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_有限元复习资料工程问题的研究对象： 离散体：材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类问题，称为离散系统。离散问题是可解的 连续体：通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件 。通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。有限元方法的两大应用: 科学计算或数值模拟 数字设计或虚拟仿真 (CAD CAM CAE)有限元法的实质： 将复杂的连续体划分为有限个简单的单元体，化无限自由度问题为有限自由度问题。将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。有限元法的基本思路： 将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统有限元分析的基本步骤：1）建立研究对象的近似模型。 2）将研究对象分割成有限数量的单元(结构离散化) 3）用标准方法对每个单元提出一个近似解 （单元分析） （1）选择位移模式 （2）建立单元刚度矩阵 （3）计算等效节点力 4）将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统 （单元集成） 5）用数值方法求解这个近似系统。（选择合适计算方法计算节点位移、应力、应变） 6）计算结果处理与结果验证 （如何显示、分析数据并找到有用的结论）弹性力学的基本假设：（1）连续性（2）均匀性 （3）各向同性 （4）完全弹性 符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。（5）小变形假定 满足以上五个基本假设的弹性力学称为线弹性力学。弹性力学中的基本量：1）外力（ 体力 面力 集中力） 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。三种外力 应力（正应力 剪应力）应力成对出现，坐标面上的应力以正面正向，负面负向为正。六个应力分量剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；（运动）三个位移分量2、给出各微元体的变形（应变）六个应变分量在弹性体内部，三类基本方程：根据微分体上力的平衡条件（法向应力和剪应力即内力与其体力平衡），建立平衡微分方程；根据微分线段上应变位移的几何条件，建立几何方程；根据应力应变间的物理条件，建立物理方程当沿X轴方向的两个对面受有均匀布的正应力时，弹性体在X方向的伸长还伴随有侧收缩，即在y和Z方向的单位缩短。任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关。在弹性体边界上，边界条件两类：根据面力条件，建立应力边界条件；根据约束条件，建立位移边界条件。有限元求解方法：1）位移法2） 应力法什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？平面问题的变量：3个应力分量、3个应变分量、2个位移分量。平面问题几何方程（几何方程对于平面应力和平面应变问题相同）平面问题的物理方程平面应力 平面应变问题弹性矩阵平面问题的平衡方程弹性力学一般原理圣维南原理：对于作用于物体局部边界上的面力用另一 组与之静力等效（主矢和主矩相等）并且作用于同一小块表面上的力系来代替，则在力系作用区域的附近，应力分布将有显著的改变，但在远处所受的影响可不计。 叠加原理：在线弹性(物理线性)和小变形（几何线性）情况下，作用于物体上几组荷载产生的应力和变形的总效应，等于每组荷载单独作用效应的总和。解的唯一性：在满足叠加原理的条件下，弹性力学的解是唯一的。即结果与过程和方法无关。虚功原理：弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)最小势能原理：在满足位移边界条件的所有可能位移中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功原理完全等价弹簧单元刚度方程杆单元的刚度方程弹性体虚位移原理导出单元刚度方程。二维空间中的杆单元总体坐标系中的单元刚度矩阵平面桁架由2根相同的杆组成（E，A，L）。求：1）节点2位移2）每根杆应力离散化的内容包括结构离散、载荷离散。结构离散：建立坐标系，选择单元类型，将连续域划分为有限个单元；形成单元总数、结点总数、单元号、结点号、结点坐标、单元内结点次序（单元结点信息）;在结点上加上正确的位移约束载荷离散：将所有载荷都离散到结点上。（等效节点载荷）节点的自由度：节点所具有的位移分量的数目。一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。