（概率论与数理统计专业论文）时间序列分析在径流预测中的应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 水文预报直接为防汛抢险，水资源的合理利用与保护，水利工程的建设和调度运行 管理，以及工农业生产提供服务，是水文研究的重要内容。年径流量的预报，对于制定 生产计划、防洪、抗旱、发电、水资源的规划管理和综合利用有着十分重要的意义。 时间序列分析属于概率统计学科的一个重要分支，近十多年来得到迅速发展，尤其 是实际应用遍及自然科学、社会科学以及工程技术的许多领域。时间序列分析的若干理 论已经相当成熟，特别是对于线性平稳时间序列，其多种模型己被广泛应用于各领域的 控制和预测。 时间序列分析在水文预报方面起着重要作用。本文详细介绍了时间序列模型的特 点、相关分析方法及建模过程，并结合现有数据资料，通过相关分析，建立了年径流序 列的两种时间序列模型：趋势拟合模型以及a r i m a 模型。使用c u r v ee x p e r t l 3 软件进 行曲线拟合，建立三次和四次曲线拟合模型。 a r i m a 模型的建立，由于数据具有非平稳性，所以先对原始数据进行二阶差分， 然后对差分后数据特征进行分析，选择合适的模型以及对模型定阶。模型确定后，对模 型参数采用了y u l e w a l k e r 估计以及最小二乘估计。建模过程中，使用s p s s1 3 0 进行 辅助分析，并绘制出预测值折线图与实测值进行比对。对预测结果进行分析，计算结果 表明，a r i m a 模型对于浈江年径流量预报结果比趋势拟合模型要好。 关键词：时间序列；a r i m a ；s p s s ；径流预测 时间序列分析在径流预测中的应用 t h e a p p l i c a t i o no ft i m es e r i e sa n a l y s i so nt h eh y d r o l o g i c a lf o r e c a s t i n g a b s t r a c t h y d r o l o g i cf o r e c a s ti so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tp a r t so f h y d r o l o g yr e s e a r c h i ti st h ek e y i s s u ei nf l o o dc o n t r o l ，w a t e rr e s o u r c eu s a g ea n dp r o t e c t i o n ，h y d r a u l i cs t r u c t u r ed e s i g n r e s e r v o i ro p e r a t i o n , a n di n d u s t r ya g r i c u l t u r ep r o d u c t i o n t o w a r dt ot h ef o r m u l a t i o no f p r o d u c t i o np l a n , t h ef l o o dp r e v e n t i o n , d r o u g h t - d e f y i n g ，t h ee l e c t r i c i t yg e n e r a t i o n , t h ew a t e rr e s o u r c e s p r o g r a mm a n a g e m e n ta n dt h ec o m p r e h e n s i v eu t i l i z a t i o n , t h ey e a r l yd i s c h a r g ef o r e c a s th a s e x t r e m e l yv i t a ls i g n i f i c a n c e a sa ni m p o r t a n te m b r a n c h m e n to fp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s ，t i m es e r i e sa n a l y s i sh a sb e e n r e g a r d e da sap o w e r f u la n dp o t e n t i a lt o o lf o rp r e d i c t i o na n dc o n t r 0 1 t h em a i nt h e o r yt ot i m e s e r i e sh a sb e e ng r o w nu p ，a n dm a n yl i n e a rs t a t i o n a r yt i m es e r i e sm o d e l sh a v eb e e nu s e dt o c o n t r 0 1a n df o r e c a s ti nv a r i o u sf i e l d s t h et i m es e r i e