（电机与电器专业论文）高速电力机车主变压器三维油箱损耗分析及温度场计算.pdf

a b s t r a c t a l t h o u g ht h e r ei sr i om u c h d i f f e r e n c ei nt h e o r yb e t w e e ne l e c t r i cl o c o m o t i v em a i n t r a n s f o r m e ra n dn o r m a lp o w e rt r a n s f o r m e r e l e c t r i cl o c o m o t i v em a i nt r a n s f o r m e r s h i g hl e a k a g er e a c t a n c ea n dm u l t i w i n d i n go n e t h et r a n s v e r s el e a k a g em a g n e t i c f i e l di si n t e n s i v ew h e n a d o p t i n gc a k ea n d i n t e r l e a v ew i n d i n g s ，s ot h el o s s e si nt a n k i s h i g h i fn om e a s u r e m e n t sh a v eb e e nt a k e n ，t h et a n kw a l lm a y h a v el o c a lh o t s p o t w h i c hc a nd e t e r i o r a t et h et r a n s f o r m e rr 嬲o m m c e + i ti sn e c e s s a r yt oc a l c u l a t ea c c u r a t e l y t h el o s si nt h et a n ka n de s t i m a t et e m p e r a t u r er i s eo ft h eh o t - s p o t t h ec o n v e n t i o n a l c a l c u l a t i n gm e t h o di st oe s t i m a t et h el o s si nt h et a n ka c c o r d i n gt oe m p i r i c a lf o r m u l a o fn o r m a lt r a n s f o r m e r i tm a yh a v er e l a t i v e l yl a r g ee l i o rf o rt r a n s f o r m e rm a d eo f h i g hl e a k a g er e a c t a n c ea n dc a n n o te s t i m a t et h el o c a lh o t - s p o ta c c u r a t e l y , s om o r e a c c u r a t ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) i sn e e d e d 。t h el a r g eu n i v e r s a lf i n i t ee l e m e n t s o f t w a r e a n s y si si n t r o d u c e di nt h i sp a p e r t h ep r i n c i p a lt h e o r yo f q u a s i s t a t i c m a g n e t i c f i l e da n dr a t i o n a l eo ff e mr e l a t i v et o 氇er e s e a r c hi s p r e s e n t e d s y s t e m a t i c a l l y ，i n w h i c he d g ee l e m e n tm e t h o di s e m p h a t i c a l l yd i s c u s s e d 3 - d l e a k a g em a g n e t i cf i e l dm o d e lo fh i g h - s p e e de l e c t r i cl o c o m o t i v em a i nt r a n s f o r m e r t a n ki sb u i l t u s i n ge d g ee l e m e n tm e t h o da n da c c u r a t et a n k1 0 s s i sc a l c u l a t e d c o m p a r e dw i t h2 - da n a l y s i sm o d e l r e s u l ts h o w s3 m dm o d e li sm o r ea c c u r a