（凝聚态物理专业论文）圈量子引力中高斯编织态的度规算符非对角分量期望值.pdf

摘要 圈量子引力认为，空间是由自旋结网态的激发而构成，作为高度激发态的平 坦空间是由量子态编织而成的，这一量子态即是编织态。因为通过高斯编织态的 位形和顶角可以编织出平坦空问，所以由它可以构成态空间。根据高斯编织态的 自身特点，应用自旋结网圈量子引力中的量了几何、重耦理论以及三维空问的图 形不变量理论，可以准确地计算出度规算符的期望值。本文将详细给出计算某一 种高斯编织态的自身度规期望值的方法，即高斯编织态的度规算符非对角分量期 望值。 本论文主要分为三个部分。第一部分是本文的引子，简要地介绍圈量子引力 中的a s h t e k a r 新变量及标价场算符与高斯编织态度规算符的联系。第二部分是本 论文的研究基础，即体积算符对高斯编织态的具体作用和体积算符的重藕矩阵元 的计算。第三部分是本论文的重点，即给出高斯编织态的度规算符非对角分量期 望值的具体计算方法和相应的度规算符本征值方程。 关键词：高斯编织态自旋结网圈重耦矩阵度规算符 a b s t r a c t i nl o o pq u a n t u mg r a v i l y ，t h es p a c ei sc o n s t r u c t e db yt h ee x c i t a t i o no ft h es p i n n e t w o r ks t a t e ，a sah i g h l ye x c i t a t e ds t a t e ，t h ef i a ts p a c ei sw e a v e db yt h eq u a n t u m s t a t e ，n a m e l y ，t h ew e a v es t a t e g a u s sw e a v e s l a t ec a nb eu s e dt oc o n s t r u c tt h es t a t e s p a c eb yt h ev e r t e xa n dg r a p h a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h eg a u s sw e a v e s t a t e ，w ec a ne m p l o yt h eq u a n t u mg e o m e t r ya n dt h er e c o u p l i n gt h e o r e ma n dt h eg r a p h i n v a r i a n tt h e o r e mi nt h r e e - d i m e n s i o n a ls p a c et oc a l c u l a t et h ee x p e c t a t i o nv a l u eo f m e t r i co p e r a t o ra c c u r a t e l y t h i st h e s i sw i l ld e t a i l e d l yi n t r o d u c et h ee v a l u a t i o no ft h e e x p e c t a t i o nv a l u eo fm e t r i co p e r a t o rw i t hr e s p e c tt oag a u s sw e a v es t a t e ，c o n c r e t e l y ， t h ee x p e c t a t i o nv a l u eo ft h eo f f - d i a g o n a lc o m p o n e n t t h er e s e a r c ho ft h i st h e s i sm a i n l yi sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s ：t h ef i r s tp a r ti st h e o p e n i n gw o r d s ，1h a v eb r i e f l yi n t r o d u c e dt h er e a la s h t e k a rv a r i a b l ei nl q ga n dt h e r e l a t i o nb e t w e e nd r e i b e i no p e r a t o ra n dm e t r i co p e r a t o rw i t hr e s p e c tt og a u s sw e a v e s t a t e t h es e c o n dp a r ti st h er e s e a r c hf o u n d a t i o no ft h i st h e s i s ，n a m e l yt h ev o l u m e o p e r a t o ra c t i n go ng a u s sw e