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硕士论文基于稳定偏好下的含消费的效用最大化问题 摘要 本文主要研究基于稳定偏好原则下的含消费的效用最大化问题，给出了一些有意义 的结果。所谓基于稳定偏好的原则，是指一个投资者在最不利的情形下评估他的期望效 用。即在不完全市场下，当投资者的主观概率测度不确定时，一个可能的主观概率测度 的集合代替了单个的确定的概率测度。此时，投资者为了保证安全，他会选择最坏概率 测度情况下的期望效用。在稳定偏好效用原则下，2 0 0 7 年s t e f a nw e b e r , a n n eg u n d e l 等人研究了不含消费的投资组合选择问题，给出了最优解。但对于基于稳定偏好原则下 的含消费的效用最大化问题，就我们所知，尚未被研究过。 文章第二章是预备知识，首先，在预算约束条件和风险约束条件下，建立了完全市 场下的效用最大化模型，并在不完全市场下建立了基于稳定偏好原则下的效用最大化模 型。其次，利用对偶理论及方法，给出了带有预算和风险共同约束条件下，基于稳定偏 好的效用最大化问题的解。 文章第三章是本文研究的主要内容。首先，在稳定偏好原则下，对于单个投资者， 研究了预算约束下含消费的最优投资组合问题，得到了该问题的解的存在唯一性。在此 基础上，考虑了含风险约束的投资组合问题，证明了该模型的解存在且唯一。其次，在 稳定偏好原则下，将所研究的问题推广到更一般的情形，探讨了多个投资者的含消费的 投资效用最大化问题，并给出了该问题的解的存在唯一性。该结果可视为s t e f a nw e b e r ， a n n eg u n d e l 等人所得结果的一个自然推广。 关键词：稳定偏好，效用最大化问题，对偶理论，最优化消费，预算约束，风险约束 a b s t r a c t硕士论文 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l ew ec o n s i d e rt h er o b u s tu t i l i t ym a x i m i z a t i o np r o b l e mo fa l la g e n tw i t h c o n s u m p t i o na n do b t a i ns o m eu s e f u lr e s u l t s w h e na na g e n t i se v a l u a t i n gh i se x p e c t e du t i l i t y , h ei su n c e r t a i na b o u tt h ec o r r e c ts u b j e c tp r o b a b i l i t ym e a s u r e i n s t e a dt h ea g e n ti sf a c e dw i t l la w h o l es e to fc o n c e i v a b l ep r o b a b i l i t i e s r o b u s tp r e f e r e n c e sm e a nt h a tt h ea g e n tc o n s i d e r st h e i n f i m u mo fa l lp o s s i b l ee x p e c t a t i o n si no r d e rt ob eo nt h es a f es i d ei na ni n c o m p l e t em a r k e t s t e f a nw e b e ra n da n n eg u n d e lc o n s i d e r e dt h er o b u s tu t i l i t ym a x i m i z a t i o np r o b l e mw i t h o u t c o n s u m p t i o na n da r r i v e d a tt h eo p t i m a ls o l u t i o n si n2 0 0 7 h o w e v e r , t h er o b u s tu t i l i t y m a x i m i z a t i o np r o b l e mw i t hc o n s u m p t i o n ，a sw ek n o w , h a sn o tb e e nc o n s i d e r e d f i r s to fa l l ，c h a p t e r2d e s c r i b e st h eu t i l i t ym a x i m i z a t i o np r o b l