（系统工程专业论文）基于Lancaster结构的二阶系统解耦算法研究及其应用.pdf

基于l a n c a s t e r 结构的二阶系统解耦算法研究及其应用 摘要 二阶微分系统广泛地产生于控制系统等应用领域中，在一定条件下，许 多高阶系统往往也可以简化成二阶系统，因此，深入研究和分析二阶系统的 特性具有重要的意义。在对二阶系统进行特性分析时，往往需要对系统进行 解耦研究，二阶系统解耦是指通过选取适当的坐标变换等手段将一个多变量 相互关联的二阶系统转化为多个独立的单变量二阶系统，解除各个变量之间 的耦合关系。本文深入研究基于l a n c a s t e r 结构的二阶系统解耦算法，并利用 舰船纵摇升沉运动系统实例验证所提出的算法的适用性，主要工作可以概括 如下。 1 提出基于s y l v e s t e r 方程的二阶系统解耦变换求解算法。作为数值代 数领域前沿的研究方向之一，保结构同谱流算法通过保l a n c a s t e r 结构、保谱 变换对二阶系统进行简化解耦，但此方法只能给出解耦系统，却无法给出相 应的解耦变换。针对此问题，本文首先提出基于s y l v e s t e r 方程的二阶系统解 耦变换求解算法，将寻找解耦变换的非线性问题转化为齐次s y l v e s t e r 方程的 求解问题，并利用矩阵的k r o n e c k e r 积理论将其迸一步转化为齐次线性方程 组的求解问题。其次，对非奇异解耦变换的存在性进行了研究与论证。最后， 提出基于相似变换的保结构流方法，并将其应用于无外力作用的二阶系统解 耦中。文中分别给出数值实验进行方法的验证。 2 提出基于谱信息的二阶系统解耦方法。保结构同谱流算法是否可行， 关键就要看解耦前后系统是否保谱，虽然算法设计时考虑了此问题，但在具 体实现时，保谱并不容易做到。针对此问题，本文提出了基于谱信息的二阶 系统解耦方法。首先，根据系统解耦前后的同谱特征，构造等价解耦系统的 参数矩阵，保证了解耦前后系统同谱。其次，利用基于s y l v e s t e r 方程的二阶 系统解耦变换求解方法求得相应的解耦变换。最后，针对无外力作用系统， 提出了相应的相似解耦变换的求解方法。文中分别给出数值实验进行方法的 验证。 3 对二阶系统解耦变换的结构特征迸行研究。对于二阶系统的解耦问题， 如何刻画解耦变换的结构特征一直是个难点，目前，虽然已从理论上证明几 哈尔滨工程大学博士学位论文 乎对所有的二阶系统在l a n c a s t e r 结构下都存在解耦变换，但却很难刻画此解 耦的结构特征。本文通过分块矩阵运算，提出解耦变换的一个结构特征，并 深入研究了对角形式解耦变换和三角形式解耦变换存在的条件，提出相应定 理、证明及实现方法。 4 对4 0 组水池实验获得的舰船纵摇升沉运动系统数据进行仿真计算， 通过对实际系统进行解耦验证本文所提出的算法的适用性。首先，利用保结 构同谱流算法和基于s y l v c s t e r 方程的解耦变换求解算法对舰船纵摇升沉运 动系统进行解耦，得到8 组理想数值结果，并对数值实验中存在的问题进行 分析。其次，利用基于谱信息的二阶系统解耦方法对舰船纵摇升沉运动系统 进行解耦，得到其余3 2 组理想数值结果。这部分研究既验证了本文提出算法 的可行性和适用性，也对两种解耦方法进行了比较分析，将舰船纵摇升沉耦 合运动系统转化为两个无关的单自由度二阶系统，实现了解耦。 本文的研究不仅是二阶系统解耦理论研究的一个完善与发展，也是其在 实际系统中应用的一个起点。 关键词：二阶微分系统：s y l v e s t c r 方程；k r o n e c k e r 积；保结构同谱流；l a n c a s t e r 结构：舰船纵摇升沉运动 基于l a n c a s t e r 结构的二阶系统解耦算法研究及其应用 i ii iiiiii 每i i ；i i i 眷i i i i i i i i i i i ；i i i ；葺i i i 宣i i i 宣；宣置宣昌宣i i 暑置置目i 声i i a b s t r a c t q u a d r a t i cd i f f e r e n t i a ls y s t e m sa r i s ee x t e n s i v e l yi nm a n ya p p l i c a t i o n s ，s u c ha s c o n t r o ls y s t e m s i nc e r t a i nc o n d i t i o n s ，m a n yh i 曲一o r d e rs y s t e m sc a l lb es i m p l i f i e d i n t o q u a d r a t i cs y s t e m s t h e r e f o r e ，d e t a i l e d r e s e a r c ha n da n a l y s i so nt h e c h a r a c t e r i s t i c so f q u a d r a t i cs y s t e m sh a v ei m p o r t a n