十校2015届高三上学期第一次联考数学理试题（理数）

“十 校” 2015 届 高 三第一次 联考 理科数学 本试卷共 6 页， 21 小题， 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上 2选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案 ；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效 4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效 5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 第卷 （选择题 共 4 0 分） 一 选择题（本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设集合 23, logPa， ,Q a b ，若 0PQ ，则 PQ （ ） A 3,0 B 3,0,2 C 3,0,1 D 3,0,1,2 2 如图，在复平面内，复数1z，2z对应的向量分别 是 OA ， OB ，则复数 12zz 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 已知等差数列 na中，2 5a ，4 11a ，则前 10 项和 10S（ ） A 55 B 155 C 350 D 400 4学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了 n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在 10,50) （单 位：元），其中支出在 30,50 （单位：元）的同学 有 67 人，其频率分布直方图如右图所示，则 n 的值为（ ） A 100 B 120 C 130 D 390 5 平面四边形 ABCD 中 0AB CD， ( ) 0A B A D A C ，则四边形 ABCD 是 （ ） A 矩形 B 梯形 C 正方形 D 菱形 6 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为 1 的等腰 直角三角形，则这个几何体的体积是 A21 B 1 C23 D 2 7 下列命题：函数 22( ) s i n c o sf x x x的最小正周期是 ； 函数 1( ) (1 )1xf x xx是偶函数； 若11 1 ( 1 )a d x ax ，则 ae ； 椭圆)0(32 22 mmyx的离心率不确定。 其中所有的真命题是（ ） A. B. C. D. 8 设三位数 abcn ，若以 cba , 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数 n 有 ( ) A 45 个 B 81 个 C 165 个 D 216 个 第卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题： 本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（ 9 13 题） (一 )必做题 (9 13 题 ) 9 已 知 0,23)2s in (，则 tan =_ 10若 5 2 3 4 50 1 2 3 4 5( 1 2 ) ,x a a x a x a x a x a x 则 a3= 。 11. 右图是一个算法的程序框图，最后输出的 W _. 12 在区间 5,5 内随机地取出一个数 a ， 使得 221 | 2 0 x x a x a 的 概率 为 13 两千多年前， 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数 ，按照点或小石子 能排列的形状对数进行分类，如图 4中的实心点个数 1， 5， 12， 22， 被称为五角形数，其中第 1个五角形数记作1 1a，第 2个五角形数记作2 5a ，第 3个五角形数记作3 12a ，第 4个五角形数记作4 22a ， 若按此规律继续下去，若 145na ，则 n （二）选做题：第 14、 1 5 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分 14.(坐标系与参数方程选讲 选做题 )已知在平面直角坐标系 xoy 中圆 C 的参数方程为 ： 3 3 c o s1 3 s i nxy ，（ 为参数），以 OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为 ： 5 12 1 22 图 4 ,0)6c o s ( 则圆 C 截直线所得弦长为 . 15.(几何证明选讲 选做题 )如图， ABC 是 的内接三角形， PA 是 的切线， PB 交 AC 于点 E,交 于点 D， PA=PE, 60 ABC ， PD=1， PB=9，则 EC= 三、解答 题 （ 本大 题 共 6 小 题 ，满分 75 分 ， 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 ） 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 31( ) s i n c o s 22f x x x, xR （ 1）求函数 ()fx的最大值和最小值； （ 2）设函数 ()fx在 1,1 上的图象与 x 轴的交点从左到右分别为 M、 N，图象的最高点为P , 求 PM 与 PN 的夹角的余弦 17 （本小题满分 12 分） PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可 入肺颗粒物。