a v es t a t e , i n c l u d i n gt h er e c o u p l i n gm a t r i xe l e m e n t c a l c u l u s t h el a s tp a r ti st h ep i v o to ft h i st h e s i s , a f t e rp r o b i n gi n t ot h ec o n c r e t e p r o c e d u r ef o rc a l c u l a t i n gt h ee x p e c t a t i o nv a l u eo ft h eo f f - d i a g o n a lc o m p o n e n t ，w e c a l l o b t a i nt h ee i g e n v a l u ee q u a t i o no fm e t r i co p e r a t o rw i t hr e s p e c tt og a u s sw e a v es t a t e k e yw o r d s ：g a u s sw e a v es t a t e r e c o u p l i n gm a t r i x s p i nn e t w o r k m e t r i co p e r a t o r 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：凄= b 乃受 时间：p 彩年，月巧日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的e p 届, i 本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子舨，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或 其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或 全部内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 导师签名：矽j 彩凌 签名日期：毋“年岁月髟日 l 引言 引力的量子化最主要的方案主要由两类：协变量子化和正则量子化【1 】。用 路径积分做出的引力场协变量子化方法计算出的引力相互作用的发散类型有 无穷多种而无法由理论自身的机制将其消除，所以未能获得成功，而早期的引 力正则量子化方法则是由于在寻找满足惠勒载威特方程的引力态方面存 在困难而进展缓慢，但近些年来，正则量子引力取得重大进展，特别是一种以 自旋结网圈作为表象的量子引力 z l ，我们称之为圈量子引力( l o g ) ，圈量子引 力认为：量子态是由三维空间中的封闭圈线给出的，称之为自旋结网圈i ，在 自旋结网圈表象中，困扰其它量子引力研究方案的微分同胚不变性的问题将不 复存在，目前自旋结网圈理论已从基本思想和概念的形成，发展到系统地解决 了该量子引力的运动学的基本问题比如角动量自旋结网圈概念的深入定义【， 任意态的独立性以及基态的证明，无穷维态空问的h a r r 测试的引入，抓算符 对自旋结网圈的量子分裂作用【”，以及作为面积和体积算符本征态的自旋结网 圈态的面积和体积本征值的离散性质 6 - 9 】。圈量子引力也取得了一些重大成果， 比如通过a g a s a 实验已观测到的能量超过1 0 “g e v 的宇宙超高能射线【1 0 “t ，但 宇宙超高能射线的a g a s a 实验数据不符合宇宙射线谱g z k 能量切断现象1 1 2 】，这 个问题可以通过考虑量子引力的影响以及对色散关系的修正来解决 ”】，还有一 个典型的例子就是通过计算穿过黑洞视界的表面的量子态的圈线，可以计算出 黑洞的熵1 ”。 我们知道，与系统的动力学紧密相关的哈密顿约束算符到目前为止还没有 完全解决1 1 6 l ，所以对于哈密顿动力学约束而言，情况就变得相当复杂【1 7 1 ，但也 取得了一个非常重大的成果，比如湮灭引力态的哈密顿约束方程已经被证明可 以与薛定鄂方程等价，并即将给出自旋结网圈态在时问中的演化机制。 目前，关于圈量子引力中的高斯编织态的研究已经取得了一些进展，但还 不够完善，研究方法和所得结果也呈现多种形式，因此深入研究高斯编织态的 度规算符是很有意义的。本文是在只考虑纯引力场的情形下计算高斯编织态度 规算符的非对角分量期望值，先是简要地介绍圈量子引力中的a s h t e k a r 新变 量及标价场算符与高斯编织态及其度规算符的联系，确定某些符号的意义。然 后的在自旋结网圈理论基础上探讨体积算符对高斯编织态的具体作用和体积 算符的重藕矩阵元的计算，最后在计算出的体积算符的所有重藕矩阵元的基础 上，给出了高斯编织态度规算符非对角分量期望值的具体计算方法和相应的度 规算符本征值方程。 