tp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e ，i nw h i c h , i ti so f t e nn e c e s s a r yt or e s e a r c hs y s t e md e c o u p l i n g s t h e q u a d r a t i cs y s t e m d e c o u p l i n gi st os e e kt h ea p p r o p r i a t et r a n s f o r m a t i o n so ro t h e rm e t h o d ss ot h a tt h e m u l t i d e g r e e o f - f r e e d o mq u a d r a t i cs y s t e m i sl i n k e dw i t hm u l t i p l e t o t a l l y i n d e p e n d e n ts i n g l e - d e g r e e - o f - f r e e d o mq u a d r a t i cs u b s y s t e m s i nt h i sp a p e r , t h e q u a d r a t i cs y s t e md e c o u p l i n gm e t h o d sb a s e do nl a n c a s t e rs t r u c t u r ea r el u c u b r a t e d ， a n ds h i pp i t c h - h e a v em o t i o ns y s t e me x a m p l e sa r eu s e dt ot e s t i f yt h ea p p l i c a b i l i t yo f p r o p o s e da l g o r i t h m n 豫d e t a i ld i s c u s s i o na n dr e s u l t sm a yb es m n m a r i z e da s f o l l o w s f i r s t l y ，as o l u t i o nm e t h o do fd e c o u p l i n gt r a n s f o r m a t i o n si sp r o p o s e db a s e do n s y l v e s t e re q u a t i o n a so n eo ff o r e f r o n tr e s e a r c h e si nn u m e r i c a la l g e b r af i e l d , t h e s t r u c t u r ep r e s e r v i n gi s o s p e c t r a lf l o w ss i m p l i f i e sq u a d r a t i cs y s t e m st h r o u g ht h e l a n c a s t e rs t r u c t u r ep r e s e r v i n gt r a n s f o r m a t i o n sa n di s o s p e c t r a lt r a n s f o r m a t i o n s 触t h o u g ht h i sm e t h o dc a no u t p u td e c o u p l i n gs y s t e m s ，i tc a nn o to u t p u tt h e c o r r e s p o n d i n gd e c o u p l i n gt r a n s f o r m a t i o n s i nt h i sp a p e r , as o l u t i o nm e t h o do f d e e o u p l i n gt r a n s f o r m a t i o n si sp r o p o s e db a s e do ns y l v e s t e re q u a t i o n t h en o n l i n e a r p r o b l e mt os o l v ed e c o u p l i n gt r a n s f o r m si sc o n v e r t e dt oh o m o g e n e o u ss y l v e s t e r e q u a t i o n ss o l u t i o n , a n di sc o n v e r t e dt oh o m o g e n e o u sl i n e a re q u a t i o n ss o l u t i o nb y m a t r i xk r o n e c k e rp r o d u c tt h e o r yf i j r 吐诧撇0 r e i na d d i t i o n , t h ee x i s t e n c eo f n o n - s i n g u l a rd e c o u p l i n g t r a n s f o r m a t i o n si sd i s c u s s e d f i n a l l y ，f o rq u a d r a t i cs y s t e m w i t h o u te x t e r n a lf o r c e ，as t r u c t u r ep r e s e r v i n gf l o w sm e t h o db a s e do rs i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o ni sp r o p o s e d t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t sf i lec a r r i e do u tt ov e r i f yt h e m e t h o d sr e s p e c t i v e l y s e c o n d l y ，aq u a d r a t i cs y s t e md e c o u p l i n gm e t h o di sp r o p o s e db a s e do n 哈尔滨工程大学博士学位论文 毒宣i 置高i i 宣i i i i i i 宣i 置i 宣i 置；i i i ；i ；i ；i 暑；i ；i i i 葺i i 誓葺莓j 暑宣i i 置i 誊窜置警 -ii 暑 s p e c t r a l i t y w h e t h e rt h es t 门j c t u r ep r e s e r v i n gi s o s p e c t r a lf l o w s i sf e a s i b l eo rn o ti s j u d g e db yt h es y s t e m si s o s p e c t r a l i t yb e f o r ea n da f t e rd e c o u p l i n g ，a l t h o u g ht h e a l g o r i t h m sd e s i g n e dt ot a k ei n t oa c c o u n tt h es y s t e m 。si s o s p e c t r a l i t y ，b u ti ti sn o t e a s ya tt h ea l g o r i t h mi m p l e m e n t a t i o n f o rt h i sp r o b l e m , a l li s o s p e r c t r a ld e c o u l i n g m e t h o di sp r e s e n t e df o rq u a d r a t i cs y s t e m f i r s to fa l l ，a l le q u i v a l e n td e c o u p l i n g s y s t e mi sf o r m a t t e da c c o r d i n gt ot h es p e c t r a lc h a r a c t e r i s t i c so f t h eo r i g i n a ls y s t e m t h e n ，t h ec o r r e s p o n d i n gd e c o u p l i n gt r a n s f o r m a t i o n sa r eo u t p u tb ym a k eu s eo f s y l v e s t e re q u a t i o ns o l u t i o n f i n a l l y ，i nv i e wo fq u a d r a t i cs y s t e mw i t h o u te x t e r n a l f o r c e ，t h es i m i l a rd e c o u p l i n gt r a n s f o r m a t i o ns o l u t i o nm e t h o di sd e d u c e d 1 1 1 e n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r ec a r d e do u tr e s p e c t i v e l y t h i r d l y ，t h e s t n l c t u r a l c h a r a c t e r i s t i c so fq u a d r a t i c s y s t e md e c o u p l i n g t r a n s f o r m a t i o n sa r er e s e a r c h e d d e c o u p l i n gt r a n s f o r m a t i o n s 咖c 删d