（计算数学专业论文）圆弧样条应用及b样条对偶基构造.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文对样条函数在数控加工中的应用和b 样条对偶基的构造，这两方面分别进行了 算法改进和重新构造。 在实际应用中，本文一方面对已有的圆弧样条光顺方法作了改进，使之更适合实际 情况；另一方面对圆弧计算时产生的不可避免的误差进行了修正。前者主要是对圆弧曲 线拐点的处理，不是使它尽可能的减少，而是先根据实际需要，人工选出应该保留的拐 点。然后在两相邻拐点之间确定曲线的凸凹性，使圆弧段半径在任意相邻拐点之间的方 向一致。后者产生误差的原因是由于在数据计算过程中，只要涉及到圆弧的计算，就会 有误差出现，这样在最后的数控绘图中会使误差累加，当超过一定范围后，就需要对部 分曲线进行修正。本文给出的修正算法在修正曲线的同时，还保持了圆弧段在拼接处的 光滑性，并且算法简单。 在样条函数的理论研究方面，本文提出一种构造b 样条对偶基的新方法。对于一元 n 次等距b 样条，在其局部支集上选取2 n 1 个等距节点作为插值节点，在讨论b 样条 插值函数的系数与被插值函数关系的过程中确定对偶基。这样构造出来的对偶基是b 样 条基函数节点处的值的线性组合，且系数就是对2 n 1 个等距节点做插值时生成的线性 方程组系数矩阵的逆矩阵中某一行的元素。文中还证明了这些元素的对称关系，使对偶 基的形式简化为1 1 个泛函的线性组合。对于一元非均匀b 样条，用类似的方法构造出一 组较为抽象的对偶基；而对于二元b o x 样条则是选定了一个特殊的剖分来说明我们的方 法在多元样条上的推广也是可行的。 关键词：圆弧样条；插值；光顺；拐点；b 样条；局部支集；对偶基；中心对称矩 阵；拟插值 圆弧样条应用及b 样条对偶基构造 t h ea p p l i c a t i o no fa r cs p l i n e sa n dc o n s t r u c t i o no fd u a lf u n c t i o n a l st ob s p l i n e s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，f i r s t ，w ei m p r o v e dt h em e t h o do fi n t e r p o l a t i o na n df a i r i n gb ya r cs p l i n e s t h e nw ec o n s t r u c t e dd u a lf u n c t i o n a l sw i t hl o c a 】s u p p o r t st ob s p l i n e s o no n eh a n d ，w ei m p r o v e dt h em e t h o do ff a i r i n gp l a n a rp o i n t sb ya r cs p l i n e s o u r m e t h o di sn o tt or e d u c e 笛m a n yi n f l e x i o n sa sw ec a n b u tt op r e s e r v et h eo n e sw h i c hw en e e d i no r d e rt om a k ea l lo ft h er a d i if o ra r cs e g m e n t sa r ei nt h es a m ed i r e c t i o n , w ek e e pt h es a m e c o n c a v e - c o n v e xf e a t u r eb e t w e e nt h et w oa d j a c e n ti n f l e x i o i l s o nt h eo t h e rh a n d w em o d i f l e d t h ei n e v i t a b l ee i r o r sw h i c hw e r em a d ei na r c sc o m p u t a t i o n 。o u rm e t h o dn o to n l yk e e p s s m o o t h n e s sa tt h ej o i n tp o i n t s ，b u ta l s ou s e sa ne a s i e ro p e r a t o r 、p r o p o s e dan e wm e t h o dt oc o n s t r u c td u a lf u n c t i o n a l sw i t hl o c a ls u p p o r t st ob s p l i n e s f o rt h ee q u i d i s t a n tu n i v a r i a t eb - s p l i n e so fd e g r e e f i r