2 圈量子引力 2 1a s h t e k a r 新变量及标价场算符 1 9 8 6 年以来，a a s h t e k a r 等人在正则量子化方案中采用的方法是将时空作 成由时逝标量和空移矢量规定的“3 + 1 分解”法【”1 ，这一做法在后来取得成功 的圈量子引力中得到了进一步的采用和发展。 a a s h t e k a r 以标价场彰和满足无挠条件d 。f + s 壮r ! e = 0 的自旋联络r ：作 为基本场量，在此基础上定义了两个新正则变量i ”】，分别是s u ( 2 ) 联络 以：r ：+ 车e ? 如和标价场f s ：a b e e 自 k 础，这组场量通常被称为a s h t e k a r 、q - 新变量。这对正则变量构成泊松括号： 髭( z ) ，e ；( _ ) 1 ) 】。= 脚：6 j 6 3 伍y ) ，其中 k ：8 删g 。由于这两个新变量引起了相对论正则体系的相空间自由度的增加， 所以a a s h t e k a r 在将广义相对论翻写成正则形式的过程之中引入了相应的三个 约束条件，它们分别是由时间的再参量化，s u ( 2 ) 规范变换不变性以及空间微分 同胚不变性引起的，2 5 1 ，分列如下： 哈密顿约束h 一上一水譬；f 磋一( r 2 + 1 弦“曰1 ( 1 ) 2 x 4 q “” “1 高斯约束g 。= 三( a 乒? e ? + s 。群e ) ( 2 ) 微分同胚约束d 。：! 曰砭一4 g ： ( 3 ) 其中：砝= o 。4 一a 。q + s 壮硝鬈 疑一( 氆一t ) y 我们接下来考虑标价场算符 ，它是物质场的哈密顿量的引力部分，它 可以用h o l o n o m y 的长度展开为 2 上式中的矿是体积算符，吩是沿着线段。的h o l o n o m y ，它实际上就是联络q 沿 着三维空间中的光滑路径e 的一个路径积分 1 6 】 nd 琏( a ) = p e x p ( - f o 出e ( s ) 4 ( p ( 5 ) h ，) ) ( 5 ) 其中t ；，l 是p + 1 维表象或自旋为p 2 的表示的反厄密生成元。我们称路径e 为一 条腿，并且通过用e 【o ，1 。来把腿e 的轨道矿来参量化，；( s ) 是腿的一个切矢量， 每一个起始点e 4 ( 0 ) 和终点矿( 1 ) 被称为顶角。 2 2 自旋结网圈量子态 作为量子引力态，闭合的自旋结网圈是总自旋为零的s u f 2 ) 不变张量的图解 形式，它能够由角动量和s u ( 2 ) 群的不可约表示导出，从而具有自旋群s u 例不 变性【2 1 ，所以三个约束中的高斯约束是自然满足的，又由于自旋结网圈的定义采 用的是其微分同胚等价类，故微分同胚约束作用同样成立【”l 。 自旋结网圈描述的量子态即为自旋结网态，量子态是由腿数构建的封闭图形 y 来表示，腿相交于一个顶角，由甩条腿连接而成的顶角称为n 价项角。对于三 价顶角，如果口，b 的数值已经给定，则由顶角条件可知c 只能取 i 辟一乩卜+ 6 | + 2 ，。+ 6 2 ，口+ b ，由于量子态的s u 例不变性可知，具有s u ( 2 ) 变换不变性的高价顶角可以通过一组三价顶角来构建，具体方法是运用忍一3 条 虚腿和颜色数集i 一 f 2 ，一： 的规范不变量可以构建，l 价顶角。们可以用 0 2 ) 个虚的三价顶角来组成，l 价顶角，虚腿的颜色数有许多自由度，所以虚腿 之间的连接方法是不确定的，我们把这种腿之间的连接方式称之为纽结。 图1 表示的是一个五价项角，五条颜色数分别为风，a ，p ：，岛，p 。的腿连接于 3 a 1 2 矿 舭 腑 兹 l r 打中 一珐 俨研 = 一f 靠 三j 堇 顶角处。图2 表示的是用三个三价顶角组成的一个的五价顶角，t ，f 3 为内腿的颜 色数，它等价于图l 中的五价顶角。 p l p 4 图1 r p 3 r p l 图2 妒 a ，卢，石 = ( ) ( 嚷( v 1 ) o p 晚( ) ) ( 6 ) 我们定义态 n ，a ，磊 和态 y ：，废，五 之间的内积，这是个更大的图形 y = i 巳 r 。u r ：，态的内积可以用图形上y 上的毗n 。 和妒fr 2 m ，屯 来表示。而 且纽结算子的内积为【”】 麒咖( 乏警) ( i ：i 吲嘲麻哟叫 其中，；和i 对应着顶角v 的一个虚腿和一个虚的三价顶角，e ：；，e 3 i 是连接虚 顶角i 的虚腿。为简便起见，用妒，记作自旋结网态，则沿着线段5 的h o l o n o m y 嚏仅仅只是一个生成算符，它的作用是使图形y 增加一条腿，如穆，一妒。，所 以它在图形中的作用实际上是把s u 伪群的反厄密生成元一连接到顶角的腿上。 疗价顶角的归一化纽结算子再可以用图形表示为 ( e o ) p 1 ) ( 岛2 ) ( 配1 ) 屯1 嵇p _ 1 ) ；鼎，毗矽 4 其中归一化因子为 j ( 最，e ，。) = ( 9 ) 在这里，= 昂，t 一。= 只一。，e o ，e 一。为连接顶角的腿，只，只一。为它们各自的 颜色数。 