e p i c ti s a l w a y sa n o d u sf o rq u a d r a t i cs y s t e md e c o u p l i n g a tp r e s e n t , a l t h o u g hi th a sb e e n p r o v e di nt h e o r yt h a tt h ed e c o u p l i n gt r a n s f o r m a t i o n se x i s tf o ra l m o s ta l lt h e q u a d r a t i cs y s t e m sb a s e do nl a n c a s t e rs t r u c t u r e ，i ti sd i f f i c u l tt oc h a r a c t e r i z et h e s 1 慨n 珊o ft h e s et r a n s f o r m a t i o n s i nt h i sp a p e r , as t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i ci s p r o p o s e db yb l o c km a t r i xo p e r a t i o n s i np a r t i c u l a r , t h ee x i s t e n c eo fd i a g o n a lf o r m a n d t r i a n g u l a rf o r md e c o u p l i n gt r a n s f o r ma r er e s e a r c h e d ，a n dt h er e l a t i v et h e o r e m , p r o o f a n ds o l u t i o nm e t h o d sa r ep r o p o s e d f o u r t h l y ，t ot e s t i f yt h ea p p l i c a b i l i t yo ft h ea l g o r i t h m sb yp r a c t i c a ls y s t e m d e c o u p l i n g ，t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r es h o w nb a s e do n4 0g r o u ps h i p p i t c h - h e a v em o t i o nd a t af r o mp o o le x p e r i m e n t s o no n es i d e ，t h e s t r u c t u r e p r e s e r v i n gi s o s p e c t r a lf l o w sa n dd e e o u p l i n gt r a n s f o r m a t i o ns o l u t i o nb a s e d0 1 1 s y l v e s t e re q u a t i o na r eu s e dt os h i pl o n g i t u d i n a lm o t i o nd e c o u p l i n g i nn u m e r i c a l e x p e r i m e n t s ，8g r o u pi d e a lr e s u l t sa r es h o w n , a n dt h ep r o b l e m si ne x p e r i m e n ta r e a n a l y z e d o nt h eo t h e rs i d e ，t h eq u a d r a t i cs y s t e md e c o u p l i n gm e t h o db a s e d s p e c t r u mi n f o r m a t i o ni sa p p l i e d i nn u m e r i c a le x p e r i m e n t s ，t h er e s t3 2g r o u pi d e a l r e s u l t sa r es h o w n t h i sp a r to fr e s e a r c h e sn o to n l yt e s t i f yt h ef e a s i b i l i t ya n d a p p l i c a b i l i t yo ft h ep r o p o s e da l g o r i t h m s ，a n ds h o wt h ec o m p a r a t i v ea n a l y s i so f p r o p o s e da l g o r i t h m s ，b u ta l s or e d u c es h i pp i t c h - h e a v em o t i o ns y s t e mt