（计算数学专业论文）ats2广义逆的位移秩及其扰动分析.pdf

复旦大学硕士毕业论文 - y 6 5 1 5 8 4 h 1 摘要 本文讨论和研究了a 5 1 ：名广义逆的位移秩及其扰动分析，文章的最后一部分介绍了求解 a t “”的两种迭代算法, s b 文章分为三个部分第一部分介绍了篮0 的位移秩问题。这个得出的理论结果包括 m o o r e - p e n r o s e 逆，群逆，d r a z i n 逆以及( 1 ，2 ) 一逆的结果 第二部分介绍了a 笋) s 的扰动分析。这个部分讨论了a 热的连续性以及它的扰动分析 与结构扰动分析从不同的氟度来看矩阵扰动问题从而使它们有了对比性。 第三部分介绍了求解。a 丁o , s 2 b 的两种迭代算法。 关键词：a 笋；a ( 1 , 2 ；位移秩；结构矩阵；扰动；连续性；分裂；迭代方法。 露蝣j ”j 。1 “! 沌 。ohf ， 堡呈盔堂亟圭些堡塞2 一一 a b s t r a a t i nt h i sp a p e r id i s p l a c e m e n ts t r u c t u r e ，g e n e r a lp e r t u r b a t i o n a n ds t r u c t u r e dp e r t u r b a t i o no ft h e g e n e r “i z e di n v e r s ea 夥a r e d i s c u s s e d i nt h ee n d ，i ta l s og i v e st w 0i n t e r a t i v em e t h o d sf o r a r i , s z 7 6 t h i sd a p e ri 8d i v i d e di n t ot h r e ep a r t s t h ef i r s tp a r ti s a b o u td i s p l a c e m e n ts t r u c t u 。eo ft h e g e n e r a l l z e di n v e r s ea 熟o f as i n g u l a rm a t r i x ，w h i c hc o v e r st h es p e c i a lc a 8 eo nt h em o o r e _ p e n r o s 8 i n v e r s e ，w e i g h t e dp s e u d o i n v e r s e s ，g r o u pa n d d r a z i ni n v e r s e - t h es e c o n dp a r ti n t r o d u c e sg e n e r a la n ds t r u c t u r e dp e r t u r b a t i o no ft h eg e n e r a l i z e d i n v e r s e 鸳1 t h e n o r m w i s ep e r t u r b a t i o nt h e o r ya n dc o n t i n u i t yo fa 貉i si n v e s t i g a t e d t h et h i r dp a r tg i v e st w oi t e r a t i v em e t h o d sf o ra b k e y w o r d s ：( 2 ) 一i n v e r s e ；( 1 ，2 ) i n v e r s e ；d i s p l a c e m e n t ；s t r u c t u r e d m a t r i x ；p e r t u r b a t i o n ；c o n t i n u i t y ；p r o p e rs p l i t t i n g ；m u l t i s p l i t t i n g 第一章引言 设a 凹一，t 和s 分别是c n 和c m 的子空间，d i m ( t ) = d i m ( s 上) = t sr ，则 a 有满足r ( x ) = t ，n ( x ) = s 以及x a x = 义的( 2 ) 一逆x 当且仅当 a t o s = c ” 此时x 是唯一的，记作x = 4 熟。 设g c m 一如果g 满足r ( a ) = t ，n ( g ) = s ，则我们有【1 0 】 a 笋；= g ( a g ) ，= ( g a ) ，g ，a 4 笋= a g ( a g ) 9 ，a 笋) s a = ( g a ) g g a ， 这里的( a c ) 。和( c a ) p 分别是a g 和g a 群逆 从j o r d a n 标准分解理论，我们可以得到对于任何复的m 礼矩阵a ，r a n k ( a ) = r ， 总存在着非奇异的矩阵r 和j v 使得【1 4 l 4 = r q a 1 1 三。) ，g = 。