e mi nac o m p l e t em a r k e t a n dt h er o b u s tu t i l i t ym a x i m i z a t i o np r o b l e mu n d e ra j o i n tb u d g e tc o n s t r a i n ta n dd o w n s i d er i s k c o n s t r a i n ti na ni n c o m p l e t em a r k e t t h e n ，u s i n gd u a l i t yt h e o r y , w eg e tt h es o l u t i o no ft h e r o b u s tu t i l i t ym a x i m i z a t i o np r o b l e mu n d e raj o i n tb u d g e tc o n s t r a i n ta n dd o w n s i d er i s k c o n s t r a i n t i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h es i n g l e a g e n to p t i m a lc o n s u m p t i o np r o b l e mw i t hr o b u s t p r e f e r e n c e su n d e rb u d g e tc o n s t r a i n t t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o no ft h e r o b u s tc o n s u m p t i o np r o b l e ma r ep r o v e dv i at h ed u a lt h e o r y t h e nw ea l s og e tt h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nt ot h em o d e lw i t hr i s kc o n s t r a i n t s f u r t h e r m o r e ，i ng e n e r a l m a r k e t ，w ec o n s i d e rt h er o b u s to p t i m a lc o n s u m p t i o np r o b l e m 诵t 1 1an u m b e ro fa g e n t s ，a n d t h e nw ed e r i v et h a ti t ss o l u t i o ne x i s t sa n di t su n i q u e t h i sr e s u l tc a nb er e g a r d e da st h e g e n e r a l i z a t i o no ft h er e s u l tf r o ms t e f a nw e b e ra n da n n e g u n d e l k e yw o r d s ：r o b u s tp r e f e r e n c e s ，u t i l i t ym a x i m i z a t i o np r o b l e m ，d u a l i t yt h e o r y ，o p t i m a l c o n s u m p t i o n ，b u d g e tc o n s t r a i n t ，r i s kc o n s t r a i n t n 声明户明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名：兰熟 。7 年g 月哆日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：娄歆i 呷年月弩日 硕士论文基于稳定偏好原则下的含消费的效用最大化问题 1 绪论 1 1 选题的科学意义和应用前景 本文所选课题属于金融数学领域，主要运用优化方法来研究投资组合模型，并求出 效用最大化问题的解。 现代金融数学理论起源于2 0 世纪5 0 年代初m a r k o w i t z 1 】提出的投资组合选择理论， 这一理论首次将数理工具引入到金融问题的研究中。投资组合的选择问题是指：在所有 可行的投资组合中，选择最优的投资组合策略，使投资者的效用最大化。同时，该策略 需要满足两个条件，第一，预算约束，即投资者的最终资产值在固定资产限制下是可接 受的；第二，风险约束，将投资者的风险限制在较小的范围之内。 