（基础数学专业论文）带有转移条件的不定sturmliouville算子.pdf

i n d e f i n i t es t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o r w i t h t r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s z h a oh o n g x i a s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rs u nj i o n g s c h 0 0 1o fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ，h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 m a r c h ，2 0 1 1 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究上作及取得的研究 成果除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰弓过的研究成果， 也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：玉主：丞 日 指导教师签名：叠生! ：塑! 金 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使_ 学位论文的规定，即：内蒙古大学有权 将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁 盘，允许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学 位论文为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古人学 作者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师 的同意；若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名：包耻 指导教师签 日 目录 中文摘要i 英文摘要i i 符号说明i v 笛一童引言1弟一早i 苗1 第二章预备知识3 第三章权函数变号的不连续s t u r m - l i o u v i l l e 算子6 3 1 ： 0 时的情形6 3 2 ： 0 时的情形，问题需要在一个不定度规空问中去考虑我们建立 了一个与其相关联的k r e i n 空间和新算子4 ，使得所考虑的边值问题的特征值 与新算子么的特征值相同进一步，构造了一个与k 相关联的h i l b e r t 空间疗和 在其上的自共轭算子s ，利用k r e i n 空间中自共轭算子的谱理论及算子s 的谱 性质，证明了算子a 的特征值都足实的，从而得到所考虑边值问题的特征值都 是实的；对于权函数变号且罢 0 时的研究方法对该边值问 题进行了研究，证明了该边值问题的特征值郁是实的并从该算子本身出发研 究其特征值问题，得到了入足它的特征值的充要条件，进而构造了算子a 的 g r e e n 函数 关键词：s t u r m l i o u v i l l e 算子，转移条件，权函数，含参边界条件，特征 值，g t e e n 函数 i n d e f i n i t es t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o r w i t h t r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s a b s t r a c t t h ep a p e rm a i n l yi n c l u d et w op a r t s w em a i n l yi n v e s t i g a t e s ac l a s so fs t u r m - l i o u 、r i l l ed r o b l e m sw i t ht r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n sa n di n d e f i n i t ew e i g h tf u n c t i o ni n f i r s t p a r t ，i e i n d e f i n i t es t u r m l i o u v i l l ep r o b l e m s w ef i n da l li m p o r t a n tf a c t ：t h es i g no f 一0 w 址c hi st h er a t i oo fd e t e r m i n a