( 1 ：) r ， c - ，t ， 这里的冗是m m 非奇异的矩阵面是钆x n 的非奇异的矩阵同时a t ，g 1 1 也是非奇 异的矩阵。现在我们可以把a 夥写成与a 有关的形式 磷一，( 掣小 。， 设矩阵 q = a ( 2 ) a ，p = 厶一q ，q + = a a 笋j ，只= k q + 很明显这里的q 和p 是投影，t m ( a ) 代表a 的值域，k e r ( a ) 是a 的零空间而很容 易得到 i r a ( q ) = f m ( 雒0 ) = j m ( g ) ，i m ( q 。) = k e r ( p ) ， i r a ( p ) = e r ( q ) ， 耳e r ( g ) = k e r ( a g ) s ) = k e r ( q 。) ( 1 ，3 ) 关于4 绍研究的最新的一些成果我们可以参考【9 , 1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 】。 复旦大学硕士毕业论文 5 一个矩阵a 当且仅当a u v a 或a v a u 的秩相对于a 的秩很小的时候被称作具 有位移结构的矩阵a u y a 的秩也被称作s y l v e s t e r 矿弘位移秩而a v a u 的秩也被 称作s t e i nu 弘位移秩如果矩阵a 具有位移结构，那么a 具有很多很好的性质其中之一 就是能把求解a 的逆的快速求解算法构造出来而在这里我们主要关心的是具有足够小位 移秩( 2 ) 一逆的矩阵。 在本文的第三章我们也研究了奇异的线性系统 a x = b ， ( 1 , 4 ) 这里的a 且铝”。( g ) 是奇异的而且z ，6 c a 。集合n 靠t r u c t ( g ) 表示特殊结构矩阵的集 合我们研究的是s t r u t t ： s t r u c t t o e p ，h a n k e l ( 1 5 ) 描述的是t o e p l i t z 和h a n k e l 矩阵 扰动系统是 ( a 十a a ) ( x + z ) = b + a b ，( 1 6 ) 这里a 矗( g ) ，a b c ” 众所周知，条件数在数值分析中很重要，既然条件数是描述相对于a 和b 的扰动影响 到线性系统解的敏感度所以当我们考虑特殊矩阵特殊结构时，特殊结构矩阵的条件数可 能要比非特殊结构矩阵的条件数好【7 ，1 1 ，1 2 ，2 5 ，2 7 ，3 0 】 关于系统( 1 4 ) 的扰动矩阵e 蚴。( g ) 和扰动向量，c n 的条件数定义为 k e ，( a ，z ) = i l i 坷一f 。i 制j a x i l l 一：( a + a ) ( x + a x ) = 6 + 6 】 a a 螈( g ) ，a b c “，i i a i i e i i e l l ，i f b l l e l l i l l ( 1 7 ) 对于结构矩阵a ，比如说，h a n k e l 阵，扰动矩阵a a 的结构就要求和a 的结构相 同。结构条件数可以相似的定义为： 圪s f t r ，u “( a ，z ) = ! 鸳s u p 糊：( a + 删( 料叫= 6 + 6 ， a a 鸠“( g ) ，a b c “，f , a l l f i i e i i ，i i f b l ls , l lr j ( 1 8 ) 复旦大学硕士毕业论文 并且 我们将导出清晰的关于一5 ”。的公式。特别地，我们将研究比率l c s t r u c t k 。 在第三章中根据( 1 1 ) 我们记 a = q 。1 a 1 1 三。) 只g = p 一1 ( 专1 ：) q ， c - 。， 织：p _ 1f ，硝。 q 、00 ( 1 1 0 ) 在第三章的第三节我们只研究p 1q 一范数扰动一个向量z 的q 一范数定义为 i i x l l o = i i q x l l 2 ， ( 1 1 1 ) 这里的p 和q 在( 1 9 ) 有定义而为了简洁我们记l i x l l q 为忙 定义为 i i a i i p , q = i q a p 。1 怯 以及 所以矩阵a 的p ，q 一范数 为了简洁我们记矩阵的p q 一范数和向量的q 一范数用同样的记号 为了得到关于以绍的扰动理论，在整个第三章第二节我们需要假设 ( 1 1 2 ) i m ( a a ) 量i m ( a t ) ，i m ( ( a a ) 日) i m ( a h s 上) ， ( 1 1 3 ) b i m ( a t ) ，a b i m ( a t ) ( 1 1 4 ) 我们关注于线性系统的最小p 1 q 一范数解。有了上面的条件约束我们可以得到( 1 4 ) 的解 有以下表达式： 茁= a 。( 2 ) 。