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巾山大学硕十学位论文 h o p f 代数对偶与o r e 扩张 专业： 硕士生： 指导教师： 基础数学 史晓慧 胡国权 摘要 本文的主要目的是研究有限维h o p f 代数的h o p f o r e 扩张与其对偶h o p f 代数的h o p f o r e 扩张之问的关系我们首先给出一个判断h o p f 代数a 的o r e 扩张r = a y ；v ，d 】是h o p f 代数的准则：( 1 ) 存在一个特征标z ：a 一尼使得 f ( 口) = z ( 口。) ：；( 2 ) 成立：z ( 。) n ：= 爿d ，( 。) z ( 口：) ； ( 3 ) f 一导子6 满足关系： 6 0 ) = 6 0 。) o 口：+ f a ，0 6 ( 口：) 定义特征标z ：a + 一k ，x ( f ) o ) = f ( r a ) ， r e g 口) 我们利用所定义的特钲标和h o p f 代数对偶进行研究和推导本文首 先研究了对偶h o p f 代数的0 ，e 扩张，然后利用特征标z 把其h o p f 代数结构推广 到其d ，e 扩张上本文得出结论：如果爿是有限维h o p f 代数， ra y ；r ，6 1 = 彳( z ，6 ) 是h o p f 一0 r e 扩张，那么r = 4 【y ；f ，6 】= 彳，6 ) 是h o p f d r p 扩张当且仅当( 1 ) f = 耐；( 2 ) r = 1 ；( 3 ) r = s 另外，本文根据特 征标给出一些h o p f 代数类的h o p f d ，e 扩张的一般形式本文还证明了 s w e e d l e r 四维h o p f 代数可以由h o p f d 厂e 扩张得到 关键词：h o p f 代数，o r e 扩张，几乎余交换h o p f 代数，拟三角h o p f 代数 s w e 砒r 四维h o p f 代数 巾山大学硕十学位论文 h o p fa l g e b r ad u a l i t ya n do r e e x t e n s i o n m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s n a m e ：s h ix i a o h u i s u p e r v i s o r ：h ug u o q u a n a b s t r a c t t h em a i np u r p o s eo ft h i sp a p e ri st os t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nh o p f - o r e e x t e n s i o n so ff i n i t e d i m e n s i o n a lh o p f a l g e b r a sa n dh o p f - o r ee x t e n s i o n so f t h e kd u a l s a tf i r s t ，w eg i v eac r i t e r i o nf o ra l lo r ee x t e n s i o no fah o p fa l g e b r at ob eah o p f a l g e b r a t h eh o p fa l g e b r ar = a y ；r ，6 】i sah o p f - o r ee x t e n s i o ni fa n do n l yi f 【1 ) t h e r ei sac h a r a c t e rz ：a ks u c ht h a t r 0 ) = x ( a 1a 2 ；( 2 ) t h er e l a t i o n h o l d s ： z 0 1 ) 口2 = a d ，( 1 ) z ( 口2 ) ；( 3 ) t h e f d e r i v a t i o n6s a t i s f i e st h er e l a t i o n a 6 ( a ) = d ( 口1 ) o 口2 + r a l 0 6 ( 口2 ) w e d e f i n eac h a r a c t e r z ：a - - , k ， z ( ，) 0 ) = f ( r a ) ，e g ( a ) w em a i n l ym a k e u s eo ft h ec h a r a c t e rza n dd u a l i t yo f h o p fa l g e b r a st os t u d yt h er e l a t i o n s h i p w es t a r tw i t ho r ee x t e n s i o n so fd u a lh o p f a l g e b r