sa n a l y s i sm e t h o dp l a y sa l li _ m p o r t a mr o l ei nt h eh y d r o l o g i cf o r e c a s t i nt h i s p a p e r ，t h ec h a r a c t e r s ，c o r r e l a t i v ea n a l y s i sm e t h o d sa n dm o d e l i n gp r o c e s so ft i m es e r i e sm o d e l s i si n t r o d u c e di nd e t a i l ，a n dt h ey e a r l yr u n o f ff o r e c a s t i n gt i m es e r i e sm o d e l sa r eg i v e n a c c o r d i n gt oc o r r e l a t i v ea n a l y s i sa s s o c i a t e dw i t ha v a i l a b l ed a t a c u r v ee s t i m a t i o nm o d e la n d a r m am o d e la r ee s t a b l i s h e d c u r v ee x p e r t l 3s o f t w a r ei su s e dt oc u r v ee s t i m a t i o n a c c o r d i n gt ot h eu n s t a t i o n a r yo fd a t a , s e c o n d - o r d e rd i f f e r e n c ei su s e db e f o r ea i u m ai s s e tu p y u l e - w a l k e re s t i m a t e sa n dl e a s ts q u a r e se s t i m a t e si sc h o o s ef o ra r i m a p r o c e s s 硼1 i s p a p e ra p p l i e st h et i m es e r i e sm o d u l eo fs p s s13 0s o f t w a r et ot h eh y d r o l o g i c a l f o r e c a s t i n g t h et w oe s t a b l i s h e dm o d e l sa r eu t i l i z e dt of i r i n ga n dp r e d i c tf o rt h ed a t ao fz h e n r i v e r t h er e s a u l ts h o wt h a tt h ef o r c a s tf o rz h e nr i v e ro fa r i m am o d e l i sq u i tg o o d k e yw o r d s ：t i m es e r i e sa n a l y s i s ；a r _ i m a ；s p s s ：h y d r o l o g i c a lf o r e c a s t i n g 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：吐阊庄到金堑查垄速亟型生的廑周 作者鲐乒丝! l 一 日期盟年卫月笪日 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 作者签名： 导师签名： 日期：竺墨年j 三月日 日期：丝墨年剧三l 日 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1研究的背景与意义 水文预报是现代水文科学的一个分支。它是根据已有资料对水文现象中实时水文要 素的未来状态及变化做出事先估计，是综合水文学、水文模拟、水文分析和其他非水文 学科，如资料处理、电讯、计算机、数学等许多知识的一门应用科学技术。 水文预报的内容包括：河道水位( 流量) 预报、河道流量演算、降雨径流预报、流域 汇流预报、水库水文预报、冰情预报、枯季径流预报和旱情分析预报等方面。 水文预报是适应自然、减免损失的非常重要的防洪非工程措施，也是合理利用水能、 水资源的非工程措施，它直接为防汛抢险，水资源合理利用与保护，水利工程建设和调 度运行管理以及工农业生产提供服务。因此，水文预报是一项社会经济可持续发展所不 可缺少的基本工作【l j 。 1 2国内外水文预报研究现状 1 2 1 国内外水文预报历史的简单回顾 近年来，由于生产的发展和经济活动的需要，世界各国都加强了对水文预报的研究 【2 】。1 9 7 0 年，日本学者h i n o 最早将卡尔曼滤波应用于水文预报的研究，他在论文“使 用线性预报滤波器的径流预报”中提出，并在他1 9 7 3 年的论文“水文预报的在线预报” 中加以发展。