b 很容易检验( 1 1 3 ) 等同于 a 以路a = a ， a a 笋j a = a ( 1 1 5 ) 如果a a 满足条件( 1 1 3 ) ，从 1 8 ，2 3 】我们得到重要的表达式： ( a + 4 ) 笋0 = a 冀一a 冀a a 笋；+ o ( e 2 ) 6 复旦大学硕士毕业论文 在第三章中我们研究奇异的有结构的矩阵的条件数。在第三章第二节中，我们导出结 构条件数的范围，以及给出一系列条件数的表达式。为了简洁在整个第三章中我们要用下 面的记号： 地( g ) 代表n n 的复矩阵的集合； 露t r u e r ( e ) 代表礼礼的复结构矩阵，与( 1 5 ) 定义的相同； l i 圳是p 1 q 一范数，p 1 q 在有( 1 9 ) 中有定义； l i a h 2 是a 的2 一范数； e 是扰动矩阵； f 是扰动矩阵； a 月是a 的共轭转置矩阵； n u u ( a ) 是a 的零空间； i m ( a ) 是a 的值域空间 7 第二章a 绍位移秩问题 2 1s y l v e s t e r 位移秩 在整个这章中，u 和y 是固定的矩阵下面的记号 d ( 阢v ) = a u v a 称作a 的u v 位移结构，为t 区别f 一节史一般的情况，我们称它为s y l v e s t e ru v - 位移 结构，而a 是特定的s y l v e s t e r 方程的解。我们很容易找到一个非奇异的具有u u 位移结 构矩阵a 而它的逆a ( 一1 ) 具有y u 位移结构并且有下面的等式成立 r a n k ( a ( 一1 ) y u a ( 一1 ) = r a n k ( a u y a ) 下面主要的工作是估计具有s y l v e s t e rv 弘位移结构的a 的( 2 ) 一逆的y 矿位移秩的大 小我们首先来看一下a g 的位移结构。 引理2 1 设a e ”“，c “。”以及v c ”，这里的a 熟是a 的( 2 ) 逆我 们就有 a 绍y 一矿a 笋j = a g v a p u a g ) s a 努) s ( a u v a ) a 绍 ( 2 1 ) 这里的q ，p 1 q + ，只在( 1 3 ) 里有定义 证明上面的等式很快可以从下面的关系得到 a 笋) s ( a u v a ) a 笋| = ( ，一p ) u a 船一a g v ( i 一只) ( 2 2 ) 口 从( 1 3 ) ，我们可以得到以下的推论。 推论2 1 a 夥的v u - 位移秩满足下列的不等式估计： r a n k ( a 夥v u a 。( 2 ) 。，sr a n k ( a u v a ) + r a n k ( q + y 只) + r a n k ( p u q ) ( 2 3 ) 证明 我们能得到d i m ( p v a 笋) s ) = r a n k ( p u q ) ，r a n k ( a 笋) v p ) = r a n k ( q v p ) r a n k ( p u a 乒) s ) = d i m i m ( p u a 笋) ) = d i m p u i m ( a 笋) s ) = d i m 1 m ( p u q ) = r a n k ( p u q ) ，( 2 ，4 ) 复旦大学硕士毕业论文 第二个等式可以相似的证明。综合这些我们可以得到推论的估计 现在我们的目的是估计上述不等式右边的第二和第三项 定理2 1 根据前面的一些结论，我们可以得到估计 r a n k ( q + y 只) + r a n k ( p u q ) r a n k ( u g a v ) ( 2 5 ) 证明我们令f = u g g v 。 分解 u v = ( 象：芝：) , r v r - 1 = ( v l l 芝：) ， c z 同 从( 1 ) 我们可以把矩阵f 写成以下形式 n f r 一1 = n u n 一1 n g r 一1 一n g r 一1 r v r 一1 = u l lu 1 2 ) ( g 1 1 小g 1 1 。0 = 麓坷 从【5 】5 我们知道 vii y 1 。2 ) r 。礼尼( 仉1 0 ；一g l l 1 一g 1 1 h 2 1 r 口佗七( 一g 1 1 2 ) + ，n n 女( 巩。g 1 1 ) g 仉11 1 0 一 、 “”u ”“ = r a n k ( v 1 2 ) + r a n k ( 巩1 ) 2 r 。几七( ：2 ) + r 凸几m0 。0 ) = r a n k ( q + y 只) + r a n k ( p u q ) g n 是非奇异的证明结束 口 9 复旦大学硕士毕业论文 2 2 一般情况下的位移结构 为了使定理2 1 更一般化我们接下去介绍一种一般化的位移秩概念【3 。记a = 【a i j 】5 为一个非奇异的2x2 矩阵我们把a 与有两个参数的多项式联系起来 o ( a ，p ) = 旷 以及线形的分数方程式是 脚) = 裂等 对任何固定的u c “以及v c ”。“，一般化的由o ( a ，卢) 产生的a c ”“的( ，矿v ) 位移结构定义为 o ( v u ) a = o 蛔y a 沪 如果 。