众所周知，含预算约束的效用最大化问题是投资组合中的一个基本问题，已经被许 多学者所研究。相较而言，风险的约束和管理则更为关键。人们已经普遍接受以v a r 作为标准来测量风险，并进行了大量的研究。在运用过程中，人们发现了v a r l 4 6 作为 风险测度的不足。v a r 是基于历史事件的估计，对市场价格的大幅波动非常敏感，因此， 对于“极端事件 ，v a r 的测度结果可能是不准确的，会忽视超过风险价值的那部分极 大的损失，这是我们所不期望的。于是，人们对测量风险的测度进行了各种改进，包括 一致风险测度【2 】，弱化的凸风险测度，谱风险测度，随机占优一致风险测度等。 经典的投资组合模型中，投资者的效用一般用伯努利效用函数【4 5 】来表示。效用函数 为一个确定的主观概率测度下的期望。但是，当一个投资者的偏好不再唯一，其效用对 应的主观概率测度不再是单一确定时，只能利用一个可行的主观概率测度的集合来衡量 该投资者的偏好。基于此，有学者提出了“基于稳定偏好原则下的效用 的概念，即投 资者为了保证自己的安全，将会选择最坏测度情况下的期望效用。 目前为止，在投资组合问题的研究中，通常也会把投资者的消费、收益等影响效用 大小的因素考虑进去。但是，在基于稳定偏好原则的基础上，就我们所知，目前所有的 研究中，效用大小的决定仅与投资者的最终财富状况有关，并未考虑含消费及收益等因 素对效用大小的共同影响。 因此，本文拟在预算约束和风险约束下，研究基于稳定偏好原则下含消费的效用最 大化问题。该问题的解决将使得投资者的效用最大化问题的研究更完善，也更具有实际 意义。 1 绪论硕一l 论文 1 2 研究现状 自从1 9 5 2 年m a r k o w i t z 1 】发表“投资组合的选择 以来，最优化投资组合问题已经 成为了金融数学中的一个主要组成部分。 ( 1 ) 不考虑稳定偏好下的投资组合问题 首先考虑效用函数的表示形式。 经典的方法，我们可以追溯到v o nn e u m a n nm o r g e n s t e m 3 a n ds a v a g e 4 1 。此时的偏 好是用期望效用函数来表示的，假设u 是一个凹的效用函数，9 是一个可行的主观的概 率测度。投资者的效用可表示如下： u ( x ) = 【“( 彳) 】 在此效用函数的基础上，关于加入预算约束条件的效用最大化问题，已经有很多学 者研究过。例如：a u m a n n & p e r l e s ( 1 9 6 5 ) 5 1 ，m e r t o n ( 1 9 6 9 ) 6 1 ，m e r t o n ( 1 9 7 1 ) 7 1 ，p l i s k a ( 1 9 8 6 ) 引，c o x & h u a n g ( 1 9 8 9 ) 1 9 1 ，c o x & h u a n g ( 1 9 9 1 ) 1 0 l ，k a r a t z a s ，l e h o c z k y & s h r e v e ( 1 9 8 7 ) 1 1 1 i ，h e & p e a r s o n ( 1 9 9 1 ) 1 1 2 1 ，k a r a t z a s ，l e h o c z k y ，s h r e v e & x u ( 1 9 9 1 ) 1 3 1 ，k r a m k o v & s c h a c h e r m a y e r ( 1 9 9 9 ) 1 4 1 ，g o l l & r a u s c h e n d o r f ( 2 0 0 1 ) 1 15 1 ，a n db e l l i n i & f r i t t e l l i ( 2 0 0 2 ) 1 6 1 。 文献中提出，带有初始财富x 的预算约束的效用最大化问题的模型为： m a x i m i z e 砒材( x ) o v e r a l lx w i t h 廓【x 】x 其中，最为等价局部鞅测度的一个集合。预算约束条件是由规定投资者的最终资产 状况的可接受性得到的：如果该投资者的所有资产的价格不超过初始财富值，那么该投 资者的最终财富状况是可接受的。由于p 与q 等价，最优解就可以利用“，q ，p 的形式计 算出来。 至此的研究均是：不带有风险约束情况下的效用最大化问题。下面，我们考虑加入 了风险约束的效用最大化问题。 b a s a ka n ds h a p i r o ( 2 0 0 1 ) 1 7 1 a n dg a b i he ta 1 ( 2 0 0 5 ) 1 8 l 在只带有预算约束的模型中加入 了风险约束，分别研究了以v a r 风险约束为形式和第二风险函数为形式约束下的最优 投资组合问题。