s t , w ec h o o s e2 n - ib - s p l i n e si nt h e l o c a ls u p p o r t s ，t h e ns e l e c to n ek n o ti ne a c hl o c a ls u p p o r t so rb - s p l i n e s ot h e r ea r et h es a m e n u m b e r so fs p l i n ek n o t s 嬲t h a to fi n t e r p o l a t i o nk n o t s s e c o n d , w ed e d u c e dd u a lf u n c t i o n a l s f r o mb s p l i n ei n t e r p o l a t i o n ，w h i c ha r eal i n e a rc o m b i n a t i o no ff u n c t i o nv a l u e sa tt h es e l e c t e d i n t e r p o l a t i o nk n o t s a n dc o e 伍c i e n t so ft h el i n e a rf u n c t i o n a la r ee l e m e n t so fas p e c i a lm a t r i x w h i c hc a nb ee a s i l yc o m p u t e d w ea l s op r o v et h es y m m e t r yo ft h e s ee l e m e n t sa n dr e d u c et h e d u a lf u n c t i o n a l s f o rt h en o n u n i f o r mu n i v a r i a t eb - s p l i n e s ，w eu s e dt h es a m em e t h o dt o c o n s t r u c td u a lf u n c t i o n a l s b u tf o ru n i m o d u l a rb o x s p l i n e s ，w eo n l yg a v eas i m p l ee x a m p l et o i l l u s t r a t et h ef e a s i b i l i t yo f o u rm e t h o dt om u l t i v a r i a t es p t i n e s k e yw o r d s ：a r cs p l i n e ；i n t e r p o l a t i o n ；f a i r n g ：i n f l e i o n ：b s p l i n e ；l o c a s u p p o r t ；d u a lf u c t i o n a l ；c e n t r o s y m m e t r i cm a t r i c e s ；q u a s i i n t e r p o l a t i o n 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：图途釜垒垂圃垦墨鲞垒鲨堡蔓丝 作者签名：趣一吼4 年月虫 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名日期：盈2 址月丛日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1样条函数的产生和发展 样条函数是具有一定光滑性的分段或分片多项式函数，它是计算数学以及计算机辅 助几何设计的重要工具。1 9 4 6 年，s c h o e n b e r g 以研究无穷区间上的等距节点数据的平滑 问题为背景，较为系统的建立了一元样条函数的基础理论【1 1 。但是研究样条函数的热潮 直到本世纪6 0 年代才渐渐兴起，到7 0 年代便迅速发展起来。在近几年样条函数成为应 用非常广泛的数学工具，而对它感兴趣的不仅仅是一些相关的数学工作者，还有在最优 控制、计算物理、计算机辅助外形设计与制造等方面的工作者，也都对样条函数很感兴 趣。这是因为在工程上对一组数据做插值、拟合时，开始人们是借助于多项式来实现的， 虽然有很多优点，但是由于多项式是幂级数的特例，它在一点附近的性质足以决定它的 整体性质。但是在实际情况中，这种整体性往往是不可取的。一方面，自然界较大范围 内的许多现象，如物理或生理现象间的关系往往呈现互不关联、互相割裂的本性。也就 是说，在不同区域内，它们的性状可以完全不相关。另一方面，从数学上讲，例如在多 项式插值理论中，具有甩个插值节点的一元插值多项式是一个刀一1 次的多项式，它可能 有n 一3 个拐点。这对于比较平滑的函数来说就不那么理想了。对于连续函数或连续可微 函数7 r ( x ) 来说，当插值多项式的次数逐步增高时，常有数值不稳定的现象。