一0 。“ 我们就可以得到前面一节我们讨论的s y l v e s t e r 位移如果 三( ， 我们就可以得到s t e i n 位移 引理2 2 。 3 】 设o = 8 嵇】6 ，b = 嗡， 6 ，e = f d = 【白玷是非奇异的2 2 矩阵我们有 以及 o = b t d c ， ( 2 7 ) ( 6 0 0 + b o i a ) 1 。( a ，卢) ( c o o + c o l p ) _ 。= d ( ( a ) ，c ( p ) ) 勰2 邓】设扛0 。11 b o o + 6 0 l y 和c 0 0 + c 0 1 u 都是非奇异的 ( 2 8 ) 口 那么就存在2 2 的矩阵b , c 使得( 2 7 ) 成立同时 有了引理2 2 和2 3 ，下面的结论就可以成立 口 1 0 复旦大学硕士毕业论文 定理2 2 3 设b 和c 满足引理2 条件的矩阵，那么对于a c ”“，有 n ( vu ) a = ( b o o + b m v ) a f 。( u ) 一h ( v ) a ( c o o + c o l u ) u 下面对于更一般化关于( a ，阢v ) 位移结构的定理2 1 很重要 定理2 3 ( a ) 如果砂= 6 非奇异而且妒o o + 妒o 。v 是可逆的，那么 r a n k ( q + y 只) = r a n k ( q + 矿只) ， 这里v 三南( y ) 。 ( b ) 如果= 慨j 6 非奇异而且o o + l u 是可逆的，那么 r a n k ( p u q ) = r a n k ( p u q ) ， 这里u 三凡( u ) 证明我们定义 s = k e r ( g ) n k e r ( g v ) ，t s = k e r ( g ) e s 我们来证明a y 只是到8 1 一一映射。如果q v p , x = 0 而且。a ，那么y 只。 e r ( g ) = e r ( g ) 。这就表示g v p , x = 0 注意到z k e r ( g ) ，我们能得出结论z s 所以o = 0 进一步，q v p , x = q + y z = ( a g ) 9 a g v x = 0 对于任何的。s 从而 r a n k ( q + y 只) = d i m ( s 1 ) ( 2 9 ) 相似的我们定义 5 = k e r ( a ) n k e r ( g 矿) ，t 岛= k e r ( g ) e s ， 我们可以得到 r n n k ( q 矿只) = d i m ( 9 1 ) ( 2 1 0 ) 复旦大学硕士毕些迨塞 现在我们证明可逆矩阵硒o o + _ 0 1 v 是5 到s 的映射。假设z s 那么z ，v x k 。r ( g ) 。从而! ，；1 0 + 万1 1 v ) x 以及z 三( 7 0 。+ 7 0 。y ) x 包含于k e r ( g ) 所以y = 矿z 而且我们可以得出结论z ，矿z k e r ( g ) ，那就表示2 s 。同样的，对于相同的参数我们 得到( 可o o + _ 0 1 v ) 一1 z s 对于任何的z s 。 这就表示 d i m ( s 1 ) = d i m k e r ( g ) 一出m ( s ) = d i m k e r ( g ) 一d i m ( s ) = 出m ( 是) 根据( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) ，我们可以得到( a ) ( b ) 也可以相似的证明得到 口 现在我们可以得到更一般化关于( a ，阢v ) 位移的定理2 4 。 定理2 4 设a , b 是2 2 非奇异的矩阵，那么 r a n k a ( u , y ) a 簧) 】r a n k a t ( vu ) 刎+ r a n k b ( v , 矿) g ( 2 1 1 ) 证明根据引理2 2 存在着2 2 矩阵w ，z ，y 使得 w o o + w o l u ，z 0 0 + 卫o l y ，y o o + y 0 1 u ， z o o + z o l v 是可逆的以及 a = w t d z b = x t d y 从而， r a n k a ( u , y ) a 笋翻一r a n k a t ( vv ) a 】 = r 。礼【厶( u ) a 笋一a 笋；丘( y ) 】一r a n k f z ( v ) a a f t ( u ) r a n k p f 。( u ) q 】+ r a n k q + 丘( y ) 只】 = r a n k p f v ( u ) q 】十r a n k q + 五( y ) 只】 r d 礼七 矗( 矿) g a a ( v ) 】 = r a n k b ( u ，y ) g i 1 2 口 第三章a 黠的扰动与结构扰动 3 1a 的连续性及其扰动 在这一节里，我们将得到a 笋| 的连续性以及考虑当t 和s 有扰动时，a 的扰动。 