节点太多，计算量大大增加， 且使移动最小二乘法得到的拟合函数的局部特性被抹平，使计算结果难以达到要求的 精度。影响域的尺寸一般应大于该节点与其相邻点的最大距离，使得各个无网格节点 的影响域相互重叠，从而保证了节点间的连续性。如图3 3 所示。 根据m o n a g h a n 的理论，权函数的选取应遵循如下原贝, i l t 9 j ： ( a ) 圆形紧支域( b ) 矩形紧支域 图3 32 2 维问题种常用的紧支域 南京理工大学硕士学位论文无网格法在数值传热学中的应用研究 ( 1 ) 权函数非负，满足紧支域条件。在紧支域内，权函数w ( x x ，) 0 ，在紧支域外权 函数w ( x x ，) = 0 ； ( 2 ) 满足类似正态分布特性，即权函数在中心处取最大值，离中心越远，权函数越小； ( 3 ) 正态性，即l w b 一一) 勰= 1 ； f 4 ) 权函数连续可导。 其中第一个条件最为重要，它保证了权函数近似具有局部意义，即“0 ) 是由紧 支域内的节点拟合得到的，而紧支域外的节点对“b ) 的拟合没有贡献。 权函数的选取到目前还没有理论上的具体规则，带有某种任意性。一般可选用指 数函数、样条函数、三角函数等，只要它们能满足以上的选取原则。权函数的影响域 也是可