ot w ot o t a u y 基于l a n c a s t e r 结构的二阶系统解耦算法研究及其应用 i n d e p e n ts i n g l e - d e g r e e o f - f r e e d o mq u a d r a t i cs y s t e m s ，i no t h e rw o r d s ，d e c o u p l et h e s y s t e m 田始s t u d yi nt h i sp a p e ri sn o to n l ya ni m p r o v e m e n ta n dd e v e l o p m e n tf o rt h e d e c o u p l i n gr e s e a r c h e so fq u a t r a t i cd i f f e r e n t i a ls y s t e m ，b u ta l s oa n e wa t t e m p tf o ri t s a p p l i c a t i o ni np r a c t i c a ls y s t e m s k e yw o r d s ：q u a t r a t i cd i f f e r e m i a ls y s t e m ；s y l v e s t e re q u a t i o n ；k r o n e c k e rp r o d u c t ； s t r u c t u r ep r e s e r v i n gi s o s p c c t r a lf l o w s ；l a n c a s t e rs t n l c 嘶；s h i pp i t c h h e a v em o t i o n 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：嬲翰 日期：咿甲年6 月i6 日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 母在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。 作者( 签字) ：立蕊湾氩 日期：7 年6 月尼日 导师( 签字) ：沈多伊 j p ，年6 耳le 且 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题背景及研究意义 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统，其在控制等领域中存在极为 广泛。例如，刚体运动及振动系统、弹簧一质量一阻尼器系统、r - l c 网络系 统、扭转弹簧系统、忽略电枢电感后的电动机系统等等【i - 2 1 。此外，许多高阶 系统在一定条件下，往往也可以简化成二阶系统。因此，深入研究和分析二 阶系统的特性具有重要的实际意义，而在对二阶系统进行特性分析时，人们 往往需要将其相互耦合的各自由度分解开来，即对二阶系统进行解耦研究 3 - 6 1 o 数学中解耦是指通过选取适当的坐标变换等手段将一个多变量相互关联 的系统转化为多个独立的单变量系统，解除各个变量之间的耦合关系。例如， 船舶运动系统的微分方程模型可表示为 旌+ 酝+ k x = f ( 1 1 ) 其中，m 、c 、k 和厂分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和外力向量， 这是一个典型的二阶系统。二阶系统的解耦即寻找适当的坐标变换，将系统 参数矩阵m 、c 和k 同时对角化【l - 2 7 研。一个非阻尼的二阶系统( 系数矩阵 c = 0 ) ，在一定条件下可以通过广义特征值分解实现解耦，其算法研究已经 很完善【6 j 。但实际应用中，二阶系统往往都是有阻尼项的，因此研究三个矩 阵的同时对角化非常有必要，但研究者们普遍认为不存在这样的等价或合同 交换可以将三个矩阵同时对角化【1 2 ，r - 9 1 。 。 三个矩阵同时对角化的问题，无论是在数值代数领域还是工程实际应用 中都是急迫需要解决的，具有重要的理论和应用意义。但是，三个矩阵的同 时对角化一般是无法实现的，因此，数值代数领域通过研究l a n c a s t e r 结构矩 阵的块阵对角化来实现二阶系统三个参数矩阵的同时对角化，进而实现二阶 系统的解耦，其主要数值实现算法为保结构同谱流算法【l 3 1 。 哈尔滨工程大学博士学位论文 作为数值代数领域前沿的研究方向之一，保结构同谱流算法通过保结构、 保谱变换对复杂系统进行简化，但是此算法只能给出解耦后系统的形式，无 法给出相应解耦变换，而且算法的跟踪和迭代格式问题仍未明确化【l - 2 。目前 该算法的研究仍停留在理论的、较理想化的阶段，在实际问题中的应用研究 尚未有成熟的成果。因此，在原有理论基础上进一步突破算法的理论和应用， 寻找更加简便、易于刻画的解耦变换，完善二阶系统解耦的研究，具有重要 的实际意义。 本文的研究不仅是二阶系统解耦理论研究的一个完善与发展，也将是其 在实际系统中应用的一个起点。 