a so ff i n i t ed i m e n s i o n a lh o p fa l g e b r a s w et r yt oe x t e n ds t r u c t u r e so fd u a lh o p f a l g e b r a st o t h e i ro r ee x t e n s i o n s l e t r = a y ；z ，6 】；a ( z ，r ，6 ) b eah o p f - o r e e x t e n s i o n w ep r o v et h a tt h eh o p fa l g e b r a r = 爿+ 【y ；f ，6 + 】= a + ( z ，r 1 ，6 ) i sa h o p f - o r ee x t e n s i o n i fa n do n l yi f ( 1 ) f = d ；( 1 ) r = 1 ；( 1 ) r = w eu s e c h a r a c t e r st o c l a s s i f y t h e h o p f - o r ee x t e n s i o n s a tt h es a m et i m e ，w es h o wt h a t s w e e d l e r sf o u r d i m e n s i o n a lh o p fa l g e b r ac a nb eo b t a i n e db yh o p f - o r ee x t e n s i o n s k e yw o r d s ：h o p fa l g e b r a ，o r ee x t e n s i o n ，a l m o s t c o c o m m u t a t i v eh o p fa l g e b r a ， p 山大学硕士学位论文 q u a s i t r i a n g u l a rh o p f a l g e b r a ，s w e e d l e r sf o u r d i m e n s i o n a lh o p f a l g e b r a i i i 叶1 山大学硕士学位论文 1 1 前言 第1 章基本概念和定理 1 9 4 1 年，h o p f 代数第一次出现在h h o p f 关于李群的工作中自此，有关 h o p f 代数的例子出现在数学的众多领域中，例如，代数群，李代数，表示论 组合数学以及后来的量子力学等把h o p f 代数作为代数对象进行研究开始于二 十世纪六十年代，可参考j m i l n o r ，j c m o o r e 和m e s w e e d l e r 的工作，其中 后者还写了第本关于h o p f 代数的书 o r e 扩张首先由o r e 引进o r e 扩张也被称为斜多项式环o r e 的目的之一 是寻找一大类可以嵌入到一个斜域中的非交换代数众所周知，任何一个交换整 环都可以嵌入到一个斜域中，但是一个一般非交换代数却未必可以嵌入到一个斜 域中o r e 证明了任何通过重复o r e 扩张由一个斜域中得到的代数其本身可以嵌 入到某个斜域中 o r e 扩张是环扩张的一种著名的构造方法，在o r e 扩张中，环的理想，环的 表示，环的中心的结构和其它问题被广泛地进行研究，最近，通过重复o r e 扩张 来构h o p f 代数出现在文章【1 - 5 】中，使用o r e 扩张构造量子群，见【6 】；使用o r e 扩张构造p o i n t e dh o p f 代数，见【2 】，【6 】：使用h o p f o r e 扩张对有限维h o p f 代 数的分类及其重要进展，见【7 】 本文主要利用特征标和h o p f 代数对偶来讨论有限维h o p f 代数的对偶 h o p f 代数的o r e 扩张和h o p f o r e 扩张 本文的结构安排如下，在第1 章，给出h o p f 代数爿的o r e 扩张 r = a y ；r ，6 】= a ( x ，r ，6 ) 是h o p f 代数的三个等价条件：( 1 ) 存在一个特征标 z ：a 一女使得f 0 ) = x ( a 。) 4 2 ， v a e a ； ( 2 ) 下列关系成立： 1 中山大学硕士学位论文 x ( a 。a ：= a d ，( n 。) z ( n ：) ；( 3 ) z 一导子6 满足关系 6 ( n ) = 6 ( 廿1 ) o n 2 + f a l o a 0 2 ) 在第2 章，我们首先证明如果一个有限维h o p f 代数爿存在一个h o p f o r e 扩张r ，那么a 的对偶h o p f 代数a 肯定存在一个o ，e 扩张置= a + 【y 。；q ，岛】，其 中t l ( f ) ( a ) = f ( r a ) ，6 ，( ，) ) = ， 0 ) ) ，v ，爿4 ，n 爿接着根据第1 章的三个 等价条件0 2 6 ) 一( 1 2 8 ) 来推导r 是a 4 的h o p f o r e 扩张的充要条件，然后研究 r = 爿+ y ；f 。