n ta b o u tc o e f f i c i e n ti nt r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s ，w i l li n - f l u e n c et h ec h o i c eo fs t u d ym e t h o d so fb o u n d a r y - v a l u e w h e n ：i sp o s i t i v ea n dw e i g h t 缸l c t i o ni si n d e f i n i t e ，ak r e i ns p a c eka n dan e wo p e r a t o ra r e l a t e dt ot h eb o u n d a r y - v a l u ed r o b l e ma r ec o n s t r u c t e dt om a k es u r et h ee i g e n v a l u e so ft h eo p e r a t o r sa a n dt a r e 贼n e a n dah i l b e r ts p a c e 疗r e l a t e dt ok a n ds e l f - a d j o i n to p e r a t o rsi ni ta r ea l s o c o n s t r u c t e d b yu s i n gs p e c t r u mt h e o r yo fs e l f - a d j o i n to p e r a t o ri n k r e i ns p a c ea n dt h e p r o p e r t i e so fo p e r a t o ts ，w ep r o v et h a tt h ee i g e n v a l u e so fa a r er e a l t h u st h ee i g e n - v a j u e so ft h eb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e ma r er e a l w h e n ：i sn e g a t i v ea n dw e i g h tf u n c t i o n i si n d e f i n i t e ，r eu s ec l a s s i c a lm e t h o di ni n n e rp r o d u c tt os t u d yi t w eg e tp r o p e r t i e s o fe i g e n v a l u a so ft h eo p e r a t o r i ns e c o n dp a r tw em a i n l yi n v e s t i g a t et h ed i s c o n t i n u o u s s t u 彻一l i o u v i l l eo p e r a t o rlw i t hb o u n d a r yc o n d i t i o nd e p e n d i n g o ns p e c t r a lp a r a m e t e r a n di n d e f i n i t ew e i g h tf u n c t i o na n di n d e f i n i t el e a d i n gc o e f f i c i e n t ，i e “t h ei n d e f i n i t es - l p r o b l e m ”w i t hi n d e f i n i t ew e i g h tf u n c t i o na n di n d e f i n i t el e a d i n gc o e f f i c i e n t b e c a u s eo ft h e b o u n d a r yc o n d i t i o nd e p e n d so nt h es p e c t r a lp a r a m e t e r 入，s ot h eo p e r a t o r a l s od e p e n d s o nt h es p e c t r a lp a r a m e t e ra w ec o n s t r u c tak r e i ns p a c ea n dan e wo p e r a t o ra t h a t r e l a t e dt ot h eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e ma n dn o td e p e n d e do nt h es p e c t r a lp a r a m e t e r a a n d 、耽s t