例如，当插 值节点n 一时，插值多项式不一定收敛到被插值函数f ( x 1 ，2 0 世纪初，德国数学家 r u n g e 给出了一个等距节点插值多项式厶( x ) ( 其中厶是l a g r a n g e 算子) 不收敛到f ( x ) 的例子。由于这个原因，在用多项式做插值的时候，不宜选取高次多项式，常用分段多 项式来插值。而样条函数正是一种分段多项式，各相邻段上的多项式之间又具有某种光 滑连接性质。它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性，又在各段之间保持了相对独 立的局部性质。数十年来的理论和实践表明，样条函数是一类特别有效的逼近工具1 2 - 3 】。 由于样条函数在理论和应用中都具有非常重要的意义，并且鉴于客观事物的多样性 和复杂性，开展有关多元样条函数方面的理论研究无疑是非常重要的。一方面，它在函 数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计、有限元和小波等领域均有较为重要的应用。 另一方面，随着多元样条理论的发展，人们发现它和基础数学的某些领域，如抽象代数、 代数几何和组合数学等都有千丝万缕的联系【4 羽。这样就使得样条理论的发展，对代数 几何、组合数学、最优控制、泛函分析、概率论和统计学等基础数学也起到了促进作用。 6 0 年代至7 0 年代初，g b i r k h o f f , h l g a r a b e d i a n 和c 捌d eb o o r 等研究并建立了一系 列关于c a r t e s i a n 乘积型的多元样条理论。c a r t e s i a n 乘积型多元样条在本质上可以看作 圆弧样条应用及b 样条对偶基构造 是一元样条函数的简单推广，具有一定的应用价值但是也有很大的局限性。为了使多元 样条理论不断完善，后来出现了很多学者，也都在做这方面的研究。关于多元函数的研 究工作，主要有两类方法。 一是b 样条法，又称为投影法，它的基础是1 9 7 6 年d eb o o r 的文章【7 1 ，起源于c u r r y 和s c h o e n b e r g 关于一元样条的研究，他直接推广了一元b 样条的几何解释，把单位多 面体中可以投影到某子空间的部分的测度看成是子空间的函数，这一函数被定义成多面 体样条函数，完全类似于b 样条。由多面体样条的几何定义可以导出其等价的积分形式， 因此可以把分析工具应用到这种样条函数的研究中，这就是由d eb o o r d ev o r e 引入的 著名的b o x 样条。b o x 样条不适用于非均匀或任意剖分，且一般不能导出具有最小局部 支集的样条函数。 二是光滑余因子方法，其基础是王仁宏教授发表于1 9 7 5 年的一篇文章【3 1 ，文中使用 代数几何的方法，建立了多元样条函数理论框架，并提出了光滑余因子协调法，并在8 0 年代由众多学者作了很大发展。从某种意义上讲，这一方法的思想是一元样条函数的一 种直接类比，因为二者都是分析相邻剖分单元上函数的光滑衔接条件。这样就把任何关 于多元样条函数的问题转化成与之等价的代数问题来研究。这一方法中使用的工具简 单、灵活，适合处理一些复杂剖分的情况，而且导出的样条函数一般是具有最小支集的。 关于光滑余因子方法的一种特殊形式是b 网方法，其主要思想是，利用两个多项式在两 个相邻单纯形上b e r n s t e i n 表达形式的系数之间的关系，给出光滑拼接的条件。f a r i n 在 1 9 8 0 年的博士论文中考虑了多元样条的b 6 z i e r 坐标和光滑性之间的关系，从而使b 网 方法成为研究多元样条的方法之一。关于多元样条的理论及其应用的详细内容，请参见 王仁宏等编著的多元样条函数及其应用【9 1 。 1 2 样条函数在工业中的应用 样条函数的理论与应用是从三次样条开始发展起来的，在工程上对离散点列做插 值、拟合时，应用最早、最广泛的也是三次样条插值算法。但是由于某些数控机器只能 处理或加工直线和标准圆弧，所以经常要对生成的三次样条曲线再用小段圆弧做二次逼 近。这种方法手续繁琐，工作量大，并且容易降低拟合精度。在1 9 7 5 年出现了直接从 给定的离散点出发构造具有阶光滑的分段插值圆弧曲线，保持了应有的逼近阶，省掉 用三次样条函数拟合加工的后置处理工序。此后圆弧样条开始被广泛的应用在工业加工 匕 1 0 - 1 2 。 大连理工大学硕士学位论文 所谓圆弧样条就是过给定型值点的分段圆弧曲线。要确定一段圆弧曲线，只需要通 过给定型值点，按照某种方法计算出它的圆心坐标、半径长度和起始点的坐标。它与多 项式无关，和我们之前了解的样条是两种概念。之所以称其为样条，是因为它与样条曲 线一样是分段定义的，并且具有很好的局部性质，可以做局部调整而不影响整体效果， 还具有良好的光滑拼接性等等。这些都与b 样条曲线的很多优良性质相同，而它又是过 给定型值点的分段圆弧，形式要比多项式简单的多。