定理3 1 设a c ”“，g c ”。”以及这里的a 绍是a 的( 2 ) 一逆如果g a x g x a g g 和r a n k ( x ) = r a n k ( g ) ，那么x a 笋j 证明分解 x = p - 1 f 甄n1q 、x 2 tx 2 2 根据g 1 l ，a 1 1 是可逆的我们推断出 相似地我们有 x u a 哥，x 1 2 _ 0 x 1 1 一a 膏，配1 0 所以我们知道 。1 ( 譬球 从r a n k ( x ) = r a n k ( g ) ，我们有x 2 2 0 所以 x p 一1 f ，a o l l 0 0 ) q = a 乒。 ( 3 1 ) q 、 墨 u h x x ，j-_l、 一 pp q 、，、 o 如 墨 1 1 ) “o a o ，g l ( q u q x q 、d、 o 0 盘0 o 0 茹。 哆 址。 岛0 k 研o ，一 肛 g = i | 1 - = xg 复旦大学硕士毕业论文 证明结束 口 引理3 1 1 6 设b = a + 蜀，h = g + 马，h b = g a + ( g e l + 易a + 邑e 1 ) = g a + e 使得i n d ( h b ) = i n d ( g a ) s1 以及r a n k ( h b ) = r a n k ( g a ) 如果有l i e i i 足够小 l i ( g a ) 9 e l i 1 ，l i e ( g a ) g | | 1 ，i i y i 1( 3 2 ) 这里的 y = ( g a ) g ( ，+ e ( g a ) 9 ) e ( z g a ( g a ) 9 ) e ( ，+ ( g a ) 9 e ) 一1 ( g a ) g( 3 3 ) 那么我们有 和 ( 唰l 阳阿i i ( 丽g a ) g l ll 1 + 炒半嵩箫必) ( 1 + 坚芈躁群剑) ( 3 a ) i i h 即砚i i 帮 + 丽1 ( + 螋峭斧) x ( 1 + 。i i ( g a ) g 1 i i i e l l ( 。zl - 。g 。a j 。( | j a a ) 9 ) i i ) ( 3 5 ) 但要满足 f 丽1 f砸而硼丽(1可-i面ie(g啊a)矿91i)(币1-丽ii(g丽a)9厩eii)1i y l = 丽丽 ( 3 6 ) 一f i 一( 1 一i i e ( g a ) 。l i ) ( 1 一i i ( g a ) 。e ij ) 一i 陌互万石驴币云口二= _ 百万r 巧：i y 丽 1 6 b j 推论3 1 【1 6 】假设h b = g a + e 而i n d ( a a ) 1 以及r o n k ( h b ) = r 。n k ( g a ) 如果 a ) 。i i i i e i i 百丽面叨i 丽丽 ( 3 7 ) l + n dc g 以) | | g a f ( 了以。1 、7 就有 i n d ( h b ) = i n d ( a a ) ，i i y | | 1 ( 3 8 ) 这里的y 在( 3 3 ) 给出并且( 3 4 ) 和f 3 5 ) 要成立。 1 4 复旦大学硕士毕业论文 引理3 2 1 6 】设h b = g a + ( g e l + e 2 a + 易毋) = g a + e 使得i n d ( g a ) s1 和 r a n k ( h b ) = r a n k ( g a ) 。如果( 3 2 ) 成立，那么有 蜓丝里2 1 ! 二虹堡垒g l i ( g a ) g j l 。! ! 二! ( 垡生b | | | l ：! 业二i i ( c a ) 9 i h f zj l + l i ( g a ) 9 | | l i ( i g a ( g a ) ，) e 1 1 ) 一 ( 1 一i i ( g a ) ，i i i i e i i ) 2 一i | ( g a ) 9 1 1 2 l i e u g a ( g a ) ，) e 2 ( 1 一i i ( g a ) 。i i l i e 1 + 0 ( g a ) ，i i i e ( i g a ( g a ) 。) 1 1 ) 一l( 3 9 ) 定理3 2 设b = a + e 1 ，h = g + e 2 ，h b = g a + ( g e l + 历a + 易蜀) = g a + e r ( g ) = t ，( g ) = s ，r ( 日) = 于，( 日) = 雪如果有i n d ( h b ) = i n d ( g a ) s1 和 r a n k ( h b ) = r a n k ( g a ) ，如果( 3 2 ) 成立那么我们有 | | 碜j 一篮 i l a 热| | i ! 垦0 一一| j ( g a ) 。