我国 PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5日均值在 35微克 /立方米以下空气质量 为一级；在 35 微克 /立方米 75 微克 /立方米之间空气质量为二级；在 75 微克 /立方米以上空气质量为超标 某试点城市环保局从该市市区 2011年全年每天的 PM2.5监测数据中随机的抽取 15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） （ I）从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中，随机抽出三天，求 恰有一天空气质量达到一级的概率 ； （ II）从这 15 天的数据中任取三天数据，记 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数，求 的分布列 ； （ III）以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况， 则一 年（按 360 天计算）中平均有多少天的空气质量达到 一级或二级 T SRNMPyxO 19（本小题满分 14 分） 设nS为数列 na的前 n 项和，对任意的 nN， 都有 ( 1)nnS m m a (m 为 正 常数 ) （ 1）求证：数列 na是 等比数列； （ 2） 数列 nb满足11112 , , ( 2 , )1 nnnbb a b n n Nb ，求数列 nb的通项公式 ； （ 3）在满足（ 2）的条件下，求数列 )1cos(2 1 nb nn 的前 n 项和 nT 20（本大题满分 14 分）如图，已知椭圆 C ： 22 1 ( 0 )xy abab 的离心率为 32，以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T ： 2 2 2( 2 ) ( 0 )x y r r ，设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）求 TM TN 的最小值，并求此时圆 T 的方程； （ 3）设点 P 是 椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点， 且直线 ,MP NP 分别与 x 轴交于点 ,RS， O 为坐标原点， 求证： OR OS 为定值 21（本大题满分 14 分） 已知函数 2 2( ) l n ( 2 1 ) 2 ( ) .3xf x a x x a x a R （ 1）若 x=2 为 ()fx的极值点，求实数 a 的值； （ 2）若 ()y f x 在 3, 上为增函数，求实数 a 的取值范围； （ 3）当 12a时，方程 3(1 )(1 )3 xbfx x 有实根，求实数 b 的最大值。 理科数学 答案 一、选择题 C B B A D A D C 1. 【答案】 C 【解析】由 0PQ ,得2log 0a ， 1a ， 从而 =0b ， 3, 0 ,1PQ ， 2 【答案】 B 【解析】 复数1 2zi ，2zi，1 222 ( 2 ) 12z i i i iz i i ， 3 【答案】 B 【解析】由 21 1 1 0 ( 1 0 1 )1 0 1 2415 2 1 0 1 5 53 1 1 3a a d a S a da a d d 。 4 【答案 】 A 【解析】 支出在 30,50 的同学的频率为 67.010)023.001.0(1 ， 10067.067 n 。 5 【答案】 D 【解析】 0A B C D A B C D D C A B C D 是 平 行 四 行 边 形， ( ) 0A B A D A C D B A C D B A C ， A B C D 平 行 四 行 边 形 是 菱 形。 6 【答案】 A 【解析】 四棱锥 如图， 1 1 2 1( 1 2 ) 23 2 2 2V 7 【答案】 D 【解析】 22 2( ) ( c o s s i n ) c o s 2 , 2f x x x x T 1 0 1 11 x xx , ()fx定义域不关于原点对称， ()fx不是偶函数。 若11 l n l n l n 1 l n 11a ad x x a a a ex ，则 ae ； ,132)0(322222 mymxmmyx3 331,3,2 22222222 eaaacembma b（确定） 8 【答案】 C 【解析】 cba , 要能构成三角形的边长，显然均不为 0。即 9,3,2,1, cba （ 1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为 1n ，由于三位数中三个数码都相同，所以，。 9191 Cn（ 2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为 2n ，由于三位数中只有 2 个不同数码。设为 a、 b， 注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（ a， b）共有 292C组。但当大数为底时，设 ab，必须满足 bab 2 。此时，不能构成三角形的数码是 a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 b 4， 3 2， 1 4， 3 2， 1 3， 2 1 3， 2 1 1， 2 1， 2 1 1 共 20 种情况。 同时，每个数码组（ a， b）中的二个数码填上三个数位，有 23C种情况。 