高数B 1-1函数(最终版)1.ppt

一.集合与区间,二.函数,三.小结作业,第一节函数,第一章函数与极限,1.函数的概念,2.函数的特性,3.反函数,4.复合函数初等函数,一、集合与区间,(1)定义,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,(3)符号,(4)表示,列举法,描述法,(5)常用集合,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,1.集合概念,(2)有限集和无限集,函数,不含任何元素的集合称为空集,规定空集为任何集合的子集.,(6)关系,子集(包含),相等,2.集合的运算,并:,交:,(1)基本运算,B,A,I,B,A,I,AB=x|xA且xB,AB=x|xA或xB,函数,补:,差:,A,B,I,AB=x|xA且xB,AB,I,A,B,函数,(2)运算法则,交换律:,结合律:,分配律:,对偶律:,函数,3.区间和邻域,开区间(a,b):,(1)有限区间,闭区间a,b:,半开区间a,b):,半开区间(a,b:,函数,(2)无限区间,函数,(3)邻域,点a的邻域U(a):,以点a为中心的任何开区间.,点a的邻域U(a,):,U(a,)的实质:,U(a,)=(a,a+).,点a的左邻域:,(a,a).,点a的右邻域:,(a,a+).,问题：如何用邻域表示(1,2)呢？,函数,思考题,函数,二、函数,1.函数的概念,(1)定义,其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，,设x和y是两个变量,D是一个给定的非空数,集,如果按照某个法则f,对于每个数xD,变量y都有,唯一确定的值和它相对应,则称这个法则f为定义在D,上的函数.,值域:全体函数值所组成的集合W=y|y=f(x),xD.,一般记作,函数,注记:,区别符号f与f(x)的不同含义.,掌握函数定义域D的确定原则:,(3)函数定义域D的确定,()对有实际背景的函数，根据问题的实际意义确定;,()对抽象地用算式表达的函数，根据其所允许之取值而定（此为自然定义域）.,(2)要素,定义域D及对应法则f,例1,常数函数y=2,y,x,o,1,y=2,函数,例2,绝对值函数,y,x,o,1,-1,1,y=|x|,函数,例3,符号函数,y,x,o,1,1,函数,例4,取整函数,y,x,o,4,y=x,函数,。,。,。,。,。,。,。,。,3,2,1,-1,-2,-3,-4,1,2,3,4,-4,-3,-2,-1,其中x表示不超过x的最大整数.,解：以C=C(x)表示这个函数由于s0，于是函数的定义域为(0,+)从给出的信息，我们有,函数,例5某市出租车按如下规定收费:当行驶里程不超过3km时,一律收起步费10元;当行驶里程超过3km时,除起步费外,对超过3km且不超过10km的部分,按每千米2元计费;对超过10km的部分,按每千米3元计费.试写出车费C与行驶里程s之间的函数关系.,分段函数:在定义域的不同部分,对应法则由不同的算式表达.如绝对值函数、符号函数、取整函数等.,思考题,2.函数的特性,(1)有界性,定义,函数,设函数f(x)的定义域为Df.,说明,有界性是与自变量取值范围有关的相对性概念,命题1,比如，y=1/x在(1,+)有界，在(0,1)内无界(无上界,但有下界).,函数(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.,函数,(2)函数的单调性,定义,单调增加(或单调减少).,注意函数的单调性是一个与自变量取值范围有关的相对性概念,(x1)(x2),函数,设函数f(x)的定义域为D,区间ID,如果,(3)函数的奇偶性,偶函数,定义,则称f(x)为偶函数(或奇函数).,奇函数,f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x),注意:有非奇非偶的函数,函数,例6判别,的奇偶性.,分析,例7试证：两偶函数之和、之积均为偶函数.,分析设(x),g(x)为两偶函数,即(-x)=(x),g(-x)=g(x).记h(x)=(x)+g(x),则h(-x)=(-x)+g(-x)=(x)+g(x)=h(x),故两偶函数之和为偶函数.,函数,(4)函数的周期性,通常说周期函数的周期是指其最小正周期;,设函数f(x)的定义域为D，若存在一个正数l，,定义,恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期,x,y,o,x,f(x),x+l,f(x+l),说明,函数,2019/12/13,24,可编辑,函数,设函数y=f(x)的定义域是数集D,值域是数集W.,3.反函数,定义,的反函数，记作,若对每一个yW,都有唯一的xD适合关系f(x)=y,那么就把此x值作为取定的y值的对应值,从而得到,一个定义在W上的新函数.这个新的函数称为y=f(x),说明,反函数的习惯表示法,若直接函数y=f(x)，xD，,直接函数与反函数的单调性,具有一致性,直接函数与反函数的图形特点,y=x,关于直线y=x对称,函数,反函数存在条件,若函数y=f(x)定义在某个区间I上并,函数,在该区间上单调(增加或减少)，则它必存在反函数.,反三角函数,思考题,3.复合函数,定义,设函数y=f(u)，,函数u=g(x)，,则称函数,和函数y=f(u)复合而成的复合函数其中复合函,说明,(1)不是任意两个函数都可复合成一个复合函数的，即两个函数的复合是有条件的；,(2)函数复合可以推广到多个函数,问题：y=arcsinu和u=2+x2能否复合？,函数,(2)函数复合可以推广到多个函数,为由函数u=g(x),数定义域,u称为中间变量.,例9设,其中a,h,a+h均,.求,例8设f(x)的定义域是(0,1),试求复合函数f(lnx)的定义域.,分析y=(lnx)由y=(u)和u=lnx复合而成,f(u)与,出1xe故f(lnx)的定义域为(1,e),f(x)的定义域一样的,即0u1,所以,0lnx1,解,不为零.,函数,例10求由,复合而成的函数.,4.初等函数,幂函数,(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,函数,指数函数,函数,对数函数,函数,三角函数,正弦函数,函数,余弦函数,函数,正切函数,函数,余切函数,函数,反三角函数,函数,函数,函数,反余切函数,(2)初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.,例11,说明,本课程内所讨论的函数大都是初等函数,函数,判断下列函数是否为初等函数,思考题,三、小结&作业,1.基本概念集合，区间，邻域，函数.,2.函数特性有界性