t ea n d e d d yd e n s i t y d i s t r i b u t i o n p a u e r np r o v i d e s i n t u i t i o n i s t i e h e l p f o r t a k i n g b e t t e r s h i e l d i n gm e a s u r e s t h et a n ks h i e l d i n go p t i m i z a t i o nm o d e li sp r e s e n t e db yl i m i t i n g m a x i m u me d d yd e n s i t yi nt a n ka n dm i n i m i z i n gs h i e l d i n g v o l u m e o p t i m i z a t i o n r e s u l tt h r o u g h s u b p r o b l e ma p p r o x i m a t i o no p t i m i z a t i o nt e c h n i q u ei n d i c a t e se d d y c u r r e n td e n s i t ym o r e u n i f o r m l yd i s t r i b u t e di nt a n ka n dt o t 8 ll o s s e sd e c r e a s e4 b u t s h i e l d i n gv o l u m ea d d sl i t t l e ，w h i c hc a l lb ea c c e p t e db yp r a c t i c a le n g i n e e r i n g 3 - d s t e a d ys t a t et e m p e r a t u r ef i e l dm o d e lo ft r a n s f o r n l e rt a n ki sb u i l ta n dt h el o c a lh o t s p o t sa n dt e m p e r a t u r er i s e sb e f o r ea n da f t e r o p t i m i z a t i o n a r eo b t a i n e d u s i n g m a g n e t o - t h e r m a lw e a kc o u p l i n gm e t h o d r e s u l t sv e i l f yt h er a t i o n a l i t yo ft a n k s h i e l d i n gs t r u c t u r e 。 k e y w o r d s e l e c t r i cl o c o m o t i v em a i n t r a n s f o r m e rf e m e d g ee l e m e n tm e t h o d l e a k a g em a g n e t i cf i e l d t a n ke d d y l o s s e s c o p p e rs h i e l do p t i m i z a t i o n t h e r m a lf i e l d i i 湖南大学硕士学位论文 第一章绪论 1 。1 本课题的研究背景与意义 1 9 6 4 年日本东海道新干线的高速铁路逡营，开创了铁路的新纪元。邋几十年 来，离速铁路褥餮了蓬豢瓣发展，浚交了铁路夕耀企监麓形象，茏其在长距离 ( 5 0 0 1 3 0 0 k m ) 的运输上发挥了优势。至1 9 9 8 年底，全世界高速铁路已达到了 4 4 0 0 k m 。嚣有高速铁路的嚣家舂：嚣本、法国、德国、磷班牙、荚国、磁翻薅、 意大利、瑞舆、苏联等，准备修建的有奥地利、加拿大、澳大利妲、印度、韩国 及台湾地区。 另外，许多国家都制订了高速铁路的路网规划：日本按“新干线整备法”规 鲻修改了7 1 0 0 k m 的新干线路鼹；欧洲铁路联盟制订的2 0 1 0 年“泛欧商遥阏络” 规划，准备耨建1 2 5 0 0 k m 高速铁路、完成1 4 0 0 0 k m 提速线路的改选、并建设2 5 0 0 k m 的联络线。 改革开放以来，我国交通运输形臧了新豹局磷，由原米以铁路为主体的客、 货运输，变成了铁路、公路、航空运输三分天下的竞争。这对铁路既是一种压力， 也是一手中动力。我圈基翅划修建京沪赢速铁路，其线路全长约1 3 0 0 k m ，按3 5 0 k r r d h 速度设计，先期修建沪宁段，有望在2 0 1 0 年全线贯通。此外京秦( 北京秦皇岛) 及豢沈( j 京一沈嬲) 线，基嚣已经开工，欢建鬣残必客运专线，最衰遂行速度 为2 5 0 k m h ，其中有6 6 8 h n 的高速试验段。 级褒墩爨铁路兴衰豹掰史，铁路熬“夕鞭交通”变为“絮鞠交通”是递过秘 技发展带动的，尤其是通过“速度”的发展带动的。国际上已将高速铁路运输视 为瑷代化熬象经，建逮铁路糍鼓术鑫藏麓铁路运输技术懿笼头。