此外，在某些情况下，我们需要考 虑曲线曲率的时候，圆弧样条曲线就更能发挥它的优势了，因为圆弧的曲率就等于圆弧 半径的倒数。这就是说，用圆弧经过光滑拼接得到的曲线曲率是分段的阶梯函数，这在 讨论曲率的过程中是极为方便的。但是圆弧样条也有很大的局限性，它的元素只是单纯 的圆弧段和直线段，没有多项式函数那样灵活多变。 人们根据实践中的不同需求，可以按照不同的方式来规定过型值点的每段圆弧的做 法。常用的圆弧样条分为单圆弧和双圆弧两种，顾名思义，单圆弧就是过给定型值点做 一段圆弧曲线，而双圆弧就是过给定型值点做两段圆弧曲线。他们都分别有自己的优缺 点，单圆弧的形成过程是整体的，也就是说，删除、增加或改变型值点的位置都会使整 条曲线必须要重新生成，而双圆弧是一种给定切向量的h e r m i t e 插值，它的形成过程是 局部独立的，改动型值点只需要调整局部曲线，可以很好的节省计算开支。但是我们可 以很明显的看出，对于相同的型值点做插值生成的整条曲线来说，用双圆弧样条做插值 得到的曲线中的圆弧数量是单圆弧生成曲线的2 倍，圆弧数量越多，在实际应用中可能 出现的误差会越大。这是因为，在涉及到圆弧的计算中，一定会出现某些角度的三角函 数值，而使用计算机求解的时候，我们只能把它们作泰勒展开，转换成能计算的线性形 式，这就会产生不可避免的误差，并且随着圆弧数量的增加，误差的累计量也会增加。 从这种意义上来说，双圆弧就不如单圆弧得到的曲线稳定。本文中对这种累计误差超过 一定范围时作了曲线局部修改，并且尽量使修改后的局部圆弧段与两端相邻圆弧是光滑 拼接的，但是也不能保证完全消除误差。 此外，圆弧样条除了能对给定节点做插值外，还可以用来光顺点列【1 3 1 4 】。光顺过程 一般是让整条曲线的能量( 与曲线曲率有关) 在给定误差内达到最小，从而调整或者滤 掉一些不好的型值点。而圆弧样条是局部可调的，并且每一段圆弧的曲率都是一段常数， 在讨论曲线曲率的时候是非常容易的。因为圆弧样条的出现是为了适应一些数控加工机 器的数据要求，所以当某些数据以三次样条曲线或n u r b s 曲线给出后，就需要对它们 用圆弧样条做二次逼近。因此，近几年人们还给出了很多用圆弧样条来逼近三次样条和 n u r b s 曲线的算法【1 5 - 1 引。在这些算法中，较难解决的就是在用圆弧做插值或逼近的过 程中，往往会出现很多不必要的拐点，这会给工业加工过程增添很多不必要的麻烦。而 圆弧样条应用及b 样条对偶基构造 这些缺点又是圆弧本身自带的，只能根据客户的具体要求做最大限度的调整，而不能完 全消除这些拐点。本文的算法中就是根据要求，人工选取了一些控制点，尽量保证在这 些拐点以外没有其他拐点存在。 1 3b 样条及其对偶基 由于多项式基函数的整体性较强，在实际应用中，通常只能采取分段( 分片) 低次 光滑拼接的贝塞尔曲线( 曲面片) 。事实上，这种方法就是一种样条逼近。我们已经知 道，样条函数是保持一定连续阶的分段( 分片) 的多项式函数。b 样条方法既保留了贝 塞尔方法的优点，同时增强了可局部修改的性质。从b 样条作为基函数开始，与分段贝 塞尔曲线的构造就不同，人们可以通过直接构造具有一定连续阶的基函数来生成参数曲 线。 首先，b 样条作为空间的基底有其独特的优越性。对于给定节的n 次分段函数s 仅) 构成的样条空间s 。( 五，x 2 ，x n ) 。由样条函数的定义和光滑连接条件，可以构建一组由 n + 1 个单项式 1 ，x ，x 2 ，) 和个截断幂 ( x - x ，) 7 ，( x - - x ：) ：，( x - - x ) ：) 组成的自然 “幂”基。但是它们的函数值非零的定义域是整个参数轴或者半个参数轴，因此，这样 的基函数仍然不能克服多项式函数的整体性。为了使每个基函数的“影响域”限制在局 部范围内，需要构造样条空间的另一组基函数，使得它们的函数值非零的定义域为有限 的区间，人们最终找到了具有“局部支集 的样条基函数b 样条。也正是因为b 样条 的局部支集性，使得在用b 样条作为基函数的插值或拟合问题时，最后生成的线性方程 组的系数矩阵是稀疏矩阵，给矩阵分解和计算带来很大方便。还有b 样条的单位分解性 使b 样条具有仿射不变性，b 样条的非负性也使得最后得出的解具有稳定性等等。b 样 条的这些优良性质正是人们在做计算时所需要的。 其次，既然一组线性无关的b 样条可以构成一个样条空间的基底，那么人们就会考 虑样条空间的对偶空间的基底与b 样条的某些性质、应用方面的关系。b 样条对偶基的 形式有很多种，并且与b 样条曲线的控制点有关，这是b 样条对偶基在实际应用中的 意义。从理论上讲，对偶基的意义就更为重要了。人们在研究某种空间的性质时，如果 在原空间上讨论比较麻烦，经常会把问题转移到他的对偶空间上去讨论。对于某些特殊 空间基函数的对偶基，又有着具体意义。比如，b 样条的对偶基，不但与b 样做插值时 的系数有关，还与b 样条做拟插值时的拟插值算子有关【1 9 2 1 2 7 】。