单元参数只能通过节点传递到相邻单元。离散化注意：（1）对同一问题，采用不同的单元会达到不同的精度，一般而言，比较复杂的单元精度比较高。 （2）网格划分的单元数越多（单元的尺寸会小），结点数就越多，计算的精度越高，但计算量也越大。 （3）在边界曲折、应力集中处单元的尺寸要小些。而在同一问题中最大与最小单元的尺寸倍数不宜过大。 （4）集中力的作用点以及分布力突变的点最好选为结点。变厚度、物性变化也应在划分单元时区分开来。（5）从单个单元看，单元形状也影响计算精度。什么是位移模式？如何构建，以三角形三节点为例分析其收敛性。常用单元的位移模式构建位移函数中待定常数个数应等于单元节点自由度总数。位移函数的形式一般选为完全多项式，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由度数。什么是单元的完备性准则。什么是单元的位移协调性条件。完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。什么是形函数，形函数的基本性质？常用单元的形函数形函数决定了单元上位移分布的形态。事实上，单元位移模式就是所有形函数的线性组合。一个单元的位移模式决定了该单元描述局部位移场的能力，决定求解的精度、收敛性等，而形函数是最重要的因素。单元刚度方程和单元刚度矩阵的建立是单元分析的核心内容。一般情况下，单元应变矩阵是坐标的函数矩阵，所以单元刚度矩阵的计算需要进行积分运算。单元刚度矩阵通式dd厚度h三角形单元刚度矩阵，是6*6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。形函数和形函数矩阵单元刚度矩阵的特点1） 物理意义2） 对称性3） 奇异性4） 主对角元素恒正三角形单元刚度矩阵元素决定于单元的形状、方位、材料，而与单元所在位置和大小无关。为什么单元载荷需要移置？有限元模型中单元通过节点连接形成离散结构；通过节点传递位移和力；单元和整体结构的特性主要是节点力学量之间的关系。因此边界条件必须对节点给出，所有载荷必须等效作用在节点上，这也是连续模型离散化的要求。载荷移置的原则：虚功等效(静力等效)原单元载荷与等效节点载荷在单元任意虚位移上的虚功相等。集中力体力的移置分布面力的移置在均质、等厚的三角形单元ijm的ij边上作用有沿x方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。整体分析包括以下4个步骤：1）建立整体刚度矩阵，2）根据支承条件修改整体刚度矩阵，3）解方程组，求出结点的位移，4）根据结点位移，求出单元的应变和应力。把结点位移作为基本未知量求解。即采用位移法进行求解。如何得到整体刚度矩阵？基本方法是刚度集成法，即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。刚体集成法即结构中的结点力是相关单元结点力的叠加，整体刚度矩阵的系数是相关单元的单元刚度矩阵系数的集成。总刚矩阵中各个子块是由各个单元刚度矩阵的相应子块叠加而成的。其叠加规律为：设总刚的某子块为 Krs1、当 r=s ，Krs 是主对角线的子块，它们是绕节点r的各个单元刚度矩阵相应对角线子块的叠加，如主对角线上的子块；2、当 rs , 而r、s被一个单元同时拥有（即rs相关，为单元的边），则是拥有该单元边rs的所有单元刚度矩阵的相应子块的叠加3、当 rs ,且r、s不属于同一单元，即r、s互不相关，则Krs 为零子块。根据这些规律，总刚矩阵K的形成可直接利用单刚矩阵的子块叠加即可；刚度集成法的具体方法？具体集成方法是：先对每个单元求出单元刚度矩阵，然后将单元刚度矩阵的阶数扩大至与总刚矩阵的阶数相等，最后，将各个单元的扩大矩阵相加，即可组装成总刚矩阵K。这个过程常称之为“对号入座”，可利用程序自动实现总刚矩阵具有单元刚阵的性质：对称性、奇异性、主对角元素恒正、奇偶行元素之和分别为零、稀疏性、带状性半带宽的一般计算公式是 ：半带宽d = ( 相邻结点码的最大差值+ 1 ) * 2利用总刚矩阵对称性、稀疏性及带状性可有效节省刚度矩阵的存贮容量。半带存贮时，存贮量n*d，存贮量与K中元素总数之比为d/n，d值越小，则存贮量节省。因此，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带宽，从而节省存贮容量。带宽优化问题无约束结构的整体刚阵是奇异的，即整体平衡方程的解不唯一，所以，必须引入几何约束，才能求得唯一解。位移约束常分为：节点固定和给定节点位移两种约束。引入约束的方法常有：1）对角元素置1法2）对角元素乘大数法三角形单元是常应力常应变单元，三节点三角形单元精度低，在单元内不能反映应力应变的变化。矩形单元的位移模式、形函数、收敛性分析。矩形单元，其单元上应力、应变不再是常数，而是一定程度上呈线性变化，即：x方向正应变、正应力随y坐标线性变化；y方向正应变和正应力随x坐标线性变化。