在这些特殊情况下，b a s a ka n ds h a p i r o ( 2 0 0 1 ) t 1 7 】a n dg a b i he ta 1 ( 2 0 0 5 ) t 1 8 】 进一步分析了风险约束的经济影响。通过对偶的方法求出了最优化的解，但是两篇文献 都没有证明这些解满足约束条件且存在。与只存在预算约束的情况进行比较，含风险约 束的模型中解的存在性的证明是分析中一个比较困难的部分。 a n n eg u n d e l ( 2 0 0 5 ) 1 9 j 首次解决了解的存在性的证明。此外，文中利用了凸风险测 2 硕士论文 基于稳定偏好原则下的含消费的效用最大化问题 度作为衡量风险的一种新的方式，并在半鞅结构下给出了预算约束和风险约束共同作用 下的该效用最大化问题的完整解。 ( 2 ) 基于稳定偏好下的投资组合问题 近年来，关于投资组合选择问题的研究已经扩展到了一个更宽的范围上。一方面， 随着衍生证券和动态套期策略变得越来越重要，关于可接受集的定义开始更加灵活。另 一方面，随着人们对模型不确定性越来越清楚地认识，形成了基于稳定偏好下的期望效 用的表示形式。 在1 9 8 9 年，g i l b o aa n ds c h m e i d l e r 2 0 1 提出了一套比较灵活的关于收益概况的偏好顺 序的公理，并在此基础上提出了有关稳定偏好的理论。 这直接导致了基于稳定偏好下的效用函数的数字表示形式： u ( x ) - 囊l 甜( x ) 其中：q 为主观概率测度的一个集合。这个方法包含了市场上概率的不稳定性：投 资者知道概率分布的一个集合，并且利用最坏情况下的方法来估计收益的期望效用。 f o l l m e ra n ds c h i e d ( 2 0 0 2 ) 2 1 1 给出了关于稳定偏好的更详细的解释。 此时，基于稳定偏好原则下的效用最大化问题的模型为： m a x i m i z ei n f 厶iu ( x ) l 对于所有可行的x 0 e v 。 s c h i e d ( 2 0 0 5 ) 1 2 2 1 给出了完全市场下，基于稳定偏好原则下的效用最大化问题的一个 重要结论。结论为：效用函数的形式可以被修正为一个“最小偏好”的概率测度下的期 望效用，这个结论是普遍适用的，且该最小偏好存在。 对于含风险约束的基于稳定偏好下的效用最大化问题的解，s c h i e d ( 2 0 0 5 ) 2 2 1 s c h i e d & w u ( 2 0 0 5 ) 2 3 1 ，f f l l m e r & g u n d e l ( 2 0 0 6 ) t 2 钔，g u n d e l ( 2 0 0 6 ) t 2 5 】也都曾研究过。 下面两篇文章分别用不同的方法给出了基于稳定偏好的效用最大化问题的解，适用 于不完全市场。 a t l r l eg u n d e l ( 2 0 0 5 ) 1 2 6 提出了带有预算约束的基于稳定偏好的效用最大化问题： m a ) 【i m i z e 娶丢岛l ( x ) 。v e r a l lxw i t h s 尸e u p n p e e x 哪) 6 硕士论文基于稳定偏好原则下的含消费的效用最火化问题 内连续司微，且满足i n a d a 条件： f 0 0 ) ：= l i r a “( x ) = 0 k ) ：= j x 黔- - h o o “小， q 4 ) 其中：毛车i n f x e r ：甜( x ) 一o o 是有限的。注意，此时“的定义域可以用开区 间u = ( 瓦，o 。) 表示，且瓦可能取值硼。 同时，假设效用函数材具有正则渐近弹性h 2 】【4 3 1 。即 ；翟p 错 0 ，如果存在一个可行的金融资产值x 0 ，及自融资 7 2 预备知识 硕士论文 投资组合矿v ( x 2 ) 使得巧x ( r - a 墨) ，那么该金融资产值彳是可接受的。 在不考虑稳定偏好的情况下，预算约束条件为：廓l 彳i 吃。 在稳定偏好原则下，考虑到k r a m k o v 3 1 1 提出的最优化分解定理，要使得金融资产值 是可接受性的，可转化为下述表达方式： s u p e e x x 2 ( 2 1 8 ) 因此，式( 2 1 8 ) 是基于稳定偏好原则下的效用最大化问题中的预算约束表示形式。 2 1 3 风险约束 金融资产投资策略是可行的，除了要满足预算约束条件以外，同样需要满足风险约 束条件。金融资产投资策略的下方风险可以通过风险测度来量化。 首先，定义一个普通的凸风险测度。 定义2 1 4 对所有的五，五d ，映射p ：d 专冗称为刃上的一个风险测度，如果满足 下面的条件， ( 1 ) 反单调性：如果五置，然后p ( 五) p ( 置) ； ( 2 ) 平移不变性：如果肌冗，然后p ( x + m ) = p ( x ) 一m ； 该风险测度p 是凸风险测度，如果它满足下面的条件，对所有的五，置d ( 3 ) 凸性：户( 口置+ ( 1 一口) 置) 印( 墨) + ( 1 一口) p ( 五) ，对所有的口( o ，1 ) 这里，我们用一个凸风险测度的一个特殊例子来测量下方风险，称为以效用为基础 的不足风险( u b s r ) 。