u d yt h eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mb yt h em e t h o dt h a t h a sb e e nu s e di n ；i s p o s i t i v ei nf i r s tp a r t w ep r o v et h a tt h ee i g e n v a l u e so ft h eb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m a r e r e a l f i n a l l v ，b ym e a u so fs t u d y i n gt h eo p e r a t o rli t s e l lw eo b t a i nt h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r 入i si t se i g e n v a l u e ，a n dg i v ec o n s t r u c tt h eg r e e n sf u n c t i o n o ft h e n e wo p e r a t o ra k e y w o r d s ：s t u r m - l i o u v i l l eo p e r a t o r ；t r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s ；w e i g h t e d f u n c t i o n ：e i g e n p a r a m e t e r - d e p e n d e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n ；e i g e n v a l u e ；g r e e n s f u n c t i o n n l 垒呈! ! 曼垒竺! 一一 r c n d e tk d ( a ) a ( a ) 唧( a ) h 0 c a g ( n ，b ) 符号说明 实数域， 复数域 自然数域 矩阵k 的行列式 算子t 的定义域 算予t 的谱集 算子t 的点谱集 空间日与c 的直和 在( n ，6 ) 内所有紧予区间上绝对连续的函数的全体 内蒙古大学硕士学位论文 第一章引言 微分算子是线性算予中最基本也是应用最广泛的。类无界线性算予，是2 0 世纪迅 速发展起来的新兴交叉学科领域，它以量了物理为应用背景，用泛函分析，算子代数，半 群理论等手段研究，解决微分方程的基本问题它为微分方程众多问题提供了统。的理 论框架和解决模式其中自共轭的微分算子，由于其很好的性质，在理论和应用上都更为 研究者所关注对自共轭微分算子的研究，最早可追溯到经典的s t u r m - l i o u v i l l e ( s - l ) 问 题，即j 下则的二阶微分算子的谱问题在十九世纪三十年代，c s t u r m 和j l i o u v i l l e 对 f o u r i e r 方法( 分离变量法) 进行了一般性的讨论，所得到的结果( s l 问题) 后来成为了解 决大类数理方程定解问题的理论基础 s t u r m - l i o u v i l l e 问题，特别是正则的孓l 问题的研究无论是在理论上还是方法上均 已十分完备，但是经典的s l 算了最大算了域要求至少矿是绝对连续的，也就是可应当 是连续的但是这样的条件在一。些实际问题中并不能被满足故近年来，内部具有不连续 性的微分算子由于有着广泛的应用背景( f 1 4 】，【1 7 ， 1 l 】， 1 2 】) ，受到越来越多的数学工作者 关注本文研究了一类不连续的不定s t u r m - l i o u v i l l e 问题首先我们考虑了带有转移条 件且权函数变号的s t u r m - l i o u v i l l e 问题，其中转移条件是用来处理微分算了内部的不连 续性经典的s t u r m l i o u v i l l e 问题，其权函数都是非负的，这样可以构造一个带有权函 数的l 2 空间：l 2 ( ，w ) ，使边值问题成为内积空间中的线性微分算了但是对于权函数变 号的“不定问题”，一般要在不定度规空间中去考虑，研究工作变得相当复杂因此，权 函数的变号与不变号会对边值问题的研究方法产生很大影响我们在对带有转移条件且 权函数变号的s t u r m l i o u v i l l e 问题的研究中，发现一个重要的事实：转移条件中系数行 列式的比值! 的正负也会对边值问题的研究方法产生影响对于权函数变号且； 0 时的 y， 情形，我们需要在一个不定度规空间中去考虑，问题转化为考虑在个不定度规空间中 对称算子如何自共轭扩张的问题；而对于权函数变号且! 0 的情况，我们建立了个与其相关联的k r e i n 空问 和新算子a ，使得所考虑的边值问题的特征值与新算子a 的特征值相同，进一。