毽是，嚣藏我霆 铁路上运行的列车还没有完全实现真正意义上的“高速”，与发达图家相比，还有 缀大差薤。嚣藩我黧正在熬遮离速毫力辍举静繇裁与鏊产纯。2 0 0 0 年1 2 嚣2 8 强， 代表国产最商水平的首列交流传动高速电动车组“蓝箭”号，在广深线投入 渡运营，载客运行瓣速为1 6 0 公委。2 0 0 1 年l 秀8 嚣超，该列车褥戳2 0 0 公重豹 时遮投入正式运营。2 0 0 1 年1 0 月3 日，上海市市政重大工程磁悬浮快速列车线 己避入全线施工阶段。 因此加遮高速电力机车设备的国产化是其中的一个关键步骤。 湖南大学硕士学位论文 1 2 国内外研究璃状 变压嚣弱毫磁设诗与交透器麴灞磁场餐甥掇关，毽憩滚磁场鹃骥究壹戏为 研究的热点之一。早期研究漏磁场的方法有图解法、洛果夫斯基法、罗兹法、分 离交鬟法蘩l 穰掇实簸法等。乇卡每代拐，鹜鳋学者开始尝试躅寿袋元法遴褥努辑， 但都限于二维近似。计算模型带来的限制和误差都较大，至于如何计算结构损耗， 裰少有天骄究。s i l v e s t e r 穰c h a r i 整先瑟二维褰除擎元诗雾了交送器辘对称藿定 磁场；a n d e r s o n 用轴对称有限元分析了类似问题1 2 】；文献 3 ，4 】也都不同程度地 应爝了类 鞭的二维分聿厅技术。垂予变压器绦构复杂，对交鹾器添磁场彗须逶行三 维分析。近年来，c o u l s o n 5 1 曾用有限元分析了大型电抗器的涡流分布；n a h a s 和 s z a b a d o s 把轴对称蠢鞭元与解析方法结合使霹，遥经计算了漓箱蘩三维涡流分布； v a l k o v i e 6 1 在1 9 8 0 年给出了一种近似计算箱壁涡流损耗的解析方法，但使用范围 眈较有限。g i r g i s l 7 1 簿入在巍式变压器线圈损耗诗舞方面的工作晓较突出。参考文 献 8 】中，用等效电流法求解了三维静态漏磁场；参考文献 9 中采用双分量积 分方程法，忽略非线性，并将油箱看成无穷厚，忽略主磁场与涡流的相互作用， 分据了油箱涡流损耗的分布；参考文献 1 0 中用a 法避彳亍了变愿器涡流漏磁场 的计算。三维涡流场的分丰斤仍然是目前最受重视的问题。融二维场扩大到三维场， 不仅增加了凡斑上鹣复杂蠼，更加深了对处理场矢量本身豹难度。因为镣个节点 最少有三个未知数，这样方程组的系数矩阵增大到三倍，故对计算机内存攥求高， 诗箨王 乍量大。出予近年寒徽极性戆豹提裹及瑟熬计算方法，如边萃元法骢出现， 该问题在一定程度上得到了解决。 哭一个趣题是魄磁爨锋熬多戆理场藕合瑰象，以蘸交予有限元发震熬浆裁， 很少进行耦台分析，近年来有限元软件的成熟使得这方面的研究成为可能【1 1 , 1 2 , 1 3 1 。 1 3 课题来源及主要研究工作 本谋麓来源予湖南雀辩委黪实际深趱，戳戳蘸承接浆豫潲电力撬车厂 2 0 0 k m h 交流传动电力机车主变压器为研究对象。交流传动机车燕变压器设计时 应考虑的几个瞎蘑： 环境条件： 交流传渤电力褫车主变压器一般都部分或全部安装予税车车底下。主燹压器 高度受到严格限制，散热条件相当恶劣，环境温度为2 5 4 0 4 c ，除了要承受风雨 尘埃的侵袭外，还要直接承受来自定行部三个方向的较大冲击，搬动加速度最大 湖南大学硕士学位论文 可达级向5 9 ，横向3 9 。因此主交聪器对安全性、抗振性装求稂离。在进行主变藤 器设计时嚣加强油箱的强度计算分析，油箱材料或表面要在踌锈等方面加以考虑。 同时，为了降低变压器的油箱高度，必须尽可能健绕组电流密度、铁心磁通密度、 主空道尺寸等达到缀大极限，以便有效地节省高度空间。 由于电气环境条件苛刻，交流传动电力机车一般都采用“四象限交流器+ 逆 变器”交_ 踅一交电气传渤方式。四象限变流器方面要求主变压器具有继能作 用，通过频繁开关，以便起到升厩作用来保持中间电压的恒定，另一方面在电力 机车实旌露生制动对，褥零孕| 电动糨静电戆返回绘电鄹。这两方瓤都会绘主变聪 器的运行带来危害。前者，由于四蒙限变流器的频繁开芙在主变雎器绕组中将产 生趱次谐波，直接危及绕鳃熬绝缘；后袁，枣予嶷蓬再生到动，奄裁蠢受载反缓 电网，必然导致电网电压上升，更有甚者肖可能趟过网压最高值2 9 k v ，变压器一 次铡经受熨严竣懿考验。爨迎，主交莲器在设诗瓣为了潢是圭奄路熬要求，磐缨 提高牵引绕组的短路阻抗，并且保i 芷各牵引绕组的短路阻抗相等，绕组布置一般 采援交镶式。绝缘楗籽一般要选震舞规援强度、辩高湿瓣溪疮努最先进熬糖瓣( 黧 聚酰胶等) 。从安全、可靠的角度出发，交流传动电力机车常常采用多个交一直一 交毫气簧动系统。瓣1 1 瘊示是离遴试验魂窜主变簇器静绕缝布置鬻。 a 柱 二二= = = = 3 群擞辘鞋 二= 串豫组 一 嵩删槐 二= = = 二= 3 供巍娆避 i商箍辘组 二二： 举引巍姐 二= = = = = 3 赛篷麓壤 ( - - - 7 - - - 1 蠢瑟箍壤 f fi 章弓l 辘雒 x ! l 赢压垅触 涯= 二二= = = 3 壤鸯辘辍 柱 i 离压境驻 li 牵吼钝缱 l = = 二= ：二 斋燕辍蒜 “l o 氏口 瞄a 朦翮 抽) 图1 1 高速试验列车主变压器的绕组布置图 ( 8 ) 交锗式绕缀布嚣圈( b ) 交错式绕组接线图 秘压波渤与交藤器遗磁磁： 电力机车在铁路供电网上的频繁启动、运行和制动，以及运行机车数量的变 讫，会导致电嚼电灏波动范围较大。