他明确提出，卡尔曼滤波适用于水文预报，并用卡尔曼滤波器递推地估计 降雨径流的响应函数，但他使用的是理想的观测值，并未完成出流的全部预报。这个工 作后来由伍德( w o o d ) 和肖洛西纳吉( s z o l l o s i - n a g y ) 1 9 7 8 年在论文“一个对于在水文预报 模型中分析短期结构和参数变化的自适应方法”中，全部完成了使用卡尔曼滤波递推估 计降雨径流系统响应函数的研究。 在国际学术讨论、交流推动下，通过对所获成果的思考，研究工作由浅层次向深入 阶段发展，其主要特点在于研究工作从算法的直接引入试用，主要地研究汇流预报技术， 发展到从水文预报需要出发，吸收实时预报技术的精华，为建立水文预报特有的算法和 模型开展开拓性的应用研究。 1 9 8 0 年以后，最具代表性的一项研究工作是美国关于萨克拉门托流域模型( 美国天 气局n w s ) 用于实时预报的研究。加拿大水文学者黑勃尔1 9 8 5 年在水资源通报上编辑 出版了水资源时间序列专析专集，该书收集了世界知名学者撰写的论文1 9 篇。 时间序列分析在径流预测中的应用 美国早在6 0 年代就开始用电子计算机处理水文资料，1 9 7 1 年建成水文资料库，1 9 7 5 年建成全国水文( 气象) 信息网。7 0 年代，美、欧、日各国相继实现了计算机处理水文数 据的系统。 1 。2 2 我国水文预报历史的简单回顾 我国现代长期预报工作是由涂长望先生开创的。上世纪3 0 年代中国气象学家涂长 望根据前期东亚大气活动中心的特征预测了长江的水旱状况。5 0 年代，内蒙古自治区水 文总站根据杨鉴初于1 9 5 1 年提出的“历时演变法”制作了黄河的长期洪水预报。水电 部水文局分柝了高空气象因子对后期水文情势的影响，对华北地区中小河流的中期预报 作了分析。1 9 6 0 年“长办 提出东亚大气环流的韵律研究及其在长期降水与水文预报的 应用。直到7 0 年代初，随着气象学、海洋学、统计数学和电子计算机技术的不断发展 和气象水文资料的大量积累，我屋中长期水文预报有了较大的发展j 。长江、黄河、海 河、珠江及各大水库规划办公室都先后镏开了中长期水文预报学术讨论会及类似的会 议。这些活动不仅促进? 预报工作的广泛开展，而且使中长期水文预报的思路更加开阔， 预报方法不断完善大大推动了我国中长期水文预报的发展。我国邓聚龙教授1 9 8 2 年提 出灰色系统理论后，两年后很快被引入水文预报领域，得到不少好的初步成果。 近二三十年来，电子技术、遥感遥测技术、水文模拟技术以及信息论、系统论、控 制论等新技术和新理论的发展已改变了水文预报的技术面貌，暴雨洪水理论的深入开 展，微电子技术的不断进步，数学理论熬创新等推动了水文预报工作向联机自动测报系 统网络方向发展。在不断汲取当前先进的科学技术与设备的前进道路上，我国水文预报 技术的质量和水平正发生着重大的变化瞄】。 1 3 水文预报方法纵览 水文预报的方法很多，可以粗略地分为过程驱动模型方法和数据驱动模型方法两大 类【4 】。过程驱动模型指以水文学概念为基础，对径流的产流过程与河道演进过程进行模 拟，从焉进行流量过程预报的数学模型。数据驱动模型受| l 是基本不考虑水文过程的物理 机制，而以建立输入输出数据之间的最优数学关系为目标的黑箱子方法。 数据驱动模型以回归模型最为常用，近年来新的预报手段得到很快发展，如神经网 络模型、非线性时间序列分析模型、模糊数学方法和灰色系统模型等，同时，水文数据 的获取能力及计算能力得到飞速发展，因此，数据驱动模型在水文预报中得到越来越广 泛的关注和应焉。 一2 一 大连理丁大学硕士学位论文 1 3 1 过程驱动模型 过程驱动模型大致可以分为两类，一类是模拟以地下水或其他慢反应水源为主要径 流来源的枯季径流退水模型；另一类是应用范围更广，可用于具有不同径流来源的流量 过程的概念性流域降雨径流模型。 ( 1 ) 枯季径流退水模型 自然流域的枯季径流退水过程可以通过退水曲线反映出来。枯季径流退水曲线法应 用于枯季径流的退水规律来预报枯季径流总量和径流过程，如m i s h r a 等建立退水模型 进行青尼罗河的枯季退水径流预报( 5 1 。推求退水表达式的方法有多种，但由于不同时期 的退水特性有很大差异，退水曲线的定量表达缺乏一致性，这就限制了退水曲线法的应 用。此外，用退水曲线法只能预报显著降水情况下的径流消退过程，如果预见期内的降 水对径流过程有明显影响，则该方法不适用。 ( 2 ) 概念性流域降雨径流模型 概念性流域降雨径流模型是将一些有物理依据的公式与经验性的公式结合起来，描 述降雨一径流的转换过程及径流的河道演进过程的数学模型。概念性模型被广泛应用于 实时或短期预报，其输入、输出量的时间单位一般是小时或日。在应用于中长期预报时， 其输入、输出量的时间单位相应有所改变( 比如由小时、日变为旬、月) 。由于降水输入 是降雨径流模型必不可少的输入量，因此将其应用于中长期预报时，一般要与降水预报 相结合。如由欧洲多国共同开发的欧洲洪水预报系统( e f f s ) 根据欧洲中期气象预报中心 ( e c m w f ) 的逐日降水预报结果，采用多个概念性模型进行未来1 0 天的逐日流量概率预 报【6 】。