，6 + 1 是h o p f 代数爿+ 的h o p 一o r e 扩张的充要条件最后给出4 阶 循环群的h o p f o r e 扩张和其对偶的h o p f o r e 扩张的具体形式 在第3 章，我们给出h o p f o r e 扩张的一些应用首先我们利用特征标来推 导- - 些h o p f 代数的h o p f o r e 扩张的一般形式和一些有用的结论接着证明某 些拟三角h o p f 代数可以通过h o p f o r e 扩张得到 整篇文章，k 为域向量空间指女一向量空间k r o n e c k e r 符号瓯的定义是： 当i = j 时，6 。= 1 ，否则为零符号。表示证明结束所有的映射，o 等，是k 一 线性的我们使用 8 中规定的符号，对于h o p f 代数a ，g ( 爿) 代表a 的群元素 所构成的集合m 代表代数乘法，u 代表代数单位，代表余乘法，s 代表余单 位，s 代表对极我们使用肌p e d l e r 符号口2 a i o 口：，简记为a a a i 口： 这样，余结合性表示为：口1 1 0 口1 2 口2 ；a l o n 2 1 0 口2 2 = a l o 口2 0 口3 f 为t w i t 映射， 即t ( s 。0 s ：) = s ：o s 。对于映射，和g ，。g 表示，和g 的复合，。g 表示厂和g 的卷积h o r n 。口，b ) 表示由a 到b 的全体代数同态构成的集合 1 2h o p f 代数的o r e 扩张 本节，我们给出一些整篇文章所需用到的基本概念和一些基本构造我们主 2 中山大学硕士学位论文 要证明余乘法满足下文关系式0 2 3 ) 的h o p f 代数的o r e 扩张是h o p f 代数的等 价条件相关结论可参考 7 定义1 2 1 我们称三元组( a ，m ，u ) 是一个代数，其中a 是一个向量空间， m ：a o 爿一4 和u ：k 一彳是线性映射并且使得下面两个图表交换 a 0 4 0 爿旦骘a o 爿 ”制l ” 爿0 4 一 4 k o 爿韭! - a o 爿旦g l a 女 l “ 彳 如果a 和b 都是代数，：a b 是一个线性映射，那么当下面的图表交换 时，是一个代数同态 a 爿b b 山ll 帅 4 厶口 定义1 2 2 我们称三元组( c ，) 是一个余代数，其中c 是一个向量空间 ：c c o c 和e ：c k 是线性映射并且使得下面两个图表交换 c c o c 里鱼a _ c o c tt 6 c c lc k c 三璺! lc o c 旦q lc 七 t a 夕 c 如果余代数( c ，e ) 使得下表交换 一 七 中山大学硕士学位沦文 c 6 1 6 c o c 坫c o c 我们称c 是余交换余代数 如果c 和d 都是余代数，g ：c d 是一个线性映射，那么当下面的图表交 换时，g 是个余代数同态 c c o c 屺t c c 型坠l k d o d 十6 d d s d d 定义1 2 3 一个双代数是一个五元组( h ，m ，“，a ，) ，其中是h 一个向量空问 ( h ，m ，“) 是一个代数，( h ，s ) 是一个余代数，m 和“是余代数同态，和s 是 代数同态 两个双代数之间的一个线性映射，如果它是代数同态同时又是余代数同态， 那么我们称它是一个双代数同态 定义1 2 4 设饵，m ，u ，s ) 是一个双代数我们把日的自同态映射s 称为对 极，如果s * i d h = i d h s = u 。 定义1 2 5 一个h o p f 代数就是一个具有对极的双代数 设h 和l 是h o p f 代数s 。，乱分别是它们的对极如果 ：h 一是一个 双代数同态并且使得下表交换，我们称 是- - j h o p f 代数同态 h 上一工 岫tt 乩 h f j 定义1 2 6 假设r 是具有单位元的交换环集合m 叫做是环r 上的一个模，是 4 q 1 山大学硕士学位论文 指m 是加法a b e l 群，并且定义了尺中元素与吖中元素的一个乘法，即定义了一 个映射： r x m _ m ( r ，j ) b - - r x e mv r e r ，x e m 使得对于任意的r ，s e r ，x ，y e m 满足以下诸条件： ( 1 ) r ( x + y ) = 麒+ p ，( 2 ) ( ，+ s ) x = 肘+ 蹦，( 3 ) ( r s ) x = r ( s x ) ，( 4 ) 1 1 rx = x ， 其中r 称为这个模的系数环 定义1 2 7 假定k 为一具有单位1 的交换环，我们称a 为一个k 一代数，如果4 为一个k 一模同时a 又是一个环，其中，a 作为k 一模的加法群与a 作为环的加 法群是一致的，并且k 一模a 的数乘和环a 中的乘法满足： x ( a b ) = ( x a 弘= a ( a b ) ，v a ，b e a ，2 e k 下面我们总设： f ：爿一爿，f 是k 一代数a 的代数同态 d ：一一a ，6 是a 的- g 一导予，即：6 ( a b ) = d ) b + f 弦p ) v a ，b e a 定义1 2 8 k 一代数爿的o r e 扩张r = a y ；v ，d 】为一个k 一代数，尺由变量y 和 代数a 以下列关系生成： y a = r ( a ) y + 6 ( 口) ， v ae s a 0 2 1 ) 显然，r ；爿【y ；f ，6 】中的任一元素可以被唯一地表示为2 c i y i 定义1 2 9 设a 和r = q y ；r ，6 】为h o p f 代数h o p f 代数r = a y ；r ，6 】称为 h o p f o r e 扩张，如果存在，1 ，r 2 e a ，使得： ( ) ，) = y + r z o y ， ( 1 2 2 ) 同时4 是r 的h o p f 子代数 注意：该定义中的_ ，r 2 g 0 ) 事实上， o d o ) a y = y o ( ) + r 2 0 y + r z o r 2 y ， ( o 耐) a y = y o o r a + r z o y o 十( r 2 ) y ， 中山大学硕士学位论文 由( d ) a y = ( o 耐) a y ，可得缸= o ，i = 1 ，2 设a 为h o p f 代数，则g 口) 是乘法群七g 口) 具有h o p f 代数结构，其代数 结构为群代数，且a ( r ) = r o r ，p ) = 1 ，s ( r ) = f - 1v r e g 叫) 现令y = y ，l ，并将其代入( 1 2 2 ) 得 a ( y ) = a ( y r 。) = a ( y ) a ( q 一1 ) = ( y + r ，o y ) ( 1 _ 。) = y q 一1 0 1 + r 2 q 一1 y q = y 0 1 + r o y ， 其中，= r 2 q 。1 e g 即) 下文中，我们假定h o p f o r e 扩张中的元素y 总是满足 ( y ) = y 1 + r o y 其中r e g ( a ) 像通常那样，a d ，0 ) = r a s ( r ) = m r 。1 引理1 2 1 0 若r = a y ；v ，6 】是一个h o p f o r e 扩张，则 e ( y ) = 0 ， s ( y 、= 一r - x y ， ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) 其中r = s ( r 、 证明：1 利用余单位的主要性质，n = a l e ( a ：) ，我们可以看到y = s ( y ) + e ( r ) y 显 然e ( y 1 = 0 2 利用对极的主要性质，s 0 ) = a l s ( a ：) ，我们可以看到 0 = ( y ) = y + r s ( y ) ，显然s ( y ) = 一r - l y 弓l 理1 2 1 1 若a ( b 、= b o l ，贝6 女c a 证明：利用余单位的主要性质，= a l e ( a ：) = f 0 。) n ：，我们可以看到6 = e ( b ) e k 定理1 2 1 2 h o p f 代数r = a y ；v ，6 】是一个h o p f o r e 扩张当且仅当 中山大学硕士学位论文 ( 1 ) 存在一个特征标z ：a k 使得 r ( ) = z ( 1 ) 口2v a e a ； ( 1 2 6 ) ( 2 ) 下列关系成立： z 0 。：= a d ，0 。) x o ：) ；( 1 2 7 ) ( 3 ) f 一导子6 满足关系： 6 0 ) = 6 0 。) o 口：+ r a ，0 6 2 ) ( 1 2 8 ) 证明：证明分为三个步骤，第一步我们证明余乘法可以由a 通过( 1 2 3 ) 扩张到 r = 爿【y ；f ，6 】当且仅当关系( 1 2 6 ) 一( 1 2 8 ) 满足第二步我们证明当尺具有上面 的余乘法时，它的余单位满足( 1 2 4 ) 第三步我们证明当r 具有上面定义的余乘 法和余单位时，它的对极满足( 1 2 5 ) 1 余乘法假设i 。可以通过( 1 2 3 ) 被扩张到r = a y ；r ，6 】则代数同态 保持( 1 2 1 ) ，即， 兮a a = a t ( a ) a y + a 6 0 ) 我们有 f 0 ) a y + a 6 ( a ) = r 0 ) ( y 0 1 + ，o y ) + 6 0 ) ；a r ( a ) ( y0 1 ) + a r ( a ) ( r ) ，) + a 6 0 ) ， a ( y ) a ( a ) = ( y 0 1 + r o y ) 0 。 