步，构造了 一个与k 相关联的h i l b e r t 空间h 和在其上的自共轭算了s ，利用k r e i n 空间中自共轭算 l 引言 子的谱理论及算子s 的谱性质，证明了算了a 的特征值都是实的，从而得到所考虑边值 问题的特征值都是实的在第二节，对于： 0 ( 或 【z ，z 】 0 ， 0 时的情形 p = p 0 ， 6 l6 2 6 36 4 = 0 0 一确立与问题相关的新空间与新算子 ， 为了研究问题( 3 1 ) 一( 3 5 ) ，我们在区间，上平方可积的复值可测函数全体组成的空 6 z z ， 1 2 叫 ，li，lii【 问x = l 2 ( ，) 中定义如下内积： 其中 f ， m ) ： f l ( x ) ， 【五( z ) ， 内蒙古大学硕士学位论文 = 寺，s l # 叫t 一南詹，2 彘叫z ， v f ，g x ， x f - - 1 ，0 ) x ( 0 ，1 】 、f 州破 g ( z ) 2 i 夕2 ( z ) ， 显然，h = ( l 2 ( ，) ， ) 是一个h i l b e r t 空间 其次，在空间x = l 2 ( j ) 中定义如下： f , c l = 壶。1 # 彬+ 南 则【，】是x 内的不定度规事实上： 1 ) 对v eg x ，有限g 】= 【g ，f 】； 止彘娩， x 【- - 1 ，0 ) x ( 0 ，1 】 v f = 厂( z ) ，g = g ( x ) x 2 ) 痊t v e ，p c ，及r ，岛，f 3 x ，有【o zr + p 如，f 3 】= q 【r ，f 3 】+ p 【恳，b 】； 3 ) 若存在f x ，使得对v g x ，有限g 】= 0 ，取9 l = ，厂2 = 0 ，则可得 f f ，g 】= 去。l 1 2 w 1 = 0 ， 由于w l ( z ) 0 ，z 【一1 ，0 ) ，故 = 0 ；取9 l = 0 ，9 2 = 1 2 ，则可得 【f g 】=南詹i 厶1 2 w 2 = 0 ， 由于w 2x ) 0 由j f l 的任意性，有巩是k 的正了空间 对任意的非零函数f = l ( x ) n ，则厶( z ) 0 ， 缸) = 0 ， i f , f = 阜a 2 p 露if 21 2 w 2 0 ，由曙【一1 ，o ) 在l 2 卜1 ，o ) 中的稠密性知，存在夕l ( z ) 曙【_ 1 ，o ) ，使得 壶。i 一g 1 2 w 0 ，由昭( o ，1 】在l 2 ( o ，1 】中的稠密性知，存在仍( z ) 曙( o ，1 】，使得 令 一南詹i 厶一9 21 2 w 。 0 ，有 l l ，一夕1 1 2 = 者li 一9 - 1 2 叫一币0 j 。1l 如一9 21 2 耽 ；+ ；= 5 故由，的任意性，则静在日中稠密，从而d ( a ) 在h i l b e r t 空间( x ，( ，) ) 中是稠密 定理3 1 2 线性算子a 是定义在k 上的自共轭算子 证明1 ) 首先证明aca + ，即a 是对称算子 v f , g d ( a ) ，由分部积分可得， 陋f g 】= 壶。等雪叫，+ 阜a 2 p 詹等雪2 9 、l，、l， z z ，l， 止 ，jlil_， = 毒。岳雪叫+ 粤a 2 p 詹蓑雪毗 = 舞。( f 伪+ 币0 j 。1 ( 2 伪 ：【f ，a g 】+ 叫( ，雪；o 一) 一w ( f ，雪；一1 ) + ；叫( 厂，雪；1 ) 一；叫( 厂，雪；o + ) ， 其中叫( ，雪；z ) = ，( z ) 雪7 ( z ) 一，7 扛) 雪( z ) ，f = ，( z ) ，g5 夕( z ) 经计算得，w ( f ，雪；o + ) = - g w ( f ，雪；0 一) i 故w ( f ，雪；o 一) 一：w ( f ，雪；o + ) = o 由1 1 ，= l ：g = 02 受a 2 0 ，得，7 ( 一1 ) 5一慧，( 一1 ) ，雪( 一1 ) = 一嚣雪( 一1 ) ，代入计算 有， w ( f ，雪；一1 ) = 0 同理，由2 2 ，：1 2 夕：o 及侥0 ，可得叫( ，耍；1 ) = 0 于是我们有： m f ，g 1 = i f , a g ，v f , g d ( a ) 由f , g 的任意性，a 是对称算子 2 1 其次证明：a + ca 要证a + ca ，只需证对v f ：， ) d ( a ) 及y = u ( z ) 和u = u ( z ) ，若【a e = 【f ，则必有y d ( a ) j l a v = u 即要满足以下三条： ( 1 ) u 1 ，吐a g ( ( 一1 ，o ) ) ，忱，u ：a g o c ( ( o ，1 ) ) ，鲁l 2 ( 耽 ( 2 ) u ( x ) = 等； ( 3 ) l l v = 1 2 v = l a y = 1 4 v = 0 对v f 话cd ( a ) ，且如( z ) = 0 ， 陋f 明= 焘，等雷叫= i f , i 2 去，面伽t 即击1 0 。