i i l l ( i g a ( g a ) 9 ) e l i 、 2 l v l i ( 1 一l l y l l ) 2 ( 1 一l l ( g a ) ，昱 1 ) l 。j _ 二 r 否j 正墓丌一o f】+ii(ga)giiie(i-ga(ga)g)i、 。 1 一i i e ( g a ) ，| | 7 牟! ! 二i ! ( 堡垒2 9 删垒业( ! 二( g 垒! e | | + i i ( g a ) ，i ( s g a ( g a ) 。) e i i ) 。 f ( 1 一i i ( a a ) 。l f e f l ) 2 一i i ( g a ) ，1 1 2 l i e u g a ( g a b ) 面l 矛一 ( 1 一i i ( g a ) 9 r l l l e i l + l i ( g a ) 9 i i i i e u g a ( g a ) g ) 1 1 ) 一1( 3 1 0 ) 证明我们很容易得到 筇：一篮) s = ( h b ) g h 一( g a ) g g = ( h b ) 9 ( 日一g ) + ( 月。b ) 9 一( g a ) 9 】g = ( h b ) 9 e 2 + ( 日b ) g 一( c a ) g 】g 所以我们知道 | i 磷：一。a - r ( 2 ，) s l i h l i ( 日b ) g 一( g a ) 。h 儿g l + i l ( 日b ) 。e 2 儿 蠼毛盟鲤，二型虬坚刿蚓 偶骊一而丽矿一+ 京掰 f 3 。1 1 1 ( 3 1 2 ) 复旦大学硕士毕业论文 结合引理3 1 和引理3 2 以及( 3 1 2 ) ，我们就得到这个定理 3 2a 笋) s 的结构条件数 口 让我们考虑( 1 4 ) 以及如果给出0 。i r a ( a t ) 。我们假设扰动矩阵e 尬。( g ) 和 扰动向量，c ”e 和f 是事先给定的我们首先考虑得到定理3 3 中非结构矩阵条件数 的表达式。然后我们给出定理3 4 关于结构条件数的估计在定理3 5 中我们给出结构条件 数一般的表达式 为了证明定理3 3 ，我们需要下面的引理 ；ji t t l3 3 对于奇异矩阵a 霸( g ) 并且有a 锶逆，那么存在着向量叫i m ( a t ) 使 i | a 黝l = l i 霹如m 这里有| 1 w l i = 1 证明从( 1 1 0 ) 以及p ) q 范数的定义，我们知道存在着z c r 使得 惮黝h 勋1 扣讣悄拈悄枞， 这里有r = r a n k ( a n ) 和i i z l l 2 = 1 设 。1 ， t h e n ”叫”= l ( i ) 忆= i i z = ，有 i l a ( ao , l p a 热q 一1 q 叫忆= f | ( t ：) ( i ) 眨= i l a - - 一1 z u 2 = l i a 笋。 1 6 复旦大学硕士毕业论文 a a 笋。”= q 一1 a 1 1 a 0 。) p p 一1 ( t 0 ) q q - 1 ( i ) = q 一1 ( i ) = 叫 从而有w i r a ( a t ) 。 我们完成了引理3 3 的证明口 我们有相似的 7 ，1 1 】结论，同时我们将有下列的关于有( 2 ) 一逆的奇异矩阵条件数的 定理 定理3 3 关于( 1 4 ) 的扰动矩阵e 螈( g ) 和扰动向量的f c n 的条件数有以下形 式； 仡f ，( a ，z ) = i 】a 笋：l e i i + 旦垒箐挈严 ( 3 - 3 ) 证明 我们展开( 1 6 ) 式并运用a x = b 那么我们有 z + z = ( a - i - a a g ( b + a b ) = z + a 笋j 6 一a 笋- a z 十d ( e 2 ) ，( 3 1 4 ) 那么 。= a 。( 2 ，) 。i 、一a a x + a b ) + 0 ( e 2 ) ( 3 z s ) 运用定义( 1 7 ) 并考虑在( 3 1 5 ) 的范数，我们有下面的不等式 i l a x l l i i a 笋) s l lh a a i i i l x l l + i l a 船l l l l a b l l + o ( 一) e i i a c t 警i i i i e i i i i x l l + e l l a 笋) s l l l l f l l + o ( e 。) ， 然后有 渊剑硼+ 譬+ 0 ( e 2 ) ， 接着运用定义( 1 7 ) 我们得到 一e ，( a ，茹) i i a 乒i e j | + 旦兰苇骞产 ( s ，。) 对于给定的a 以及i l a a l l e i i e l l ，如果我们选择a b = 一秽黯a z ，那么有i l a b l l e i i f l l 和( 3 1 5 ) 并有 z 一一a 绍地( z 十器) + 0 ( 。 ( 3 1 7 ) 1 7 复旦大学硕士毕业论塞 现在我们需要证明心口，( a ，。) 