该风险可理解为一个资本要求，即为了使最终资产状况是可接受 的而必须加入的最小的货币量。 下面我们给出以效用为基础的不足风险( u b s r ) 的定义【2 5 1 。 设z ：r 专【o ，】是一个损失函数，该函数是递增的，且不是一个常数。令五是z 范 围内的一个内点。为了更好地度量风险，设q 是一个固定的等价于参考测度r 的一个主 观概率测度。 用d 来表示包含常数的随机变量的向量空间。如果当工d 时，积分p ( 一x 闺有 定义；那么，金融资产投资策略的定义域即为d 。 不妨定义一个可接受集如= x d ： 粤( 一x ) j c l ) 。如果说z ( 一x ) 在主观概率测 8 硕士论文基于稳定偏好原则下的含消费的效用最大化问题 度蜴下的期望值不大于一，即 已( 一x ) 五，那么称该金融资产状况是可接受的。从 对可接受集气的定义，自然地，可以把以效用为基础的不足风险( u b s r ) 看成是相 应的资本要求： = i n f m r ：x + 朋飞 ( 2 1 9 ) 在完全市场下，我们不考虑稳定偏好原则，不足风险约束( u b s r ) 可用如( x ) o 的形式给出。从风险测度p 的观点来看，如果投资者的最终财富状况满足不等式 阡x ) 五 ( 2 1 1 0 ) 那么，我们就认为某金融资产投资状况是可接受的。 当投资者面临不完全市场时，在稳定偏好原则下，此时，u b s r 风险约束可以表示 为s u pq l q ( x ) o 。也就是说，只要最好情况下的风险也满足小于等于零的约束， 那么所有的风险测度如( q q ) 均满足条件。同样的，使得所有的金融资产状况是可 接受的，即可表示如下： s u p 嘲蹦名( 一x ) 卜五 ( 2 1 1 1 ) 这里，同样需要假设集合q o 是凸的，且关于集合g 是弱紧的。 假设2 1 5 我们假设在凸集合q 上的所有测度都等价于参考测度r ，那么该集合的导 数k ；悟：q q 卜关于盯( 郴) 州r ) ) 紧的【2 6 】。 我们需要损失函数z 满足下面的技术条件。假设z 是严格凸的，严格递增且连续的。 另外设z 在区间( 一弓，) 上是连续可微的，其中写( o ，0 0 】，且当x 一写时，e ( 4 = o 。 当习= 0 0 时，l i me ( x ) = 0 ，l i mz ( x ) = 0 。 j - - - - 0 0 j 棚 2 1 4 完全市场下的效用最大化问题 在效用有定义的情况下，最终的金融财富状况集合记为： = x o ：x z ( 尸) ，“( x ) 一z ( q 。) ) 设屯 0 为初始财富值，五 o 为风险约束值。在完全市场下，预算约束和u b s r 9 2 预备知识 硕士论文 风险约束共同作用下的最优化投资组合问题【1 9 l 如下： m a x i m i z e e q 0 掰( x ) s t 氏 z ( 一x ) _ a n d v x 互，q 0 耳 x 恐 ( 2 1 1 2 ) 在定义域。中满足两个约束条件下的所有资产状况集合记为： 一，q i ，q o ( 五。恐) - x 。：气i ( 一x ) 西，廓【x 】恐 o 1 1 3 ) 2 1 5 不完全市场下的基于稳定偏好原则下的效用最大化问题 在效用和价格都有定义的情况下，最终的金融财富状况集合定义为： z = x o ：x z ( p ) ，尸7 a m t “( x ) 一刀( q ) ，q o q ) 当五，x 2 0 时，基于稳定偏好原则下，带有预算约束和u b s r 约束的效用最大化问 题的模型网如下： m a x i m i z e s t 伤i n 。岛f e 坳, ，l r 甜( x ) z 蚓s u pe q l 粤( 一x ) ka n d 翟砟嗍砭 ( 2 1 1 4 ) 在2 上的满足两种约束的所有的金融资产状况可以被记为： 砘糊一卜z ：溜 州k a n ds 心u y p e v x 而) ( 2 5 ) 2 2 基于稳定偏好原则下的效用最大化问题的求解 2 2 1 完全市场下的效用最大化问题的求解 文章【1 9 】中已经证明了在完全市场下，含预算约束和风险约束的效用最大化问题的 解存在且唯一，且解的形式为： 旷x 卜蒜，五去) dnn 一 i h 一h i ( 2 2 1 ) 其中函数x ：【o ，。) ( o ，) _ ( o ，) 是连续的确定的函数，且彳，正是适合的实值参 数。函数z + 是在一系列确定的最大化问题中获得的解。 l o 定义一个函数黾，弛，其中m 0 ，y 2 o 。 