2 ，- 面t = 去。1 五1 w l - 1 据蠢典的s t u r i n - l i 。u v i l l e 理论，有 1 ，u i a g d c ( ( 一1 ，o ) ) ，l 叫v a 。k l 2 【- 1 ，o ) 且u 1 叫1 5 i v l u l = 鲁 对v f 话cd ( a ) ，上tk ( x ) = 0 ， 【a f , v 】-f om 矛w 2 = 【f 明= 善a 2 p 詹，面岈 综合以上，故( 1 ) ，( 2 ) 成立以下我们证明( 3 ) 式成立 由于【a f ，吲：去。，鲁伽t + 阜a 2 p 片，鲁叫z + 叫( ，面；o 一) 一 ( ，面；一1 ) + ；叫( ，哥；1 ) 一 ：w ( f ，雷；o + ) - 1 0 净 纽眈 g 沈有晚论拗咖 一p oo 巧u = 阶 砚 m向吼 扣的2。，j乓匕毗卸灿絮 。巧经 = 即据 地 内蒙古大学硕士学位论文 由【a f ，吲= 【f ，明及( 2 ) ，有陋f ，卅= 者，鲁叫+ 万0j 。1 ，鲁z 故 加( ，雷；。一) 一叫( ，哥；一1 ) + 吕叫( ，百；1 ) 一号叫( 厂，面；。+ ) = 。 ( 3 6 ) 1 11 1 1 2 = 0 根据纳依玛克补缀引理，存在函数f = f ( x ) d ( a ) ，使得 ，( 一1 ) 0 ，( o + ) = ，7 ( o + ) = f ( 1 ) = t 厂7 ( 1 ) = 0 则由( 3 6 ) 式，有，( 一1 ) 移7 ( 一1 ) ，7 ( 一1 ) 移( 一1 ) = 0 ，综合，7 ( 一1 ) = 一嚣，( 一1 ) ，得到 a l v ( 一1 ) + c j r 2 7 j 7 ( - 1 ) = 0 即f 1 秒= 0 2 ) 1 2 v = 0 根据纳依玛克补缀引理，存在函数f = f ( x ) d ( a ) ，使得 f ( 1 ) 0 ，f ( 0 - ) = ，( 0 - ) = f ( - 1 ) = ，( - 1 ) = 0 贝, ll h ( 3 6 ) 式，有，( 1 ) 移7 ( 1 ) 一，7 ( 1 ) 面( 1 ) = 0 ，n # f ( 1 ) = 一爱，( 1 ) ，得到 f h v ( 1 ) + 侥u 7 ( 1 ) = 0 即1 2 v = 0 3 1l a y = 1 4 v = 0 根据纳依玛克补缀引理，存在函数f = f i x ) d ( a ) ，使得 f ( o - ) 0 ，f ( - 1 ) = ，( - 1 ) = f ( 1 ) = ，”) = ，7 ( o - ) = 0 则由( 3 6 ) 式，有 f ( o - ) 面7 ( o 一) 一兰( ，( 。+ ) 司7 ( 。+ ) 一，7 ( 。+ ) 移( 。+ ) ) = 。 ( 3 7 ) 将 们+ ) 2 砉f ( 似6 2 7 1 6 4 ) 邶一) + ( 1 4 如一7 2 6 4 ) f ，( 0 一) 】 ( 3 8 ) ，( o + ) 2 孝【( ，y 1 如一佻j 1 ) ，( o 一) + ( 能如一讯巩) ，7 ( o 一) 】 ( 3 - 9 ) 代入( 3 7 ) 式，及结合，的选法，整理得 口( 。一) = 丢 ( 万t 一，y 如) z ，( 。+ ) + ( 怕如一7 以) 7 ( 。+ ) 】 ( 3 1 。) 根据纳依玛克补缀t i n ，存在函数f = ，( z ) d ( a ) ，使得 ，7 ( o 一) 0 ，f ( - 1 ) = i ( - 1 ) = f ( 1 ) = ，7 ( 1 ) = f ( o - ) = 0 1 1 权函数变号的不连续s t u r m - l i o u v i l l e 算了 则由( 3 6 ) 式，有 一厂7 ( 。一) 面7 ( 0 一) 一吕( ，( 。+ ) 雷7 ( 。+ ) 一，7 ( 。+ ) 百( 。+ ) ) = 。 ( 3 1 1 ) 将( 3 8 ) ，( 3 9 ) 式代入( 3 1 1 ) 式，再结合f 的选法，有 削( 。一) = 争( 7 2 如一7 4 6 t ) 秽( 。+ ) + ( 6 t 2 6 4 一心6 z ) ”( 。