当概念性模型应用于较大时间尺度地流量过程预报时，模型的结构也可能需要做 适当调整。例如王国庆等建立了一个大尺度融雪径流模型，用于月径流量预报【7 j 。 1 3 2 数据驱动模型 ( 1 ) 回归分析模型 回归分析是流量中长期预报中应用最早、最广的方法之一，其应用于径流预报的历 史可追溯到早期的降雨径流相关图法，2 0 世纪6 0 年代以后，随计算机技术的发展而迅 速普及，并且，主成分分析等技术被引入到回归分析之中，以提高预报精度。回归分析 至今仍是流量预报实际工作中的一种重要手段。回归模型的主要优点在于简单、易于实 现【8 】o ( 2 ) 人工神经网络 人工神经网络( a n n ) 是指用大量的简单计算单元即神经元构成的非线性系统。具有 高速的大规模并行处理性，高维的非线性动力特性，能有效地处理问题的非线性、模糊 时间序列分析在径流预测中的应耀 性和不确定l 生关系。因两a n n 可以说是近1 0 多年来最广为关注的一种非线性预报方法， 己被广泛应用于实时中长期水文预报中。蔡煜东等采用k o h o n e n 自组织神经网络模型研 究t 褥g g d 湖年最高水位的分类预报问题【9 j 。吴超羽等首次应用b p 网络模型对年日均及 逐时流量进行预报，结果说明人工神经网络模型在预报期和预报精度上较对比性模型有 明显的优越性i l0 1 。钟登华等提出了水文预报的时间序列神经网络模型【i 。张利平等对白 出水痒径流建立了周期分柝模型和逐步多元匿j 毽与人工神经霹络的耦合模型，预报效果 很好，具有较高的推广和应用价值i l 2 1 。 。 ( 3 ) 模襁数学模型 在水文领域应用模糊数学进行预报的方法有两类，一类是模糊模式识别预报法，另 一类是模糊逻辑方法。模糊模式识别预报法的基本思路是：以对历史样本模式的模糊聚 类为基础，计算待测状态的类别特征值，从而根据预报值与类别特征值之闻的回归方程 进行预报【】习；或者比较直接的做法是，从历史样本中寻找与当前待测状态具有最小模糊 距离或最大贴近度的那个状态，以此状态的下一时刻作为预摄值【l 引。 模糊逻辑方法可以描述变量之间不十分明确的因果关系，根据变量之间的模糊逻辑 关系，可以建立模糊逻辑模型( 或称为模糊专家系统) 进行流量预报。如z h u ，m a h a b i r 等采用模糊逻辑模型进行长期流量预报。 ( 4 ) 灰色系统模型 灰色系统理论是邓聚龙子1 9 8 2 年创立斡，专几年来发展较快。水资源系统可以潞 作灰色系统看待，最常用的描述灰色系统模型的数学模型为g m ( 1 ，1 ) ，g 代表g r e y ( 灰 色) ，m 代表m o d e l ( 模型) ，g m ( i ，1 ) 指l 阶，1 个变量熬线性常微分方程模型。李正最 认为灰色静态模型g m ( 0 ，h ) 与多元线性回归模型在模型形式与参数辩识、方法处理等方 面是相同的，因此，两荦孛模型用于水文变量相关分析所雩导结果一致f l 引。谢科范认为灰色 系统理论在某些方面存在不少缺陷，与回归分析相比，短期预测结果较好，长期预测结 果欠佳【l6 。冯平等采用灰色系统理论中灰关联度分析方法，对枯水期径流量的预估模式 进行了探讨瑟列。夏军等提出了灰色系统水文学的理论方法，其特色是基于水文信息量度 和灰集合、灰数的分析工具，量化水文过程模拟、预测及其应用中的部分信息已知、部 分信息未知的闻题，通过对不确定性参数、变量的灰度识别，认识水文现象不确定。睦的 来源，识别水文风险和改善水文模拟的精度【1 引。 灰色理论e l l 于其特点，比较适合具有指数增长趋势的问题，对于其他变化趋势，则 有时拟合灰度较大，导致精度难以提高。且灰色系统理论体系尚不完善，正处于发展阶 段，它在中长期水文预报中的应用也属于尝试和探索性的。 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 ( 5 ) 时间序列模型 时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建 立数学模型的理论和方法。时间序列分析是水文预报的一个重要工具，时间序列分析就 是应用水文要素的观测记录，寻找其自身的演变规律来进行预报。线性时间序列在水文 预报中已被广泛应用，常用的有自回归模型( a u t o r e g r e s s i v em o d e l 即a r 模型) 、m a r k o v 链、滑动平均自回归模型( m o v i n ga v e r a g ea u t o r e g r e s s i v em o d e l 即a r m a 模型) 等，并 且取得了丰富的成果。 a r 模型是a r m a 模型的一种特殊类型，在年、月径流量模拟和预报中使用较广， 如卢华友采用三阶自回归模型a r ( 3 ) 对丹江口水库年径流进行预报【l9 j ；舍纳斯等在“水 文时间序列的a r m a 模型识别”中对a r m a 模型用于模拟流量时间序列的性能进行了 研究。但a r m a 模型是建立在时间序列平稳的假设之上的，而对于非平稳序列，直接 使用a r m a 模型一般不合适。