口：) = ( r ( n 1 ) ) ，+ 6 ( n 1 ) ) n 2 + r a l o 扛( 口2 ) y + 6 ( 以2 ) ) = r ( 口1 ) y 2 + 6 ( a 1 ) o 口2 + r a l f ( n 2 ) ) ，+ r a l 6 ( 口2 ) = 0 ( 口1 ) + 口2 ) ( y 1 ) + ( r a r 。 f 0 2 ) ) p o ) ) + d ( 口1 ) 0 4 2 + r a l 0 6 0 2 ) ， 显然a 保持( 1 2 1 ) 当且仅当下列条件满足： a t ( a ) = f 1 ) o 口2( 1 2 9 ) f 0 ) = a d ，0 。) 0 r 0 ：)( 1 2 a o ) d ( 口) = d 0 1 ) o n 2 + r a l 0 6 ( 口2 ) v a 4 ，v a a = n 。 n ：最后一个条件恰为( 1 2 8 ) 7 t 卜山大学硕士学位沦文 我们证明0 2 9 ) 和0 2 1 0 ) 暗含着( 1 2 6 ) 一( 1 2 7 ) 令z ( 口) ：= f ( 口。声( 口：) 4 ， 根据( 1 2 9 ) 经过计算可得 z 0 ) = f 0 。) a s o ：) = 0 0 。，) o 口。：) ( s 0 ：) s 和z ，) ) = 0 ( n 。) o ：) ( s 0 。) o s 0 ，) ) = f ( n 。) s ( n 。) n ：s 0 ，) = f 0 。声0 ，) 0 ：) = r 0 。0 ：) ) s 0 ，) 0 1 = r ( 口。) s 0 ：) 0 1 = x o ) 0 1 由引理( 1 2 1 1 ) 知z ( 口) 七c a 我们可以把z 看作一个映射z ：爿一后出 于r 是一个代数自同态，从而有 x ( a b ) = f ( n p 、) 5 ( n ：b p = r ( 口) f ( 岛) s ( 如) s ( 口：) = r 0 。) z ( 6 ) s 0 ：) ；r ( a ，) s 0 ：) z ( 6 ) = z 扣) z ( 6 ) ， z ( n + 6 ) = f ( ( + 6 ) 。) s ( ( 口十6 ) ：) = r ( a 。) s ( 口：) + r ( 岛) s ( 也) = z ( 口) + z ( 6 ) 我们看到z 保持乘法和线性关系，因此z 是一个特征标我们可以从z 得到r ， z ( 1 ) 口2 = f ( 口1 ) s ( 口2 ) q = f ( n 。) e ( 口2 ) = r ( a ，0 2 ) ) = r 0 ) 这即证明了( 1 2 6 ) 将f ( 口) = z ( 口，) 口：代入( 1 2 1 0 ) 得 a ( z o 扣：) = p 0 ) ) = a d ，( 。) 0 r 0 ：) = a d ，( a 1 ) o z ：) 码 ：；争z ( 口1 ) ( 口2 ) = a d ，( n 1 ) z ( 盯2 ) 3 ( z 0 。：) 吒= a d ，( n 。) z ( 口：) q 5 m ( i d g ) ( ( z ( 。扣。) 口。) = m ( 耐o s ) 即d ，0 ，) z 0 ：) o 口，) 4 q ( n 1 ) n 2 ) s ( ) = a d ，( 1 ) z ( d 2 ) s ( n 3 ) 9 z ( 1 ) 口2 = a d ，( 口1 ) z ( 口2 ) 这即证明了( 1 2 7 ) 我们已经证明了条件( 1 2 6 ) 一( 1 2 8 ) 是余乘法扩张的必要条 件 另一方面，若条件( 1 2 6 ) 一( 1 2 8 ) 满足，则： a z ( a ) ；( z ( 4 1 ) 4 2 ) = x 0 1 ) ( n 2 ) = z 1 ) 2 0 3 = f ( 日1 ) o 2 ， 。 j 山大学硕士学位论文 r ( 口) = a ( z d ， 。) z 0 2 ) ) ；a ( r a 2 r 。1 ) z 和2 ) 皇o ) 0 ：) ( r - 1 ) z 0 ：) ；爿d ，0 。) 卅嘭( 口。) z 0 ：) = a d ，( 口1 ) o f ：) 这证明了关系式0 2 9 ) 和( 1 2 1 0 ) 满足且a i 。可以被扩张成代数同态：尺一只 由于( d o ) 0 ) = ( 耐) 0 ) ( v a 爿) 和q d ) o ) = ( o 耐) o ) ，我们 可以得似o ) a = ( 耐) 这样映射a ：r r r 为一个余乘法此即条件 ( 1 2 6 ) 一( 1 2 8 ) 是余乘法扩张的充分条件 2 余单位设尺有一个余乘法( 即条件( 1 2 6 ) 一( 1 2 8 ) 满足) ，我们证明e i a 可 扩张到r = a y ；v ，6 】满足0 2 4 ) 若e 为r 的余单位，s 为保持( 1 2 1 ) 的代数同 态，即，( y 沁( 8 ) = ( d ) ) ( y ) + ( 6 ( n ”由于( y ) = o ， 0 = ( ) ，) ( 口) = e ( y a ) = e ( v ( a ) y + 6 ( ) ) = e ( r o ) ) e ( y ) + e 6 ( a ) = e s ( a ) 所以e 为r 的余单位当且仅当 e 6 ( a ) = 0 ( 1 2 1 1 ) 我们的目标就是要证明( 1 2 1 1 ) 成立m ( ， ) 作用在( 1 2 8 ) 两边，我们得到 f ( f d e ) ( d ( 口) ) = 。 