故 1 5 6)202( 29232 CCn， 。 综上， 16521 nnn 。 二 、 填空 题 ： 933； 10 80 ； 11 22 ； 13 10 ； 14 24 ； 15 4 。 9【答案】33 【解析】 0,2 3c o s)2s in (所以 030 ， tan =33 10 【答案】 80 【解析】 333513 80)2( xxCT ， 803 a 11 【答案】 22 【解析】第 1 次运算得： S=1， T=3 ；第 2 次运算得： S=8 ， T= 5 ；第 3次运算得： S=25 8 =1710, 这时 输出的 W 17+5=22 12 【答案】 310 【解析】由 221 | 2 0x x a x a ，得 2 20aa 12a ， 所以所求概率为 310 13 【答案】 10 【解析】由于2 1 3 2 4 34 , 7 , 1 0 ,a a a a a a ， 类比得1 4 3 ( 1 ) 1 3 2nna a n n 所以1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( ) 1 4 7 ( 3 2 )n n na a a a a a a a n 1 3 2 3 122nnnn ，由 31 1452n nan，得 10n 或 293n （舍） 14 【答案】 24 【解析】 圆 C 的参数方程为 3 3 c o s1 3 s i nxy 的 圆心为 )1,3( ,半径为 3, 直线普通方程为 31( c o s c o s s i n s i n ) 06 6 2 2xy ,即 30xy , 圆心 C )1,3( 到直线 30xy 的距离为 2| 3 1 | 131d, 所以 圆 C 截直线所得弦长 2 2 2 2| | 2 2 3 1 4 2A B r d 15 【答案】 4 【解析】 弦切角 060 AB CP AE ，又 PA=PE, 所以 PAE 为等边三角形，由切割线定理有 92 PBPDPA ，所以 AE=EP=PA=3， ED=EP PD=2， EB=PB PE=9 3=6，由相交弦定理有： 12 EDEBEAEC 4312 EC 三、解答题： 16解： （ 1） 31 ( ) s i n c o s s i n ( )2 2 6f x x x x ， 3 分 xR ， 1 s i n ( )16x ， 函数 ()fx的最大值和最小值分别为 1， 1 5 分 （ 2） 解法 1：令 ( ) s i n ( )06f x x 得 ,6x k k Z 6 分 1,1x ， 16x或 56x， 15( , 0 ) , ( , 0 ) .66MN 8 分 由 s in ( )16x ，且 1,1x 得 13x， 1( ,1),3P 9 分 11( , 1 ) , ( , 1 ) ,22P M P N 10 分 c o s ,| | | |P M P NP M P NP M P N35 12 分 解法 2：过点 P 作 PA x 轴于 A ,则 | | 1,PA 6 分 由三角函数的性质知 1| | 12M N T, 2215| | | | 1 ( )22P M P N , 8 分 由余弦定理得 2 2 2| | | | | |c o s ,2 | | | |P M P N M NP M P NP M P N=5 21345 524 12分 解法 3：过点 P 作 PA x 轴于 A ,则 | | 1,PA 6 分 由三角函数的性质知 1| | 12MN T, 2215| | | | 1 ( )22P M P N 8 分 在 RtPAM 中， | | 1 2 5c o s | | 552PAM P APM 10 分 PA 平分 MPN ， 2c o s c o s 2 2 c o s 1M P N M P A M P A 22 5 32 ( ) 155 12 分 17.解： （ ）记 “ 从 15 天的 PM2.5 日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级 ” 为事件 A ， 125 1 031545()91CCPAC. 4 分 （ ）依据条件， 服从超几何分布：其中 1 5 , 5 , 3N M n ， 的可能值为 0,1,2,3 5 分 其分布列为： 35 1 03150 , 1 , 2 , 3kkCCP k kC . 8分 （ ）依题意可知， 一年中每天空气质量达到一级或二级 的概率为 10 215 3P ， 9分 0 1 2 3 P 2491 4591 2091 291 一年中空气质量达到 一级或二级 的天数为 ，则 2(360, )3B 10 分 23 6 0 2 4 03E ， 11 分 一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级 12 分 18.证明：记 PD 中点为 F 。连结 EF 、 FA ，则 AB ,21CD FE ,21CD所以 AB FE1 分 所以 FABE 为平行四边形。 AFBE / 2 分 又 PADAF 面 , PADEF 面 PADBE 面/ 4 分 （ 2 ）连结 BD 在 直 角 梯 形 ABCD 中。 