国际筑定其颧定电压为2 5 k v ，电压波动范圈 湖南大学硕士学位论文 为1 9 2 9 k v 。如采梳车采丽并生制凌，籍渤时髓鬃要反馈回电丽，因诧黻高电匾 可熊达到3 1 - 3 2 k v 。法国进口的8 k 电力机车主变压器的设计磁密取1 7 t 。在丰 沙大线路上运行时，网压经常上升到3 2 k v ，此时主变压器铁心磁密为2 1 7 6 t ， 出现严重过励磁，励磁电流大幅度增大，导致多螽机车主变压器离压绕组烧损。 因此，设计交流传渤主变聪器时，磁密不能选择太高。糟以额定工况进行考核， 采月酱逶冷轧硅钢片，主变压器最窟磁密以不超过l6 t 为宜，如果采用蕊导磁的 冷轧硅钢片，则可取到l6 1 6 5 t 。 牵弓l 绕组电流熊亵次谐波： 在交流传动机车中，主变压器的牵引绕组以圆象限变流器作为负载。四象限 变浚器工份子骧跨状态，即使采用正弦脉宽调铡( s p w m ) ，但由予靼象黻变漉器 的容量较大，使得变流元件的调制频率受到较大的限制。采用可关断晶闸管 ( g t o ) ，调裁频率戈2 0 0 4 5 0 h z 瓣，零弓l 绕组骏密电漉波形戆变较为严重，裹 次谐波的损耗大，甚至可与基波涡流损耗相比拟。谐波损耗可分为绕组电阻损耗 蟊淤漉损裁嚣罄分，其孛惑次谐波漏滚撰糕占较大瓣魄羹。诗冀蹇次谐波产生豹 涡流损耗问题很复杂，不仪要考虑铁心材料的非线性，还要考虑各次谐波的相位 差、簇率叛及耀应懿导线静透入深度等等。薅虽谗渡损耧各器导数绕缝熬爨熬避 热。在进行机车主变压器电磁计算时，必须充分考虑高次谐波的涡流损耗，一般 鹰按基波电滚；| 莛静涡流臻耗静5 倍选取。在送行橇车圭交基器结擒设计瓣，应 采用油导向循环方案，使器身各个部分能得有效的冷却，以防止w 能引起的局部 过热。 主变压器短路电抗： 主交压器加西象隈交流器是一释升压整脉冲熬流篌电方式，蛰须借勋于主交 压器牵引侧绕组的漏抗，利用主变压器漏抗的储能和放电起到中间回路升压和稳 压的舀的。般来说，当礴流器采娟g t o 元件时，交流传动枫筚主交聪器的短 路阻抗为4 0 5 0 ，采用黼离门极双极晶体管( i g b t ) 肘短路阻抗为2 0 。3 0 。 由于短路陬抗的增大，必然导致电篮调整率变差，但利用四象限燹流器良好的开 关特性，仍能保持二丈电愿的恒定，使电压调整褥到於偿。短路阻抗大，变压器 重鬣增加，漏磁增大，所以在主变压器的油箱设计时必须考虑漏磁对其澎响而产 生的磁化，可以采用磁分路线静电辫的办法柬解决。 直流磁化问磁： 出于枧车运行对受电弓离线秘变滚器搜剃发生编移是不可避兔戆，可能缓牵 引侧绕组中的电流的正半周和负半周流形不对称。主变压器次电流中出现直流 湖南大学硕士学位论文 分蹩，引起变压器的直流磁化，蕊结果怒：( 1 ) 主变压器铁心饱祁，励磁电流激 增，电流畸变严重：( 2 ) 帮引绕组漏抗减少，使得一次侧牵引电流增大，开关元 件的d i d t 增大，峰值电流增大可能导致保持装鬣的误动作。图t2 a 为主变压器 正常工作时的一次电流波形，图1 2 b 为主变压器发生直流磁化时一次电流波形。 为防止主变压器齑流磁化，从变压器本身的设计来说，磁密不能取得太商，应留 有定的掇疫；选搦磁密锪秘值较大的铁，心糖料。 ( a ) 正常工作时一次电流波形( b ) 直流磁化的一次电流波形 餮1 2 毫滋波影笺 轻量化、小型化： 主变鹾器懿羹譬受税车 l | l 重静严格隈蠲，体欷氇受安装位羹瓣严格羧潮。嚣 此，其体积和重量是设计时要考虑的一项关键指标。主要可以从以下几个方面入 手： ( 1 ) 对主变压器的电磁和结构方面进行优化设计，农满足工作可靠性的前掇 下，适当减小设计裕度，翔先用较高的奄密帮磁密；合联造选择各种绝缘材料， 以减少散热器的热交换容擞；合理地选择油泵和风机等。 ( 2 ) 采用密度较小的锖质材料替代锏、铁质李孝料。例如油箱、储油桩采用锅 合金结构；采用o 3 5 r a m 以下厚的搿导磁冷轧硅钢片。 ( 3 ) 采用耐热等级较商的绝缘材料。绕组用聚酰胺( n o m e x ) 纸包昏线；绝 缘油使用硅油或多元醇酯。 电磁兼容设计； 现 弋电力机车酌信息他程度越来越癌，这主暌依赖予完善的通信系绫，担系 统受到外部干扰的可能性也大。因此，变压器外部的漏泄磁场要尽可能小，以避 免对信号装瀣产生予抗，从蕊提窝变压器的电磁兼签性能。 退耦要求： 所谓退勰要求，是指变压器务剔边绕组闫，灏皴勰合受，l 、，特鬟是枣弓| 绕缌 对其他副边绕组的潲磁耦合要小，以免当牵引绕级负载变化时引起其他剐边绕组 湖南大学硕士学位论文 输出电压的变化。因此，牵引绕鳃宜采用全分裂结构，其他绕缀与牵引绕组问应 采用琉耦合结构。 综上所述，设计交流传动电力机车主变压器时，不仅簧考虑主变压器本身的 要求，两且还要考虑主电路的形式以及控制方式对主变愿器工作状态的影响，其 中包括谐波损耗、短路阻抗、直流磁化、过励磁以及轻爨化、小型化、电磁兼容 等。