对于任意一个刀次多项 式，都存在一个刀次b 样条展开式，且展开式的系数是一组只和原多项式有关的泛函序 大连理工大学硕士学位论文 y l j 2 2 - 2 3 】。如果我们构造的对偶基序列不同，就会得到不同性质的b 样条展开式系数。所 以对偶基的构造在样条理论和实践应用中都很重要。 有许多学者针对b 样条的对偶基给出了不同的构造形式。如赵国辉、刘秀平、苏志 勋在文章“ad u a lf u n c t i o n a lt ot h eu n i v a r i a t eb s p l i n e ”【2 4 1 中，先是用一种新的方法证明了 极化恒等式，并且证明了“右手边”极化恒等式。最后根据b 样条局部支集的对称性， 构造出来的线性泛函是支集上某些函数值的线性组合的形式。众所周知，一元b 样条的 定义式有很多种，它们是从不同的角度，刻画了不同意义的一元b 样条。从这些不同的 定义出发，把b 样条往高维空间上推广，也会得到不同形式的多元b 样条。那么多元b 样条的某些理论，也可以按照与一元b 样条相似的方法得到推广。比如多元样条的对偶 基，王建忠f 2 5 】和张作顺f 2 6 】分别用不同的方法，把d eb o o r - f i x 泛函序列的构造方法推广 到了二元b o x 样条上。张作顺用的是f o u r i e r 分析的方法，较之王建忠的方法要简单些。 他的方法可以叙述为：在b o x 样条支集中任选一点z ，令b o x 样条平移量为z ，对平移 后的b o x 样条做f o u r i e r 变换并取倒数，再在原点处对它做幂级数展开。取展开式的系 数做成多项式的形式，最后得到的对偶基是与这个多项式在某个空间中的分量倒出的微 分算子有关。贾荣庆乜蚴3 构造的对偶基也是使用f o u r i e r 分析的方法，先是讨论了平移 不变子空间的一系列性质，然后构造了多元b o x 样条的对偶基。本文在参考了前人方法 的基础上，对于一元b 样条对偶基，是以样条函数插值唯一性为前提，在讨论样条函数 的b 样条展开式次数的同时，构造出了一组对偶基。这组对偶基是b 样条节点处函数 值的线性组合，在一元情况下，比前人的构造方法更简单、更直观。但是，在多元情况 下，由于b 样条线性无关的约束条件复杂，且适定结点组的选取也不容易，因此只给出 了两个简单的二元b 样条的对偶基的构造例子。 1 4 本文主要工作 本文分别对样条函数在实际应用方面和理论研究方面作了算法改进和b 样条对偶 基的重构造。在应用方面，以大连船舶重工集团的项目为背景，对数控加工中常用到的 圆弧样条插值、光顺及插值后的后期修正工作给出了具体算法；在理论研究方面，分别 对一元等距节点、非均匀节点b 样条和简单的二元b o x 样条构造出了对偶基。 本文的结构安排如下： ( 1 ) 第一章介绍了样条函数的发展过程，数控加工中经常用到的圆弧样条，以及b 样条及其对偶基的意义。 陀) 第二章介绍样条的基础知识、相关概念及文中用到的定理定义。 圆弧样条应用及b 样条对偶基构造 ( 3 ) 第三章叙述了圆弧样条插值和光顺算法在实际应用中遇到的具体问题，并给出 了我们自己的解决方法。 ( 4 ) 第四章分别构造了一元等距节点、非均匀节点b 样条的对偶基，并且对于二元 b o x 样条选择了正则三方向上的剖分来说明我们的构造方法。 大连理工大学硕士学位论文 2 样条函数基础 2 1一元样条函数 2 1 1 样条定义 若给定一组节点 一= x o 薯 x u 0 2m a x o , x ) 2 1ox o r = ( ) 册 v s ) 最( 五，恐，x ) 的充分必要条件为，j p o ( x ) p 。和n 个实数q ，c 2 ，使得 i v 占( 石) = p o ( x ) + 巳( 工一t ) + ”xe - o o ，o o ) ( 2 2 ) j = 1 因为1 ，x ，x 2 ，x ”是多项式空间p 。的基底，也就是可以表示多项式p 。( x ) ，又因为 c ( x - - x j ) + ”是 一五) + ，( x - - x ) + ”的线性组合，所有由( 2 2 ) 式可以得出，n 次样 ，；1 条空间s ( 五，而，h ) 的一组基底是1 ，x ，x 2 ，o 一五) + ”，( x h ) + ”。这样就有一元 样条空间的维数公式d 叫& ( 而，x 2 ，h ) ) = n + n + l ，也就是样条的次数加上样条节点 的个数再加1 。 而对于任意自然样条s ( z ) 2 ，r ，( 五，而，h ) 均可以表示为 圆弧样条应用及b 样条对偶基构造 s ( x ) = 风( x ) + c j ( x - x j ) + 2 ”1x ( ，) 其中，p o ( x ) e p 俨l 。 j 暑1 当然，只是满足上式并不足以保证s ( x ) 是一个自然样条函数，还必须要求s ( x ) 在 ， i x r ，佃 中的表达式风( x ) + c j ( x - x ，) + 2 川也为n 1 次多项式。 j = l 那么对于自然样条函数，有如下结论： 为使s ( x ) 2 川( 而，x 2 ，x n ) ，当且仅当存在p 。