090A D C D A B ，2 2 2( ) 2B C A D D C A B ， 2 2 2 2B D A D A B ，所以 2 2 24B D B C C D ，BDBC 5 分 P C DPDCDPDCDA B C DP C DA B C DP C D面面面面面ABCDPD 面 BCPD ， 6 分 又 BDBC ， DPDBD PDBBC 面 ， 7 分 而 PBCBC 面 面 PBD 面 PBC 8 分 19 （本 小 题满分 14 分 ） （ 1） 证明 ： 当 1n 时，1 1 1( 1 )a S m m a ，解得1 1a 1 分 当 2n 时，11n n n n na S S m a m a 即1(1 ) nnm a m a 2 分 又 m 为常数，且 0m， 1( 2 )1nna m nam 数列 na是首项为 1，公比为1mm的等比数列 3 分 （ 2） 解：1122ba 4 分 111nnnbb b ， 1111nnbb，即111 1 ( 2 )nnnbb 5 分 1nb是首项为 12，公差为 1 的等差数列 6 分 1 1 2 1( 1 ) 122n nnb ，即 2 ()21nb n Nn 7 分 （ 3）解：由（ 2）知 221nb n ，则nnnn nnb 2)12()1()1c o s (2 11 所以 nnn nT 2)12()1(27252321 1432 8 分 当 n 为偶数时， 2)12(27232)32(292521 42153 nnn nnT 令 153 2)32(292521 nnS 则 1753 2)32(2)72(2925214 nn nnS - 得 1153 2)32(242424213 nn nS = 1123 2)32(41)41(2421 nn n =3 2)32(3232613 nn n=3 2)136(261 nn 9 2)136(261 nnS 10分 令 nnS 2)12(2723 42/ 264/ 2)12(2)52(27234 nn nnS - 得 2642/ 2)12(242424233 nn nS = 2124 2)12(41)41(2412 nn n =3 2)12(32643624 nn n=3 2)76(282 nn 9 2)76(282/ nnS 11 分 9 22)16(9 2)76(289 2)136(26121/ nnnnnnnSST 12 分 当 n 为奇数时， n-1 为偶数 , nnnnnn nnnTT 2)12(9 221)1(62)12()1( 11 =9 22)16(9 22)212(9 2)918(22)76(1 nnnn nnnn 为奇数）为偶数）nnnnTnnn(922)16(922)16(11 14 分 法 二 ： nnn nT 2)12()1(27252321 1432 1115432 2)12()1(2)32()1(272523212 nnnnn nnT 9分 - 得： 1115432 2)12()1(22)1(22222222213 nnnnn nT 10 分 = 1113 2)12()1()2(1)2(122 nnn n 12 分 =3 2)12()1(32)1(861121 nnnn n 3 2)1(2)16(3 )1(2)362(21111 nnnn nn 13 分9 22)16()1(11 nnnnT 14 分 20.本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想 解：（ 1）依题意，得 2a ， 32ce a， 1,3 22 cabc ； 故椭圆 C 的方程为 2 2 14x y 3 分 （ 2）方法一：点 M 与点 N 关于 x 轴对称，设 ),( 11 yxM ， ),( 11 yxN ， 不妨设 01 y 由于点 M 在椭圆 C 上，所以412121xy （ *） 4 分 由已知 ( 2,0)T ，则 ),2(11 yxTM ， ),2(11 yxTN ， 21211111 )2(),2(),2( yxyxyxTNTM 3445)41()2( 1212121 xxxx 51)58(45 21 x 6 分 由于 221 x，故当581 x时， TM TN 取得最 小值为 15 由（ *）式，531 y，故 83( , )55M ，又点 M 在圆 T 上，代入圆的方程得到 2 1325r 故圆 T 的方程为： 22 13( 2 )25xy 8 分 方法二：点 M 与点 N 关于 x 轴对称，故设 ( 2 c o s , s i n ) , ( 2 c o s , s i n )MN ， 不妨设 sin 0 ，由已知 ( 2,0)T ，则 )s in,2c os2()s in,2c os2( TNTM 3co s8co s5s i n)2co s2( 222 51)54( c o s5 2 6 分 故当 4cos5 时， TM TN 取得最小值为 15，此时 83( , )55M ， 又点 M 在圆 T 上，代入圆的方程得到 2 1325r 故圆 T 的方程为： 22 13( 2 )25xy 8 分 (3) 方法一：设 ),(00 yxP，则直线 MP 的方程为： )(010 100 xxxxyyyy ， 令 0y ，得101001 yy yxyxx R ， 同理：101001 yy yxyxx S ， 10 分 故212021202021yyyxyxxxSR （ *） 11 分 又点 M 与点 P 在椭圆上，故 )1(4 2020 yx ， )1(4 2121 yx ， 12 分 代入（ *）式，得： 4)(4)1(4)1(421202120212021202021 yyyyyyyyyyxxSR 所以 4SRSR xxxxOSOR为定值 14 分 方法二：设 ( 2 c o s , s i n ) , ( 2 c o s , s i n )MN ，不妨设 sin 0 ， )sin,cos2( P ，其中 sinsin 则直线 MP 的方程为： )c o s2(c o s2c o s2 s ins ins in xy， 令 0y ，得 s ins in )s inc o sc o s( s in2 Rx， 同理： s ins in )s inc o sc o s( s in2 Sx， 12 分 故 4s i ns i n )s i n( s i n4