生活中的实例与数学建模.pdf

新课程论坛 生活中的实例与数学建模 吕杨春 (江苏省前黄高级中学, 213161) 1985年美国组织了第一届大学生数学建 模竞赛(简称MCM ) , 成为世界上第一个举办 此类竞赛的国家,此后每年一届.中学数学建 模和大学建模不同,大学数学建模涉及的范 围较为广泛,而中学数学建模要贴近中学生 的生活实际,具有一定的实践性和趣味性;大 学数学建模涉及的数学知识较高,而中学数 学建模以初等数学为主,适合中学生的知识水 对一切正整数k都成立,也即 (d 2 -2d) k 4 + (4a1d -2d 2 ) k 3 + ( 2a1- d) (2a1- d -2 ) k 2 = 0对一切正整数k都成立,这等价于 d 2 -2d =0, 4a1d -2d 2 =0, (2a1- d) (2a1- d -2)=0, 解之得 a1=0, d =0; 或 a1=1, d =0; 或 a1=1, d =2. 故有3个满足条件的等差数列: an=0, an=1, an=2n -1. 例3 已知 f( )=sin 2+ sin 2 (+ ) + sin 2 (+ ) , 其中, 是常数,且满足0 ,是否存在这样的,使 f( )= 3 2 恒 成立? 分析 假设存在这样的 ,使 f( )= 3 2 成立.由 f( )= 3 2 整理得关于 的方程有 无穷解,即可获解. 解 假设存在这样的,使 f( )= 3 2 成立,则由 f( )= 3 2 ,得 1-cos 2 2 + 1-cos(2+2) 2 + 1-cos(2+2) 2 = 3 2 . (1+cos 2+cos 2)cos 2 - ( sin 2 +sin 2)sin 2=0对任意 都成立,即方程 (1+cos 2+cos 2)cos 2-(sin 2+ sin 2)sin 2=0有无穷解. 0, 1+cos 2+cos 2=0, sin 2+sin 2=0. 解之得= 3 ,= 2 3 .故存在这样的,使 f( )= 3 2 恒成立. 例4 已知函数 f( x) =sin 2x + acos 2x 的图象关于直线x = - 8 对称,求a的值. 分析 f( x) 的图象关于直线x = - 8 对称,f- 8 + x= f- 8 - x对任意x 都成立.整理后利用关于x的方程有无穷解即 得a的值. 解 f(x) 的图象关于直线x = - 8 对 称,f- 8 + x=f- 8 - x , 即 ( a + 1)sin 2x =0对任意x都成立,a +1=0,即 a = -1. 74 第8期 高中数学教与学 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 平,在建模过程中一般不需要补充大量知识 即可入手. 在2003年正式颁布的 普通高中新课程 方案(试验) 指出,中学数学建模将成为高中 数学的一个专题课程.这一变化,凸显了数学 的应用价值,反映了社会生活的各个方面对 数学教育新的要求.数学建模教学是一个引 导学生学数学、 做数学、 用数学的过程,这对 于提高学生数学素质,培养创新能力大有益 处,也是由应试教育向素质教育转变的一条 有效途径.目前,中学数学建模教学的最大困 难是教材问题,这就要求教师在自己的视野 范围内因地制宜地收集、 改造、 编制适合学生 使用,从而贴近学生生活实际的数学建模问 题,同时注意问题的开放性与可扩展性. 例1 “ 马能否跳回原位 ” 问题:象棋盘上 有一只马(如图1 ) , 它跳七步能回到原来的位 置吗? 探究 建立直角坐标系如图2,设这只马 的坐标P (x0, y0 ) , 则根据象棋规则中的马的 跳法,则P点可能的平移向量为 (1,2) , (1, -2) , ( -1,2) , ( -1, -2 ) , (2,1) , (2, -1) , ( -2,1) , ( -2, -1 ). 设每次的平移向量为 (x 1, y1) , ( x2, y2) , ( x3, y3) , ( x4, y4) , ( x5, y5) , ( x6, y6) , ( x7, y7 ) , 当马跳第一步之后坐标为 ( x 0, y0) + ( x1, y1 ). 当马跳第二步之后坐标为 ( x 0, y0) + ( x1, y1) + (x2, y2) 当跳完7步之后,马的坐标即为 (x 0, y0) + ( x1, y1) + (x2, y2) + ( x3, y3 ) + (x 4, y4) + ( x5, y5) + ( x6, y6) + ( x7, y7 ). 