自旋结网圈扣，房石：是图形r 的集合，其中卢t p ( q ) ，p ( 巳) 为腿的 颜色数，乒= 哦m ) ，晚( ) ) 为顶角，k 的纽结”，每个自旋结网圈态 能够被分解成有限个圈态积的线性组合，自旋结网圈给出的态均为独立的基态， 但只有进行正规化后才能作为标准正交基。若我们固定基态，则我们可以通过我 们选择的基态之间的线性组合来描述这个量子态。 3 高斯编织态 3 1 高斯编织态的度规算符的构造 三维空间是由图形激发而构成的2 ”，事实上，若图形不包括高于三价的顶角， 则空间的体积为零，因此基态并非平坦空间，为了获得平坦空间，图形必须包括 无穷多项角，高斯编织态是无穷多个与位置无关的可以用来描述半经典空间的态 阱1 ，因此在三维空间中的有限区域r 中的编织态为w = 兀。k ，我们来考虑两 个相交于顶角v 的封闭腿n ，y ：，g a u s s 编织态可以取为图3 的形式 图3 路径为赁( o ) 一碓( 1 ) = 譬( 0 ) 一馑( ”2 坩f o ) 而g a u s s 编织态的顶角 则可以取为 pppp 【 llj k 图4g a u s s 编织态的项角 此时g a u s s 编织态的顶角 实际上足颜色数为p 的自旋结网态的顶角构成的，那 么由( 6 ) 式口 知，这个自旋结网态的顶角对应的波函数为 中，= 护( 噼h ，( ：p ) 。( 竹) “口( 嘭：) 。d ( q d o ( p ，p , p ，p ”。4 。 ( 1 0 ) 上式中的中。的内积是归一化的，我们把每一个顶角的编织态记为 = 二。c ，( a ) 由，= n e x p ( 一a 2 ( m 。一2 ) 2 ) ( 1 1 ) 其中n ，a 是归一化因子，运用s u ( 2 ) 张量积公式和厄密多项式的生成函数日。o ) 最后可以得到系数为 m “蔫譬等 ， 上式中级数发散取决于a 的值，通常情况下为了避免更高价颜色数的贡献【2 n ，我 们采用a2 三，则每个顶角的模为( h 1 w v ) = 艺：。( o ( 3 4 ) ) 2 ，我们把p = o ，1 ，2 ，3 分 别代入到( 1 2 ) 式中可以得到 ( c 0 ) 2 = 0 4 1 4 8 9 2 ，( c 1 ) 2 = 0 4 8 2 0 1 3 ，( c 2 ) 2 = o 0 9 7 2 3 7 4 ，( c 3 ) 2 = 1 2 8 9 1 9 1 0 6 由此可见当颜色数p 3 时的贡献远远小于p = 1 和p ：2 时的贡献，本文将 主要计算p = 1 时的情形。 我们再来构造高斯编织态的度规算符，在圈量子引力中，e i n s t e i n h i l b 。f l 作 用量为【2 0 l s 2 志，删3 州再p 一) 2 + 心k “】 ( 1 3 ) 上式是用来描述引力场的。其中为三维度规，口，6 是空间指标，且g ：d e t ( 吼。) ， r 为三维r i c c i 张量，k 。为非本征曲率，g 为牛顿常数，函数n 对应于四维度 规时时分量占。 6 标价场算符o ：满足关系式一e o e ：，因此，度规算符即标价场算符平方的 和， 已知标价场算符可以运用h o l o n o m y 的概念写成如下形式： ”茸( v ) = 一面4f r 卜啊枯1 ，限) “k ) ( 1 4 ) 其中啊= “，墨是端点在顶角v 上的一条线段，我们用通常的量子化方法 ，l + 壶 ， 来把上式进行量子化，可以得到 ”茸( v ) 一一志十啊 吼 ) = 志护口何1 ) ( 1 5 ) 我们接下让标价场算符“0 ；( v ) 作用于编织态上，具体步骤应该是先计算 i 1 对 顶角覆( p ，p ，p ，p ) 的作用，然后再用体积算符矿”作用于阿饭上，最后经过计算 可以得到”e ；( v ) 具体表达式。 一般说来，标价场算符是非交换的，即 ”包( v ) ，“彭( v ) 一o ，所以我们可以 把高斯编织态的度规算符写成如下对称的形式： ”衍( 墨，。) p ) 2 圭 ”包p ) ”。：o ) + ”6 ：( ) “。：p ) ( 1 6 ) 将( 1 5 ) 式代入上式中可得到高斯编织态的度规算符的一般形式 姒s 曲) = 丽4 ( 2 啪俨矿) 一坼魄_ 1 ) ：) ( 1 7 ) 3 2 高斯编织态的度规算符非对角分量期望值计算公式 至此我们已经知道高斯编织态的度规算符的具体表达式，本文具体计算的 是高斯编织态的度规算符的非对角度量分量，所以对于作用在g a u s s 态的4 顶角 九( p ，p ，p ，p ) 上的度规算符，其非对角分量有以下1 2 个： “m ( s o ，墨) ， m ( s o ，j ：) ， m ( s o ，巴) ，w ( 墨，s o ) ，? ，( ，s ：) ，“m ( s t ，墨) ， m ( s 2 ，s o ) ，“m ( s 2 ，) ，“m ( s 2 ，s 3 ) ，“ 彳( 毛，s o ) ，“m ( s 3 ，墨) ，“m ( s 3 ，s 2 ) 由度规算符的对称表达式( 1 6 ) 可写出 7 ”衍( ，) p ) 2 去 “或 ) “。