f ( 甜 e ) ( d ( n 。) n ：+ r a 。 6 ( 口：”， 6 ( ) = 6 ( n 1 ) ( 口z ) + r a l e 3 ( a 2 ) = 6 0 i e ( n 2 ) ) + r a l e 6 ( a 2 ) 。d ( n ) + r a l e 6 ( a 2 ) 因此，a ，e f ( a ：) = 0 最后 0 = s ( q 扣2 0 3 ) = ( 。) e 6 ( a 2 ) = 0 0 。) 6 q 2 ) ) = e ( 6 ( e ( a 。) 口2 ) ) = s 0 ) ) 这即证明了0 2 1 1 ) 又证明了满足( 1 2 4 ) 的扩张：r k 的存在性利用r 中任 一元素6 的展开式6 = q y 尺，容易证明e ：r k 为双代数r 的余单位 3 对极设尺是步骤2 中的r s 是h o p f 代数的代数反同态 s 0 ) = s 0 ：) s ( n 。) 8 ，c h a p t e r4 如果s b 满足( 1 2 5 ) 可被扩张到 r ；a y ；v ，d 】成为r 的对极，则s 保持( 1 2 1 ) 这意味着 9 中山大学硕士学位论文 s o ) s ( y ) = s ( y ) s v ( a ) + s a o ) ( 1 2 1 2 ) 反之，若( 1 2 1 2 ) 满足，r a f j s 作为a 的对极可以通过( 1 2 5 ) 扩张到r 成为r 的对 极利用r 中任一元素b 的展开式b = q y e r ，容易证明s ：r r 为 r = a y ；v ，6 】的对极 因此满足( 1 2 5 ) 的r 的对极的存在性等价于( 1 2 1 2 ) 由( 1 2 5 ) 得： s ( a ) s ( y ) = s ( y ) 断( d ) + s 6 ( a ) - s ( a ) r y = 一r - 1 y s r ( a ) + s 6 ( a 、 。- s ( a ) r y = 一，。1 f ( s f ( n ) ) y r - 1 6 ( s f ( n ) ) + s 6 0 ) 因此条件( 1 2 1 2 ) 成立当且仅当下面两个条件成立： s ( n ) r = r - a r s f ( a ) ，( 1 2 1 3 ) r s 6 ( a ) = 6 ( s f ( 口) ) ( 1 2 1 4 ) ( 1 2 1 3 ) 等价于a d ，s o ) = r s t ( a ) ，0 2 1 4 ) 等价于r s 6 ( 口) = x ( a ) 6 s o ：) 我们来证明( 1 2 1 3 ) ，我们有 r s v ( a ) = r s x ( a 。) 口2 = x ( a 。k s ( a 2 ) = x ( a 。) a d ，( s ( 口3 ) ) z ( s ( 口2 ) ) = x o 。s o ：) 川4 岱0 ，) ) = z ( g ( n 。) m d ，( 5 0 ：) ) = ( 口1 ) a d ，s ( a 2 ) = a d ，s ( e ( a 1a 2 ) = a d ，s o ) 我们再来证明( 1 2 1 4 ) ，由0 2 6 ) 知s f 0 ) = s ( x o 。a ：) = x ( a 。) s o ：) 我们使 用( 1 2 1 4 ) 的等价形式， r s 5 ) = x ( a 。弘s ( 口：) 0 2 1 5 ) 记= r s s ( a ) ，t = x ( a ，) 6 s ( a ：) 在( 1 2 8 ) 两边作用m ( i d0 s ) 得 那么 m ( 谢o s ) ( 6 和) ) ；m ( i do s ) ( d 扣，) o 口2 + r a 。0 6 ( 口2 ) ) ， 0 = e 6 ( a ) = d ( n 1 ) s ( 口2 ) + 阳1 s 6 ( a 2 ) ，a 1 s 6 ( a 2 ) = 一r - 1 6 ( a 1 ) s ( 2 ) 1 0 _ | _ l 山大学硕士学位论文 l = 心6 ) ；7 5 ( 口t 声6 ( 。z ) ；心( a 1 ) a 2 s 6 ( “，) f 1 2 1 研 = 一，5 ( 。) r 一1 6 ( n ：) s o ，) = 一a d ，s o 。) 6 ( 口2 ) s ( 口，) 另一方面，6 作用在0 ) = a l s ( a ：) 两端有 0 = 6 ( ( 口) ) = 6 ( 口，s a ：) = 6 ( 。) s o ：) + f 0 。) 