1 2 二阶系统解耦的研究现状 矩阵的对角化问题在国内外已有一定的研究基础。早在十九世纪末，人 们在研究行列式的性质和计算时，就提出了对角矩阵的概念，而计算机技术 的发展，更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景，它经常可用于求解微 分方程组、研究数理统计量的分布以及研究集合曲面的标准形等不同的科技 领域中。人们已经倾注了大量的努力来研究通过合同或等价变换实现两个矩 阵的同时对角化，但研究二阶系统的解耦问题时，往往涉及到了三个矩阵的 同时对角化，这是很难实现的u 8 - 2 z l 。目前，对二阶系统解耦问题的研究方法 主要可以概括如下。 1 2 1 无阻尼系统解耦 对于( 1 1 ) 式所描述的二阶系统，当阻尼系数矩阵c = 0 ( 或者阻尼很 小可忽略) 时，称其为非阻尼二阶系统。此时二阶系统的解耦问题可通过矩 阵对伍，m ) 的广义特征值分解来实现嘲。在很多工程应用领域都将阻尼系统 弱化为无阻尼系统，通过研究矩阵对 k ，膨 的广义特征值分解问题来研究系 统的动力学特性，如结构振动、冲击噪声、流体力学等等领域2 5 】。 记a 为由矩阵对僻，m ) 的广义特征值构成的对角矩阵，v l ，u 矗) 分别为 2 第1 章绪论 相应的左右特征向量构成的矩阵，则由广义特征i 司趑的定义有 ”1 u 三k = u r m ，k u r a - 1 = m u r ( 1 2 ) 如果所有的伍，m 的广义特征值都是不同的，那么( 1 2 ) 式很容易变换为 以翩l = a ，班肘= i ( 1 3 ) 其中，i 表示，l 阶单位矩阵。但是当伍，m ) 的广义特征值并不是各不同时， 则无法找到满秩的r x 1 2 阶矩阵对 巩，u 矗) 满足( 1 - 2 ) 式，因此也无法满足 ( 1 3 ) 式。这样的系统被称作亏损系统( d e f e c t i v es y s t e m ) 【斓。 对于( 1 3 ) 式来说，另一种例外的情况就是当质量矩阵m 奇异时，因 为( 1 3 ) 式实际上描述了一个将刚度矩阵x 和质量矩阵材分别变换成对角 阵人和，的相似变换。简单地对广义特征向量做些数乘运算，( 1 3 ) 式可以 推广为 u ：k u r = x d 。u 芝m 唧r = m d ( 1 - 4 ) 其中，m d 表示变换后相应的对角矩阵。那么，( 1 - 2 ) 式可以推广为 甏d u t k = 题口u t m ，k u r 良d = m u r m “d ( 1 s 、 其中，詹。，詹。) 分别表示与 如，m 。) 对偶的对角矩阵，即满足 更d k d = 丽d m d 一种很方便又很明显的对偶系统的选择为 k d = m d 。话d = k o 只有当系统是非缺损时，( 1 _ 4 ) 式所描述的对角变换才可能实现。当矩阵 取，m ) 都为对称的，且其中至少一个为半正定的，则妙工，u 胄，k d ，m d ) 都为 实的刀以阶矩阵，而且经过适当的数乘可以得到吼= u g 7 - 3 。在其他情况下， 哈尔滨工程大学博士学位论文 眚宣宣；宣葺i ；i 宣ii| i i lil i i 暑葺宣；i 宣叠 u l ，u 只，k d ，m d ) 有时可能含有复数。 1 2 2 比例阻尼系统解耦 如果阻尼矩阵c 与质量矩阵m 和网u 度矩阵k 是成线性关系的，即满足 c = a m + 胚 ( 1 6 ) 式中，口与为实常数，此种阻尼称为比例阻尼，相应的二阶系统为比例阻 尼系统嘲。则比例阻尼系统的解耦按1 2 1 中的算法找到将承，m ) 同时对角 化的解耦变换妙工，【，露) ，便可同时将阻尼矩阵c 对角化瞄之5 1 。 1 2 3 经典阻尼系统解耦 对于一个二阶系统，如果存在同一组变换矩阵 矾，u r ) 将其质量、刚度 矩阵对角化，并同时将阻尼矩阵对角化，则称其为经典阻尼系统( c l a s s i c a l l y d a m p e ds y s t e m ) 。c a u g h e y 和0 k e l l y 等研究了自伴二阶系统( s e l f - a d j o i n t q u a d r a t i c s y s t e m ) 的解耦问题( 即当系统的质量材、刚度k 和阻尼c 矩阵都 为对称阵地情况) 【1 8 抛, 2 6 - 3 0 ，提出当m 、k 和c 满足 k m 一1 c = c m 一1 k 时，此二阶系统为经典阻尼系统。那么，对于任意的经典阻尼系统承，c ，m ) ， 都存在变换妙工， ，使得 霰d u t k = 琶d u c = 菇一：m k u r l “【0 = c u r 五= m u r m o ( 1 7 ) 其中，忙。，己，砑。 为与矩阵，c - ，m 。 对偶的对角矩阵，即满足 定d k d = 芒d c d = 藏d m d 4 第1 苹绪论 f 其中， 如，m d ) 为变换后系统的对角系数矩阵。