若能回到原位,则 (x 0, y0) + (x1, y1) + ( x2, y2) + ( x3, y3) + (x4, y4) + (x5, y5) + ( x6, y6) + (x7, y7) = ( x0, y0 ) , 即 (x 1, y1) + (x2, y2) + ( x3, y3) + ( x4, y4 ) + (x 5, y5) + (x6, y6) + ( x7, y7) = ( 0,0 ). 平移向量 ( x i, yi) , i =1,2,3,6,7只能 在 中取,但是若把 中的8个向量相加有: (1,2) + (1, -2) + ( -1,2) + ( -1, -2) + ( 2,1) + (2, -1) + ( -2,1) + ( -2,1) = ( 0,0 ). 在这8个向量中,任意去掉一个平移向 量,都不能使向量和为(0,0 ). 综上,在实际操作中,马跳7步不能回到 原位. 思考:怎么样才能使马跳回原位呢? 如果要让马能跳回原位,则要在-1,1,2, -2中组合出横、 纵坐标和都为0的平移向量, 而且由于每个平移向量的横坐标之后只能是 1, -1,3, -3.进而分析得:当走的步数是奇数 步的时候,都不能组合出所有的横、 纵坐标和 都为0的平移向量,即不可能跳回原位.如果 84 高中数学教与学 2006年 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 这只马跳了几步后回到了原来的位置,那么 它跳的步数必定是偶数. 例2 现在的女孩子都喜欢穿高跟鞋,是 不是每个女孩都适合穿高跟鞋?高跟鞋的后 跟的高度有好几种规格,那什么样的身高适 宜穿什么样的规格?这些都是有讲究的. 研究表明,当一个人的下肢高度和全身 高的比例正好是黄金分割时,人看起来最美. 设某女孩下肢躯干部分长为X厘米,身高 为L厘米,鞋跟高D厘米,我们知道黄金分割 5-1 2 0.618. 由此模型,可计算出一个女孩子应该穿 多高的鞋子. 计算公式: X +D L +D =0.618. 以身高168厘米,下肢长为102厘米的人 为例,所穿鞋子高度,与好看程度的关系可由 下表说明: 身高下肢长原比例鞋跟高现比例 1681020.607 1432.50.612 903 1681020.607 1433.550.615 273 1681020.607 1434.50.617 391 1681020.607 14350.618 497 由此可见,这个女孩最适宜穿5厘米高后 跟的高跟鞋. 我们也可以计算出一个关于鞋跟高度D 的一个公式: D = 0.618L - X 1-0.618 = 0.618L - X 0.382 . 根据这个公式,我们可以知道一个身高 153厘米,下肢长为92厘米的女士,应穿6.6 厘米的高跟鞋显得比较美. 例3 商场促销问题.某报纸上报道了两 则广告,甲商厦实行有奖销售:特等奖10 000 元1名,一等奖1 000元2名,二等奖100元10 名,三等奖5元200名,乙商厦则实行九五折优 惠销售.请你想一想:哪一种销售方式更吸引 人?哪一家商厦提供给消费者的实惠大? 分析 在实际问题中,甲商厦每组设奖 销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限 制,所以我们认为这个问题应该有几种答案. 若甲商厦确定每组设奖,若参加人数 较少,少于213(1+2+10+200=213人)人, 人们会认为获奖机率较大,则甲商厦的销售 方式更吸引顾客. 当甲商厦的每组营业额较多时,它给 顾客的优惠幅度就相应的小.因为甲商厦提 供的优惠金额是固定的,共14 000元(10 000 +2 000+1 000+1 000=14 000 ). 假设两商 厦提供的优惠都是14 000元,则可求乙商厦的 营业 额 为280 000元(14 0005%= 280 000 ). 所以由此可得: (1)当两商厦的营业额都为280 000元 时,两家商厦所提供的优惠同样多. (2)当两商厦的营业额都不足280 000元 时,乙商厦的优惠则小于14 000元,所以这时 甲商厦提供的优惠仍是14 000元,优惠较大. (3)当两家的营业额都超过280 000元 时,乙商厦的优惠则大于14 000元,而甲商厦 的优惠仍保持14 000元时,乙商厦所提供的实 惠大. 像这样的问题,我们在日常生活中随处 可见.例如,有两家液化气站,已知每瓶液化 气的质和量相同,开始定的价也相同,为了争 取更多的用户,两站分别推出优惠政策.甲站 的办法是实行七五折出售,乙站的办法是对 客户自第二次换气以后以7折销售.两站的优 惠期限都是一年,你作为用户,应该选哪家 好? 组织数学建模教学,要注意培养学生的 兴趣,引