：p ) + ”6 i 扣) “e ：p ) ”2 访( s o ，s o ( o ) 2 j 1 ”雠p ) ”e ：p ) + 8 包( ”) ” ”( s o ，毛) 扣) 2 去 ”6 ：p ) “e ；p ) ，戗p ) ” ：o ) “衍( 墨( ”) 2 圭 “e i o , ) “锐p ) 十“6 ” i p ) ”孵( 墨，巳) p ) 4 圭r 毹p ) ”。：) + ”毹p ) ”。i ) ”衍( 鼍，) p ) 2 圭r 6 ：p ) “e ：( u ) + ”6 ：( ”) “ ：p ) “衍( 是，) p ) 4 圭 “6 ：。) ”。：( u ) 十“6 ：p ) ”。：( ”) 】 “口( 毛，墨) p ) 2 圭r 6 ：p ) ” i 扣) ，6 i p ) “e ：p ) 】 ”( s 2 ，s p o , ) 2 去 4 6 ：p ) “ ；p ) + ”包p ) “。：) ”访( s 3 ，) 似) 2 圭 “自；p ) ” ：o ) + ”瓯p ) ” ；扣) ”衍( ，s t ) p ) 2 i 1r 自；) ” i p ) + “6 i 扣) “e ：p ) “衍( 邑，s z ) ) 2 圭 ”包p ) ” ：p ) + “包p ) ”e ；p ) 由十度规算符的对称性质司知 ：竺 墨、_ 鼍“ ) ，之瓴一z ) _ 擘( 蔓砧，啦( 晶= “衍( 巳，s o ) ， ( 1 8 ) w ( ，s z ) = 4g ( s z ，墨) ，“m ( s t ，s 3 ) = “j 】l f ( 巴，墨) ，“m ( s 2 ，s 3 ) ，= ”m ( s 3 ，s 2 ) 。 所以只需要求出上式中的六个分量，先以度规算符的非对角0 1 分量”衍( ，s o ( v ) 为例，我们来推导出它的具体计算式。 对于”讶( s o ，墨) p ) ，i = o ，j = l 衍( ，墨) ) 。圭 ”瓯p ) ”。；p ) + ”q 扣) “ ：) 第一步计算”或p ) 像( p ，p ，p ，p ) 先计算h o l o n o m y h o 1 对g a u s s 态的4 顶角九( a p ，p ，p ) 的腿p o 的作用，此时有 k 1 九( b p ，p ，p ) = t ( p ) l = n k ( p ) y 。( p ) 1 q - i 1 ( 已3 ) 刈 ( 2 0 ) 这里n i ( p ) = n 。( p ，p ，p ，p ) 为顶角九( p ，p ，p ，p ) 中的归一化因子；y + ( p ) = 1 ， y q ) 一兰。将体积算符矿”对( 2 0 ) 式最右端图的作用以下式定义： 伊耵识圳加) 弘( 砂”噬! 幽u 剑c p 七 ( 2 1 ) 在计算( 2 1 ) 式时，5 顶角图中的腿i 不受矿一中抓的作用。对于体积算符矿n 对5 顶角峨的作用，将采用矿”峨= 。九的形式实现，即 j ，t n 皿( i ，p + q ，p ，p ，p ) f f ” 1 u【、ulj 一芝。( i ，p + q ，p ，p ，p ) g ，n 。 j f 1 p + qppp ulu 从而( 2 1 ) 式的作用可写成 泓 2 蔷渺，降- - “p ( 1 卯m p ， pp pp 蚍 而f h 。对( 2 3 ) 式中的图形因子的作用为 9 ( 2 2 ) ( 2 3 ) f h o = f 1 = f p + q 土p = 1 - p ppp pp pp 令( 2 3 ) 式两端均经受f h 。的作用，将结果代入( 1 5 ) 式中，得 吣一焘互渺州( 警卜伽m 内 1 0 ( 2 4 ) p。 pll p_一纠 plllj pl 山则 譬 p + q pppp 引uj ( 2 5 ) 第二步计算“ ；p ) “瓯( u ) 识( b p ，p ，p ) 现在求算符“6 i 对( 2 5 ) 式的作用。即是对上式右端的图形因子施以“6 i 的 作用。 pp pp 令 则 f ：=刚、u j 科e 一一麓吲p ，剑p 划p p j p 运用重耦定理【捌 可以将( 2 6 ) 式写成 f f 。 2 墨 ：d b ； ppp p ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) x 上式经受体积算符作用后，可以变成 啊峥踣叫扰p p 叭半卜鲫m 印， j 业 ( 2 9 ) 式最右端的图再经受r i 啊的作用可以写成 删 p m s p ms 为使上式中r 对其右方图产生有效作用，应将其写成如下形式 愆 朋 崇三 p + g p + g 1 2 ppp p l 上剧 p 卅j pp pp 地 p ms p ppp pm s p + g pppp p 研s 为使度量算符对g a u s s 编织态的作用是本征作用，( 3 0 ) 式最后端的图形有如下二 种化简方式： pp pp pppp p ms pm s ppp p p 卅 非本征作用，舍去 可得到本征作用，采用 取上图中的本征作用方式时，s = p = 1 ，从而( 3 0 ) 式最后一个等式可以变为 1 2 楚 鹏 o pp pp u u p 卅 辩l l u ， 由( 2 9 ) 、( 3 0 ) 和( 3 1 ) 式，经整理后，得 胄讯2 丽1 6 磊荟跏如，鼢( 等卜卯m 力 厂j一、lill p p ： ( 半卜卯m 力 韭i 型韭! 