模拟和预报这种季节性序列的模型主要有3 种： 用季节性a r i m a 模型( 简称为s a m m a ) ； 除季节性a r m a 模型，即先除去原流量序列中的季节性均值与方差，再对除季 节性序列拟合a r m a 模型； 周期a r m a 模型( 简称为p a r m a ) ，包括周期a r 模型。 这三种模型在流量中长期预报中都很常用。在实际应用中，这三种模型通过提取趋 势项、周期项和随机项，分别加以处理和迭加进行预报，本质上仍然是线性的1 2 0 1 。 近年来，河流流量过程的长记忆特性研究受到关注，所谓“长记忆性”是远距离观 测值间的相依性尽管很小，但仍不能忽视，具有长记忆特性的随机过程可以用分数阶差 分自回归滑动平均( a r f i m a ) 模型较好地描述，如o o m s 等将p a r m a 模型与a r f i m a 模型相结合，提出用周期长记忆模型( p e r i o d i ca r f r m a ) 拟合月流量过程【z l j ；张小静对大 通水文站的月径流数据进行了模拟和预报，计算结果表明函数系数自回归模型的预报精 度要高于季节性a r 模型【2 引。 水文预报的方法很多，对于中长期预报，目前还没有一种模型对所有的水文序列来 说都是适用的，预报模型的适用性是至今仍然有待深入研究的问题，对于一个具体水文 序列长期预报问题，往往是通过分析、尝试、检验等步骤，最终找到合适的预报模型。 在预报理论研究上，更多注重的是水文序列的统计相关特性，而对物理成因关系的关注 相对较少；在预报方法上，对各种方法的有效性研究不够，使现有的方法很难在实践中 推广应用；在预报结果的实际应用上，中长期水文预报目前主要是对水资源的宏观调控 起一些参考性作用。由于水文系统是由许多变量组成的复杂的非线性系统，因而提高水 文预报的精度一直是水利工作者努力的方向，也是难度较大的研究领域。 时间序列分析在径流预测中的应用 。4 结构安排 论文共分五部分，各章安排与具体内容如下： ( 1 ) 绪论 回顾总结国内外水文预报研究现状及水文预报方法，包括过程驱动模型方法和数据 驱动模型方法两大类，分析并提出了本文研究的背景和意义。 ( 2 ) 时闻序列分析概述 对时间序列的基本概念、特点、预测类型和基本步骤进行了介绍，重点介绍各种时 闻序列方法，并简要介绍了时间序列分析软件n s p s s 。 ( 3 ) 趋势拟合法 建立趋势拟合模型，比较了三次盛线拟合模型与霹次越线拟合模型的拟合与预测效 果，并绘制出拟合曲线图形。 ( 4 ) 基于a r i m a ( p ，d ，0 3 模型的径流预测 建立a m m a ( p ，d ，q ) 模型，在建立合适的模型之前，先对原始数据进行适当的差分处 理，除去数据的趋势，建立a r i m a ( 4 ，2 ，0 ) 模型，对模型参数采用了y u l e w a l k e r 估计以 及最d - - 乘估计，用s p s s 解决具体的计算阉题。 ( 5 ) 结论与建议 对本文的研究进行总结，指出它的霹敬和不足之处，并展望了进一步的努力方巍。 大连理工大学硕士学位论文 2 时间序列分析概述 时间序列分析( t i m es e r i e sa n a l y s i s ) 是研究事物发展变化规律的一种量化分析法，隶 属于统计学但又有不同于其他统计分析方法的特殊特点。时间序列分析的最基本的理论 基础是2 0 世纪4 0 年代分别由n o r b o r tw i e n e r 和a n d r e ik o l m o g o n o r 独立给出的，他们 对发展时间序列的参数模型拟合和推断过程作出了贡献，提供了与此有关的重要的文 献，促进了时间序列分析方法在工程领域上的应用。2 0 世纪的7 0 年代，g e o r g ee p b o x 和g w i l y mm j e n k i n s 发表专著时间序列分析：预测与控制，对平稳时间序列数据， 提出了自回归移动平均模型，以及一整套的建模、估计、检验和控制方法。使时间序列 分析广泛地应用成为可能。在7 0 年代末，b o x 和刁锦寰教授在处理洛杉矶的环境数据 时，提出了干预分析和异常值检验方法。刁教授和b o x 教授在1 9 8 1 年又提出了多元时 间序列建模方法。近十几年来，在多元时间序列分析、状态空间法和非线性时间序列分 析方面有许多新的进展，其中重要的内容包括处理a r c h 模型的方法、门限自回归模型、 协整、降秩模型、纯分量模型( s c a l a rc o m p o n e tm o d e l s ) 和状态空间模型2 3 1 。 2 1时间序列概述 通常，将时间序列描述成一个有序的数列：y l ，y 2 ，y s y t 。其中下标t 表示时间序号。 2 1 1 研究实质与假设基础 ( 1 ) 研究实质 通过处理预测目标本身的时间序列数据，获得事物随时间过程的演变特性与规律， 进而预测事物的未来发展。它不研究事物之间相互依存的因果关系，不考虑事物发展的 原因，只从事物过去和现在的变化规律去推断事物未来的变化。 ( 2 ) 假设基础 惯性原则。即在一定条件下，被预测事物的过去变化趋势会延续到未来。