( x ) p ，和满足线性约束条件的 z c j x ；= o ，k = 0 ，1 ，n - 1 的实数c l ，c 2 ，知，使得 j = l s ( x ) = p o ( x ) + c j ( x - x j ) + 2 川xe - o o ，) 2 1 2 基本性质 表2 1 样条函数的性质及描述 t a b 2 1t h ep r o p e r t i e sa n dd e s c r i p t i o n s 一元样条的主要性质描述 1 样条函数的积分关系式 设s ( x ) = p o ( x ) + c ( x - x j ) + ”x ，) ， ，= 1 其中甩= 2 k 一1 ，且口 而 h b ， 又设函数厂( x ) 满足如下的三个性质： 1 ) 厂( z ) c 卜1 k ，b r f 。( x ) 于每个开区间( 一，稚1 ) ( f = 0 ，忉 内连续，其中x o = 口，x n + 1 = 6 ； 2 ) f 一r - 1 ( x ) s ( x ) = 0 ，= 0 ，1 ，k - 2 ，x - - 口，b ： 3 ) f ( a ) s ( 2 k - 1 ) ( 口+ 0 ) = f ( b ) s ( 2 k - i ) ( b - o ) ； 则e 广( x ) s ( x 边= ( 一1 ) ( 2 七一1 ) nq 厂( t ) 另外，如果厂( 功于五，恐，h 处皆为o ，则e 厂( x ) s o 逑= 0 2 自然样条函数插值的存 设1 ，2 n ，则对任意给定的咒，儿，y ，存在唯一的自然 在、唯一性 样条函数s ( x ) 2 ，r l ( 五，x 2 ，h ) ，使得 s ( x j ) 2 ”，= 1 ，2 ，n - 大连理工大学硕士学位论文 3 自然样条插值的最光滑性 设1 n n ，且a 而 恐 h b ，又设 质 s ( x ) 是，1 ( 而，恐，x , v ) 是满足插值条件s ，) = y ， = 1 ，2 ，n 的自然样条函数，则对任何满足插值条件 f ( x j ) = y j ，歹= 1 ，2 ，n 的函数厂( x ) c 1 口，b 必有 n s ( ( x ) 2 出r 厂”( x ) 】2 d x ，且上式等号仅当厂 ) 兰s ( x ) 时 才成立。 4 样条函数插值唯一性【3 2 】 给定点列岛 岛 知肿1 和任意给定的朔，y + ，+ 1 ， 存在唯一的一个n 次样条函数伍) 鼠( 五，x 2 ，x n ) 使得 s ( 乞) = y ( ，= l ，2 ，3 ，+ ”+ 1 ) 当且仅当缶 x i 氕川( i = 1 ，2 ，) 成立。 样条函数的这个性质无论在理论上还是在实际应用上都有重要的作用。本文在第四 章中给出的构造b 样条对偶基的方法，就是基于表2 1 中性质4 的样条函数插值唯一性。 2 1 3 三次样条 样条函数在工业上的应用是从3 次样条发展起来的，在计算几何中，应用最早、最 广泛的，研究的最详细的也是3 次样条函数。 在给定区间 口，b 】上做一个剖分a = x o 而 h = b ，3 次样条是这样一类函数： 在每个子区间 砟。，t ( f = 1 ，2 ，) 上是一个3 次多项式，而在整个区间 口，6 上有2 阶连 续导数。其中，x o ，而，h 称为样条节点。 3 次样条插值问题是：任意给定一组常数，乃，y ，要求构造一个3 次样条函数 s ( x ) ，使它满足插值条件s ( 毛) = y 1 ，f _ o ，1 ，n 。做法如下： 设s 。( 薅) = m ，i = 0 ，1 ，n ，因为s ( x ) 是3 次分段多项式，所以s ( 而) 在区间b ，。，而 上是线性函数。因此它是过( 靠，嵋) 和( t ，m ) 两点的线性插值多项式 1 s 。( x ) = 二一( t l ( 薯一z ) + a 4 ( z 一一】) ) ， 斗l x 薯 ( 2 3 ) 工f x i - ! 为了求出s ( x ) 在区间瞳巾毛】上的表达式，只需对( 2 3 ) 式做两次积分，并设法确 定积分常数就可以了。 三次样条插值可以很好的避免l a g r a n g e 插值算子当插值节点胛一o 。时，插值多项式 不一定收敛到被插值函数f ( x ) 的情况。比较结果见图2 1 和图2 2 。 圆弧样条应用及b 样条对偶基构造 2 2 一元b 样条 图2 1 三次样条插值 f i g 2 1 c u b i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o n 2 2 1b 样条的几种常用定义 ( 1 ) 递推定义 图2 2 拉格朗日插值 f i g 2 2l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n 1 0 一 大连理工大学硕士学位论文 一 给定参数轴的一个剖分u ： “，) 二( “，“m ，i = 0 ，l ，) ，用下列递推方式所确定的 函数m ，( ) 称为相应于剖分u 的p 次( p + 1 阶) b 样条基函数 ，= 舻锐卅】 j v , p ( 舻瓦1 洲- “, n , 川泓老篙夕2 规定旦：o 0 上式称为d e b o o r - c o x 公式，u 称为节点序列或节点向量，以称为节点。