+ ) 】 ( 3 1 2 ) 联立( 3 1 0 ) ，( 3 1 2 ) 式，有 即 = 一寺匕刁， y l h 1 + = o - 故1 3 v = 1 4 v = 0 综合以上，( 3 ) 式成立从而a + ca 综合以上，a + = a 即算子a 是完备不定度规空间k 上的自共轭算子 三边值问题( 3 1 ) ：( 3 5 ) 的特征值问题 我们构造了一个与k r e i n 空间k 相关联的h i l b e r t 空间直和在其上的自共轭算子s ， 利用k r e i n 空间中的自共轭算予的谱理论和算了s 的谱性质，研究了算了a 的谱分布，进 而讨论了边值问题( 3 1 ) 一( 3 5 ) 的特征值问题 在h i l b e r t 空间疗= ( x ，( ，) ) 中定义算了s 如下： l 叩) ：垮 if l f = 0 疗： ，爿a g ( ( 一1 ，o ) ) ，f 2 ，矗a g ( ( o ，1 ) ) ，盟1 w l l 2 ( ，) ， ，2 2 ，= 0 ，z 3 ，= 0 ，l , f = 0 s f = 篙， v f = ， ) d ( s ) ， 其中( ，) 是由不定度规【】诱导的内积 1 2 内蒙古大学硕士学位 八文 定义3 1 算子，定义为? j f = ( s g n w ( x ) ) f ( x ) ，v f = f ( z ) k 称j 为线性算予a 的度规算子 引理3 1 5 【18 】算子s 是d ( s ) 上的自共轭算子，它的谱是实的，对v f d ( s ) ，( s f , f ) 是实的 引理3 1 6 【6 】k 是一个舭流空间，a 是k 内的一个自共轭算子，j 是内如上 定义的度规算子，则s = j a 定理3 1 3 算子a ，s 的定义如上，则a 的点谱是实的 证明假设存在入= q + i b 唧( a ) ，其中a ，b 均为实数，且b 0 ，则一。定存在一个非 零向量f d ( a ) ，使得a f = ( a + i b ) f 从而有 ( s f ，f ) = 【j s f , 用= ( a e 卅= ( a + 硒) 限f 】 由引理3 1 5 ，知( s f ，f ) 是实数，又【只f 】是实数，且b 0 ，故上式的左右两边不可能相 等，产生矛盾，从而a 的点谱是实的 推论3 1 1 由边值问题( 3 1 ) 一( 3 5 ) 产生的二阶微分算子的所有特征值都是实的 3 2 吕 o 时的情形 我们在区间j 上平方可积的复值可测函数全体组成的空间又= l 2 ( i ) 中定义如下内 积： = 砰1j 一0 l 雪1 叫1 + 皂a 2 p 片f 2 雪2 w 2 ， v f ，g 又， 其中 r m ) ： 州破 l 止( z ) ， 三主：-，011】0，夕cz，=二：三；： ， j 、w ，一、 z ( ，】 i 夕2 ( z ) ， z 【- - 1 ，0 ) z ( 0 ，1 】 显然，厅= ( l 2 ( ，) ， ) 是一个h i l b e r t i s j d ( 彳) ： 八动豆： ，爿a a d c ( ( 一l ，0 ) ) ，厶，尼a a o c ( ( 0 ，1 ) ) ，等l 2 u ) ， if l ，= 0 ，f 2 ，= 0 ，f 3 ，= 0 ，z 4 ，= 0 权鱼墼壅量塑至垄鐾! ! 竺竺：生! 竺兰! ! ! 兰簦! ： 一 打= 等， v f = ，( z ) d ( a ) 于是我们把边值问题( 3 1 ) 一( 3 5 ) 的特征值问题转化为研究定义在h i l b e r t 空间h 中算 子互的特征值问题显然，我们有： 引理3 2 1 边值问题( 3 1 ) 一( 3 5 ) 的特征值与五的特征值相同，特征函数是算子a 的 相应的特征函数 引理3 2 2 算子彳的定义域d ( 彳) 在胁f 6 e 死空间百中是稠密的 证明证明类似于引理3 1 4 定理3 2 1 线性算子彳是定义在豆上的自共轭算子 证明证明类似于定理3 1 2 推论3 2 1 由边值问题( 3 1 ) 一( 3 5 ) 产生的二阶微分算子的所有特征值都是实的，并 且对应于不同特征值的特征函数互相正交 证明由定理3 2 1 ，彳是定义在膏上的自共轭算子据内积空间中自共轭算了的性 质，互的所有特征值都是实的，并且对应于不同特征值的特征函数相互正交由引理3 2 1 ， 边值问题( 3 1 ) 一( 3 5 ) 产生的二阶微分算了的所有特征值都是实的，并且对应于不同特 征值的特征函数互相正交 1 4 口 内蒙古大学硕士学位论文 一二一 第四章权函数首项系数均变号的不连续s t u r m l i o u v i l l e 算子 本章考虑下述边界条件依赖于谱参数且权函数和首项系数均变号的不连续s t u r m - l i o u v i l l e 算子l 设 l y ：= 一a ( x ) u x ) - 4 - q ( x ) u ( x ) = 入叫u ( z ) x j ， ( 4 1 ) 其中j = 【一1 ，0 ) u ( 0 ，1 】和边界条件 以及转移条件 l l u ：= q 1 u ( 一1 ) + o l 2 t t 7 ( - 1 ) = 0 1 2 u ：= 一a 历“( 1 ) + ( f l l u ( 1 ) 一z 2 u 7 ( 1 ) ) = 0 1 3 u ：= 7 l u ( o 一) - 4 - 7 2 u 7 ( o 一) + 6 1 u ( 0 + ) + 9 2 u 7 ( o + ) = 0 1 4 u ：= 7 3 u ( 0 一) - 4 - ) 4 u 7 ( o 一) - 4 - 6 3 u ( 0 + ) - 4 - 以u 7 ( o + ) = 0 所确定的微分算子，其中 i1 ， n ( z ) = i 一1 ， 三三：-，011】0，叫cz，=硼w21(zx；三。