硕士论文 基于稳定偏好原则下的含消费的效用最大化问题 邑。虼( x ) ：= 甜( x ) 一咒z ( 叫) 一咒x( 2 2 2 ) 当乃0 ，y 2 0 ，黾，耽的最大值是唯一恒定的且等于 f ( 乃，y 2 ) fm “( 夏) + m z ( 一五+ ) x 弋脚# 1i ( 写y 2 ) 引铋主臻铲卜计卿，1) 纩 坎 “( 瓦) + 舅z ( 一夏+ ) 情况下的唯 一解，且，：( “) 。注意：x + ( o ，奶) = ，( 儿) = j ( o ，y 2 ) 。 为j 象u 固返个效用最大值i 叫题的群，处需要保证金融资严投资状况耳，q 。0 。根据 对偶理论，不妨考虑在预算约束下将期望损失最小化 2 7 1 ： m i l l i 妇蹦z ( 一y ) 。v e r 】，邳 ( 2 2 4 ) s t r l l ( p )a n d 耳 】， 晚 这个解可一k 七q 。爵 此时，损失函数的导数的逆可以定义为： f o 矿y z ( o ) “班心川矿i f 卜y 裂罱i 蚴) i 一娩矿 sz i - 磁+ j 、 7 工是在 p ( 一夏+ ) ，它( o ) 上严格单调递增的连续函数。 在保证资产价值、期望损失和解的效用定义良好的情况下，下面引入标准的可积条 件。 假设2 2 1 按式( 2 2 3 ) 定义函数x 。对于所有五之o ，五 0 作如下可积假设： x l & 姘d q l 五去h 础 z 五瓦d q l ，五剖叫q 1 ) 2 预备知识 硕士论文 “m 瓦n q i ，如割叫q o ) 栅工2 烁( 0 ，孙方脚一砟k 剐 亿2 q 存在解c p ，q t 0 。而方程( 2 2 4 ) 的觯的彤式为： y p - - - l h 矧 亿2 刀 在集合 卯搬 0 ) 上，使得损失最小化的投资组合策略在r 上是几乎处处唯一的， 即对于( 2 2 4 ) 的所有解耳，q ，l a v a r o ) = 矿， 卯，积 。 r 一口矗。 如果假设2 1 1 ( a ) 成3 f f _ ，当五= 0 和所有的乃 0 时成立，那么方程 恐= 廓别 亿2 固 存在唯一的常数解。其中：小去卜无风险约束效用最大化问题的唯哺。 下面的定型2 5 1 为效用最大化问题( 2 1 1 2 ) 提供了解。 定理2 2 3 假设2 1 1 成立，设五 o ，恐 0 ，c p q 1 和互定义如( 2 2 6 ) 和( 2 2 8 ) 所示，并 且巧，q l 是损失最小化问题( 2 2 4 ) 的解。有以下四种情况： ( i ) 当恐 五，五 o ，满足而= & 。lz ( 一x i , q o ) l 和砭= 耳 砟，q l q o 。 2 2 2 对偶函数的建立 完全市场下的效用最大化问题( 2 1 1 2 ) 的解可以通过构造对偶函数来获得。下面 首先通过对某些凸函数的定义，构造了一对相应的对偶函数【5 0 1 。这些结果为不完全市场 的一般稳定问题的解提供了基础。 定义凸函数 v ( 儿，y l ，) ；哿 “( x ) 一乃z ( 一x ) 一儿x ( 2 2 9 ) 其中( 耽，咒，) 【o ，) 【o ，) 【o ，0 0 ) 。那么，当 o ，如 o 时，可得到尹丁q q 上的凸函数 ( p lq , iq o ) = 乓篆， 等，剀 = 气l l + - 等，乞去 _ 佩附x - 瓦d q i ，五去 ) 叫煎船一，掣嚷叫 叫 动 锄 卜 “ p 一b 孙 叫 堡抵 堡蛾 r和曙水 h r 动 疗 飞 d 扰聆钟 堡船 石 炉一私夏陪 2 预备知识 硕士论文 鹕鬻，五劫 亿2 加， 为简便起见，可定义另一个凸函数审( 奶，m ) - s 婴 一m 粤( 一x ) 一y 2 x ， 其中：( y 2 ，乃) ( o ，o o ) x ( o ，) 那么c _ o ，p 丁q 上的凸函数可表示为： 卯i q i ) - 岛k 磊d p ，剀 = 一气【州c 面d p ) ) 】+ 画【三 面d p ) 】 ( 2 2 1 1 ) 此时，如和心互为对偶函数。 引理2 2 4 2 7 1 对于所有的五o ，五 o 和c o ，函数v ，如和吃有定义，并且 ，也：p r x g o _ o - - ) r ，l ：p ，q 专( 埘，ol 。 以下的假设可以用来替换上一节的可积条件。 假设2 2 5 假设对于所有的五0 ，五 0 ，有 、，乞( 尸ig iq o ) o ，有，也( 尸i gl q ) ； ( i i ) v o ，l ( p iq ll q o ) o ，有，五( e l o , l 编) 0 ( b ) ( 彳，) = a r g m i n 乩妒。( 匕，屯( pq , iq o ) + 而+ 如恐) ，当彳 o 时。 