能达到在( 3 1 6 ) 的上界。为了达到上界我们用引理3 3 。 我们令 a = e i e 1 w 1 x 司h 厂p h q ，6 = 一e i l f l l 叫， 我们有6 t m ( a ) 而且很明显l l a a i i = l l e l 和j i 州= e l t f l i 。 现在我们要证明i m ( a a ) i r a ( a t ) 和i m ( ( a a ) h ) h n ( ( a 片s 1 ) 上) a a 呈- a = e i i e ia a 笋币) s 孤w x h p h q ：，l l e l l w x h p h q 忙i i 以及 ( a a 笋j ) h ( a ) 盯= e 且兰止生兰垒墨( 2 ) 呈勺h 妄5 h ：兰! ( 2 笪) 兰竺h 一 一丽i i e i i 矿( 0 ：q - q p p - , ：e 螋前h ( 盟2 ) h ：f a a ) h ， 小w h 所以， a a a g a = a 所以我们有i m ( a a ) i m ( a t ) ，i r n ( ( a a ) h ) ci m ( a h s 上) 很容易验证如果我们选择上述的a 和a b ，( 31 6 ) 将达到上界。 口 推论3 2 对于e = a 和f = b ，我们对条件数的估计有： 尤且( a ，。) = i i a 黠i i i i a i is 圪a ，6 ( a ，z ) 2 1 1 a 绍i i i i a i i ( 3 1 8 ) 证明 根据蟛张拶si i a 簧) s l ii i a i i 我们有结论( 3 1 8 ) 。 口 在( 3 1 7 ) 中为了研究结构的或非结构的矩阵的扰动，我们只关注于a 毁a a x ，所以我 们介绍下面的定义 复旦大学硕士毕业论文 定义3 1 对于奇异矩阵a 靠( g ) 并有a 绍一逆，有条件0 。i m ( a t ) 以及 m ：“( g ) 螈( e ) 我们定义 ”“( a ，。) = s u p h a ( t 2 ) s a a z h ：a j 】l 露t r u c t ( g ) ，i i a a i t 茎1 ) 对于m u “( g ) = m 。( c ) 我们用省略s f r u c t 的记号：( a ，茁) 从定义3 1 ，我们得到关于一e s t r ，u “( a ，z ) 更紧的下界： c s t t ( a x ) l l = l l ( 1 1 e i i + 丽i l f l l ) 圪誉烈缸) ( 3 1 9 ) 另一方面，由于( 3 1 3 ) ，( 1 8 ) 而且因为肘i t r o t ( g ) 至尬t ( e ) ，我们得到关于k 。s t r u “( a ，z ) 上 界： 圪e s t r ，u t ( a ，z ) i i a ( 2 ) s 1 1 e i i + i i a l ( 2 ) s | 1 i i i l i 。f r l l ( 3 2 。) 因此我们有下面的定理 定理3 4 对于奇异矩阵a 霸“。( g ) 并且有a 夥一逆，满足0 z i m ( a t ) 以及 ”“( c ) 靠( c ) 我们有 铲( 1 1 e 1 | + 丽i l f l l ) 一铲( 舢) j 嘲l l e l f 制删粉( 3 2 1 ) 特别地，妒“( a ，z ) = i | a 乒忙| | 即为 s t ，r ，u “( a ，z ) = k a ，水，z ) = i i a l ( 2 ) 川i i i a i i + i i a 删( = ) 俪i l f l l ( 3 2 2 ) 证明对于a a 。( g ) ，令 a = 可v a x h p h q ， 这里的p q 在( 1 1 0 ) 中有定义而w 在引理3 4 中有定义明显地有i i a a i l = 1 那么 妒( a ，z ) i i a 乒) s a a x l l = | i a 乒i 叫i i 1 1 = 1 1 = i i a 乒) s | | i i z m 我们已在定理3 , 4 有证明 i m ( a a ) i r a ( a t ) ，i m ( a a ) 日i m ( a 圩s 上) 从上述的所有等式( 3 2 2 ) 成立口 1 9 复旦大学硕士毕业论文 一个紧的上界由( 1 8 ) 给出以及有( 3 1 5 ) 慨s t r ，u t m q 舢) 必i l x l l + i i 卿槲 ( 3 2 3 ) 既然a a 在定义3 1 中必须和结构矩阵a 有相同的结构，( 3 2 3 ) 可能无法达到。我们 将有在定理3 5 中下面5 “。2 ( a ，z ) 1 i 刨1 。i i + 。a _ ( 2 ) d l 丑和k 聍。