型 o ( s ，2 ，p ) e ( p ，2 ，p ) 第三步计算”6 6 溆，类似地可得到 ( 3 2 ) 胄6 瓶。丽1 6 荟互萃跏砒( 纠( 纠 p p 项等卜卯棚 眺p p 捧仁，p 捌r 。p ，p 州半p 舢m 力) 砌l ；p ，p 2 + q t e t p ；p 卅i ! !三jj ! !j o ( s ，2 ，p ) o ( n2 ，p ) 由上式和( 3 2 ) 式，最后得 ( 3 3 ) 哺丸2 高荟荟；渺巩c p ，c 陟 ( 等卜州；p p ， ( 半卜跏m 力) + 眺p p 州等卜卯m p 悯；p p 捌；，p ： ， 。pp p _ = ，) ( 半卜卯m 力) 韭竺型! 兰 日 2 ，p ) o ( p ，2 ，p 1 “ 4 摹“m ( ) ( p ) “丸 ( 3 4 ， 用类似方式可求得度规算符其他五个非对角分量的本征作用分别为 1 4 帆蝴：南善羞莩w 砒力 ( 警卜叫m 力 p pr ， m pp ，_ = f ) ( 半p 舢m 力) + 阮p p1 七 m pp 州等卜卯m 力) 阢p p7 t w j 一, t pp r ) ( 半p 卯m 力) 盟竺：眺兰 o ( s ，2 ，p ) o ( p ，2 ，p ) = ”m ( j z ) ( m 丸 ( 3 5 ) 帆蜘斋荟盖跏c 帅，鼢p ， ( 警p 卯m 眺p pr t w j 7 pp ，：雠p r ) ( 半p 舢m p ) + 眺p p1 七 m p 川pl 辛b pp p 升( 等p 卯m p ，) 阶p pr ( 半卜舢m p ，) ) 盟t e tl 兰12 刿 p 1 幽1 o ( s ，2 ，p ) o ( p ，2 ，p ) = 芝”m ( s o , s 3 ) ( 啪九 嘲啦舻斋q ：i ：l g - 。l t m 味p 蹦p ，( 惫) ( p ) 僦p p 项警卜m p ，p ) ) 眺p p 对 ( 3 6 ) ( 半卜舢m 州；仨 ( 等卜 m 力；p p ( 半 ( i ，p 嗨舢棚) = “m ( s l ，s 2 ) ( ，) h 丸 韭竺：瞪兰 o ( s ，2 ，p ) o ( p ，2 ，p ) 纠r ”衍c 墨瑚识。斋磊互；莘咏p 蹦p ) ( 瓮) c p ， 批p p 剐等卜卯m p ，) 阢p p 捌；p ，项半p 舢m 力) + 眺州pl ；1 p p pl 川k j p pp p 二 ( 等卜卯m 力 p p 捌；“pr ( 半卜舢以p ，) 韭兰：雠竺 o ( s ，2 ，p ) o ( p ，2 ，p ) = ”m ( s l ，s 2 ) ( p ) h 丸 坝鹕舻斋q g 1 t 孙砒( p ) ( p ) ；p p 七1 降1 p pp p 铖等卜怕舢棚) p pr ( 半卜卯m 力) 1 6 ( 3 7 ) ( 3 8 ) p s ，【1 吖k 怍 p p r r p p p j 莩仨 n计， lrj p p ， + 雠川pl ；pp 荆： p p 捌；p ，r 7 捌p s p p 二 ( 半卜舢) p p j ( 半卜舢m 力 型。搿(s2p ) o ( p 丸 ， ，2 ，p ) “ = m ( s 2 ，s 3 ) ( p ) h 。 ( 3 9 ) 3 3 高斯编织态的体积本征值 3 3 1 体积算符对高斯编织态的作用以及重藕矩阵的计算 本文在计算g a u s s 编织态的一重度量的期望值( 即n = l 的情况) 的过程中， 计算体积算符矿对五价顶角识( i ，p + g p ，p ) 的作用是必不可少的环节，与通常情 况下的不同陋1 ，它是通过通常情况下得到的各重耦矩阵的矩阵元的相加，而得到 矿对其作用的。即 慨一甲 ( 4 0 ) 式中 兰 肾等瓣焉 ” 4 、，向，p 驯” ( 4 1 ) 其中的w l 即为通常情况下体积算符对应的重耦矩阵。由于采用的方法是通 过求出重耦矩阵的具体数值来实现体积算符对5 顶角的作用，计算重耦矩阵的表 式如下【”1 ： w 。；= n , n i 只弓品 p ( 1 7 22 p 。一1 = n j n ；p lp j p x n 8 i 8 q j 22 ：，；毋己& 。；。 ：r 置k j + + 。ll。：， 2 22 j 其中， ，f 为( 4 2 ) 式第一行中图的顶角归一化因子，i ：f ：，f ， 石= 也，t - 2 ，n 为顶角价数。