0： ，叫【z j2 气 z ( ，】 1 ) ， z 【- 1 ，0 ) z ( 0 ，1 】 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) q 扛) ，叫( z ) 是在 一1 ，0 】和( o ，l 】上连续的实值函数，z l 。i m 。+ q ( z ) 2q ( 0 ) z l 。i m 。叫( z ) = 叫( o ) 有有限的极限，o i ，屈，竹，岛( i = 1 ，2 ，j = 1 ，2 ，3 ，4 ) 都是实数，且n + q ；o ，所+ 腭0 ， 且： o ，7 = 一3 1 3 2 0 i 他l ：p o ， 似l 4 1 确立与问题相关的新空间与新算子 南i i = 0 0 ， 以i 为了研究问题( 4 1 ) 一( 4 5 ) ，我们在区间上平方可积的复值可测函数全体组成的空 问l 2 ( ) 中定义如下内积： - - - - 肺t 十旦pz 1 先撕 v f , g l 2 ， 1 5 l 3 7 7 吐ll *仍 0 *2 q 定眼妨不 权函数首项系数均变号的不连续s t u r m - l i o u v i l l e 算了 其中 l m ) ：l i 止( z ) ， 二三：-，1，。)，夕cz、0 1 = ： 三；i ，j 、 z ( ，】 i 9 2 ( z ) ， z 【- 1 ，0 ) z ( 0 ，1 】 由于! 0 ，w 2 0 则得 = 0 再取g x = o ，9 2 = 如，k = 0 于是得【f ，g 】= 一：片l 丘( z ) 1 2 她= 0 由于叫2 o p 、 因此h + 是h 的正了空间对任何f = ( f ，h ) h 一，则f = ( 如，九) ，厶0 ，有 i f , f = 一万0z 1 l ，2 1 2 训。 。 故n 是h 的负了空间 引理4 1 2 玑和n 按度规f ，】互相正交 1 6 凼蓥直丕堂堡圭堂篁垒銮 证明对任何f ：( ，危) h + ，g = ( 9 ，庇) n ，则f = ( f l ， ) ，g = ( 9 2 ，o ) ， 【f ，g 】：o wl-旦pflylj of 2 y 2 w 2 + 杀厩_ o 【f g 】= 一 + 丽危七2 o 由f g 的任意性，h + 和h 一按度规【) 】互相正交 由上述分析得出下面的结论： 定理4 1 1h 是一个具有正则分解风0 日一的完备的不定度规空间即h 是一 个k r e i n 空间 下面记( h ，【j 】) 为k 在完备的不定度规空间k 中定义算子a 如下： 。c a ，： ；0 2 如h ，) e ：k 以，：f l 。, f ， i ：a c 胁t o ，r ( 。( ，- ，1 ，。”，2 ，最a a o c “0 ，。l 等l 气，l a f ：( 笪，一( p 1 ，( 1 ) 一肫，( 1 ) ) ) ， f = ( ，一p ，( 1 ) ) d ( a ) 为书写方便，对( f ，h ) d ( a ) ，令 n ( f ) = 卢l f ( 1 ) 一仍，7 ( 1 ) ，n 7 ( ，) = 一3 1 f ( 1 ) 于是，我们把边值问题( 4 1 ) 一( 4 5 ) 转化为研究定义在k 中的算子a 的特征值问题显 然，我们有： 引理4 1 3 边值问题( 4 1 ) 一( 4 5 ) 的特征值与a 的特征值相同，特征函数是算子a 的相应特征函数的第一个分量 4 2 自共轭性的证明 引理4 2 1 算子a 的定义域d ( a ) 在h i l b e r t 空间( 日，( ，) ) 中是稠密的其中 ( ，) 是由不定度规【，】诱导的内积 证明设f ：( 厂0 ) ， ) k 且f 上d ( a ) 并令沿表示如下函数的集合： 圣c z ，= 三： 三；：x ze 。- 。，1 。, ，0 ) ， 权函数首项系数均变弓的不连续s t u r m l i o u v i l l e 算子 其中妒1x ) 曙 一1 ，o ) ，1 0 2 ( x ) ( o ，1 】于是，曙o0cd ( a )( 0 c ) ；设 u = ( 钆( z ) ，0 ) e 伊o0 贝uf 上u 由 ( 删= 舯腓+ 吕z 1 脚酬一 = 。 