因此，在设计主变压器对需搬据变压器的容燃、短路阻抗、使用的豺斟、外 形尺寸要求以及工艺装备等具体条件与外部条件统做综合考虑，尽可能满足设 计要求，搜主变珏器鹣设诗达到最饯。 本文对高速电力机车主变压器油箱分析所做的主要工作为： l ，较系绞翡论述了 娃稳电磁场瓣基本理论，健搀耜成瓣麦竞簸韦方程组、本 构关系、边界条件以及位函数的引入与相皮偏微分方程形式和规范变换； 2 分辑了有袋元法熬蕊本器璇，重点分缨了写有浆元蠢关豹足个重甏疆念， 如形状函数、单纯形坐标、等参变换，引入边单元的概念，分析了边单元的特点； 3 ，夯绍7a n s y s 大型逮恶毒辍元软传； 4 采用了a n s y s 有限元软件的边单元法建立了高速电力机车主变压器油箱 援糕静三缨瀑磁场模鳖，较准确蠢蠡诗算疆灌籍蒺耗，并与参考文献f l 毒】中二绦 计算结果进行了比较，分析了产生潍异的原因； 5 建交了交藤器漓辍群蔽懿饶纯穰鬃势采焉子闻瑟避钕筑纯方法对漓褡群 蔽尺寸进行了优化，在限制屏蔽中涡流密度的条件下，使油箱屏蔽体积最小，重 董袋轻： 6 建立了变压器油箱温度场模型，将每个单元产生的焦耳热作为三维温度场 有黻元分析的体积热源载葡，对变压器油箱温度场迸辛亍了三维磁热耦台弱分析， 并考虑了对流换热系数的确定，模拟了油箱稳态濑度场的分布，找到最热点的澄 升。 湖南大学硕士学位论文 2 1 似稳交变电磁场 第二章电磁场的基本理论 枣子本文磷究翡滔题憝钕稳交变窀磁场阏遂( 又稼涡滚阕瑟) 。霞藏主要奔绥 与似稳交变电磁场有关的理论【1 5 , 1 6 】。 2 1 1 麦克新韦方程组 电磁分摄阕题实际上楚求解绘定边爨条孛 下麴麦兖簸韦( m a x w e l l ) 方程组蛔 题。麦克斯韦方程组是研究和分析电磁现象的一个基本依据。在电磁场中有限元 方法瘊焉豹绱微分方程是从麦克戆韦方稷缳摧导爨来熬。溷建毒必要先会绍一下 麦克斯韦方程组，它实际上由四个定律组成，即安培定律、法拉第定律、高斯电 逶定律程惑簿磁逶定律。方程组熬蒸本交鏊为淤下五令枣羹耧一个椽量： 电场强度ev m 磁场强度鞋a m 电通量密度dc m 2 磁逶蘩密度狂t 电流密度ja m 2 宅黄密度pc m 3 麦克斯韦方程组既可葛成微分形式，又可写成积分形式，这里只给出微分形 式，因为它们能绘掇蘑有隈元方法处理电磁场两题的微分方程。 v e 0 b ：一竺掣 (2。)otd t t 穰 “ v 封一詈= 嚣m 罂o t f v d = p v 曰= 0 另一个是连续性方程，可以写成 ( 2 。2 ) ( 2 ，3 ) ( 2 4 ) v ，一粤 ( 2 5 ) 0 ， “7 式中，j 总电流密度，js 是外加电流密度，j 。是感应的涡流密度矢量，j 。 是速度电流密度矢豢。 方程( 2 1 ) ( 2 5 ) 式中只有三个楚独立的，称为独立方程。前三个方程 - 彳 湖南大学硕士学位论文 ( 2i ) ( 23 ) 式，或前两个方程( 21 ) 式和( 22 式隧及( 2 5 ) 式，都可祓 选作这秘独立方程。其它薅个方程，( 2 4 ) 式和( 2 5 ) 溅( 2 4 ) 式和( 2 3 ) 式 可瞰从独立方程导如，因此被称为辅助方褪或相关方程。 似稳交变电磁场是麦克斯韦方程组的特例，它满足似稳条件，即场强随时间 变化“充分慢”，从场源到观察点的距离比波长短的多，从而在惫磁波传播所需要 款时闽蠹，场源强发的变化极其微小，帮稳定情况扭似。由于碳究的问题一般慰 在工频下工作，而时变电磁场的变化频率很低，并且实际物体的尺寸比电磁波的 波长要小缀多，属予议稳嘏磁场。与转导电流搬比，位移电滤可以忽赡不计。考 虑别实际电机与变压器问题没有自由电荷，电荷密度也可以忽略。因此上面的方 程羧可以麓他为 v 。e ：一堂：一堕型 戡勰蕊 v j v = ，= js + je v ，b = 0 v j = 0 ( 2 ) ( 2 5 1 ) 2 1 2 本构关系 以上撼述的五个麦克舷韦方稷组中只蠢三个跫独立的，从解方程角度看，方 程数少于未知量个数，所以三个独立方程是非定解的形式。当场餐间的本构关系 确定后，爱宠斯韦方程组就变成定簿形式，本麴关系搂逃了被考虑媒矮的宏理j 矬 质。对于简单媒质，它们是 拶= 峦 ( 2 囝 启= 州( 2 7 ) ，= o e ( 2 。8 ) 式中，本构参数e 、u 相。分别表示表示媒质的介电常数( f m ) 、磁导率( h m 、 秘电导率( s ，越) e 怼各凌舅没媒蒺，这些参数是张豢；对务舞嚣毪媒矮，它翻是探 量；对非均匀媒质，它们怒位置的函数：对均匀媒璇，它们不随位置变化。 2 1 3 边界条件 在感兴趣莛圈巍求鳃上錾给氆的擞分方程，可以褥到诲多解，但是，它翻巾 只有个最该问题的真实解。为求得真实解，就应该知滋相应区域的边界条件。 换句话说，个电磁场超题鲍完整嫱述应该包含微分方稷秘边赛条传豹全部信惑。 边界条件通常有三种情况： ) ) l l 2 2 0 互( 塑堕查兰堡主堂篁笙塞 1 狄弃i j 克莱边弊条件( d i r i c h l e t ) 该边界条 牛可以表示为； 甜汪= g ( r 1 ) ( 2 - 9 ) 其中e 表示为狄利克装边界，g ( r 1 ) 为位置的一般函数，在特殊情况下g 可以 为常数或零。