此时，一种很显然的选 择为 k d = c d m d ，c d = k d m d ，m d = k d c d 则，如果此经典阻尼系统为非亏损的，则有 班k u r = k d ，以c u r = c d ，以慨= m d ( 1 - 8 ) 综上，对( 1 1 ) 式描述的二阶系统做如下变换 x = u r ，r = v f f ( 1 9 ) 则，原始经典阻尼系统可以变换为 m d 尹+ c d i ；+ k d ，= r ( 1 1 0 ) ( 1 1 0 ) 式是完全解耦的，( 1 9 ) 式与( 1 1 0 ) 式通过模态叠加原理为时间域 或频率域的响应提供了非常精确的计算，同时也为系统的响应机理提供了一 个明确的理解，特别是当 玩，u 尺 为实矩阵时。左模态矩阵吼将物理作用力 转换为响应的模态力，而右模态矩阵将模态位移转换为物理位移。但对于 非经典阻尼系统，则上述算法并不那么有效。 1 2 4 近似联合对角化 一个对称矩阵的特征值分解就是寻找一个正交矩阵，使该对称矩阵对角 化。联合对角化研究的是多个矩阵同时对角化，是广义特征值分解的一种推 广p n 。考虑k 个以以矩阵集合彳= a i ，鸣，a f ，其联合对角化就是寻找一 个联合对角化器u r 删和k 个对应的对角矩阵人l ，人2 ，a 鬈，使目标函数 j ( u ，人i , a 2 , - - , a 鬈) ：壹q k 一队。u r8 2 ( i - 1 1 ) 最小化，式中，国，吐，q 为正的权系数。这一优化问题称为近似联合对角 哈尔滨工程大学博士学位论文 化。在下面的讨论中，假定q = 功2 = = q = l 。 在很多工程应用中，只使用联合对角化器u ，不需要求解对角矩阵 a l ，a 2 ，八r ，因此，如何将近似联合对角化问题简化，并转换成只包含联 合对角化器u 的最小值优化问题是一个有着重大实际意义的问题。目前，求 解近似联合对角化问题的方法主要可以概括如下【3 1 1 。 1 2 4 1 最小二乘算法 由于| | 1 | 三 0 ，故联合对角化( 1 - 1 1 ) 式可以等价写作 蛐扯一u a k u r i l ：= 砉曲k u a 。u r 旺 式中，u 为正交矩阵。显而易见，对于4 r 脚，有 疵卜队k u r 8 二= 曲卜喜蚴刮i m 定义 w = 【v p c ( “。“f ) ，v e c ( “：“；) ，川c 似打“：) 】r 一 ( 1 1 4 ) 以= k ( 1 ) ，噍( 2 ) ，以( 玎) r 则 幽卜喜概吐叫m 讽) l l i 这是一个大家所熟悉的最小二乘问题，其解为 玩= ( 形7 形) 一1 w r v e c ( a t ) ( 1 1 5 ) 由( 1 1 2 ) 式可得到对角化矩阵的解为 d = a r g 呼k 小喊) 哐( 1 - 1 6 ) 6 第1 章绪论 1 一一 mi l lm f i ；i ；i 毒置嗣i 置置宣宣宣霉_ 宣宣i i i 聋宣葺宣i - 将( 1 1 5 ) 式代入( 1 1 6 ) 式，再由矿r w = 厶有 疗= 鹕呼圭k = l 陋，一矿( 矽r 形) q 形r c ( 4 ) 缱 = 弼呼耖( 锚 = a r g 呼羔兰眵4 “斤 ( 1 - 1 7 ) 。 k = l1 = 1 或写作 d = a r g 呼勃勰( u r 以哺( 1 - 1 8 ) 这表明，联合对角化矩阵u 可通过最d , - 乘算法求解上式得到。这一算法是 w a x 与s h e i n v a l d 于1 9 9 7 年提出的【3 2 1 。 1 。2 4 2j a c o b i 算法 在数值分析中，一个正方矩阵m = 【m l 】所有非主对角线元素的绝对值的 平方和定义为该矩阵的o f f 函数，即 o f f ( m ) 阿= 窆窆陋i 2 ( 1 - 1 9 ) i = 1 ，f j = l 利用够函数，可以改写联合对角化的目标函数为 r j ( u ) = x o 扩( u r a i ( 1 - 2 0 ) 丘= l 从这一目标函数出发，c a r d o s o 等人提出了求解近似联合对角化的j a c o b i 算法 0 3 - ：m 1 。这一算法是对单个对称矩阵的j a e o b i 算法的推广，其基本思想是使用 一连串的g i v e n s 旋转，使目标函数最小化，具体做法是，对尺个2 x 2 子矩阵 7 哈尔滨工程大学博士学位论文 c i p ) - 隆针k - - - 1 , 2 , - , k 求解相同的问题，即寻找一个2 x 2 阶正交矩阵g 使得 q = g r c k g ，k = 1 , 2 ，k 能够最小化( i - i i ) 式定义的目标函数j ，其中 g = 一黑口p 爿 m 2 ) 对矩阵4 ，4 ，以的非对角元素实施一系列的g i v e n 旋转，即可实现这 些矩阵的联合对角化，所有g i v e n 旋转矩阵的乘积即给出联合对角化器u 。 1 2 4 3 子空间乘算法 定义m t = d i a g ( a 。) 是由对角矩阵人。的对角元素组成的向量，并令 量= v e c ( a i ) ，v e c ( a 2 ) ，( 么k ) 】 m = 【肌l ，掰2 ，肌】 则联合对角化问题的代价函数可以等价写为 f 2 r 2 。u r l l = = c ( 4 ) 一( u 。 。) 