n ，蛳，咖和咖分别由下式给出： 廿k t + t 2 ( 立6 叫 砖2 a l l l = ：曼一 磁譬 日( ，p l i 2 )( 1 ：| 掣) 壤掣， 死f f 丸k x + l 2 1 且k - i ，1 剖 叫欺憾等掣) 掣 n f 卜缸叫 i 丝丝! j o ( k ，i k ，2 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 由( 4 2 ) 式可知，为了能计算重耦矩阵，必须先求出( 4 2 ) 式中的9 - j 记号 f t 弓七j + 。 1 2 乏之1 的具体表达式，运用下面两个公式陋 = k 7 1 8 ( 4 7 ) 2儿一， k 瓦邕眠 黯 一 口i j 七 +j + +， 七 ，：划 可求出9 - j 符号的具体展开式为 雕p i ； 竺盥! 丑型竺到 日( 屯+ 。，f j + 。，2 )日( b ，f j ，2 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) 通常度量算符对g a u s s 态的作用是通过体积算符对特殊的5 顶角的作用代替 的而实现的，为计算方便，本节首先将通常5 顶角图中的5 条腿的颜色，由左至 右命名为p o , p 。，p z ，p s ，p 。，则此种情况下重耦矩阵w 】，有“0 1 2 0 1 3 ”0 1 4 ” “1 2 3 1 2 4 2 3 4 ”共有6 种抓法。在本文中，由于顶角中最左方颜色数为1 的一条腿( 即p o 腿) 不能被抓作用”，所以体积算符的抓三元组只能抓在其余4 条腿上。这样，需要求解的重耦矩阵w 1 7 只有“1 2 3 ”，“1 2 4 ”，“1 3 4 ”，“2 3 4 ” 共4 种抓法，它们对应的抓法分别为： 抓法名称 抓法国 “1 2 3 ”抓法 “1 2 4 ”抓法 “1 3 4 ”抓法 p o kl ；一j 2 p l ip 2 p 3 p 行厂t l ，j ，j p 4 降h m 。一n = -，rj “： “2 3 4 ”抓法 钭眈 p 斗彳 b 2 j 下面具体求出这4 种情况下重耦矩阵的一般公式。 先求w 。； 此时( 4 2 ) 式中的1 = 1 ，j = 2 ，k = 3 ，并且咖= 0 【m = 1 ，同时有f = k l k 2 ，r = f l i 2 。 w - 纠；t i e 置b 只+ a ；a “。 喜2 p 2 差 式中n ；( 风，p 4 ) = f二! 垒蔓 11 t _ , o ( k x , p x , k x + o ( 风，p 4 ) = a l 缮 兀： 丌：。o ( i 。p i 。) 死f 如2 1 1死f 七22 l p t p 1 2 il p l p 12 l o ( i ：，2 ，k 2 )o ( i 2 ，2 ，k 2 ) 。：幽 ( z 2 o 一 o ( k ，2 ，f 3 ) 将( 5 1 ) ( 5 4 ) 式代入( 5 0 ) ，得 一- 。# = 犍 垒垒i 垒蔓垒蔓 o ( i l ，p 1 ，i 2 ) 日( f 2 ，p 2 ，i 3 ) o g ，p 3 ，i 4 ) o ( k l ，p l ，k 2 ) 日( 七2 ，p 2 ，k 3 ) 日( 七。，p 3 ，k 4 ) p l p z p 2 死f 七2 2 1 死f | f 3 k a i 4 l ! !里!兰ii ! ! ! l o ( i 2 ，2 ，七2 ) o ( i 3 ，2 , k 3 ) ( 5 0 ) ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 一1 ) 礞 k 2 p 2 k 3 1 f ： p 2 屯 ( 5 5 ) 22 2 式中i l k l p o ，i 4 一k 4 = p 4 a 同样的做法，求得其它重耦矩阵分别为 。圳；= 瓦a b a 。：a b( 一1 ) 2 磁 o ( i l ，p i ) p ( i 2 ，p 2 ，i 3 ) 8 ( i 3 ，p 3 ，i 。) 日( 七。，p 。，k 2 矽 ：，p ：，k 。) 日( 七3 ，p 3 ，k 4 ) 督 m 脚。剿必p 2k 3 ) 惭， 嘛：忘磊三磊焉蕊磊磊嘉磊 p 2 p 3 p 4 。6 ， o(p幽p曲i2蝴p2 p 2 。，。，) l z l a lo ( k 3 ，i 3 ，2 ) f k 3 p 3 k 4 1 f 3 几f 。 ( - 1 ) 货 ( 5 7 ) 【2 22j 舢鼎十蠼t e t 坼1 2 口，i 盯21 t e t 日k 丽z k 3 矿2 仨, k 3 p 2 3 k 1 4 c s 印 3 3 2 高斯编织态的体积算符的矩阵元计算 高斯编织态的体积算符的矩阵元为v 尹，由( 4 1 ) 式可知，只有先求解出重 耦矩阵w 。等的具体数值后才能计算出体积算符矩阵元y 尹的数值，本文将对 p = l 情况下的g a u s s 编织态求其度规算符的非对角期望值。从其非对角分量计算 公式( 3 4 ) ( 3 9 ) 可知，被体积算符矿作用的项角是5 顶角d p + q ，1 ，1 ，1 ) 和 d p + g ，l 1 ，1 ) ，由于q ：- - 1 ，g ：- + 1 ，所以实际被作用的5 项角共有2 种形式 d o ，1 1 1 ) ，d 2 ，1 ，1 ，1 ) 。