6 ( s ( n ：) ) ， t = z ( 。) 6 s ( 口：) = x ( 口，) 6 s ( ( 娌：) 口，) = z 0 。弦( 口z ) 6 s ( a ，) = z 和。弦( s 0 ：如，妒s ( 口。) ；z ( 口1 弦s 0 ：弦0 ，弘s 。) = - x o 。弦s ( 口：) 6 ( 巳) s 0 。) = 一z ( q ) a d ，s o ，) z ( s ( n ：) ) 6 ( n 。) s ( 毛) 0 2 - 1 7 ) = - x ( a 。s ( a ：) ) a d ，s ( a ，) 6 ( 口。) s ( 口；) = 一( 口。) a d ，s o ：) 6 ( 口3 ) s ( n 。) = - a d ，5 ( n 。) d ( n ：) s o ，) 比较( 1 2 1 6 ) 和( 1 2 1 7 ) ，我们推断出l = t 这即证明了( 1 2 1 5 ) 又证明了对极的 存在性 系理1 2 1 3 若r = a y ；r ，d 】为余交换h o p f 代数a 的卟 h o p f o r e 扩张，n r 在爿的心中 证明：根掘( 1 2 6 ) 和( 1 2 7 ) 有f 0 ) = x ( a 。) 口：= a d ，( n ，h 0 ：) = z 0 ，) a c t ，( 口2 ) ， v a e a 等式两边同时乘以系数x ( s o 。) ) 得 x ( s ( a ，) ) z 0 2 ，= z 0 ，) ) z 0 ：) a d ，0 3 ) ，x ( e ( a 。) ) 口：= x ( e ( a 。) ) 彳d ， 2 ) ， a = a d ，0 ) v a e a 定义1 2 1 4 ( 1 ) 满足( 1 2 8 ) 的映射6 被称为r 一余导子 ( 2 ) 映射d 被称为( 而r ) 一导子如果6 即是一个r 一导子又是一 个，一余导子 符号1 2 1 5 我们可以用r = a ( x ，r ，6 ) 来表示h o p 一o r e 扩张 r = a y ；v ，6 】，其中z ：爿一k 是一个特征标，r 是满足( 1 2 7 ) 的a 的群元素， 6 是( z ，r ) 一导子 1 1 中山大学硕十学位论文 第2 章h o p f o r e 扩张与其对偶 在这一章，首先介绍一些有关h o p f 代数对偶和对偶h o p f 代数的基本概念 和性质我们证明如果r = 爿l y ；r ，6 】是有限维h o p f 代数爿的h o p f o r e 扩张，那 么a + 一定存在一个的o r e 扩张r = 爿+ 【y 。；q ，6 ，】，其中一( ，) ( n ) = ，( m ) ， 6 1 ( ，) ( 口) = ，( 6 ( ) ) v f ，g 4 + ，v a 爿我们接着研究在什么样的条件下 r 1 = a 1 _ y 。；r l ，d 。】成为a 的h o p f o r e 扩张我们的主要的目标是根据第一章得 到的( 1 2 6 ) 一( 1 2 8 ) 来推导r = a + 【_ y ；z ，6 + 】是h o p f o r e 扩张的条件 2 1 对偶h o p f 代数 如果y 是一个向量空问，设矿= h o m 。( 矿，k ) 是其线性别偶空间对 任意，y ，v v ，我i l - j 通常把，0 ) 记为( ，v ) 由线性代数知识可以知 道 ， 存在一个单 射p ：旷 一0 ) + ( p ( f 占) ，v w ) = ( ，v ) ( g ，曲，v f 旷，g + ，v e v ，w e w 如果l ：v 一形是一个线性映射，r ：w + 一v + 代表由诱导的线性 映射，即由关系口( ，) ，v ) = ( ，l ( v ) ) 确定的唯一的映射 对于给定的向量空间y ，元素v 。y 代表y + 中任意的一个元素 一般而言，该元素跟矿中元素v 无直接联系 现在假设( c ，a ，) 为余代数，则a ：c c c 和s ：c 一女诱导了 a + ：( c c ) + 一c + 和：k 一c 我们定义m ：c 。 c 一c + 为复合映 射 p 山大学硕士学位论文 c c 屿( co c ) + 生呻c 定义“：k c + 为复合映射 k k + c 其中k 一尼是自然同构如果c e c ，a c = c l c ：，容易验证 ( c + d + ，c ) = ( c + ，c ，) ( c + ，c ：) ，根据定义s = 1 。= “( 1 。) ，容易验证( 1 ，c ) = s ( c ) 根据上面的事实( c ，m ，“) 显然是一个代数在有限维情况，设 ( a ，m ，“) 是一个有限维代数，那么p ：a + 0 4 + 一似。爿) + 是双射，我们定 义a ：a 一a 爿为复合映射 a + 呻( 爿。爿) + 二呻爿+ o 爿+ 定义：a 4 一k 为复合映射 其中k 。