暗示着历 史数据存在着某些信息，利用它们可以解释与预测时间序列的现在和未来。近大远小原 理( 时间越近的数据影响力越大) 。 2 1 2 变动特点 ( 1 ) 趋势性 某个变量随着时间进展或自变量变化，呈现一种比较缓慢而长期的持续上升、下降、 停留的同性质变动趋向，但变动幅度可能不等。 ( 2 ) 周期性 时间序列分毒野在径流预测中的应粥 某因素由于外部影响随着自然季节的交替出现高峰与低谷的规律。综观人类发展历 史，明显地感到有起有落，发展是有周期性的。历史上早期研讨的鸡蛋价格的涨落，就 有明显的季节性，春夏便宜，秋冬较贵，季节性是一种非常有规律的周期。另一种是不 那么规律的周期，也可以说是一种随枫起伏中具有的周期成分。现在的术语中，前一种 称为季节性，后一种称为周期性。这样周期性含有两种内容。 ( 3 ) 随机性 个别为随机变动，整体呈统计规律。 ( 4 ) 综合性 实际变化情况一般是几种变动的叠加或组合。预测时一般设法过滤除去不规则变 动，突出反映趋势性和周期性变动。 2 1 3 重要概念 通常，时间序列分析会涉及到以下几个重要概念： ( 1 ) 平稳随机过程和平稳时间序列 在一些时间序列分析方法当中要求时间序列具有平稳性，即要求时间序列对应的随 视过程是一个平稳的随飙过程。乎稳随枫过程定义如下：如采黠任意，：，t ， 。，h t 和任意整数n ，都使( m ，以：，虼m 。) 与( 以。巾y t 2 + h 以，+ 。y t + h ) 同分布，则概率空间 ( 驴，罗，p ) 上的随机过程 夕0 ) ， 称为平稳过程。 从这个定义可以看出平稳性实质上要求随机过程包含的任意有限维随机变量族的 统计特性具有时间上的平移不变性。这是一种非常严格的平稳性要求，丽要刻画和度量 这种平稳性，需要掌握2 竹一1 个随机变量或随机变量族的分布或联合分布，这在实践巅 中是非常困难甚至是不可能的。因此平稳性一般被称为“严平稳 或者“完全平稳 。 实际中一般要求的平稳性称做“宽平稳”，它没有“严平稳”那样苛刻的条件，而 只要求某阶距的平稳性。二阶宽平稳随机过程定义为：如果e ( y ，) 为常数，且对任意 毛 + h t 都馒协方差班舅一e ( 够) 只+ 女一互( 只+ 矗) 】存在且与t 无关( 只依赖于h ) ，则概率空 间( ，f ，尸) 上的随机过程 y ( ，) ，f t ) 称为“宽平稳过程”。可以看出，二阶宽平稳性只 考虑到随机过程均值和方差及协方差郎二阶矩的性质，因此也被称麓“协方差平稳”1 2 4 1 。 ( 2 ) 白噪声序列 囱噪声序列是一种特殊平稳序列。它定义为：若随机序y l j y t 是相互独立的，且服 从均值为0 、常方差的正态分布，则称其为白噪声序列。可以看出，白噪声序列是一种 平稳序列，在不同时点的随机变量的协方差为0 。该特性通常被称为“无记忆性”，意 一8 一 大连理 ：= 大学硕士学位论文 味着人们无法根据其过去的特点推测其未来的走向，其变化没有规律可循。虽然有这个 特点，但白噪声序列却是其他时间序列得以产生的基石，这在时间序列的a r i m a 模型 分析中体现得相当明显。另外，时间序列分析当中，当模型的残差序列成为白噪声序列 时，可认为模型达到了较好的效果，剩余残差中己没有可以识别的信息。因此，白噪声 序列对模型检验也是很有好处的。 ( 3 ) 非平稳随机过程和非平稳时间序列 不具备平稳性的过程就是非平稳过程。一般来说，当环境及主要条件随时间变化时， 就可以认为是非平稳的。如工艺革新、原材料质量提高或下降、设备更新等现象发生时。 产品某一质量指标扛( f ) ，f t ) 就是一个非平稳过程。 平稳序列的直观含义就是序列中不存在任何趋势性和周期性，其统计意义就是一阶 矩为常数，二阶矩存在且为时间间隔r 的函数。但是在实际问题中，我们常遇到的序列， 特别是反映社会、经济现象的序列，大多数并不平稳，而是呈现出明显的趋势性或周期 性。这时，我们就不能认为它是均值不变的平稳过程，需要用如下更一般的模型来描述： x 。= ，+ r( 2 1 ) 其中，j u ，表示x ，中随时间变化的均值，它往往用多项式、指数函数、正弦函数等 描述，而z 是x ，中剔除趋势性或周期性u ，后余下的部分，经常可以认为是零均值的平 稳过程。 ( 4 ) 偏自相关函数 对于k = 1 , 2 ，分别考虑用r 扪r 小l ，r - l ，对置作最小方差估计，即选择系数 ( 歹= 1 , 2 ，k ) ，使得 kk 万兰e ( r 一r 一= y 。- 2 7 川 ( 2 2 ) j = lj ，j = l 达到极小值。 k 6 兰( r 一吼z j ) 2 j = i = e z 2 = e ir 一( 9 i ，妒1 2 ， r ，z 一。 j 誓一z h 一2 r c妒。，缈。：，茎三 时越序列分褥在径流预溅中的应爝 c譬k，呼，。：，缈址差iic)：。，：一：，j：，。 十( 纯，矽。：，) | - 一zl ( r 。，r 一：，z ，。 l +l 忆； =曩誓2，一2e热，铙：，驴奴，嚣茎三 -。；，k：，够袋，茎i：-。，zi：，量：。 燮厂。一2e。