因此，在一定条件下，精度会高一阶。采用相同的插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值。这种单元称为等参单元。重点：1）构造任意四边形与母元间的坐标（形状）变换关系2）利用坐标变换关系和母元的计算公式，推导任意四边形的单刚矩阵（主要涉及母元位移函数、应变矩阵、刚度矩阵转换过程中的导数、积分计算）局部坐标系-平面内的正方形单元为基本单元或母单元，整体坐标系x-y平面内的任意四边形单元称为实际单元或子单元。局部坐标系在x-y平面上的任意四边形单元与-平面上的正方形单元之间形成了1-1对应的映射。等参元有限元分析三个基本步骤进行：1） 计算用局部坐标表示的形函数N i 对整体坐标x、y 的偏导数；2） 将整体坐标系中的面积积分转换为在局部坐标系中的面积积分；3） 用数值积分计算出单元刚度矩阵中的元素。步骤1）和2）是等参单元单元分析的关键步骤。1）形函数导数的坐标变换2） dA=|J|dd3) 刚度矩阵的数值积分等参单元刚度矩阵积分式中被积函数很难导出解析表达式，因此等参单元的计算都采用数值积分求积分的近似值，考虑到减少计算点数，多采用高斯数值积分。采用N个积分点的高斯积分，如果被积函数是2N-1阶及以下的多项式，则高斯求积公式给出准确结果。对于平面四节点等参元，刚度矩阵积分通常在,方向各采用2个积分点（22积分）等参变换的条件等参变换要保证母单元与实际单元之间形成1-1对应的映射，数学上的条件是变换的Jacobi行列式大于零。要保证这个条件，单元的几何必须满足一定要求，主要是：单元形状不能过度畸变；通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角大于或等于或接近180度情况。边中节点不能过于偏离中间。四面体单元矩形单元的位移模式、形函数，由于采用线性位移模式，单元上应力、应变是常数，精度低，收敛速度慢，一般的单元网格使结构刚度明显偏大 。要得到一定准确度的结果，需要的单元和节点特别多，效益低。结构分析中应尽量避免使用该单元。什么是空间轴对称问题？工程中有大量的回转体结构，几何形状对称于中心轴。如果回转体所受到的载荷和约束条件也对称于中心轴，则其变形和应力也对称于此轴，这类问题在力学上称为空间轴对称问题。轴对称问题用圆柱坐标系 描述。Z轴为对称轴（回转中心轴），过中心轴的平截面（子午面）为r-z面。所有力学量都与 无关，只是r和z的函数。因此轴对称问题只需在子午面内描述轴对称问题在数学上是二维问题。 空间轴对称问题与平面问题的不同？1） 有限元轴对称问题的离散就是将连续体离散成由有限个圆环组成的离散体,单元与单元间通过环线(称为节线)相连接,作用于单元上的载荷,也作用于节线上。2） 4个应变分量中，面内（子午面） 3个应变分量为常量，环向应变不是常应变， 而是与单元中各点的位置有关。3） 4个应力分量，剪应力为常量，其它3个正应力分量均随位置变化。4） 积分域是单元所代表的物理区域。对于轴对称单元，就是一个完整的环状体。5） 求解过程用形心坐标代替变量 什么是薄板弯曲问题？和平面应力问题的区别是什么？ 作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。 薄板弯曲问题的弯扭组合矩阵表示薄板弯曲曲面在x，y方向的曲率和薄板弯曲曲面在x，y方向的扭率。薄板弯曲问题的内力只有弯矩和扭矩的存在。薄板弯曲问题每个节点有三个自由度，即一个扰度和分别绕x，y轴的转角。挠度是基本变量，矩形薄板单元是非协调元，原因是在公共边上挠度是连续的，而转角是不连续的。根据构件两端的连接形式和载荷作用点不同，导致构件内的受力状态不同，从而将构件分为杆和梁。在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件成为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限元法中将上述两种单元称为杆单元（link）和梁（beam）单元。实际中，由杆件组成的平面和空间结构系统，其上的受力往往是轴力、扭矩、横向力、弯矩联合作用，扭力杆的刚度矩阵简单梁单元：节点i处有2个位移分量：挠度 fi 及转角 。单元刚度矩阵：(不要求记)平面内一般梁单元为拉伸、弯曲组合。节点自由度为3，单元有6个位移分量组合变形下的平面梁单元刚度方程可以由该局部坐标系下的轴向变形刚度方程（相当于一维杆单元）和弯曲变形刚度方程叠加而成。传热学中一般把边界条件分为三类：1）给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件2) 给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类边界条件 3）给定对流换热条件，称为第三类边界条件。稳态热传导问题并不是温度场不随时间的变化，而是指温度分布稳定后的状态