0 6 - - i - u a y = 1l l v eu ) d i a g ( a f f = 卜( nc ，) m ) 旺( 1 - 2 2 ) 式中，c od 是矩阵的k h a t r i r a o 积( 即矩阵列分量的k r o n e c k e r 积) 。于是， 近似联合对角化问题的解为 矽，肘) = a r g m i n 。l a 一删d 占= u 。u ( 1 - 2 3 ) 这一最优问题是可分离的，因为肘的最小二乘解为 m = ( b 。b ) 叫b 。a 巾- 代入( 1 2 3 ) 式，消去m ，得到 第1 章绪论 u = 鹕呼卜即r 砂b 五肛鹕呼防l 旺( 1 - 2 4 ) 式中，黠= ，一b ( b r b ) 。1 曰r 为正交投影矩阵。 上面介绍的三种算法都属于正交近似联合对角化算法，因此它们给出的 联合对角化器为正交矩阵。如果不对联合对角化器加正交约束，即得到所谓 的非正交近似联合对角化问题，可参见文献【3 5 】。 1 2 5l a n c a s t e r 结构块阵对角化 非阻尼系统和经典阻尼系统在实际应用领域中的存在并不广泛，而近似 联合对角化算法将多个矩阵同时对角化转化为一个最小值优化问题，侧重数 值实现，并没有充分考虑解的存在性与算法的迭代，因此，从1 2 1 节到1 2 4 节中介绍的解耦算法，虽然在相应的领域内已有一定的应用基础，但并不能 广泛地应用于二阶系统的解耦研究中。 在文献 2 】中，m t c h u 提出通常人们认为三矩阵不能同时对角化可能是 因为问题的提出并不合理，从原始系统参数的l a n c a s t e r 结构块阵对角化的角 度出发是可以实现三个矩阵的同时对角化的，也即实现二阶系统的解耦。目 前，数值代数领域基于l a n c a s t e r 结构块阵的对角化来研究自伴二阶系统的解 耦问题，已取得一定成果 3 6 - 5 3 1 。 2 0 0 2 年，s d g a r v e y 等提出了一种实现二阶系统解耦的算法，通过寻找 保持l a n c a s t e r 结构的同谱变换将多自由度系统转化为多个单自由度系统， 并就此变换的存在性及是否为实值变换等性质进行了研究，给出了相应的理 论及证明 7 - 9 。2 0 0 8 年，m t c h u 等补充并简化了s d g a r v e y 的证明，提出 几乎对所有的二阶系统都存在保结构变换在l a n c a s t e r 结构下将其解耦的论 述，并就此变换的一些性质进行了研究【2 】。但是如何利用数值算法找到此保 结构、保谱的解耦变换，实现二阶系统的解耦却很难，因此，m t c h u 提出 了保结构同谱流算法，通过一个闭环控制系统来控制一系列的同谱变换实现 保结构( l a n c a s t e rs t r u c t u r e ) 的目的，从而达到将原始系统解耦的目的，数 值实验结果表明此算法确实能实现系统的解耦，但算法自身仍存在一些待解 决的问题【l - 2 。 9 哈尔滨工程大学博士学位论文 11ll m li i 1 3 基于l a n c a s t e r 结构的解耦算法难点 基于l a n c a s t e r 结构的二阶系统解耦算法主要为保结构同谱流算法，它是 数值代数领域前沿的研究方向之一，通过保结构、保谱变换对复杂系统进行 简化。虽然算法的研究在数值代数领域成果不乏，但目前对该算法的研究仍 停留在理论的、较理想化的阶段，在实际问题领域中的应用研究尚未成熟。 目前，基于l a n c a s t e r 结构的二阶系统解耦研究主要难点可以总结如下： ( 1 ) 对于保结构同谱流算法自身而言，只能给出解耦后系统的具体形 式，却无法给出相应的解耦变换形式，这使得系统的还原和解耦 性质的研究无从着手。 ( 2 ) 保结构同谱流算法虽然利用求解微分方程组给出解耦后系统的具 体表示，但是解耦前后系统同谱性质的保持却很难实现，这就是 影响了算法的适应性。 ( 3 ) 从原始系统到解耦后系统的解耦变换反映了三个系数矩阵间的一 个非线性关系，因此解耦变换的求解和性质分析都很难，那么简 化保结构同谱流算法或寻找更简便可行的解耦算法是迫切需要解 决的问题。 ( 4 ) 对于二阶系统的解耦问题，如何刻画解耦变换的结构也是数值代 数领域的一个难点。 ( 5 ) 保结构同谱流算法的适用性是人们非常关注的，将理论研究应用 于实际系统的解耦、服务于工程实际是迫切需要解决的问题。 1 4 论文的主要研究内容 针对基于l a n c a s t e r 结构的二阶系统解耦算法研究的难点，本文首先研究 解耦变换的求解问题；其次，研究解耦前后系统的保谱问题，在原有理论基 础上进一步突破算法的应用性，寻找更加简便的解耦算法；再次，对解耦变 换的结构特征进行刻画；最后，利用舰船纵摇一升沉运动系统实例验证提出算 法的适用性。 本文的主要研究内容及研究方法可概括如下： 1 0 第1 章绪论 置宣i 暑罱高i , ir,i_ nii i i 昌宣；宣 ( 1 ) 研究解耦变换的数值求解、非奇异解耦变换的存在性是本文研究 的重要内容。在保结构同谱流算法基础上，将寻找解耦变换的非 线性问题线性化，利用s y l v e s t e