若 u j - i 甜j2 “p l2 = “+ 1 扰+ ，则“，“p l ，“p f - 1 为u 的z 重节点。 下面分别给出0 次、1 次、2 次、3 次b 样条基函数的图像示例嘲 0 次b 样条基函数： 图2 3 0 次b 样条m o 以) f i g 2 3 b s p l i n eo fd e g r e e0 由上面递推式可以看出1 次b 样条可以通过两个0 次b 样条的平移组合式得到： 图2 4 1 次b 样条j 似) f 唔2 4b s p l i n eo fd e g r e e1 圆弧样条应用及b 样条对偶基构造 同理，2 次b 样条可以通过两个1 次b 样条的平移组合式得到： 图2 5 2 次b 样条f 2 ( ) f i g 2 5b s p l i n eo fd e g r e e2 封“；豁“4 l ， 如此递推下去可以得到任意次的b 样条基函数。 ( 2 ) 差商定义 设 奠2 疋1 x o 而 毛 0 ，当x ( x o ，毛) 。 下面指出b 样条的一个十分重要的性质，即它构成了样条空间罐。( 而，x 29 - 9 x n ) 的 更为方便的基底 性质1 1 设”n ，且而 x 2 h 。则下述+ ，z 个样条函数构成 鼠，( 而，恐，h ) 的一组基函数： e ( x ) = m n ( x ；而，而，t ) ，i = 1 ，2 ，船； e + ，( x ) = 鸩( x ；五，薯+ l ，靠。) ，f = 1 ，2 ，一，z ； 巩+ ，( x ) = ( 一1 ) ”7 m n ( h - r d e ih 一肿+ 1 ，x ；x ) ，i = 1 ，2 ，2 2 3多元样条 2 3 1 研究多元样条的方法 ( 1 ) 光滑余因子方法【8 】 设d 为二维欧式空间r 2 中的单连通区域，整体次数为k 的二元多项式类定义为 r 七七一f1 e = 勺x 7 y i 勺灭 l t = 0j = 0 j 二元多项式p 只称为不可约多项式，如果除常数和该多项式本身外，没有其他多 项式可以整除它。用有限条不可约代数曲线对区域d 进行剖分，则d 被剖分为有限个 子区域d 1 ，3 2 ，d ，他们叫做剖分的胞腔。胞腔的边界线称作网线或边，网线的端 点称作网点或顶点。所有以某一网点矿为顶点的胞腔的并集称为网点y 的星形域或相关 域，记为1 。 剖分上的二元样条空间定义为 掣( ) = s c “( d ) ls o , 只，f - 1 ，2 ，n 任一样条s 研( ) 均为在d 上具有甜阶连续偏导数的分片k 次多项式。 若样条j 雕( ) 在某一网点v 的星形域s t ( v ) 的每个胞腔上为同一七次多项式，则 称该样条于s t ( v ) 上是蜕化的，若s 于的所有胞腔上都是同一个k 次多项式，则称s 为 大连理工大学硕士学位论文 整体蜕化的样条。只要s 不是整体蜕化的，就称s 为非蜕化的。和一元样条不l 司的是， 对于剖分来说，非蜕化的样条不一定总是存在的。那么对于多元样条来说，首先要弄 清楚剖分与多元样条的存在性之间的关系。首先有下面的定理 定理2 1 设函数z = s ( x ，y ) 在两相邻胞腔d ，和d ，上的表达式分别为zl n = p j ( x ，y ) 和 zb = p ，( x ，y ) ，其中p ，p 只。为使 s ( x ，y ) c 。( 口u q ) 当且仅当存在多项式劬只训川) 使得 p ，( x ，y ) - p ( x , y ) = 乃( x ，y ) ”+ 1 g f ( x ，y ) ( 2 9 ) 其中r n ：毛( x ，y ) = 0 为d 于d ，的公共网线，而0 ( x ，y ) 为d 次不可约多项式。 ( 2 9 ) 中的劬( x ，y ) 称为内网线r 盯：? ：f ，( x ，y ) = 0 上( 从d 到d ) 的光滑余因子。相 邻两胞腔口、q 的公共网线r = r j ，：乃( x ，y ) = 0 ( x ，y ) = 0 ，f ，上的光滑余因子g ( x ，) ，) 和 r ，上的光滑余因子q j i ( x ，夕) 满足关系式 q o ( x ，y ) = 一幻( x ，y ) 设么为剖分的任一给定内网点，当一动点沿么为心的逆时针方向越过r 玎时，恰好 是从口跨入q 。把内网点a 处的协调条件定义为 乃( w ) r g ( x ，y ) - 0 ( 2 1 0 ) a 其中，z 彳表示对一切以内网点a 为一端点的内网线所求的和， ( 2 1 0 ) 中劬( x ，y ) 为f 由 上的光滑余因子。 设剖分的所有内网点为4 ，4 ，4 ，把整体协调条件定义为 乇p ( x ，少) 。