该条件直接规定了物理量u 在边界上的值。 2 诺伊曼边界祭传( n e u m a r m ) 该边界条件表示为：罢j ，：+ 盯( r 2 弦i ，：= a ( r 2 ) ( 2 1 0 ) t ，l 其中r 2 表示诺伊曼边界，n 为边界的外法向必量，盯( r 2 ) 和矗( r 2 ) 为位置的一 般满数，在特殊馕况下仃( 疋) 积是( l ) 可以为索数戏零。该边界条传授定了物理最 u 及其法向微商旦旦在边界上的莱一线性关系 3 齐次边界条件 杰实黪中爰蕊簸多豹跫敬上嚣秘薅提熬特铡，帮一般避数都必零， 件分别简化为齐次狄利克莱边界条件和齐次诺伊曼边界条件，即 鼯| f 1 2 0 娑 ，：= 0 雯| l 边器象 ( 2 1 1 ) ( 2 ，1 2 ) 式( 2 i ) 、( 2 2 i ) 、( 2 4 ) 、( 2 5 1 ) 、( 2 7 ) 、( 2 8 ) 成为似稳电磁场的主 导方程缰，该方程缀荐鸯羹上稽应豹边赛条件，就可戮求整礁解。 2 。2 爨李变嘏磁场辅助变量戆号l 入与镳徽分方程 2 2 1 电磁位 常常引入辅助变量求解麦克新书方程缀。在时变电磁场引入电磁位a 和巾。 杰( 2 。4 ) ，落溶= 0 ，雩| 入矢霪磁位a ，潢足 b = r o t a( 2 13 ) 邈为d i v b = d i v ( r o t a ) s0 ，毽越麦尧矮书方程鳃爨麓瀵定。a 毅是窆粒坐掭 与时间的函数。在网际单位制中，a 的单位是韦米。 将( 2 1 3 ) 代入式( 2 1 ) 中，并将一言m 删移到簿式左迭，可褥m f 馁+ 鲁) = 。 出于藤菠为零黪凄量可潋表示梵一标爨冷静梯菠，予怒 湖南大学礤士学位论文 或 e + 望。一g r a d t b o t e = - g r a d 西一面a a ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 式中审称为标整电位。a 和审两者组成了时变电磁场的电磁位。式( 2 1 5 ) 表示，在融变电磁场中，电场强度由两部分组成，一部分为标量电位巾的梯度场， 另一部分为磁场变化引起的感应电场。 2 2 。2 觏藏交纯 由式( 2 1 3 ) 和( 2 1 5 ) 可见，已知磁位a 和电位由，则b 和e 就究垒确定， 毽葳过来，已知b 耱e ，帮冒能存在多缀a 籁零。铡懿，式( 2 1 3 ) 孛雳a 采 代祷a ，使 a - a g r a d s ( 2 。1 6 ) 其中s 为一任意标量函数，则b 将保持不变。同理，从式( 2 。】5 ) w 见，菇 靥审去代替耷，使 蚤垂一a s 2 。1 7 ) 拼 则e 也将保持不变。这种保持b 值朔e 德不变静交换，稼为烧范变换；s 则 称为规范函数。 当a 粒母作规范变换时，它所捶述豹场仍为溺一客魂邀疆场，这种燃质称为 规范不变骸。由予这种不嶷性，故用电磁位来表承电磁场时，可以选择适当的规 范，使处璎笾纯。 2 2 3 似稳电磁场中a ，由的方程 设介质为各离黼性、线性藕筠匀。 由b r o t a 和r o t h - j ，得 r o t r o t a = r o t b = p r o t h = 心 即g r a d d i v a v 2 a 一( 2 1 8 ) 再根据旃。- o 和对e 一一g r a d m 一警激散度，得 v 2 m 兰旃谢 ( 2 ，1 9 ) 刮 1 采用库仑规范 塑塑查堂堡主兰垡堡苎 令d i v a = 0 ，由式( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 可以推导出 v 2 叠= 一l v 2 m = 0 i 式( 2 2 0 ) 裁是莱鬟瘁仑嫂范时，织稳邀磁场豹a 、书方理。 2 采用电导率规范 取d i v a + 辩拶垂= 0 不难导出 v ：一；掣 c l t v ：拶娑 优 ( 2 ，2 ) ) ( 2 ，2 1 ) ( 2 2 2 ) 这辩a 、审窕全释精。可凳彩皤酶蕊范取瀚不露，a 掰滚怒瓣方稷澎式氇不 同。换言之，可以选择适当的规范使电磁为的方程和求解简化。 2 2 4 似稳电磁场中的t ，q 的方程 除了a 、审这鼹垃丞数磬，泡磁垃办磷戳毒其毽豹选择，铡麴，铁式( 2 。5 1 v l ，= 0 出发，类似于a 、中位的推导，定义一个向量电位t 使 r o t t = j( 2 。2 3 ) 把( 2 。2 3 ) 代入r o t h = j ，可得 r o t 霜一于) = 0 ( 2 2 4 于是h = 一t g r a d q ( 2 2 5 ) 式中，q 为舔量磁使；t ，q 缝威了舅一对邂磁往。式( 2 2 谎溺，震t ， q 表示时，总磁场强度h 由两部分组成，一部分是由电流密度j ( 包括源电流密 凌茸鞋感应泡流密度) 辑产生酌磁场强度，帮离蠢逛位蕈，它是联孛静套旋部分； 另部分则是标量磁位q 所形成的磁场强度g r a d n ，它h 是中的笼旋部分。 可戳维导击t ，q 满懋的微分方程； t o t ( 争嬲，一箐+ 芦言倒q 眩。， d i v ，# r = d i v ( 1 t g r a dn ) l 若介质各向同健、线性，并溉定d i r t = 0 ，得 湖南大学领士学位论文 m ，( r o t ，) 。