我们分别来讨论： 1 = !i 3 对于5 顶角( i ，2 ，1 ，1 1 ) ，重耦矩阵为w 。嚣， 内腿旗和屯屯可取如下3 组颜色：( 1 ，o ) ，q2 ) ，( 3 ，2 ) 所以每一个重耦矩阵 一。】尊的矩阵元分别有 下 w ，赝】3 w 一1 1 0 1 2 ，w 一1 1 0 3 2 ，w 一1 1 2 1 0 ，w 。p 1 2w 。1 翟，w 。1 ；! ，w 。1 芝，w 。耋共九个。 把具体数值分别代入( 5 5 ) ( 5 8 ) 式中可以得到重耦矩阵的矩阵元，现列出如 w 。等 w 1 驯j 2 i ，k 2 k 3 = w 驯i k ：2 b k 3 = w 。圳娑- w 。，： w 。1 譬w 。盂 w 。纠： w 。纠蓍 w - ”】3 2 1 0w 。纠。1 2 ： w 。矧羔 w 。纠： w 。盏 w ，圳： w 。，： w 。点 w 。芝 w 。，： w 。，： w 。盏 w 。圳： w 。驯笔 w ，。盏 w 驯： w 。盏 w 。盏 w 。圳i w 。，笼 w 。圳笔 啊。孟 w 。盏 。，兰 w 剐瑟 w 圳詈 w 驯篓 w 。州蔷 啊。盂 w 。叫兰 0 2 4 3 3 一呈压o 3 4 9 6 矗| 2 6 6 一五 2 o ；括一 0 一 压 2 o 一塑 塑 o 0 o 0 o o 拈 6 压 2 0 o 一兰、i 一坐 3 3 昙以 o o 害 o o ( 5 9 ) ( 6 0 ) ( 6 1 ) ( 6 2 ) 对于5 i 角( i , o ，1 1 ，1 ) ，内腿毛和k 2 k 。可取如下2 组颜色组合：( 0 1 ) ，( 1 ，2 ) ，故 重耦矩阵w 。】赞将为2 x 2 方阵。用与前面5 顶角类似的计算，可求得其重耦矩 阵为 一3 o瓠，拓卜。 一 憾删懈格附憾2 叫一岛：等 将( 5 9 ) ( 6 2 ) 式表示出的重耦矩阵元w 。】罄代入到( 4 1 ) 式中即可求出体积算符矩 阵元吁的具体数值。 对于顶角( i ，2 ，1 ，1 ，1 ) ，在体积算符矿下的矩阵元经计算为 咄 嗜= l 皑吃 f 嗖壤 对于顶角d0 ，1 , 1 ，1 ) ，对应的体积算符矿下的矩阵元为 y 嚣1 - 蓝 1 2j 4 ( 6 3 ) ( 6 4 ) 4 度规算符非对角分量期望值的具体计算 4 1 非对角分量期望值具体值 在非对角分量期望值的计算公式中，我们已经求出了体积算符矩阵元v 尹的 具体数值，接下来只剩下顶角归一化因子的求解。，运用归一化因子计算公式( 5 1 ) 和( 5 2 ) ，可以得到下表： 表a 顶角的归一化因子 痧拒。痧。扼 。历辱 兰p 、| r 一4 堕 = 喈吃噱 一压丁 o o 厚 加m 屹 y 矿 _j_【 = b t f 矿 顶角 顶角因 ( 1 ，2 ，1 ，1 ，1 )( 1 ，0 ，1 ，1 ，1 ) 届 1 1 。 6 2 压3 1 ： 33 4 1 3 ： 不存在 g a u s s 编织态的( 一重) 度规分量可简写成m 岱。，s 。) 。，当取七= o ，m = o 或者 k 一2 m = 2 时，( 3 4 ) ( 3 9 ) 式实际上就是度规算符的本征方程。把( 6 3 ) ( 6 4 ) 以及表a 中的数值代x 高斯编织态的度规算符非对角分量期望值的具体计算公 式( 3 4 ) ( 3 9 ) 之中，可以得到十二个非对角分量的具体数值。 先以计算非对角0 1 分量m ( s o ，墨) 。( u ) 为例，此时，k ：0 ，l 一0 由( 3 4 ) 式知 帆啪2 斋善磊跏c 帅，阱力( 警) 跏卯m p ，p pr ) ( 半p 舢m 力) 鲨竺 o ( p ，2 ，p ) + 丽8 荟羞；静砒( 力印 ( 等p 卯m 力心；p p 榭；，p ：捌； ( 半卜卯扔西) = 4 m ( j t ) ( 跏丸 啦呈型韭竺 o ( s ，2 ，p ) o q ，2 p ) ( 6 5 ) 丸 、，lr-j 把上式大括号中相加的两项分别用m 。和m 。代替，则上式可以写成 ”1 口1 ( s o ，墨) 晚一彤。+ m 。 丸= ”m ( s o , 墨) ( ，) 。丸 ( 6 6 ) 由上式知，计算出m 。和m 。的具体值后，两者之和即为非对角分量“m ( s o ，墨) 【p ) 。 的数值，己知在本文中取一重度规( 即，l 。1 ) ，而且由3 顶角相容条件可知，当 s = p = 1 ，t = 0 时，r = 0 或2 ，当5 pa , t 2 时，r = 0 或2 先计算m 。的数值，具体步骤如下 首先枷1 0 用磊展开得 啬；孙吼( 1 ) ( 等卜叫 等m 乩 j r ， 韭瑚生 o ( s ，1 ，2 ) 0 q 1 ，2 ) 批吼c 。等帆叫琳，1 ：) 等印蚓m 1 ) 啦瑚兰 口( s 1 ，2 ) o ( 1 ，1 ，2 ) 再将( 6 7 ) 用v 展开，得 篇 啬；卜棚) ( 等卜u 啦盟 o ( s ，1 2 )