知，( z ) 在l 2 ( ，) 中正交于c 扩，从而有f ( x ) = 0 设g = ( 9 ( z ) ，k ) d ( a ) ，则 ( eg ) = 南允石= 0 由于k = 7 ( 9 ) 是任意选取的，故h = 0 因此f = ( o ，o ) 从而证得 d ( a ) 在( h ，( ，) ) 中是稠密的 定理4 2 1 线性算子a 是z _ g g lk 上的自共轭算子 证明1 ) 首先证明aca + ，即a 是对称算子 对v f = ( ，( z ) ，n ( ，) ) ，g = ( 夕( z ) ，n 7 ( 夕) ) d ( a ) ，由分部积分得： g 】= w 1 - - - o 0 1w 2 + 杀( - ( ，) 砑 = 懒一吕z 1 惭+ 丽0 ( _ ( ，) 而 = 【e 4 g 】+ ( ，雪；o 一) 一w ( ，雪；一1 ) + 罢w ( ，雪；1 ) 一吕附意。小与( w ) 两一，( ，) 硒) ， 其中w ( f ，g ；z ) = f ( x ) 9 7 ( z ) - g ( x ) f 7 ( z ) 由( 4 2 ) 式可得，f ( - 1 ) 9 7 ( 一1 ) 一g ( - 1 ) f 7 ( 一1 ) = 0 即( ，- g ；一1 ) = 0 直接计算可得， 罢w ( f 删= 刍( w ) 而一，( ，) 硒) ，w ( f 廊。扣号附，即) 因此， f a f , q = 限a c ，v f , g d ( 4 ) 故a 是对称的 2 ) 其次证明a + ca 要证a 十ca ，只需证对任何f = ( ，( z ) ，n ( ，) ) d ( a ) 以及v = ( 秽( z ) ，h ) 和u = ( u p ) ，k ) ，如果【a 只v 】= 【只u 】，那么v d ( a ) ，且a v = u 即满足以下五条： ( i ) v l ，讲a g ( ( 一1 ，o ) ) ，v 2 ，吐a g ( ( o ，1 ) ) ，鲁l 2 ( ) ； ( i i ) h = 7v ) = - 3 , v ( 1 ) ； ( 饿) l l v = 1 3 v = 1 4 v = 0 ； ( 砌) “( z ) = 鲁； ( 口) k = 一n ( v ) = 尾u 7 ( 1 ) 一p 1 口( 1 ) 即 对任意的f 话o0cd ( a ) ，且尼( z ) = 0 ， 陋f = 篆确 【只u 】 ，0 = i i 丽l w l j 1 厶百= 矾 由经典的s t u r m - l i o u v i l l e 理论，口l ，u ：a c t ( ( 一1 ，o ) ) ，虹w l l 2 一1 ，0 1 且u l ( x ) w l2 l v l 故u l ( x ) = 鲁 对任意的f 静o0cd ( a ) ，且f l ( x ) = 0 ， 即 仆一暑厂1 堡w 2 j 0 酗z娟卟一昙z 1 如锄 一如瓦= 一吕z 1 止现 由经典的s t u r m - l i o u v i l l e 理论，忱，吗a c t o c ( ( o ，1 ) ) ，匕w 2 l 2 【o ，1 】且u 2 ( z ) 叫22 f 忱 故u 2 ( z ) = 垃w 2 故( i ) 和( i 口) 成立 以下证明( t i ) 式和( ) 式成立由方程陋只吲= 限明及( 锄) ，有 即 ，o 口f 明= j 1 f 厂 二面训1 w l ，f w ，一1 w l - - 2 ，u w 2 + 旦( 一( 硝h ) 。一 + 一( 一v 【，) j w 2一y p ，芝蚶杀( ，( 舾) 们一吕小面一枷硝， = 肛暑z 1 肌n 1 9 l 1 z z口一p口一p 一 一 权函数首项系数均变号的不连续s t u r m l i o u v i l l e 算予 向 j i 1 t 西一l lt ，西= t 一o - o i ，而 + w ( f ，则一) 一w ( f ，盱1 ) + j p o - - w ( f ，引) 一暑w ( 加；0 + ) 故有 杀( ，( ，) _ ) + 杀( ( ，) - ) = w ( y 忍。一) 一w ( y 忍一1 ) + 吕( 厂忍1 ) 一昙彤( 工虿；。“( 4 6 ) 根据纳依玛克补缀( p a t c h i n g ) 引理，存在函数f d ( a ) ，使得 ，( 一1 ) = 厂7 ( 一1 ) = f ( 0 一) = 厂( o 一) = ，( o + ) = 厂( o + ) = ，( 1 ) = 0 ，7 ( 1 ) = 一1 此时，n 7 ( ，) = 0 于是，由( 4 6 ) 式可知， h = n 7 ( u ) = - z , v ( 1 ) 故( i i ) 成立 根据纳依玛克补缀( p a t c h i n g ) 引理，存在函数f d ( a ) ，使得 ，( 一1 ) = ，7 ( 一1 ) = ，( o 一) = ，7 ( o 一) = f ( o + ) = ，7 ( o + ) = 0 ，( 1 ) = 一屈，7 ( 1 ) = 一胁 此时，n ( f ) = 0 于是，由( 4 6 ) 式可得， 五= 屈丽一p ，丽 即 k = z ：v ，(