一k 是自然同构显然+ ，) 是一个余代数 如果h 是一个有限维双代数，那么h + 是一个有限维双代数如果h 是一个 具有对极s 的有限维h o p f 代数，那么h 是一个具有对极s + 的h o p f 代数 满足 设h 和l 是h o p f 代数，双线性形式 e v ：l o h3 9 0 i lb - ) 抽，h ) e k ( 1 ) ( a 0 6 ，啊o h ：) = ( a b ，h ) ，礼h ) = e ( h ) ( 2 ) ( a 。 口：，h o ，) = ( n ，h j ) ，( 口，1 ) = e ( a ) ( 3 )如，s o ) ) = 啦0 ) ， ) 这样一个映射称为h o p f 代数的弱对偶性如果( 口，h ) = 0 有a = 0 ( ( l ，h ) = 0 有h = 0 ) ，则我们称该双线性形式是左( 右) 非退化的h o p f 代数的对偶性是 巾山大学硕士学位论文 一个既左非退化又右非退化的弱对偶性 如果日是一个有限维h o p f 代数那么通常的赋值映射e v ：h + 0 日一k 定义 了一个h o p f 代数的对偶性 2 2 对偶h o p f 代数的h o p f o r e 扩张 本节主要讨论有限维h o p f 代数的h o p f o r e 扩张与其对偶h o p f 代数的 h o p 一o r e 扩张之间的关系我们首先从对偶h o p f 代数的o r e 扩张入手 命题2 2 1 设a 是一个有限维h o p f 代数，r = a y ；v ，6 】= a ( z ，r ，6 ) 是爿的一个 h o p f o r e 扩张，则置= 爿+ 【y 。；v i ，6 。】是a + 的o r e 扩张其中r l ( f ) ( a ) = f ( r a ) ， 峨( ，) ) = ， 0 ) ) v f ，g 爿，v ae a 证明： 根据定义1 2 8 我们需要分别验证_ 为代数同态和6 ，为一一导子 i i ；1 ：a + 一爿+ 为代数同态对任意的，g 爿+ ，口e a 有 ( 一( f g ) ，a ) = ( 唐，口) = ( ，o g ，a ( r a ) ) = ( ， g ，r a 。 r a 2 ) = ( ，f a l ) ( 占，r a 2 ) = 瓴( ，) ，a 。) 瓴( g ) ，a ：) 因此，一( ) = ，r 1 ( f g ) = _ ( ，h ( g ) ，v f ，g e a + 2 6 。：a + 一a + 为一导子对任意的，g e a * , a e a 有 ( 6 1 ( 磨) ，a ) = ( f g ，6 ( 口) ) = ( ，o g ，a 6 ( a ) ) = ( ， g ，6 。) 口：+ r a 、0 d 0 ：) ) = ( fo g ，d ( n 。) n ：) + ( ，o g ，r a 。0 6 ( 口：) ) = ( 厂，6 ( 。) ) ( g ，n ：) + ( ，r d ，) g ，6 ( 口：) ) = ( 6 ，( ，) ，a 。) ( g ，a ：) + ( ，) ，a 。) ( 文( g ) ，n ：) 因此，哦( f g ) ；6 1 ( ，) g + q ( ，) 4 ( g ) ，v f ，g 彳+ 综上所述，r = 彳眦；t ，哦】为a + 的一个o r e 代数扩张 中山大学硕士学位论文 a 是有限维h o p f 代数，则a + 是h o p f 代数如果 r = 爿d ；f ，6 】= 4 眈，r 1 ，6 ) 是h o p f o r e 扩张，则，e g 0 ) 也即a r = r | r 于是对任意a ，b e a 总成立( 廿，a 0 6 ) = ( r 0 r ，口0 6 ) = ( r ：口) ( ，：6 ) 设a + j m ：爿一k 是代数同态，那么总成立 ( a m ，a0 6 ) = ( m ，a b ) = ( m ，n ) ( m ，b ) v a ，b e a 从而m e g 即) 由此我们可以得到结论：h o m 。0 ，k ) a ( a + ) 现在定义映射z ：a + 一k ，z ( f ) = f ( c ) ，v ，e a ，其中c 是4 的群元素那 么对于任意的，g 爿+ 有： z ( 詹) = ( 居，c ) = ( f o g ，a c ) = ( ，c ) ( g ，c ) = z ( ，) z ( g ) ， z ( s ) = ( ，c ) = 1 ， x ( f + g ) = ( ，+ g , c ) = ( ，c ) + ( g ，c ) = x ( f ) + z ( g ) 显然，如此定义的z 是一个特征标 根据定理1 2 1 2 ， r = a + 【y ；f 1 ，6 】= 爿仅，r ，6 ) 是h o p f o r e 扩张当且仅当r ( ，) = x ( l ) l z ( ) ，= a d ，( 五) z