当= 0 时，下面的条件等价。 嗍卜”劫嘲，z 割 ( d ) ( o , 石) = a r g m i n 地妒。( 、，恐( p lg l 岛) + 五五+ 如娩) 如果其中任一条件满足，坼环伤硝d q l i ，z 去产效用最大化i 司题( 2 1 1 2 ) 的解，并且 龟 甜( 砟岛) = k ，正) ( pe , le o ) + g x , + z 砭 ( 2 2 1 3 ) ( i i ) 设屯( o ，五) ，则如下条件等价： c 曲而= 廓h 嘞别 ( b ) 印，9 = a r g m i n 跏( ( p i q l ) + c x 2 ) 这样，y e , c 虿= - l h 署户损失剥、化嘲( 2 - 2 4 ) 懈并且 一粤( 一耳，q 1 ) = 国( p iq 1 ) + 印，q i 恐 上述定理的证明均以如下引理为基础。 引理2 2 8 1 9 1 假设2 2 5 成立。那么，h ，五( p lq l iq ) 在五o ，五 o 上是连续可微的， 并且有 砷0 屯( p q , iq ) - - 卜+ _ 罢，五驯叫4 ， 2 预备知识硕士论文 和麦k 一尸l q l l 鳊) = 廓h a 面d q l ，五去) ( 2 1 2 朋) 此外，当c o 时，自是连续可微的，并且 未卯= 廓k 别 叫6 ， 2 2 3 不完全市场下基于稳定偏好原则下的效用最大化问题的求解 这一节主要解决在预算约束和风险约束共同作用下，基于稳定偏好原则下的效用最 大化问题( 2 1 1 4 ) 。 如果s 是局部有界的，那么上述的( 2 1 1 4 ) 静态问题的解等价于下面的预算和风险共 同约束下的动态l 口- j 题【2 7 1 的解： m a x i m i z e 岛i n f ，e 儡 甜( 巧) v y v ( 吻) s t ， s u pe q l 粤( 一) 而( 2 2 1 7 ) - 利用最不利情况下的度量，我们可以从不考虑稳定偏好时模型的解构造出基于稳定 偏好原则下的解。在考虑稳定偏好的情况下，将假设2 2 5 替换为如下表示形式： 假设2 2 1 0 对于所有五0 ，五 0 1 n f ，i n f ，、i n f ，、，如( 尸lq 1lq o ) o o( 2 2 1 8 ) 尸尹7q l q lq o q 0 1 化、 ”、 定理2 2 1 11 1 9 i 假设2 2 1 0 等价于 巴曼笺u o ，1 ( plq liq o ) (2219)mt i ni n 0 0 9 liu ，、，l 尸l ，l。l 0 上是绝对单调的，并且得到 y = 一三( c + d p d 0 1 ) 。 此外，问题( 2 2 1 7 ) 等价于测度户和磊下的标准问题( 2 2 4 ) ， s u 旦廓 】，】= e 卢 】，+ 】， p p l 一纬s u 啪pe q 。 z ( 一嘲= 一气阶嘲= 吃( 户l 磊) + c x 2 ( 2 2 2 1 ) 现在解决联合预算和风险约束下的不稳健效用最大化问题( 3 1 2 ) 。 假设2 2 1 3 i 删尸i 。n p f ，占，n e q l f 架丢。 。 ，如( 尸iq iq 。) + 名z - + 2 2 x 2 的最小值 ( 彳，正) 【o ，o o ) x ( o ，c o ) 存在。 定理2 2 1 4 册假设2 2 1 3 成立，并且集合q 和q 满足假设2 2 1 和2 2 5 。凸函数 ( 尸，q - ，q 。) hd 。_ ：( 尸fq lq 。) 在p r q q 上有下确界。我们使用p p r ， 鳞q 和珐q 来表示最小测度。 假设2 2 1 5 对于任何q 乌，存在口( o ，1 1 使得 ，石( 尸l 研ja q o + ( 1 一口) 荡) 0 。定义，满足定理2 2 1 2 的损 失最小化要求。此外，设乏为凸函数i 。n 。f ，j n f ，、u 0 ，五( 尸i qi 骁) + 乃恐的最小值，户和或为 。 j p e 一缟岛 1 1 。 p r 和q 上五( p i qi q o ) 的最小值。 ( i ) 如果恐 x t r x , 0 ) 上的唯一解。 ( i i i ) 假设s u pe q l 【粤( 一，( t 砸d 参o ) ) 】 _ x , ，那么最大化- q l e q l “ q i e q 问题( 2 1 1 4 ) 的解存在并且限制都要满足。若另外假设2 2 1 3 成立，那么得到唯一解 x + ：= x ( 允1 吾等，五；詈苦，其中x + 已定义。此外尸，研和或是最差情况下的测 度，并且得到最大的效用 n fe o _ “( ) 】_ ，五( ，i 研i 或) + 舛五+ 正吃 上面的定理给出了预算和风险共同约束下的基于稳定偏好原则下的效用最大化问 题( 2 1 1 4 ) 的解。