纨：矽触，耋+c纨：妒触 当0 ，得 将矩阵震开褥： 料- i - 一= 一棚 a i ! l 儿一2 一l o 一 致一2 i、；，lljj l 2 甄； 绺 ，；，u-1，； 、；， 1 2 t ； ，vl唾； l 2 缸 蛾； v 0 0 0 0 0 0 0 0 a 一 一 ! o 艮趾 黢 您拍 o4 ， ，；，j1；t i、llllililiit， l 2 ：绺 一 一 e 跟趾 蚝 苁鹣 趾 款 o ， v 2 翌魄 令 、，lilll|1， 致n ；“ ，f，。，。il。t，。一，；，；，、 1 2 ； 趾批 确 鹣以 ，ftlt。_-rl_【。tt，lfjfj_ 一携 一 i l = o 之 k 轧。 卜 - - ， 讲溉 阮蝴鼍 + + 0 蚝苁 以 体经 张 大连理工大学硕士学位论文 同除以7 o ，则 吼l 岛+ 纯2 岛+ , o k l2 岛 仇l 岛+ 纯2 岛+ n 一22 , 0 2 ( 2 3 ) 依l , o k i + o k 2 , o k 一2 + 岛2 段 此方程称为y u l e w o l k e r 方程，其中序列称为z 的偏自相关函数。 2 1 4 方法性工具 在时间按序列分析中有一些方法性工具经常被使用，它们可以使模型表达和序列分 析更加简洁方便。 ( 1 ) 差分运算 相距一期的两个序列值之间的减法运算称为l 阶差分运算。记为v x ，为x ，的l 阶差 分：乳，= 一x f - l ；对1 阶差分后序列再进行一次差分运算称为2 阶差分。记v 2 z ，； - a dx t 的2 阶差分：v 2 x ，= v x ，一v x ；依此类推，5 时p - 1 阶差分后序列再进行一次l 阶差分 运算称为p 阶差分。记v p x ，为x ，的p 阶差分：v p _ = v p - 1 x ，一v p - i x t l 。 ( 2 ) 延迟算子 延迟算子类似于一个时间指针当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列 值的时间向过去拨了一个时刻吲。记b 为延迟算子，有： x ，一1 2 b x f x ，一2 2 b 2 x f ： x ，一口= b p x ， 延迟算子有如下性质： b o = 1 若c 为任一常数，有b ( c x ，) = c t 3 ( x ，) = “f - l 对任意两个序列 x 1 ) 和 y t ) ，有3 ( x ，y ，) = x f _ l y h b nx t = x 。 ( 1 - b ) “= 喜( 1 ) ：，其中c ：2 瓦尝面j = 0“。一，； 用延迟算子表示差分运算： 时间序列分橱在径漉预测中的应用 p 阶差分：v 尹薯= ( 1 - b ) 尹= ( 一1 ) 芦e ；誓一， i = 0 k 步差分：v l 嚣墨一簟。i = ( 1 一b ) t 2 2 时间序列分析的意义和作用 造成时闻序列 甄；波动主要原因可能是一些我们无法解释的原因，如气候、季节翡 变化。在这种情况下，利用结构式模型来解释 y t ) 的变动，也许比较困难或者根本就不 可能。例如，在无法获得那些被认为影响 y t 的解释变量的数据时，或是即使可得到解 释变量的数据，但是回归模型系数的标准误差太大以致无法接受时，利用结构模型来解 释 y t ) 的变动就不合适。即使我们能够估计出一个有关 y t ) 的显著性令人满意的回归方 程，其结果可能也不麓用于预测，这是因为在雳暖梦j 方程预漠j j y t 之前，必须先得到非 滞后解释变量的预测值，而这可能比预测 y t ) 更困难。当解释变量的未来值己知时， y t ) 预测值的标准误差较小；然恧当解释变量豹未来僮未知隧，它们的预测误差可能太大， 从而使 y 1 ) 的预测误差大得不能接受。 因此，在有些情况下，我们需要寻求预n t j y t 的另一途径：不通过其他变量对它的 行为做结构性解释分析，而根据时闻序列的数据特点为它建立一个能够反映时间序列的 过去行为，以帮助我们预测未来行为的模型。时间序列独特数据特点在于：这是一些有 严格先后j l 厌序的数据。不同时间点或时闻段对应的数据可能是没有关联相互独立的，但 大多数情况下它们之间往往存在着某种前后相承的关系，而非互相独立的。时间序列模 型就是针对这种独特数据特点两形成发展起来的统计分概模型，它反映某个变量过去的 变动规律，并利用这个规律来预测未来变化，不爵依赖其他变量对时间序列的行为做结 构性解释分析来进行预测。 2 3 时间序列分析方法 2 3 平稳序列自回鳎移动平均( a r m a ) 模型 把具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为a r m a ( p ，q ) ： = 东+ 磊x t l + + 多尹x t 一尹+ 毛一嫉乞一l 一一岛一譬 砟o ，吃u 一( 2 4 ) ( ) = o ，v a r ( 6 , ) = 拶。2 ，e ( c ；e ，) = 毡s e x f ，= o ，v s t 大连理工火学硕士学位论文 若丸= 0 ，该模型称为中心化a r m a ( p ，q ) 模型。