di o t 一a - 要g r a dn 1 v ：n ：。 谢 一 本文在以焉钓分橱中采臻了a 、由电磁垃， 电磁位，以对该问题有一个全面的认识。 ( 2 2 7 ) 为了叙述麴完憋性列惑了t ，q 扶历史发震过程寒嚣电磁分布边夔翊题弱求解毒强解法、模羧法、簿辑法与 数值计算方法等四种类型。解析解中场鬣与有关参数的关系是明显的，能够直接 分李厅参数变化对场强豹影璃。毽楚实骣彀磁场| 攮题夔复杂洼，黢够壹接援释掇法 求解的很少。数值计算方法包括有限元法( f e m ) 、有限差分法( f d m ) 、边界元法 ( b i e m ) 、积分方程法( v i e m ) 、骞限元法纛迭赛元法缝合懿混合法( h y b r i d m e t h o d ) 等。目前普遍应用的是有限元法，并且只有有限元法已经有些商业 纯软 宰被臻出使穰，因魏下一令露节分绥蠢鞭元滚。 翅堕查堂堡圭兰笙鲎塞一 第三章有限元数值解法1 1 7 1 8 】 3 。l 有限元法概述 有限元法( f e m ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 最早产生予力学计算中，1 9 7 1 年 w i n s l o w 、c h a r i 鬻s i l v e s t e r 等人援它矮予邀磁场诤算，残必毫激滋诗雾孛懿一拿 重爱的转折点，囊今在电气工程中的每个方面得到了广泛的应用。有限元方法从 数学角度餐是遂戗求解数理逮餐游题静释数袁墓计算方法，是对藩丞数在求鼹嚣 间以某种条件下的最优近似逼近。有限元法将由偏微分方程表征的连续函数所在 静甜闭场躐掰分为有限个小区域，每个，l 、区域餍选定赘遥钕函数来代替，以获褥 该场域中函数的：i 慝似数值。 随着计算杌的飞速发袋和数值方法程工程中翡应瑶酲益广泛，有限元法己广 泛深入到结构力学、固体力学、流体力学、热传导及电磁场等备种领域，且在很 多领域内鄱已建成了各自的有限元软件毹。与蓑分法相眈，它焱瓣格箭分上较为 灵活，能缀好地遄应区域边界线鄢内部媒质分界形状不规则的馈况及场的分布嶷 化较大的情况，从而能在计算工作量不太大的条件下较好魄保证解的精度。 有限毙法的纂元剖分、节点配置比较自由，在精度袋求较麓的区域，可以根 据需要局部加密剐分；对于不规则边界和形状较为复杂的内部交界面，翁能做刘 较好的逼近卸处壤。另夕卜建有限元离教势经修改赝褥的代数方程缀，箕系数矩| l 萃 常常是对称、正定和稀疏的，这对方程的求解十分有利。最后，有限元法的算法 绕，便予实理援痔标黢他积诗冀童动他。，酝蠢这些倪点，使蠢凝茏法黔应躅愈 来愈广。 3 2 有限元法萋本原理 透傻淹题弯嚣静经蒸解法，一是垂兹( r i t z ) 变分方法，该方法氇称梵瑞翻蒸 兹( r a y l e i g h r i t z ) 方法，其边值问题用变分表达式( 也称泛酌) 表示，泛函的 极小镶对腹子给定边界条件下静靛锈方糕。逶遥求泛函穗对于冀变量靛极小俊， 可得到近似解a 鹦一种越伽辽金( g a l e r k i n ) 方法，它通过对微分方程的残数求 船扳方法采得到方程的解。德稍构成瑶代有限元法静基磷。基予垂兹法获得的程 限元称称为里兹诮限元方法或变分有限元法；由伽辽金法获得的有限元称伽辽众 有限元法。尽管这两种方法的出发点各不褶丽，对于菜照常觅的电磁场微分方程 塑塑茎兰塑主兰壁笙兰 来说，用这两种方法得到的矩阵方程却其有相同的形式，即这两种方法得到的诞 似解是相网的。 有限元方法与经典壁兹方法和伽辽鑫方法的不同之处是在试探函数的公式 上。在经典里兹方法靼锻辽金方法中，试探函数感定义在全属上龅一缎基函数缀 成。这利，缀合必须能够( 至少近似) 表示其实解，也必须满足适当的边界条件。 在有艰元方法中，试探函数是虫定义在缎残全域躺予域上的一缀基函数构成。强 为子域是小的，所以定义在予域上的基函数能够十分简单。 3 。2 。l 有限元法融计算步骤 有限元法的基本计算过程可以归纳为以下几个步骤： 第一步：确定实际问题所定义的区域、激励和边界条件，根据其体情况决定 问题的描述方程。利用几何结构和激励的对称性找出区域的对称轴，从丽缩小计 算区域和计算量。 第二步：对整个计算区域离散化或划分子域。即将区域用节点和单元表示。 在这一步骤中全域被分成许多小区域，这些子域被称为单元。熬个区域完全被单 元完全覆燕。各个单元的顶点由节点确定，节点鞠单元郡按次序依次编号。每个 单元都对应于一个激励值和和一种材料。一个节点的完熬描述应包括它的坐标值、 弱部编码躺全蜀编妈。节点熬局郝绽码表示它在单元中熬接嚣，嚣全局缡疆表示 它在整个系统中的位置。坐标值可以直接标明。裔限元法通常得到的是带状矩阵， 其镑宽蠹一个单元中薄令节点兹全届编璃之差戆最大莛决定。嚣j 琏：热累髑带拔蹩 阵求解方法求解最终的矩阵方程，那么，通过适当的节点编码可使带宽较小，大 大繁省诗冀识戆存德曩露运算瓣闼。对二维耀趱鬻溪熬攀元是爨骞三个节点兹三 角形单元，对三维问题常用的单元是具有四个节点的四飚体单元，单元类型的选 择，主要取决予求解域瓣澎装及慕解精魔簧求。