该解与完全市场下不考虑稳定偏好的效用最大化i h - j n ( 2 1 1 2 ) 的解具有 相同的形式。 1 8 硕士论文基于稳定偏好原则下的含消费的效用最大化问题 3 基于稳定偏好原则下的含消费的效用最大化问题 前文的讨论中，效用的大小主要取决于投资者最终的财富状况。本章讨论带有消费 和随机收益情况下的基于稳定偏好下的效用最大化问题。此时，效用的大小不仅取决于 投资者最终的财富状况，也与投资者的消费状况和随机收益有关。下面将就单个投资者 和多个投资者两种情况进行研究。 3 1 模型基本假设 考虑含消费的情况f ，一个投资者在初始时刻0 到有限时间段t 内的基于稳定偏好 的效用最大化问题。 为了更好地研究这个问题，我们与k a r a t z a sa n d7 - i t k o v i 芒 3 4 】中提出的市场模型是类 似的。该市场模型假设：在概率空间( q ，兀( 五) 。鲻，p ) 上，资产的价格贴现过程 ( s ( ，) ) 。叠玎是的一个d 维的拥有左极限同时又是右连续的半鞅，这里的域流满足一般条 件。 假设等价于价格测度尸的上鞅测度集合m 存在，且是非空的，即在该金融市场上， 任何交易是无套利的。 投资者拥有初始资产，且他随时都有可能获得收益，并将其资产投资在d 种资产上。 资产投资组合过程记为1 ，= ( v f ) 。g s r ，只是当f 屹姆是下方有界时，该投资组合策略 才是有效的。投资者的初始资本记为w o 0 ，随机收益过程可描述为一个非递减的，可 适的右连续过程( q ) 。g ；r ，且勺r ( 尸) 。消费过程c = ( q ) o ；t t 可假设为一个非负的，非 递减的，可测的r c l l 过程。这里，我们只解决消费过程可以写成c f = 上g ( 幽) 形式的 情况，且是【o ，1 】区间上的一个概率测度，在【o ，1 ) 上扩散。假设投资者的消费方式是连 续的。特别地，我们选择= 嘎r 作为最优化最终财富。 c 作为消费率过程，是非负的，逐渐可测的：v 是可行的投资组合过程。考虑到消费 投资计划( c ，v ) ，价值过程( k q ”) 。螂丁可表示为： 吁y ：_ w o + f k 掇+ f ( 岛一g ) ( 凼) ( 3 1 1 ) 1 9 3 基于稳定偏好原则下的含消费的效用最大化问题 硕士论文 由k a r a t z a sa n dz i t k o v i 芒3 4 1 可知，在消费投资计划( c ，v ) 中，价值过程需要满足： 圩v o p a s ( 3 1 2 ) 于是，最终财富状况必须是非负的： w o + e r + 上v , a s , 一q o p 一姒 ( 3 1 3 ) 么( x ，) 记为消费过程密度( q ) 呱；，的可行集合，其中：( q ) 呲；，要求存在一个可行 的策略，使得条件( 3 i 3 ) 满足。 包含消费的效用是用基于稳定偏好下的效用函数的形式来度量的， u ( ( q ) ；r ) - 躲( 【fu ( t ，x ，q ) ( 衍) 】+ 7 ( q ) ) ( 3 1 4 ) 这里利用最坏情况下的期望效用来衡量该投资者的效用，其实就是稳定偏好原则的 表示方式。这个效用函数在处理模型不确定的情况下是很有用的1 2 7 1 。 惩罚函数，表明了对一个模型的看重程度。惩罚函数跟凸风险测度是紧密联系在一 起的 p ( 1 ，) 一脚s u p ( e q p h ( 蛳】，r ( p ) ( 3 1 5 ) 并且，惩罚函数，是下方有界的，且等于上述凸风险测度( 3 1 5 ) 的最小化惩罚函数， 即满足下面的对偶关系： 厂( q ) _ y 鄂) ( 一】，h ( q ) ) ( 3 1 6 ) 同时，惩罚函数y 需要满足下面的假设条件。 假设3 1 i 我们假设风险测度p 是下连续的，即对于】，上的一个递增序列( 匕) r ，当 艺】，时，我1 门有p ( 艺) p ( r ) 。 效用函数u ：【o ，丁】r + 专尺定义如前文，且性质如下假设。 假设3 1 2 对于固定的r 【o ，丁】，我们要求u ( f ，) ：r + j 只是效用函数，最pu ( t ，) 是严格 凹的，递增的，连续可微的且满足i n a d a 条件。 “( o o ) ：= l i m 材x ) - - 0 ； “ , a m y 甜( z ) = 堡主笙奎 茎王整室塑塑堡塑塑翌竺釜塑望堕翌壁堕塑盟 边缘效用假设是有界的，通过严格递减的连续函数k ，墨来划分界限，使得 k ( x ) 以( f ，x ) 疋( x ) ，j l l i m s u p k 2 ( z ) k ( x ) o o ( 3 1 7 ) 另外，效用函数u 具有正则渐近弹性，即 t i 警( s 甲帮 1 0 。m ， 3 2 基于稳定偏