缺省默认条件，中心化a r m a ( p ，q ) 模型可以简写为：x t = 办石川+ + 矽p z + 占，一岛占，- l 一吼q g ( 2 5 ) 引进延迟算子，a r m a ( p ，0 3 模型简记为：( b ) x ，= o ( b ) c ， 式中：( b ) = 1 一么b 一。b ，为p 阶自回归系数多项式。 0 ( b ) = 1 o , b o b 9 ，为q 阶移动平均系数多项式。 显然， 当q = o 时，a r m a ( p ，q ) 模型就退化成了a r ( p ) 模型； 当p = o 时，a r m a ( p ，q ) 模型就退化成了m a ( q ) 模型【2 6 】。 2 3 2 非平稳序列的确定- 陛分析 c r a m e r 分解定理任何一个时间序列 x ，) 都可以分解为两部分叠加：其中一部分 是由多项式决定的确定性趋势成分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即 三 x ，= ，+ 占，= 屏f + u d ( b ) a ， ( 2 6 ) = o 式中，d ；届，以为常数系数； a ，) 为一个零均值白噪声序列；b 为延迟算子。 c r a m e r 分解定理说明任何一个序列的波动都可以视为同时受到了确定性影响和随 机性影响的综合作用。平稳序列要求这两方面的影响都是稳定的，而非平稳序列产生的 机理就在于它所受到的这两方面影响至少有一方面是不稳定的。 确定性时间序列分析的特点是认为数据去掉扰动外，剩下的可以用确定的时间函数 来表示，用x 表示某个时间序列，该序列可以分解为 x = f ( t ，s ；c ，j ) t ：趋势项，时间序列在较长时间内逐渐增加或减少的总态势； s ：季节项，一年内的周期变动； c ：循环项，以若干年为周期的上升或下降的循环变动； i ：随机项，由偶然因素的影响而形成的不规则波动； 上述四种变动因素之间存在交互作用，在实际应用中，由于循环项比较复杂，一般 在模型中不考虑循环的时间序列，只考虑其他三项，下面列出了建立模型的三种方法。 ( 1 ) 趋势拟合法 趋势拟合法就是把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随 时间变化的回归模型方法。根据序列所表现出的线性或非线性特征，我们的拟合方法又 可以具体分为线性拟合和曲线拟合。 时闼序列分析在径流预测中的应耀 线性拟合 如果长期趋势呈现出线性特征，那么我们可以用线性模型来拟合它，模型可以具体 写为： 一2 口+ b t + i , 【层( ) = o ，v a r ( i , ) 式中，证；为随枫波动：= 拉就是消除随机波动的影响之后的长期趋势。 曲线拟合 如果长期趋势呈现密菲线性特征，那么我们可以用卷线模型来拟合它。 对曲线模型进行参数估计时，指导思想是：能转换成线性模型的，就用迭代法进行 参数估计。常用的蓝线模型和对应的参数估计方法见表2 。l 。 表2 1 常用曲线模型与参数估计方法 ( 2 平潺法 平滑法是进行趋势分析和预测常用的一种方法。它是利用修匀技术，削弱短期随机 波动对序列的影响，使序列平滑化，从丽显示出变化的规律。它具有调节灵活、计算简 便的特征，广泛应用于计量经济、人口研究等诸多领域。根据所用的平滑技术的不同， 平滑法又可以具体分为移动平均法和指数平滑法。 移动平均法 一次移动平均值的计算公式为 够溯= 三0 i + 墨一，+ + 置一。+ 1 ) f 斑 大连理： 大学硕士学位论文 其中膨，l i j 称为第t 期的一次移动平均傻，t 为时问序号，置为第t 期的动态数据，n 为移动平均期数。m ，l i j 的递推算法为 氓，虬m 霹+ 鱼盘1 托 三次移动平均值计算公式为 m ， 2 1 ：三似，p j + 蟛一l 翻+ m 1 嘲l f 2 挖一1 玩，囝：丝戮+ 丝墨丝2 贮2 斑一i n 动态数据x ，爿：，x 点的分布呈现线性趋势时，才能用移动平均法进行预测。 计算m l ”、掰，粒j 和平滑系数的n 取稆同僵，移动平均法有时与时间回归法一起使用， 以将它们的预测值加以比较和验证【2 7 1 。 指数平滑法 指数平滑预测方法最早是由c c h o l t 在1 9 5 8 年左右提出的，它最初只应用于无趋 势、非季节性作为基本形式时闻序列的分析，后经b r o w n 、w i n t e r 等统计学家的深入研 究和发展，使指数平滑涉及的数据内部构成更丰富，相应的数据处理方法也更多。指数 平滑法的估计是非线性的，其目标是使预测值和实测值闻的均方误差( m s e ) 最小。在不 同的模型中，有不同的参数，参数的取值范围在0 到1 之间。当参数取值为l 时，预测 值等于最新的观测值。调节参数值的大小可得到不同的预测结果，判断预测结果的好坏 标准可看s p s s 输出结采中的误差平方和( s s e ) 的大小，误差平方和越小，预测值露实测 值吻合度越高。s p s s 可采用格点搜索( g r i ds e a r c h ) 方法，用户通过在s t a r t ( 起点) 、s t o p ( 终 点) 及s t e p ( 步长) 中输入数