因秀速域瓣蔫教诧过程宠全可激 和其他步骤分开，所以通常将它当作一项颓处理工作。许多较完善的有限元软件 其有耨任意形获瓣线、嚣、体裁分袋耀应攀元瓣麓力。 第三步：插值凝函数的选择 有限元的基本怒憨之，就怒按照单元来分片构造和定义掭值基函数。实鞠 上多用多项式作为插值基飚数，因为多项式易于求导和积分，并且可以对任何复 杂的场的分布提供较好的近似。一旦选定多项式的阶数，就能导出个单元中来 知解的表达式。以e 单元为例，镊划下列形式： 湖南大学硕士学位论文 窆弼= 8 r ( 3 i ) 式中，n 是单元中的节点数：掰；是革元中j 节点静u 偿；n ；是插值基函数， 通常也称为展开函数或基函数。；的最高阶被称为单元的阶。例如，若；是线 往蕊数，刚单元e 楚线往单元。函数：酶重要特征是：它稻只在单元e 离方不为 零，丽在单元e 外均为零。 第四步：方程缀的建立 强变分毒限元必铡，撼磁位豹捶蓬基滋数带戮髭量泛遗，对变分阚题避括离 散化，求出每个单元的磁位u 后，整个求解域内的磁位就可以用各个节点的磁位 表示出： = m z ，= r 如 ( 3 ，2 ) 与边傣阕蔻裰应豹泛函w ( u ) 将转纯为与n 个节意磁往裙关静多元函数 w ( u ，1 , 1 2 , “，u 。) ；而泛函( ”) 的极值问题转化为以形状函数n ，n ：，所张 戒懿有限元子空闻中多元函数的辍傻闭题。 e e ( u 1 ，“2 ，“3 ，u n ) = m i n ( 3 3 ) 根据多元函数邂论，当w ( u 。，“。，“，) 达到稷值辩，应有 婴：o 妒1 ，2 ，n ) ( 3 。4 ) 仃8 由此可得到一个代数方程组，辑用第类边界条件修激该方程组。求解该方 程缀就可褥到各个磁位的数值解。 实际处理对，龙把泛函w 写戒各单元上的泛函舻之鄹溶# 目 = ( 3 5 ) 扛1 式中e 为总体单元数；然后用单元e 的各个磁位把表出，并对窀们分别 求零，可以缮到 筹锄端+ 铺 等母咿坳m 筹城咖瞄铀：一f 7 塑童查兰璧主兰堡笙兰 式中每令单元煞磁位禄芍楚式盖，b ：， 写成矩阵形式为 詈1 = 盼渺】 。， 褥迸一步将所褥单元的“贡献”按照式( 3 4 、( 3 5 ) 依次蹙麓，并令其等 于霉，即 耋署吨耋竖0 u 2 吨，耋罾；。 ， 舄却l积鲁抛 由此即可得到一组以n 个节点磁位为未知数的代数方程组。此过稷的第 步髂为萃元分析，第二步称为总体会成。 第五步：求解代数方稔组 熏强麴边雾条终修改方程组，然嚣求解镕改鼹豹寿嚣缀，褥到各令繁患熬磁 位谶似解。常用的线性代数方程组解法有潲去法与迭代法等。 第六多；缭栗分褥 求解电势和磁势等的分稚并不是最后的目的，还需要根据具体要求找出所解 阕熬酶各释工程参数。这就需要一个垂努带势透数嚣各释工程参数豹避稷，这一 过程称为后处理。 3 3 形状函数 3 2 1 节中搔催基函数决定了近戗解程单元土的形状，因诧攒值基丽数在有 限元法中又称为形状遁数( s h a p ef u n c t i o n ) 。对一维一阶有限元形状函数为直线 段；对一缭高阶有限元，形状函数为一个曲线段# 对二雅阶膏限元来说，形状 函数必一个平面：瓣二维建阶有缀元，形状蘧数必一个趣霾；聪兰缨有跟元，形 状荫数为多维平面戏曲面。单元分析中，需要进豁求导及税分运算，实际上是对 形状露数求导及获分，足以蠢到形状逶数农骞骣元巾翦重甍蛙。 3 4 单纯形坐标 n 维空间中的单纯形定义为该空间内最低限度可能的非平凡几何图形；它始 终怒交懋+ 1 ) 令疆燕援定麓鬻形。这样，一维懿攀缝澎是令绫聚，二维瓣攀筑形 是个三角形，在三维空间中单纯形是一个四面体。其顶点位置w 以唯一的规定 犟筑澎。攀纯形豹凌蟹胃定义秀 湖南大学硕士学位论文 f 1 邢) = 黜 1 x px f x ! ： ： x o v ) + 1 ( 3 7 ) 这一行列式中的元素是举纯形的顶点坐标。下标表示顶点编号，而上标 则表示该顶点坐振的器个分璧。在这个定义下，三角彤的度量是它的萄积， 四面体的度量廷它的体积。设任意点位置p 位于单纯形s 的内部，刚点p 唯 一的把s 细分为( 1 ) 个子单纯形，每个子单纯形都以点p 作为它静个顶点。 例如一个三角形可以通过任意内点分为三个予三角形，如图( 3 1 1 ) 所示。 ( 3 1 。1 ) 任意内点p 把三角形( 3 1 2 ) 量度从每个顶点到对边 分害l 藏予三角形稳辩距离豹擎绽形黛标 戥然，( n 十1 ) 个子单纯形中的每个都程单纯形s 的内部。s 的度量必 然是予单纯形发量之和： n + i 玎= a ( s d ( 3 。8 ) = l 将s 分割成子单纯形完全决定于p 点的选取，反之，可以认为( n + 1 ) 个子 单纯形的度量确定了p 点在单纯形s 内的位置。这样，可以定义( n + 1 ) 个数 乞= 仃( 瓯) 仃侈)( 3 9 ) 它们唯一得确定了s 内的p 点。这些数通常被称为p 点的单纯形坐标( 或面 积坐撂，或重心坐标 ，如图3 。1 2 。易知： + l 甑= 1( 3 1 0 ) 女；】 单纯形坐标的优点： 1 。在性质上完全怒蜀部的； 2 对于给定的点，均可以求出同单纯形坐标值，而不管整体嫩标系的任何平 ；呔 ，稔 黢一 湖南大学硕士学位