( a ，z ) 的关系 然而，正如我们所知道的，对于任何两个向量札，口伊 m a x ( 1 l “+ 移扎l i 钍一u 1 1 ) ( 1 l u l l 2 + l p l l 2 ) 芝2 - t 2 ( 1 l 钍l ；+ l l 廿1 1 ) 我们有 m a x ( 1 l u + ”m iu 一”1 1 ) = c ( 1 l u l i + l i v l l ) 这里2 - ：2s c 1 在( 3 1 5 ) 中我们用范数就有 a z i i = i i q i x l l 。= i i q a 冀a 。+ q 且6 ij 2 + o ( e 2 ) ( 3 2 4 ) 设札= 一q a 夥a z ，”= q a 筘) s a b 和利用定义3 1 以及( 1 8 ) ，我们有以下结构矩阵 条件数的表达式 定理3 5 对于奇异矩阵a 鬈t r u c t ( e ) 并且有( 2 ) 一逆，z 满足0 。i m ( a t ) 而 朋i “( g ) 尬、( g ) ，a 结构( p ) q 一范数) 条件数正如( 1 8 ) 所定义的满足 咂s t r m u c t - c 卜( 如) 槲圳( 2 剖) 例, i l f l l ， ( 3 2 j ) 这里2 q 2 c 1 对于( 1 4 ) 右端项没有扰动的，我们有 一e s t r ，u c ( a ，茁) 刊蛐( a ，) i i e i i 第四章求解a ( 1 , 2 b 的两种迭代算法 4 1关于a ( 1 , 2 ) 的一些预备知识 矩阵x 如果被称作a 的( 1 ，2 ) - 逆必须满足： x a x = x a x a = a 设a c ? “，t 和s 分别是c ”和c ”的子空间，r ( a ) = l ，n ( a ) = m ，那么a 就 有唯一的( 1 ，2 ) - 逆x 满足n ( x ) = t ，n ( x ) = s 当且仅当三o s = c ”，t o m = c n 我 们记x 为a ( 1 , 2 【2 】。 由j o r d a n 标准分解理论 1 3 ，我们有对于任意的复mxn 矩阵a 如果r a n k ( a ) = r ， 那么存在非奇异的矩阵尸和q 2 1 】使得 a = q 一1 a 1 1 羔。) p 这里的q 是m m 非奇异矩阵而p 是n 饥非奇异矩阵而同时a l l 也是非奇异 的现在我们能把a ( 1 , 2 写成与a 有关的形式 a 笋爹= p 一1 ( a 0 。1 1 ：) q 关于a 黯最新的一些研究成果能在 1 0 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 3 ，2 8 ，2 9 ，3 1 ，3 7 1 找到 考虑线性系统 a x = b ， ( 4 1 ) 这里的a 是m n 实的，大型的，稀疏矩阵，x 是未知的实的n 维向量，而b 是给定的 1 2 1 维向量为了求解卫= a 笋；6 ，我们将用下面的b e r m a n 和p 1 e m m o n s w e 介绍的求解非 奇异线性系统的迭代方法来求解： 。1 一峨尹n x + 帔尹b ，七= 0 ，1 2 ，( 4 2 ) 这里a = m n 是a 的一种正则的分裂；m 和n 都是m 钆矩阵并且 i m ( m ) = ，m ( a ) ，k e r ( m ) = k e r ( a ) 复旦大学硕士毕业论文 这里的i m ( a ) 是a 的值域而k e r ( a ) 是a 的零空间对于非奇异的情况，正则分裂就 是一种分裂 定理4 1 设a = m n 是正则分裂，那么 ( i ) a = m ( i m t ( i , ) ( i i ) i 一 耀多n 是非奇异的 ( 侧) a 争；m = ( ，一峭多) m t ( 1 , 2 ( i ”) a 笋；b 是z = ( 峭雪n ) x + ( 蠼害b ) 的唯一解 b e r m a n 和p l e m m o n s 介绍了以下的收敛结果 定理4 2 设a 是m n 实矩阵而且设a = m n 是正则分裂对于任意的初始 向量茁( o ) 都迭代结果收敛到a 笋b 如果p ( 磷雪) 1 我们称矩阵a = 【o ，j 是非负的a 0 如果a l j 0 对于i = 1 ，2 ，m 以及 j = 1 ，2 ，n 同时我们也称a 茎b 如果b a 0 对于向量是类似的。 定义4 1 设a 是m 几实矩阵而a = m n 是正则分裂我们称a = m n 是 规则的如果螋孑兰0 而且之0 另外，我们称a = m 一是弱非负的如果磷雪0 以及叫i 雪n 0 定理4 3 设a 是m n 满秩的实矩阵以及设a = m n 是弱的非负正则分解 墓里盔堂塑主生些煎奎一一_ 2 3 则下面的条件是等价的 ( i ) 4 笋；0 ( 矾) a 争；八m t u , 2 ( a 笋；m 0 ( 细) p ( 蠼掌) = p f 。a l ( 1 s , 2 m 一1 ) p ( a 笋0 j ) l 彳) ( 口) p ( 埘j 乡)