“垡口( p ( z ，y ) - 0 ，v = 1 ，m ( 2 11 ) 其中，相应于内网点4 的协调条件q o v ) ( 艺y ) 满足( 2 1 1 ) 。于是对于多元样条有下面 的本质特征，也是多元样条的主要问题所在。 定理2 2 对给定的剖分，函数s ( x ，y ) 雕( ) ，必须且只需s ( x ，y ) 在每一条内网 线上均有一光滑余因子存在，并且满足( 2 11 ) 式的整体协调条件。 佗1b 样条方法阴 光滑余因子方法适用于任意剖分下的样条，而对于单纯形剖分下的样条，b 样条方 法更具体更直接。一元b 样条是由c u r r y 和s c h o e n b e r g 在1 9 6 6 年引入的，1 9 7 6 年d eb o o r 圆弧样条应用及b 样条对偶基构造 将其推广到多元样条。但这种几何定义的推广不便于理论研究，直到便于理论研究的泛 函形式推广的出现，多元b 样条的研究才开始活跃起来。多元b 样条的泛函形式的推 广有多种形式，如单纯形样条，b o x 样条，锥样条。分别由m i c c h e l l i ，d eb o o r d ev o r e ， d e h m e n 等人给出。与上面方法相比，b 样条方法对剖分的要求更为严格，通常为均匀 剖分。下面作一些简单介绍。 令v = b ，1 f ，z ) cr 。，其中v 可重复，使得s p a n v = r 5 。多元b 样条m 。( xi 矿) 定 义为 l 帆 i v ) f ( x ) 出= ) 厂( 芝棚也，v f c o ( r 5 ) 其中d t = d t , a t ，o 为r ”的凸区域。 若取o j ( t ) = ，z ! ，q = s ”，则由次定义的b 样条就是m i c c h e l l i 引入的单纯形样条， 记为m ( xl 矿) 。 若取c o ( t ) = 1 ，q = - 1 2 ，1 2 ”且0 萑v 则由此定义的b 样条就是d eb o o r d ev o r e 引 入的b o x 样条，记为b ( xl 矿) 。 若 c o ( t ) = l ，q = 群且o 芒v ，则由此定义的b 样条就是d a h m e n 引入的锥样条， 又称为多元截断幂，记为t ( xi 矿) 。 下面以b o x 样条为例，介绍多元b 样条的基本性质 定理2 3 ：b o x 样条b ( x i y ) 具有如下性质： 1 s u p p b ( xy ) = i v fi i 1 - t j 去 ： t = l 二 二 2 b ( xy ) 的函数值非负，且在支集内部严格大于0 ； 3 b ( xy ) 是次数不大于刀一s 的分片多项式； 4 令= m i n n ( v ) is p a n ( x v ) r 3 - 2 ，则b ( xy ) 是阶光滑的； 5 b ( xv ) 幸b ( x lw ) = b ( xy u 形) 。 2 3 2 多元样条插值拟插值问题 多元样条空间( ) 是个线性空间，对于各种给定的剖分，如何找出掣( ) 的便于 应用的基函数，是多元样条应用和理论的重要问题之一，那么首先要找出多元样条空间 的基函数的个数，也就是空间的维数d i m 霹( ) 。但是，多元样条空间的维数比一元的 要复杂的多，特别是当“和k 接近时，有时会严重依赖于剖分的几何性质，并且对于任 大连理工大学硕士学位论文 意三角剖分来说，多元样条空间鼋( ) 的维数至今仍是一个尚未最终解决的问题。把用 有限条贯穿区域d 的直线构成的剖分称为贯穿剖分，记作a 。对于这种贯穿剖分上的 多元样条空间人们已经给出了维数公式。下面我们再来介绍两种更特殊的三角剖分嬲 和易，分别称为l 一型和2 - 型三角剖分。如图2 7 ( 0 。 。 ( 0 , 0 )( i n ，0 ) ( 0 ，0 )( r l l ，0 ) 图2 7 均匀卜型、2 一型三角剖分 f i g 2 7 u n i f o r mt y p e 4a n dt y p e - 2t r i a n g u l a t i o n s 对于这两种三角剖分上的多元样条空间人们也已经给出了相应的维数公式。特别 地，这里只给出当k = 1 ，且u 尽可能小的情况，因为它们在实际问题中是最重要的。 函m $ ( ：) = 2 ( m + 2 ) ( ，z + 2 ) 一5 d h 岛( 2 ) = ( 聊+ 2 ) ( 即+ 2 ) 一1 下面以鼋( 2 ) 和空间为例，讨论多元样条空间的基函数。对于给定的剖分，所 有以的网线为边的多边形集合记作r 。如果存在y f ，使得伊鄙( ) 在多边形7 外 部处处为零，则y 称为多元样条妒的局部支集。从数值分析和计算的角度考虑，找出 鄙( ) 的由具有局部支集样条组成的基底，是人们比较感兴趣的问题之一。 对于空间一s ”1 c a m ( n ) ，- 、，其中有两个具有局部支集的样条b 1 ( z ，y ) 和b 2 ( x ，y ) ，满足 ( x ，y ) = b - x , 一y ) 它们的支集分别为六边形4 和4 ，如图2 8 圆弧样条应用及